2024-2025學(xué)年黑龍江省佳木斯市高三上學(xué)期第五次月考數(shù)學(xué)

檢測試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息

2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上

一、單選題（本題共有8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.若2z—l=iz,則匕|（）

V5]_

A.^5B.1C,5D,5

【正確答案】C

【分析】先根據(jù)條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求出復(fù)數(shù)z,亍，再求閆即可.

12+i2+i-

z—____—____________—_____9乙J..

【詳解】由2z-1=匕，得2-1（2-1）（2+1）5,所以zyJ,

所以同=口22+（-1）2=]

所以,〉.

故選：C

22

」______

2.若方程機(jī)+3m-1表示橢圓，則實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍為（）

A.（T3）B.（T1）

c（-3,-i）U（-i，0D（-co,-3）U（l,+℃）

【正確答案】c

【分析】先化為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)橢圓方程性質(zhì)列不等式組計(jì)算即可求參.

x2y21

------1-----二1

【詳解】因?yàn)榉匠碳?31-陽表示橢圓，

fm+3>0

所以11一爪>0且m+3與1—加不相等，

所以根e(-3,-1)。(-1,1)

故選：C.

3.若點(diǎn)(—2，1)在圓/+/+X—y+a=°的外部，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A(-2,+co)B(-co,-2)

—2，；(一叫―2)u[；,+co]

【正確答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外以及圓的一般式滿足的系數(shù)關(guān)系即可列不等式求解.

【詳解】由于點(diǎn)(一2，1)在圓V+V+x—y+a=°的外部，故

(-2)2+I2—2—1+a>0.2<。<

,l+(-l)2-4a>0,解得2,

故選：C

f(x)=—x2-3x-41nx\

4.若函數(shù)2，則函數(shù),〈J的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(4，+句B.(°』)C.(°，4)D.OH)

【正確答案】C

【分析】求函數(shù)/(“)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于零并結(jié)合定義域得出結(jié)果.

/(%)=—x2-3%-4Inx

【詳解】函數(shù)2,定義域?yàn)椴罚?)

2

R(X\-X34_X-3X-4_(X-4)(X+1)

,

/[x)-x-5------/(x)<0&?zHo<x<4

由XXX，令解得U<%<一,

則函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(°，4).

故選:

5.在等比數(shù)列｛%｝中，記其前〃項(xiàng)和為星,已知名=-%+2囚，則的值為(

A.2B.17C.2或8D.2或17

【正確答案】D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得q=i或q=-2,再利用等比數(shù)的求和公式求解即可.

【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得"a?=—

整理得d=0,

解得q=i或q=-2.

邑_8%_2

當(dāng)4=1時(shí)，S44q；

a\-i）

區(qū)=_izl_=曖T=1+1=17

4

S4ax-1）q-1

當(dāng)4=_2時(shí)，q-l

身

所以S，的值為2或17.

故選：D.

6.設(shè)圓°：（x—2）+"T）=36和不過第三象限的直線/:4》+3了一"0,若圓°上恰有

三點(diǎn)到直線/的距離均為2,則實(shí)數(shù)。=（）

A.—9B.1C.21D.31

【正確答案】D

a八

—〉0

【分析】根據(jù)圓心到直線的距離，結(jié)合直線在了軸的截距3,即可求解.

【詳解】C：（“—+&-1）=36的圓心為（2,1）,半徑為「=6

日；3-4

r—2=

22

若圓C上恰有三點(diǎn)到直線/的距離均為2,則圓心到直線的距離為A/4+3

解得。=—9或31,

0>0

由于直線/：4x+3y-a=0不經(jīng)過第三象限，則直線與歹軸的交點(diǎn)3

故4=31,

故選：D

f(x)=711sinfgx+o

7.如圖，將繪有函數(shù)河>°°<°〈兀部分圖像的紙片沿x軸折成

2兀

則9=(

71兀271571

A.6B.3TD.6

【正確答案】C

【分析】過48分別作X軸的垂線，垂足分別為C0過4。分別作了軸、X軸的垂線相

交于點(diǎn)E，利用周期求NE,利用余弦定理求然后由勾股定理求出根據(jù)圖象過點(diǎn)

7即可得解.

【詳解】過48分別作無軸的垂線，垂足分別為C。，過4。分別作夕軸、X軸的垂線相

DE=M

BE2=M2+M2-2M2cos—=3M2

由余弦定理得3,

由上可知，x軸垂直于">,￡>￡,又BD1DE=D,BD,DEU^BDE,

所以x軸垂直于平面又NE〃x軸，所以平面

因?yàn)?Eu平面ADE,所以/ELBE,

T2兀,

1-——二6

兀

因?yàn)?（X）的周期3,所以4E=C￡>=3,

由勾股定理得3河2+9=15,解得

/04、

由圖知，/（“）的圖象過點(diǎn)〔

）,且在遞減區(qū)間內(nèi),

f(Q)=Osin(p=W~sm(p=^-

所以2、,即

2兀

（P——

因?yàn)?<°<兀，點(diǎn)4/在遞減區(qū)間內(nèi)，所以3

故選：C

~T+^~=1>°）口p4F[PF]=—

8.設(shè)橢圓。b-的焦點(diǎn)為4,4,尸是橢圓上一點(diǎn)，且一3,若

△月0居的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為尺，r,當(dāng)R="時(shí)，橢圓的離心率為（）

422

——J_—

A.5B.3C.2D,5

【正確答案】B

【分析】利用正弦定理計(jì)算尺，根據(jù)余弦定理計(jì)算加"，根據(jù)等面積法列方程得出。，。的

關(guān)系，從而可求出橢圓的離心率.

【詳解】橢圓的焦點(diǎn)為4—。⑼，月9°）,比入口。，

2R_巾_2c_4?

sinN片尸&$出二3

根據(jù)正弦定理可得3

設(shè)|尸片上冽，IPg=〃，則加+〃=2a,

4c2=m2+?2

由余弦定理得，

4(a2-c2)

/.mn=-------------

3

1.71A/3(6Z2-C2)

v=—mnsin—=----------

以耳巡233

+c)

S^RPF?=1■(加+〃+2c)?r=6c(a

6

V3(6Z2-c2)_Cc(a+c)

/.36,即2a之—3c?—ac—0,故3/+e—2=0,

t_2

解得：e-§或e=-1(舍).

故選：B.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.下列說法正確的有（）

A.直線依一了+2%=3恒過定點(diǎn)（—2,—3）

B.若兩直線°x+2y=°與x+S+l）>+4=°平行，則實(shí)數(shù)a的值為1

C.若/8>0,BC〉°,則直線”x—8.v—C=°不經(jīng)過第二象限

D.,點(diǎn)（，），（，）,直線/:加x+y_加—1=0與線段45相交，則實(shí)數(shù)加的取值

3

-4<m<—

范圍是4

【正確答案】AC

【分析】A選項(xiàng)，將直線變形為點(diǎn)斜式，求出所過定點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)兩直線平行，得到方

程，求出實(shí)數(shù)4的值，檢驗(yàn)后得到答案；C選項(xiàng)，直線變形為斜截式，得到斜率與與了軸截

距，得到C正確；D選項(xiàng)，求出/：冽》+歹一加一1=°過定點(diǎn)E(U),畫出圖象，數(shù)形結(jié)合

得到實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

【詳解】A選項(xiàng)，"-歹+2左=3-丁+3=左(%+2),

故直線恒過定點(diǎn)(一2,一3),人正確；

B選項(xiàng)，兩直線以+2y=。與x+("+l)>+4=°平行，則a(a+l)-2=0,

解得a=l或-2,

當(dāng)°=1時(shí)，兩直線x+2j=0與》+2了+4=0滿足要求，

當(dāng)a=—2時(shí)，兩直線—2x+2y=0與x_y+4=0滿足要求，

綜上，。=1或一2,B錯(cuò)誤；

_AC_

C選項(xiàng)，若AS〉。］。〉。，則直線--為-0=°變形為'BXB,

->0--<0

直線斜率8,與歹軸截距為B

直線經(jīng)過一，三，四象限，不經(jīng)過第二象限，C正確；

D選項(xiàng)，直線/皿+>一…1=°=V一=一加(1),直線經(jīng)過定點(diǎn)￡(口),

畫出坐標(biāo)系，如下:

-m>—

則要想直線與線段48相交，則直線斜率-加4-4或4,

加＜---

解得機(jī)24或4,D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.已知圓G：*+/_2x+4y+l=0與圓Czd+V_2y-8=0,下列說法正確的是

()

A.過點(diǎn)'(3』)作圓G的切線有且只有一條

B.圓。】和圓02共有4條公切線

C.若"，N分別為兩圓上的點(diǎn)，則M,N兩點(diǎn)間的最大距離為5+而

D.若E,尸為圓02上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且忸川=4,則線段￡尸的中點(diǎn)的軌跡方程為

x2=5

【正確答案】ACD

【分析】A選項(xiàng)，利用點(diǎn)圓位置關(guān)系即可判斷；B選項(xiàng)，將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，

得到圓心和半徑，判斷兩圓位置關(guān)系即可判斷；C選項(xiàng)，數(shù)形結(jié)合得到

也N|max=|GG1+2+3=5+ViU；口選項(xiàng)，由垂徑定理得到Cf,

從而得到線段

所的中點(diǎn)的軌跡方程.

【詳解】對(duì)于A,對(duì)于圓02：*+必一2〉-8=°,有32+F_2xl-8=0,

所以點(diǎn)'G』)在圓C?上，則點(diǎn)'(3/)作圓G的切線有且只有一條，故A正確；

對(duì)于B,圓￡：/+/—2x+4y+l=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x-l)2+(y+2)2=4,

則圓G的圓心為G0'—2),半徑為2,

圓。2：—2〉-8=0的方程化為Y+(y_Ip=9,

則圓的圓心為圓心G(°』)，半徑為3,

因此CGI=V0-O)2+(-2-I)2=Vw

因?yàn)?-2(廂＜3+2,所以

所以兩圓相交，則圓G和圓G共有2條公切線，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,根據(jù)圓的圖象可知也以鼠=1°。2|+2+3=5+而，故c正確;

對(duì)于D,不妨設(shè)所中點(diǎn)為尸，則020,￡尸，圓的半徑為3,

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（“/）,又點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,1）,

所以尸的軌跡方程為-+（yT>=5,故D正確.

故選：ACD.

11.（多選）如圖，四邊形NBCD是邊長為5的正方形，半圓面/W平面48CD,點(diǎn)P

為半圓弧/。上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸與點(diǎn)。不重合），下列說法正確的是（）

A.三棱錐尸-45。的四個(gè)面都是直角三角形

125

B.三棱錐尸一/8。的體積最大值為4

C.在點(diǎn)P變化過程中，直線PA與BD始終不垂直

D.當(dāng)直線尸8與平面所成角最大時(shí)，點(diǎn)P不是半圓弧的中點(diǎn)

【正確答案】ACD

【分析】對(duì)于A,利用空間中直線、平面垂直的有關(guān)定理證明即可；

對(duì)于B,三棱錐尸-ZB。底面面積固定，當(dāng)高最大時(shí)，體積最大，可通過計(jì)算進(jìn)行判斷；

對(duì)于C,假設(shè)垂直，利用空間中直線、平面垂直的有關(guān)定理即可推出矛盾；

對(duì)于D,首先利用空間向量解決當(dāng)直線P8與平面所成角最大時(shí)，點(diǎn)P的位置，進(jìn)而

作出判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)樗倪呅?BCD是正方形，所以△NAO為直角三角形，

又因?yàn)镹D為直徑，所以為直角三角形，

又因?yàn)榘雸A面4P。，平面N8CD,平面4P平面=,AB1AD,

所以N5J_平面4PQ,因?yàn)椤u平面NPQ,所以所以△上48為直角三角形，

因?yàn)?8J_平面4PQ,PQu平面4PQ,所以481PZ),

又因?yàn)閃PN,AB^PA=At45u平面尸4S,04u平面尸45,

所以W平面尸48,因?yàn)槭?<=平面尸48,所以PDLPB,所以△%￡>為直角三角形,

因此三棱錐尸一/8。的四個(gè)面都是直角三角形，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,

過點(diǎn)P在平面APD內(nèi)作尸E工于點(diǎn)￡,

因?yàn)槠矫?W平面48CD,平面4P°C平面48C￡>=4D,PEu平面4P￡),

所以W平面/BCD,尸￡為三棱錐尸-480的高，所以三棱錐尸-48。的體積

y=%,PE

c1…25

*3AJDF)——x5x5=—

因?yàn)椤鱊AD的面積’22為定值，

所以當(dāng)尸￡最大時(shí)，三棱錐尸-ZB。的體積最大，此時(shí)點(diǎn)尸為半圓弧ND的中點(diǎn),

PE=LAD=，

22

1255125

—X-----X——--------

所以三棱錐尸一/8。體積的最大值為32212,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若點(diǎn)尸變化過程中，直線尸/與AD垂直，由圓的性質(zhì)WPZ,

PDcBD=B,

所以尸2,平面PAD,PBu平面PBD,所以尸

又由A知：ABLPA,在同一平面內(nèi)，一條直線不可能同時(shí)垂直于兩條相交直線，

所以點(diǎn)P變化過程中，直線產(chǎn)工與2。始終不垂直，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,由選項(xiàng)B解析可知：尸￡,平面N8CD,￡8為網(wǎng)在平面內(nèi)的投影,

所以NPBE直線PB與平面ABCD所成角，當(dāng)直線PB與平面ABCD所成角最大時(shí)，

cosZPBE取最小值，

以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

在直角三角形幺尸。內(nèi)，PE2=AE-ED,即/=a(5_q).

所以￡(凡0,0),尸(見0,h),5(5,5,0)所以BP=(a-5,-5,h)BE=((2-5,-5,0)

BP-BE_________(a-5y+25

cosZPBE=cos<BP,BE>=

d(a-5)2+25+/8—5了+25

(2

7a-5)+25/l—ioa+sollQ_a1Q-

d(a-5)2+25+/z?1-10a+50+a(5-a)\510-a

因?yàn)閍e(0,5),所以10—a>0,

所以+-(J?丑-2=出6—2

10—a10_

當(dāng)且僅當(dāng)510-a,即a=10-5夜時(shí)，

COSZPBE取最小值，直線PB與平面ABCD所成角最大，

此時(shí)點(diǎn)P不是半圓弧40的中點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確，

故選.ACD

II卷非選擇題

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12,已知向量"*滿足，=0，4）,展3=6,I"—'=7,則忖=

【正確答案】6

【分析】根據(jù)模長公式即可求解.

［詳解］由"R，4）可得問="+4-=5

\a-b\=sla2+b2-2a-b=7A/25+P-2X6=7\b\=6

,解得"

故答案為：6

13.在V48C中，sin5+sinC=2sinZ,已知點(diǎn)3,0）,。（3,0）,則點(diǎn)A到直線

BC的最大距離為

【正確答案】

【分析】利用正弦定理及橢圓的定義可得動(dòng)點(diǎn)A的軌跡，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合即可求得結(jié)果.

【詳解】由已知（，），（，），貝U??

6,

因?yàn)閟inS+sinC=2sirU,

則由正弦定理可知|4C|+\AB\=2\BC\=12>6=\BC\,

所以動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)，長軸長為12的橢圓，不含左、右頂點(diǎn),

所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到直線8c的距離最大為,62-3z=3百.

故答案為.36

3

14.在體積為萬的三棱錐N—8C。中，ACLAD,BClBDt平面NCZ),平面BCD,

ZACD=-ZBCD=-

6,4,若點(diǎn)A、8、C、0都在球。的表面上，則球。的表面積為

【正確答案】12兀

【分析】過點(diǎn)A在平面"CO內(nèi)作垂足點(diǎn)為〃，取線段CD的中點(diǎn)°,連接°幺、

0B,分析可知，三棱錐4―8CZ)的外接球的球心。為。C中點(diǎn)，設(shè)球0的半徑為火，利

用錐體的體積公式可求出R的值，結(jié)合球體的表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】過點(diǎn)A在平面/CO內(nèi)作作NX^DC,垂足點(diǎn)為X,

取線段C。的中點(diǎn)°,連接°幺、0B,如下圖所示：

0A=OB,CD=OC=OD

因?yàn)镹CJ_N。，BC1BD,則2

所以，三棱錐”―BCD的外接球的球心。為℃中點(diǎn)，

因?yàn)槠矫?CD,平面BCD,平面ZCDPl平面8c￡>=CZ),AHVDC

ZHu平面/C。，則平面BCD,

設(shè)球。的半徑為R,則0c=2R,

兀兀

又NACD-6,/BCD4,所以，DB=CB=6R,AD=R,AC=6R,

ADxACV37?26八

所以，DC2R2,

所以，三棱錐4—BCD的體積為

-x-xDBxCBxAH=-X-XS/2RX42RX—R=—R3=-

3232262,

解得氏=百，因此，球。的表面積為4兀A?=12兀.

故答案為.12兀

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

15.已知點(diǎn)幺（-1'2）,8（T°）,點(diǎn)/關(guān)于直線f+l=。的對(duì)稱點(diǎn)為c.

（1）求V48c的外接圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過點(diǎn)"0'3）的直線/被圓￡截得的弦長為2,求直線/的方程.

［正確答案］（1）/+（了_1）2=2

⑵x=l或以一W+9=0

【分析】（1）先利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱求得點(diǎn)0的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得圓的一般方程,

從而配方得解；

（2）利用圓的弦長公式求得圓心E到直線/的距離，再分類討論直線/斜率存在與否，利用

點(diǎn)線距離公式列式即可得解.

【小問1詳解】

依題意，設(shè)點(diǎn)C（x/）,

因?yàn)辄c(diǎn)'（T'2）與點(diǎn)C（x/）關(guān)于直線x->+1=°對(duì)稱,

匕=一1

x+1

‘旦山+1=0X=1

，解得h=°,故"，°）,

所以〔22

設(shè)V4BC的外接圓E的一般方程為/+V+mE=°(加+爐-4Q°),

(-l)2+22-D+2^+F=0

<(-1)2+02-￡>+7?=0

l2+02+Z)+F=0

則〔

則圓E的一般方程為/+/_2y_l=0,

所以圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程為-+3TA=2

【小問2詳解】

由⑴知，圓E的圓心為“（°」），半徑為「=行,

因?yàn)橹本€1被圓E截得的弦長為2,

所以圓心￡到直線/的距離為d=萬=萬斤=1,

當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，直線/方程為x=l,易知滿足題意；

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為了一3=無（》一1）,即丘一、一4+3=0,

d上k=>

則，解得4,

3

y-3=—（X-1）

此時(shí)/的方程為4,即3x—4y+9=0

綜上，所求直線/的方程為》=1或3x-4y+9=0.

sin4—sin3_sinC

16.記V/BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b+ca+b.

(1)求A；

——s=@

⑵若BD=4CD,AC=52,求5c.

.2兀

A——

【正確答案】(1)3

(2)5C=V21

【分析】(1)由已知，利用正弦定理可得利用余弦定理可求得2

即可求得A；

A△ABC=35△.ADCc__

(2)由Bond。。，可得2,利用三角形的面積公式可求得

AB=2出,再利用余弦定理即可求得.

【小問1詳解】

sin/一sin5sinCa-bc

由b+ca+b及正弦定理得b+ca+b

22

整理得=b+c+bef

b1^-c2-a2-be1

cosA=

又由余弦定理的推論得,2bc2bc2

【小問2詳解】

由麗=4函,2,得

-AC-AB-smZBAC=-x^xABx—=^-

即2222,可得/

由余弦定理可得，BC2—AB2+AC2—2AB-AC-cosABAC

=12+3-2x2V3xV3x

,即8C=收

17.已知等差數(shù)列｛“〃｝的公差且為",%,%,生成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)"。；+4〃一2求數(shù)列｛〃｝前〃項(xiàng)和為S“；

(3)設(shè)%=3"an求數(shù)列｛'"｝的前項(xiàng)和北.

【正確答案】(1)%=2〃—1

S=-^—

(2)"2?+1

⑶73+("1>3用

【分析】（1）根據(jù)題意得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式;

（2）變形得到"212〃-12〃+1人裂項(xiàng)相消法求和;

（3）利用錯(cuò)位相減法求和即可.

【小問1詳解】

根據(jù)題意，因?yàn)榈?5,%,電，生成等比數(shù)列,

%+2d=5

所以［（。1+.）2=%（q+4"）,又dwO,

解得4=1,4=2,

a=1+2(?-1)=2?-1

故n

【小問2詳解】

D—-------=-----------

+4孔一2(2n-l)2+4/7-2

為v7

1二1J]1______

4722-1(2n-l)(2n+l)2(2〃-12n+lJ

1

所以2/2+1

=Ui1)二〃

2(2/z+1J2〃+l.

【小問3詳解】

.0”=%,3"=(2"一1>3"

2n1n

A7；i=C1+C2+--+C?_1+C?=l-3+3-3+--+（2?-3）-3-+（2?-l）-3CD；

37；,=1-32+3-33+---+（2M-3）-3H+（2W-1）-3,,+*

???①-②得

23H+1

-2Tn=3+2（3+3+---+3）-（2?-1）-3"

9（1-3"-'）

x

=3+2—~3~（2?-1）-3"M

=2（l-/7）-3,,+1-6

.7；=3+（〃-1）3向

,?.

18.已知矩形/BCD中，AB=4,BC=2,E是CD的中點(diǎn)，如圖所示，沿5E將

△BCE翻折至ABFE,使得平面ABFE1平面ABCD

（1）證明：BFLAE.

（2）已知在線段8。上存在點(diǎn)尸（點(diǎn)尸與點(diǎn)B,0均不重合），使得P廠與平面DM所成

V6

的角的正弦值是3.

DP

①求DB的值；

②求點(diǎn)尸到平面DEE的距離.

【正確答案】（1）證明見解析

3

（2）①4；②2

【分析】（1）應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得出線面垂直進(jìn)而得出線線垂直;

（2）①先建立空間直角坐標(biāo)系由線面角的正弦值即可求出比值；

②由空間向量法計(jì)算點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

因?yàn)閆3CQ矩形，4B=4,BC=2,E是CD中點(diǎn)，所以幺￡=8￡=2/,

又48=4,所以幺爐+臺(tái)6=&g2,所以ZE，

因?yàn)槠矫?石尸_L平面48C。，平面REFI平面45cz)=8￡,/石匚平面幺白”，

所以平面8E7"又8/u平面HER,

所以BF~L4E.

【小問2詳解】

(1)以°為原點(diǎn)，CD所在直線為x軸，C5所在直線為7軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)

畫C（0,0,0）￡＞（4,0,0）5（0,2,0）￡（2,0,0）D5=（-4,2,0）DE=（-2,0,0）

火（JJ9,9,

設(shè)N是的中點(diǎn)，因?yàn)镕E=FB,所以FNLBE,

又平面班尸_L平面45CD,平面BEFI平面45c。=BE,EVu平面43cZ),

所以句V,平面/BCD,R(U女)所以叱=(-3/，O,

設(shè)麗則。尸=幾。5(0<4<1),

所以則加=(-4卬，0),

則方=Y礪+礪=3—3,1一24行)

設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為〃=(%Nz),

n-DE=-2x=0

n-DF=—3x+y+V2z=0

則

令丫=歷，可得x=0,z=-l,

n=（0,V2,-l）

即\z'為平面DER的一個(gè)法向量,

設(shè)PF與平面DEF所成的角為<,

|V2（l-22）-V2|

PF-n

sin6）=cos（PF,5V6

PFiiV

所以

解Ji

（4=1舍去）,

DP3

所以08的值為4.

?一I

，阿臼2

d~--------------'------V-6--

所以點(diǎn)尸到平面DE尸的距離同62.

1C口上門將/（x）=e*"n"—sinxxe（0,+oo）

19.已知函數(shù),v7,v7.

（1）當(dāng)a=e時(shí)，求卜=/（》）在（°，/（°））處的切線方程；

（2）若（/（"））一（/（"））+'（1+/&）?0恒成立，求°的范圍；

兀

（3）若/（X）在（°，兀）內(nèi)有兩個(gè)不同零點(diǎn)七，%,求證.5

【正確答案］（1）y=（eT-l）x+eT

_Tt

（2）0<a<V2e^

（3）證明見解析

【分析】（1）求導(dǎo)，即可求解斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程,

⑵構(gòu)造函數(shù)g（'）='j+ln（l+。，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性可得/（"）=""Tin%20

進(jìn)而卜罷,構(gòu)造函數(shù)笠”sinx

e,求導(dǎo)判斷單調(diào)性，即可求解最值得解.

丸(X)在

(3)根據(jù)單調(diào)遞減.證明即可求證％+%＜兀，構(gòu)造函

tanx

71左G)=-"5——2tanx

2

數(shù)e以及cosx,利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可求證.

【小問1詳解】

a=e,f(x)=ex-1-sinx,f\x)=ex-1-cosx

貝J，(07」，/(0)=e-'

故切線方程為V_eT=(e-1—l)x,即y=(e^-l)x+eT,

【小問2詳解】

(/?-(/(x))2+ln(l+/(%))>

令y(x)=Z,/_/+in(l+/)20

一+/一。

g?)二-一/+ln(l+'),g'，)=3/-2/+—^—=322/+13+("1)2

令t+1t+1

當(dāng)摩o,g'Oo,g。)在(o,+°0)單調(diào)遞增,且g(o)=o,

當(dāng)-1</<0時(shí)，g(O=^3-^2+in(i+^)=r2(r-i)+ln(i+r)<o

6v7解集為11J,

e*、?1siru

故"x)=°i-sin^0,(x>0),進(jìn)而丁石眸即二

ex

V2s:mx+型

I4

令"》)=學(xué)〃'(x)=cosx-sinx

e*ex

,715兀

xe[0,^-j,/z(x)>0,h(x)xe