2024-2025學年湖南省岳陽市岳陽縣高三上學期12月月考數學

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.設集合"=料勿上同}N={xX42},則“nN=（）

A.{0』B,{TDC.{T°，l}D,{T，0』，2}

2.若z（l+i）=2+3i,則復數z的共甄復數1的虛部是（）

1.-------------------------11.1

---1-1一

A.2B.2C.2D.2

3.“。=3”是“直線x+P-2=0與圓6-。）-+&j）-=8相切,，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分條件也不必要條件

7、井口|Q|=1同=3〃+B=\a-t\

4.已知向重。，勾兩足?1,口，1人貝M?

V13

A.2B.C.4D.16

tana1

=3皿…）”則

5.已知"，力都是銳角，tanpcosasin/?=()

1111

A.4B.6C.8D.12

6.有一袋子中裝有大小、質地相同的白球k個，黑球2024一%QeN）.甲、乙兩人約

定一種游戲規則如下：第一局中兩人輪流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從

第二局起，上一局的負者先摸球.若第一局中甲先摸球，記第"局甲獲勝的概率為

則關于以下兩個命題判斷正確的是（）

2024

①A=4048-后,且“出=0-2pjp“+A.

②若第七局甲獲勝的概率不小于0.9,則上不小于1992.

A.①②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①②都是假命題

7（x）―e"一"‘XV。,

7.已知”R,函數[Tn（"l）—”戶＞°在R上沒有零點，則實數。的取值范圍

（）

A.(0,+8)B.(1，+8)

c.L+8)U{。}D.(l，+°°)u{0}

71

f(x)=2sincox-13>o)3，n

8.已知函數在區間上有且僅有一個零點，當0最大

時，”x）在區間口00兀」00句上的零點個數為（）

A.466B.467C.932D.933

二、多選題（本大題共4小題）

9.下列關于平面向量的說法中正確的是（）

A.刀，礪不共線，且Q=則為+（1一）礪

B.若向量@=（X,2X）,B=（-3X,2）,且萬與3的夾角為鈍角，則x的取值范圍是

C.己知/8=（-1,-a,/。=（26,2）,則與在刀上的投影的坐標為（33）

D.已知點H為V/2C的垂心，則網阿+|司=|罔+\AB\

10.如圖，在三棱錐力-8。中，AB、BD8c兩兩垂直，E為4c上一點,

DE1AC,"、N分別在直線/8、上，AB=2BC=2BD=2,,

C.若平面?！ü?。且4B、C。到a距離相等，則直線與。的夾角正弦值為

8

15

4兩

D."乂的最小值為WT

f（x）=Asin（<wx+->0,<y>0,|^|<—）

11.如圖，函數2的部分圖象，則（）

f(x)=2sin(2x+—)

A.3

2兀

B.將AM圖象向右平移3后得到函數＞=2sin2x的圖象

7兀13兀

C.“X)在區間12'12」上單調遞增

上/+兀]

D.“X)在區間''+§上的最大值與最小值之差的取值范圍為工26]

12.如圖，圓錐S°的底面直徑和母線長均為6,其軸截面為C為底面半圓弧

SN-"SB(0<A<1,0<//<1)則()

上一點，且/C=2C8,SM=ASC

V10

A.當2時，直線4W與8c所成角的余弦值為WT

1276

A=〃=----

B.當2時，四面體"MN的體積為16

2,1

u——/L=一

C.當3且/"http://面。NC時，2

D.當時，7

三、填空題(本大題共4小題)

13.已知函數小）蘭1+幅產若不等式）>“一32）<0對

任意XER恒成立，則冽的取值范圍是.

117

------1------——

14.已知0>1,且I°g8。bg“42,則°=

15.一只盒子中裝有4個形狀大小相同的小球，小球上標有4個不同的數字.摸球人

不知最大數字是多少，每次等可能地從中摸出一個球，不放回.摸球人決定放棄前面兩

次摸出的球，從第3次開始，如果摸出的球上標有的數字大于前面摸出的球上的數字，

就把這個球保存下來，摸球結束，否則繼續摸球.問摸球人最后保存下來是數字最大的

球的概率是.

22

土-匕=1

16.已知耳，B分別為雙曲線人2。>°'>0的左、右焦點，過招的直線/與雙

曲線的右支交于A、B兩點（其中A在第一象限），△”片耳的內切圓半徑為外，

△8片乙的內切圓半徑為馬，若4=2々，則直線/的斜率為.

四、解答題（本大題共6小題）

17.己知數列.J,其前“項和為S”，對任意正整數"，￡=2?！耙弧ê愠闪ⅲ?/p>

+。2=12

（1）證明：數列｛"/為等比數列，并求實數〃的值；

b=1T,M〃+2

⑵若"四2。"，數列（"）前〃項和為k求證："n2；

⑶當〃21時，設集合4=也+%」32+i<%+%<32+2,巧eN*,集合Bn中元素

的個數記為J,求數列?"｝的通項公式.

18.如圖，在四棱錐中，底面N8CD為直角梯形，AD//BC,AD1AB,

AD=AB=2BC,△S/B為等邊三角形且垂直于底面ABCD_

（1）求證：SZ）_L/C；

(2)求平面SBC與平面S"C夾角的正弦值.

19.已知〃eN*,數列包｝前〃項和為S”，且滿足S“=2a”-1；數列也｝滿足4=2,

‘〃+1=2一丁

b〃.

(1)求數列｛“■｝的通項公式;

(2)是否存在實數"使得數列1％一幻是等差數列？如果存在，求出實數2的值；如果

不存在，請說明理由；

(3)求使得不等式2哂成立的”的最大值.

20.已知函數"x)=sEx+6-x(aeR)

y尸-土」I"。,眉_

(1)當。=0時，判斷■龍在1上的單調性，并說明理由;

(2)當x>°時，/(》)>°恒成立，求。的取值范圍;

Z=1,2,???,?,HGN

(3)設gG)=sinx,在gOO的圖象上有一點列4,g

F,直線

44+1的斜率為《('=12…，求證：,=19

21.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫療物資生產企業加班加點生產口罩、防護

服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫療物資供應，在國際社會上贏得一片贊譽.我

國某口罩生產廠商在加大生產的同時，狠抓質量管理，不定時抽查口罩質量、該廠質

檢人員從某日生產的口罩中隨機抽取了100個，將其質量指標值分成以下五組：

[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]；得到如下頻率分布直方圖.規定：口罩

的質量指標值越高，說明該口罩質量越好，其中質量指標值低于130的為二級口罩，

質量指標值不低于130的為一級口罩.

核K率/組距

0.040------------

0.030-----------------

0.020----------------------

0.005—?-----------------------?一

。|%301；01；0121；0質薪旨標值

(1)求該廠商生產口罩質量指標值的平均數和第60百分位數；

(2)現從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機抽取8個口罩，再從中抽取3個，記其

中一級口罩個數為"，求〃的分布列及方差；

⑶在2024年“五一”勞動節前，甲、乙兩人計劃同時在該型號口罩的某網絡購物平臺上

分別參加48兩店各一個訂單“秒殺，，搶購，其中每個訂單由〃(〃”2，"eN)個該型號

2cos—

兀&

口罩構成.假定甲、乙兩人在48兩店訂單“秒殺，，成功的概率分別為n，記甲、

乙兩人搶購成功的口罩總數量為X,求當X的數學期望"(X)取最大值時正整數〃的

值.

Y2V21

M:^-r+^=l(a>b>0)-

22.已知橢圓。b2的離心率為2,A,8分別為橢圓的左頂點和上頂

(2)設橢圓"的右頂點為°、尸是橢圓"上不與頂點重合的動點.

(i)若點小II2]人點。在橢圓M上且位于x軸下方，直線尸D交x軸于點尸，設

3

QS—S=—

A/尸尸和VCD尸的面積分別C為為若]2-2,求點。的坐標：

(ii)若直線與直線CP交于點°,直線AP交x軸于點N,求證：2%.-%c為定值,

并求出此定值(其中G、勺c分別為直線和直線℃的斜率).

答案

1.【正確答案】C

［詳解］因為M={xeZ|y=J1-|X|}={-1,0,1},所以VcN={-l,O,l},

故選：C.

2.【正確答案】B

_2+3i（2+3i）（l-i）2-2i+3i-3i?5+i_5j_--51

【詳解】-k（1+】）（1T）-id—~=則z=E一于，

所以復數z的共軌復數1的虛部是-2.

故選：B.

3.【正確答案】A

【詳解】圓C：（'一“）2+（7一°）2=8的圓心為。（。,。），半徑為2亞，

fl+a2

l_l=2.j2

若直線x+?-2=0與圓°相切，則也，解得。=_［或3,

且0}是{T3}的真子集，

所以“"3”是，，直線x+y-2=0與圓。：（》-0）一+&-"）一=8相切”的充分不必要條件.

故選：A.

4.【正確答案】C

【詳解】由"+'=（1,6）,得1。+昨2,而++|”'『=2（J+3"）=2（12+32）=20,

因此4+1”釬=20,所以|”昨4.

故選：C

5.【正確答案】D

1tana

sin(a+￡)=sinacos6+cosasm3=--------3

【詳解】由題意3,又ta”

sinacos(3.

---------二3

所以cosasin/3,即sinacos0=3cosasin廣，

4cossinB=—cosasinB=-

所以3,所以12

故選：D

6.【正確答案】A

【分析】分別計算在第一局中：摸1次，摸3次，L,摸2加-1次甲獲勝概率，可得

27n-l7

k2024-左/+...+2024-左

Pi=lim---------FI工

加一>+820242024?202420242024J,從而求得Pl,由于第

〃+1局甲獲勝包括兩種情況：第"局甲贏且第〃+1局甲后摸球和第〃局甲輸且第"+1局

甲先摸球，可得°角=凡（1-Pi）+（1-P"）R,利用數列求通項公式的構造法，可得

Pn~\

“2,公比為1一2”的等比數列，求出仍，解不等式即可求解.

是首項為

k

【詳解】第一局:摸1次甲獲勝概率為：2024,摸3次甲獲勝概率為:

2024-左

2024得

2024-左2024-4

2024

摸5次甲獲勝概率:2024',摸7次甲獲勝概率:2024潟,_

2m-27

2024—左

摸2小一1次甲獲勝概率:2024I向

2m-2j

2024-左2024-左

Pi=lim---------F「+...+

/n—>+0020242024?20242024金

所以I

2m

k2024-左

1-k

20242024

20242024

Pi=lim<2廠—左

m->+co2024-左20244048

1-1-

20242024

所以

第〃+1局甲獲勝包括兩種情況：第〃局甲贏且第〃+1局甲后摸球和第〃局甲輸且第

"+1局甲先摸球,

則夕〃+1=P〃(1一口)+(1-P〃)Pi=(1-2")P〃+",故①正確;

A=_l

由4+1=。-2")4+”，設％+1+彳=(1-20)(?！?幾)，解得2,

P〃+1=P

所以2In2.

是首項為“一5，公比為I"”的等比數歹|j,

所以

1HO"），，即廣_；］(1_221)6+；20.9

Pi——

則2

6

J及心。4,即

A-2>0.4

所以

7

「、0.4］、麗

26I>0,4

即,即二F,即5舊

Io4I9074

Pi><>+—。0.984p.=>0.984

則丫2‘2,即M4048-A:解得后21991.089,

所以人不小于1992,所以②正確.

故選A.

【思路導引】本題解題關鍵是在第一局中求出摸1次，摸3次，L,摸2加-1次甲獲勝概率,

可得其概率是等比數列，從而得到

k(2024-A;Yk(2024-葉k

Pi=lim2024+<2024J+…+L2024J

m—>+820242024

,利用數列求和和極限的知識進

行求解.

7.【正確答案】D

【詳解】x40時，0<ev<l,

若e'=。無解，則或。>1；

x>0時，ln(x+l)>0,

若ln(x+l)=-a無解，則.20,

則ae(l,+e)U{0}.

故選：D.

8.【正確答案】B

2兀

f(x)=2sin69X-j>0)1=—

【詳解】方法一：由函數,可得函數的周期為①,

n(am71兀、

XE—,71coxe--------，①兀—

因為13可得3I333；

*。)7T

y=2sina)x-3,71

又由函數在區間上有且僅有一個零點,

■-1)7r4處一色〈也

<

兀2兀71

ku<COTI—<(k+l)7l——>71——

且滿足〔3,且03可得。(3,

k-\<---<k

<33

7I71

k<co——<k+l

即13,且oW3,

-2<<1

33

14

0<。—W1—<a)<—-<^<1

當a=0時,3,解得133,所以3

。鎧-小1<4

，14747

1<69--W2—<67<——<<27<—

當左=1時,3解得133，所以33.

一81c

1<----<2

334<^y<7

710

2<。——<3—<a><——

當月=2時,3解得133,此時解集為空集,

1

綜上，實數。的取值范圍為P3TPJ

7(x)=2sin兀

一一,,"maxf

所以3,得、3

7713kli兀乙7、

/(x)=2sin—X-----=0—X--=fac(A：eZ)x=———F—(左￡Z)

33，則331),解得

13左1

-10071<-+-<10071-100——<—<100——

令77則有777,

2122rz3小100x71-701

解得3333,即33,

因為keZ,所以共有467個零點.

f(x)=2sin如一蕓3〉o)，可得函數的周期為T等,

方法二：由函數

7171

t—CDX-----，①7t——

因為，可設3,則3

2。)71

y-2sina)x-3,71

又函數I在區間上有且僅有一個零點,

2兀71兀。兀兀2兀

——>71--?<3,則由，=2sinf

CD3,可得0<043,所以33圖象性質,

兀G71兀八

——<------<0

3330<。<1

14

V)<6071——<71-<(o<\

可知3,得133,即3

八,。兀712兀

0<------<——

3331<。<3

7T4747

TKCDTt——<271—<co<—

或者3，得133,即33

7兀

Zf(x)=2sin—x----

所以。最大為3,得33

771

f（x）=2sin—x----=0—x--=H（A：GZ）x=^^-+—（A：eZ）

33，則33'解得77、）

aZTTTT]a“]

-100K<—+—<100兀-100——<—<100——

令77,則有777,

-100x71/7,100x71—701,7,699

---------------<K<----------------------------<<-----

解得：3333,即33,

因為keZ,所以共有467個零點.

故選B.

9.【正確答案】BD

【詳解】選項A：甌無不共線，且4P=t』B(teR),

則麗_方=/伽_則歷=/@一場>刀

即萬=廊+(1一)次判斷錯誤；

選項B：向量&=(三2幻石=(-3羽2),且a與B的夾角為鈍角，

—3x?+4x<0

\11c4

皿2X-(-6X2)^0E-1<一片_二<%<0f

則〔<),解N得3或3或3

|-00,----||----,0|LJ|,+oo|

則X的取值范圍是I31I3J13人判斷正確；

選項C：存在就上的投影向量為

萬芯AC-2V3-2V3工-君7?(3—叵

西國―V12+4V12+4-4['，2)

則存在就上的投影的坐標為I22J.判斷錯誤；

選項D：點”為V/8C的垂心，則而?前=麻?布=0,

則蘇一庵)=麻.胸一砌

則由而=百2.蠶，麗.沃=由屈,

由由?銃=由?麗可得

+(HBj+(Hcj-2HA-HC=+(HC^-2HA-HB

則㈣+?一吟=?一砌+?j.

即畫F詢=1麻上網［

由麗.由=加沃,可得

?+^ic^-2HBHA=(HAj+(HBYJ+(HC^-2HB-HC

則?^+儂-西=郵一麗”M,

即國I'網、甌『+網］

故網F就閆麗］+網:環『+網:判斷正確.

故選：BD

10.【正確答案】AD

【詳解】如圖，以3為坐標原點，8C,8D,A4分別為x/,z軸，建立空間直角坐標系,

則A（0,0,2）,5（0,0,0）,C（l,0,0）,￡＞（0,1,0）,

可得第=（-1,0,2）,覺=（1,-1,0）,加=（0,0,2）,

設CE=mCA=（—加，0,2機）則DE=DC+CE=（1—m,—1,2m）

_____W=1

因為。E//C,貝ijOExC/=加-1+4m=0,解得5.

CE=（-Lo——?

對于選項A：因為〔5''5人且8c=（1,0,0）,

BE=BC+CE=[-,O,^}

可得’

uiruir

BECA=?-+-=0

則55,所以/CL8E,故A正確;

-=停5-

對于選項B：因為<65)人所以

因為方=(。，-1，2),

對于選項C：

p(:，o,o]

例如平面a過8c的中點12九且與平面/5D平行，

則4B、C。到平面a的均為距離5,符合題意，此時平面a的法向量亢

4

亢?瓦_0_4A/5

cos(n,DE)=

同麗「lx還15

可得5

4石

丁，故錯誤;

此時直線OE與a的夾角正弦值為C

DN=ADEj,Af(0,0,e[0,1]

對于選項D：設

1/1,

則由=(。,-1,2〃)，MN=DN-DM

uuuULIUUUUuu

若MN取到最小值，則

可得

MN=

則M剽

4兩

所以跖V的最小值為7T,故D正確;

故選：AD.

11.【正確答案】ACD

T=4(—--—)=^=—

【詳解】對于A,觀察圖象，/=2,“X)的最小正周期312。，解得

。=2,

兀、-c兀7C-..117c7八兀

/(—)—22-----\-(D——卜2kn,ksZ(p<一k=0,0=_

由八12，得12%2，而2,則3,

JT

f(x)=2sin(2x+—)

所以3A正確;

—/(x--)=2sin[2(x--)+—]=-2sinlx

對于B,將AfM圖象向右平移3后得到函數333

B錯誤；

「7兀1371rc?！?兀5兀「3兀571r

X￡----------2,XH----￡---------------------

對于C,當12'12時，32'2,而正弦函數昨sinx在2’2上單調遞

A土日曲，

7兀13K

[----------]

因此了（X）在區間12'12上單調遞增，c正確.

兀kit

x—__?-,k-eZ

對于D,函數〃x）的圖象對稱軸為-122

71兀歷I77

tHX=1，左￡N//、

當，與3關于直線122對稱時，“X）的最大值與最小值的差最小,

7ikn/+烏=色+色,后eZf()=f(t+-)=l

t------1------t

此時122342,當上為偶數時，3,而

TT

/(O=/a+y)=-l/（—+—）=-2

當上為奇數時,，而122,最大值與最小值的差為1；

[^,/+—]o[―+ku,—+far]+[―+for,+析](左GZ)

當31212或31212時,

、\t,tH----]

函數〃x）在3上單調，最大值與最小值的差最大,

1/(?(，+$H2sm(2/+：)-2sm[2(T+gH3sm2/+A3

=26|sin⑵+鳥區26t=—t=—

6，當12或12時均可取到等號，

所以最大值與最小值之差的取值范圍為工26],口正確.

故選：ACD

12.【正確答案】ACD

【詳解】由題意可知是邊長為6的等邊三角形，SA=SB=SC,AC=3仆，

BC=3

,11

X=-4=一

2時，〃為&?的中點，取2得MN〃:BC,44九W為直線與BC所成角或其

補角，

33。=’白5匕也=36+36-2-*

又根據余弦定理可得-2SA-SC2x6x68,

°°r545

AM2=SA2+SM2-2SA-SM-cosZASC=36+9-2x6x3x-=—

再根據余弦定理可求得82

909?

/…T7屈

3麗.BC3)3廂320

AM=-------廠MN=——二一2x^x-

所以2,AN=3也,22.則22

故A正確;

,5JflC=-x3x3>/3=—

在中，AB=6,BC=3,得"c22,

1x^1x373=—

SOSABC,且S0=3G,則四面體S/8C的體積為I*2-2.

A=fi=—

2,M為宓的中點，N為S3的中點，故四面體"九W體積為四面體S/3C體

27

積的四分之一，得四面體體積為不，故B錯誤；

對于CD選項：

2

u——

【法一】當3時，取SN的中點p,則NP〃°N,所以/尸〃面ONC

過P作尸M尸CN交宓于河，所以W〃面ONC,

此時M為&?的中點，又因“P，尸”相較于點P,

所以面4PM〃面ONC,

2=-

得〃面ONC,所以2,故C正確；

1

LI——

當"2時，AN1SB,

在面SCB內過N作MW_LS3交于M,

SS

則SB_L面AMN,AMu面AMN,

故此時得到的AMLSB,

△SCB中，SC=SB=2CB=6,

7

cosZCSB=—

由余弦定理得8,SN=NB=3,/SNM=90。，

24

c”，24c74

SM=—4=—=—

得7,則67,故D正確.

故選：ACD.

【法二】則以°為坐標原點，過點。與垂直的直線為x軸，分別以08、°S所在直

線為y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意得

,Wk

cf^20

3xcS@,0,3^^(0,-3,0)8(0,3,0)128

SB=(0,3,-343)前I'M”?

SM^ASC麗=〃豆(0<彳<1,。<〃<1)

得的=]寺''/'一36“，而=0,3〃,-36〃)

翔=樂+麗=0,3,36>1孚2,|/1,一36/1=

—A,-2+3,3>/3-3A/32

22J

2_

一./〃=丁…而k=(0,2,-26)ON=OS+麗=0,2,6)

對于C,3,則、'，z),

設平面ONC的一個法向量為n=(x,y,z),

2y+#>z=0

/函=03g3n

則卜衣尸°,可取力=([1,6,-2)

一一的;》+3,36一3向)(1,后一2)=0

AM//面ONC時,得AM.〃=(),12-

2=-

解得2.故c正確.

對于D,豆=(0,3,一36)，

而=君+麗=0,3,3行孚力+^/^孚九白+3,3百一3屆)

—2,-2+3,373-3732■(0,3,-373)=02=4

由/WS8得，122;

,7.故D正確.

故選：ACD.

(-oo,4)

13.【正確答案】

【分析】首先分析函數/（X）的奇偶性和單調性，再將不等式轉化為

4+4%4

/"2》"32）,再將不等式，轉化為加＜^^=京+2,利用基本不等式求

最值，即可求解.

【詳解】因為/（X）的定義域為R,

f（-x）=-^-X-l+log369+-2-x）

=--X-1+log3I---=--x+l-log3《9+，2+x^=-f（x）

4\9+x+x4

9

31

所以/（X）為奇函數.因為函數y~TX~在口+°°）上單調遞增，

函數）=1嗎口^+工）在［0,+CO）上單調遞增，

所以73在［°，+°°）上單調遞增.

因為/（x）為R上的奇函數，所以/（X）在R上單調遞增，

因為-“-32）="32）,所以不等式9T-32）＜。即為

/0（-4，+”2*））＜/（32）,則/（4+”2工）＜32.

4+4*4

因為/（4）=317+1嗚9=32,所以_4，+”2*＜4,即＜TT+2v

-+2X＞2.I—-2X=4—=2X

因為2、，當且僅當年，即x=l時，等號成立，

所以加＜4,即優的取值范圍是J004）.

【關鍵點撥】本題的關鍵是判斷函數奇偶性和單調性，利用函數的單調性，解抽象不等式.

14.【正確答案】2或64