六盤水市2024-2025學年度第一學期期末質量監測高二年級數學試題卷（考試時長：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1.答題前，務必在答題卡上填寫姓名和準考證號等相關信息并貼好條形碼.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試題卷上無效.3.考試結束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.下列特征數中，刻畫一組數據離散程度的是（）A.平均數 B.中位數 C.眾數 D.方差【答案】D【解析】【分析】利用數字特征的含義求解即可.【詳解】平均數、中位數、眾數是描述一組數據集中趨勢的量，方差是衡量一組數據偏離其平均數的大小的量，即刻畫一組數據離散程度.故選：D.2.已知復數，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】由復數模計算公式可得答案.【詳解】因，則.故選：C3.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合A，然后由交集運算可得.【詳解】因為，所以.故選：B4.已知空間向量，，若，則實數的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據條件，利用空間向量垂直的坐標表示，即可求解.【詳解】因為，，又，所以，解得，故選：D.5.如圖，①②③④不可能是函數或（其中且）的部分圖象的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】【分析】分析指數函數和對數函數的特征，得到答案.【詳解】指數函數（其中且）恒過點，且與軸無交點，當時，單調遞增，當時，單調遞減；對數函數（其中且）恒過點，與軸無交點，當時，單調遞增，當時，單調遞減；可以看出②過點，與軸有交點，不合要求，其他均滿足要求.故選：B6.直三棱柱中，，，點是的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據條件，建立空間直角坐標系，求出，再利用線線角的向量法，即可求解.【詳解】由題可建立，以為坐標原點的空間直角坐標系，如圖所示，因為，點是的中點，所以，則，設直線與所成的角為，則，故選：C.7.已知直線被圓截得的弦長為，則（）A.或3 B.2 C.或5 D.4【答案】C【解析】【分析】由題可得到圓心距離，由點到直線距離公式可得答案.【詳解】，則圓心坐標為：，半徑為4.又因弦長為，則圓心到弦距離滿足.則由點到直線距離公式可得：或.故選：C8.“環境就是民生，青山就是美麗，藍天就是幸福”，隨著經濟的發展和社會的進步，人們的環保意識日益增強.某化工廠產生的廢氣中污染物的含量為，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會減少30%，當地環保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過，若要使該工廠排放的廢氣達標，那么廢氣排放前需要過濾的次數至少為（）（參考數據：，）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】由題意得到不等式，解不等式，求出答案.【詳解】當過濾的次數為時，廢氣中該污染物的含量為，故，即，兩邊取對數得，即，解得，故廢氣排放前需要過濾的次數至少為5次.故選：D二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列命題中正確是（）A.若，則 B.若，則C.， D.“”是“”的充要條件【答案】BC【解析】【分析】A選項，舉出反例得到A錯誤；B選項，由基本不等式求出最小值；C選項，舉出實例；D選項，，則，必要性不成立，D錯誤.【詳解】A選項，若，滿足若，但，，A錯誤；B選項，若，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，B正確；C選項，當時，，故，，C正確；D選項，，充分性成立，，則，必要性不成立，D錯誤.故選：BC10.函數的部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數是奇函數C.函數在區間上單調遞增D.函數的圖象的對稱軸方程為，【答案】ABC【解析】【分析】對于A，由圖可得的最小正周期，即可判斷選項正誤；對于B，由A分析驗證奇偶性即可判斷選項正誤；對于C，令，由，可得所對應區間A，由在A上的單調性可判斷選項正誤；對于D，由與圖象關系可判斷選項正誤.【詳解】對于A，由圖可得的最小正周期為，則，故A正確.對于B，由A分析，，則為奇函數，故B正確；對于C，因，則，因在上單調遞增，則函數在區間上單調遞增，故C正確；對于D，圖象相當于將圖象在x軸下方的部分圖象沿x軸向上翻折后得到的圖形，則除了原來的對稱軸外，過與x軸交點且與x軸垂直的直線也變為了對稱軸，則的對稱軸滿足：或，得對稱軸方程為：或，即，故D錯誤.故選：ABC11.曲線（且）的兩個焦點為，，過焦點且不垂直于坐標軸的直線交于兩點，則（）A.當時，的漸近線方程為B.當時，的周長為C.若存在最大值為，則的離心率為D.當時，若弦的垂直平分線過點，則【答案】BCD【解析】【分析】對于A，根據選項條件，直接求出漸近線方程，即可求解；對于B，根據選項條件，利用橢圓的定義，即可求解；對于C，分和兩種情況討論，當，利用雙曲線定義知，不合題意，當時，利用橢圓的定義及基本不等式，即可求解；對于D，利用雙曲線的定義及垂直平分線的性質，即可求解.【詳解】對于選項A，當，曲線，其漸近線方程為，所以選項A錯誤，對于選項B，當時，曲線，則，易知的周長為，所以選項B正確，對于選項C，當時，曲線是雙曲線，焦點在上，設，，則，又，得到，所以，當在左支上時，，，則，此時無最大值，不合題意，當在右支上時，，，則，此時無最大值，不合題意，當時，曲線表示橢圓，又，當且僅當取等號，所以，得到，所以的離心率為，故選項C正確，對于選項D，當時，曲線表示雙曲線，且焦點在軸上，，因為弦的垂直平分線過點，則，且在兩支上，不妨設在左支上，則①，②，由①②得到，所以選項D正確，故選：BCD.【點晴】方法點晴：在橢圓與雙曲線中，涉及跟焦點有關的問題，常用定義來解決.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知，則______.【答案】##0.625【解析】【分析】利用余弦二倍角公式得到答案.【詳解】.故答案為：13.已知拋物線的焦點為F，點在拋物線上，若，則______.【答案】或【解析】【分析】由拋物線定義結合題意可得答案.【詳解】因點在拋物線上，則，又拋物線準線為，，由拋物線定義可得或.則或故答案：或14.已知某圓臺的母線長為13，一個半徑為6的球恰好與此圓臺的各個面均相切，則這個圓臺的體積為______.【答案】【解析】【分析】作出輔助線，根據條件，得到方程，求出上下底面的半徑，從而利用臺體體積公式求出答案.【詳解】如圖，球內切于圓臺，故與上下底面的切點為，與側面切于點，則，，設，則①，過點作⊥于點，則，，由勾股定理得，又，故②，由①②得，所以圓臺的上底面面積為，下底面面積為，圓臺的高為，故圓臺的體積為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.為了解某學校的學生周末對體育頻道的觀看情況，從觀看了體育頻道的學生中隨機抽取100名進行調查，發現他們的觀看時長都在40~100分鐘之間，據此繪制出學生觀看體育頻道所用時長的頻率分布直方圖如下.（1）求頻率分布直方圖中x的值；（2）為了解學生對體育頻道的喜好程度，用按比例分配的分層抽樣方法從觀看時長在內的學生中抽取5人作進一步分析，再從這5人中隨機抽取2人進行訪談，求這2人的觀看時長在內的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由每個矩形對應頻率之和為1可得答案；（2）由列舉法可得答案.【小問1詳解】由題【小問2詳解】由（1）可知觀看時長在內對應頻率為，內對應頻率為.則5人中，觀看時長在內的有，設為，在內的有2人，設為.則從5人中隨機抽取2人的情況有：共10種，其中2人的觀看時長在內的情況有3種，則所求概率為.16.如圖，在中，，，.（1）求；（2）若，求點C到直線BD的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題及余弦定理可得AC，然后再由正弦定理可得答案；（2）由題可得三角形面積，根據結合向量知識可得BD長度，最后由三角形BDC面積為三角形ABD面積2倍可得答案.【小問1詳解】因，，，由余弦定理，，則.又由正弦定理，，結合，則.【小問2詳解】由（1），又，則，得，則，又由，可得，設點C到直線BD的距離為h，則.17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD，，，，，，M是線段BD上的動點.（1）求證：；（2）設直線PM與平面ABCD所成的角為，求的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）通過證明平面PAD可完成證明；（2）過A點做平面ABCD的垂線，建立以A原點的空間直角坐標系，設，由空間向量知識可得關于的表達式，即可得答案.【小問1詳解】因平面平面ABCD，，平面平面ABCD，平面ABCD，則平面PAD，又平面PAD，則；【小問2詳解】由（1）可得平面PAD，過A做AD的垂線，設垂線交PD為E，連接AE，則AB，AD，AE兩兩垂直.如圖建立以A為原點的空間直角坐標系，由題目數據可得：.設，其中，則，又，，則.由題可得平面ABCD的法向量可取，則，則當時，取最小值，則.即的最大值為.18.已知直線與相交于點，且.（1）求點的軌跡的方程；（2）若直線與交于兩點，以線段為直徑的圓經過坐標原點.（ⅰ）證明：直線與圓相切；（ⅱ）求面積的最小值.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）根據條件得到和，再結合，即可求解；（2）（i）當當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯立曲線方程，通過消得到，從而得到，結合條件得到，再利用直線與圓的位置關系，即可求解；（ii）利用弦長公式，結合（i）中結果，得到，令，得到，利用基本不等式，即可求解.【小問1詳解】當時，由，得到，當時，由，得到，又，得到，整理得到，當時，，滿足，所以點的軌跡的方程為.【小問2詳解】（ⅰ）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，由，消得到，則，且，又，因為以線段為直徑的圓經過坐標原點，則，得到，所以，即，整理得到，又原點到直線的距離為，此時直線與圓相切，當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，由，得到，只有一個交點，不合題意，綜上，直線與圓相切.（ⅱ）因為，由（ⅰ）可得，又，得到，所以面積為，令，則，所以，當且僅當，即或（舍）時取等號，所以面積的最小值為.【點晴】關鍵點點晴，本題的關鍵在于第（2）中的（i）問，利用韋達定理，結合條件得到，再利用間的關系，結合條件，即可求解.19.已知函數.（1）證明：函數在區間上單調遞減；（2）在如圖的坐標系中畫出函數的大致圖象，并求方程的所有實數根之和；（3）求不等式的解集的區間長度之和.附：①區間的長度為；②若關于x的方程有n個實數根為，，…，，則.【答案】（1）證明見解析；（2）圖像見解析；9；（3）2025.【解析】【分析】（1）由單調性定義可完成證明；（2）分析的單調性及零點情況可畫出大致圖像，將分式方程通分，可得方程的根，即為的根，其中為將分式方程通分后的分子，結合附②可得答案；（3）類比（1）（2）可得的解集為：，其中為方程的根，然后類似于（2）結合附①可得答案.【小問1詳解】取任意，，則，因，，則，得，則函數在區間上單調遞減；【小問2詳解】由題，其定義域為，則在遞減，又注意到，，，則在上各有一個零點，據此可得大致圖像如下：，將該式通分，設分子部分為，則，則方程的根，即為的根.設，則，由兩部分構成，第一部分為中的2次項系數，為，第二部分為中的2次項系數，設為m.令，可得方程對應3根為.又易知該式展開式3次項系數為，3根之和為6，則由附②可得，即.則由附②可得所有實數根的和為：，即方程的所有實數根之和為.【小問3詳解】由（1）（2）類比可知，在上單調遞減，在上各有一個零點，