2024-2025學年高一下學期第一次月考填空題壓軸題十五大題型專練【人教A版（2019）】題型1題型1相等向量與共線向量1．（24-25高一·全國·課后作業）如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點和中心為始點和終點的向量中，與向量OA相等的向量有3個.

【解題思路】根據相等向量的定義及正六邊形的性質即可求解.【解答過程】根據正六邊形的性質和相等向量的定義知，與向量OA相等的向量有DO，CB，EF，共3個.故答案為：3.2．（24-25高一下·全國·課后作業）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，對角線AC，BD交于點O，過點O作MN//AB，交AD于點M，交BC于點N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點或終點的所有有向線段表示的向量中，相等向量有2對.

【解題思路】根據等腰梯形的性質結合已知條件，可推得OM=ON，即可得出答案.【解答過程】由題意CD∥AB可知，△OCD∽△OAB，所以OCOA=OD因為MN//AB，所以OCAC=ON所以，ONAB=OM又M，O，N三點共線，所以OM=NO，故答案為：2.3．（24-25高一·全國·課后作業）如圖所示，在△ABC中，D,E,F分別為AB,AC,BC的中點．圖中與DE相等的向量為BF,FC【解題思路】根據相等向量的定義判斷.【解答過程】由幾何性質，DE，BF平行且相等，DE，FC平行且相等，所以DE=故答案為：BF,4．（24-25高一·全國·課后作業）如圖，四邊形ABCD和ABDE都是邊長為1的菱形，已知下列說法:①AE，②AB∥DE，DE∥③與AB相等的向量有3個；④與AE共線的向量有3個⑤與向量DC大小相等、方向相反的向量為DE，其中正確的是①②④⑤.(填序號)【解題思路】根據平面向量的概念幾何平面圖形的性質逐個分析即可求出結果.【解答過程】①由兩菱形的邊長都為1，故①正確；②正確；③與AB相等的向量是ED，DC，故③錯誤；④與AE共線的向量是E故答案為：①②④⑤.題型2題型2向量線性運算的幾何應用5．（23-24高一下·江蘇·階段練習）已知△ABC所在平面內一點D滿足DA+DB5．【解題思路】取AB的中點F，則CD=【解答過程】如圖，取AB的中點F，則DA+故CD=4DF，故C、D故S△ABC

故答案為：5.6．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習）已知S△ABC=3，點M是△ABC內一點且MA+2MB=CM，則【解題思路】取AC的中點D，根據平面向量的線性運算判斷出點M的位置，進而可得出答案.【解答過程】取AC的中點D，因為MA+2MB=CM，所以即MD=BM，所以點M為所以S△MBC故答案為：347．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習）如圖所示，在△ABC中，點D為BC邊上一點，且BD=2DC，過點D的直線EF與直線AB相交于E點，與直線AC相交于F點（E，F交兩點不重合）.若AE=λAB，AF=μAC，則【解題思路】先用AB,AC表示AD，利用已知代入表達式，結合D，E，F三點共線可得【解答過程】因為BD=2DC，所以所以AD=又AE=λAB，所以AB=所以AD=因為D，E，F三點共線，所以13λ+2故λ+μ=λ+μ當且僅當μ3λ=2λ3μ，結合即λ+μ的最小值為1+2故答案為：1+28．（23-24高一下·山西·期中）在四邊形ABCD中，BC=2AD，點P是四邊形ABCD所在平面上一點，滿足PA+10PB+PC+10PD=0.設s,t【解題思路】設出梯形ABCD兩底的長，取AB，CD，BD，AC的中點M，N，X，Y，并探討它們的關系，結合已知向量等式確定點P的位置并求出PX，再由三角形、梯形面積公式求解即得.【解答過程】在四邊形ABCD中，BC=2AD，則四邊形ABCD是梯形，且AD//BC，令AD=2，記M，N，X，Y分別是AB，CD，BD，AC的中點，顯然MX//AD,NY//AD,MN//AD，于是點M，X，Y，N順次共線并且MX=XY=YN=1，顯然PA+PC=2PY，PB+因此點P在線段XY上，且PX=111，設A到MN的距離為由面積公式可知ts故答案為：211題型3題型3向量的數量積問題9．（23-24高一下·江西新余·階段練習）向量a，b滿足a=2，b=3，a+b=5，那么【解題思路】利用向量的模公式即可求解.【解答過程】由a+b=5，得a因為a=2，b所以a2=a代入（*）式得4+2a?b故答案為：6.10．（24-25高一上·河北保定·期中）在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，BM=λBC，CN=2NA，若AM?BN=?6【解題思路】用AB、AC作為一組基地表示出AM、BN，再由數量積的運算律計算可得.【解答過程】因為BM=λBC，所以又CN=2NA，所以則BN=又AB=2，AC=3，∠BAC=60°，所以AC?所以AM=?1?λAB又AM?BN=?6，即3λ?3=?6故答案為：?1.11．（23-24高一下·上海·期末）在平面內，若有a=2，b=a?b=4，c?【解題思路】根據題意，得到cosa,b=12，所以a,b=π3，作OA=a,OB=b，則∠AOB=π3，連接AB，取AB的中點D，連接OD，作OC【解答過程】由向量a=2，b=a可得cosa,b如圖所示，作OA=a,OB=連接AB，取AB的中點D，連接OD，則OD=因為c?a?2c作OC=c，連接AC,CD，則AC=所以點C在以AD為直徑的圓上，所以當C運動到圓的最右側時，OC在OB上的投影最大，此時c?由OG=OA?因為△BEH∽△BAG，且AE=14所以OC在OB上的最大投影為1+3所以c?故答案為：7+2312．（23-24高一下·上海松江·期末）如圖，直徑AB=4的半圓，D為圓心，點C在半圓弧上，∠ADC=π4，線段AC上有動點P，則DP?BA的最小值為【解題思路】先分別過C、P作CG⊥BA、PE⊥BA交BA于點G和E，求出DG，設BA,DP=θ，接著根據數量積定義以及題中所給條件求得DP【解答過程】分別過C、P作CG⊥BA交BA于點G，作PE⊥BA交BA于點E，則DG=設BA,DP=θ由題可知DG≤DE≤所以42≤DP?BA故答案為：42題型4題型4向量的夾角（夾角的余弦值）問題13．（23-24高一下·云南德宏·期中）已知a，b為單位向量，且a⊥b，若c=3a?【解題思路】根據兩個向量夾角的余弦公式求得結果.【解答過程】根據題意知a，b為單位向量，且a⊥b，若所以a=1，b=1，c=則cosa,c故答案為：π614．（23-24高一下·四川涼山·期末）已知a為非零向量，若向量b在a上的投影向量為a，則cos3a+b,【解題思路】由投影向量定義得b?a|【解答過程】由已知可得b?a|而3a易知cos=3ab2當且僅當15即t=15時，等號成立，即最小值為故答案為：4515．（23-24高一下·天津靜海·階段練習）已知向量a=22，b=4，且(2a+b)?b=32【解題思路】利用向量數量積的運算公式求解即可.【解答過程】設向量a與b的夾角為θ，因為(2a所以2×22所以cosθ=因為0°≤θ≤180故答案為：45°16．（23-24高一下·江蘇·階段練習）在任意四邊形ABCD中，點E，F分別在線段AD，BC上，且AE=13AD，BF=13BC，AB=2，CD=6，EF=3，則AB與【解題思路】由EF=EA+AB+【解答過程】由EF=EA+又EF=由①+②可得3EF故DC2=9EF2+4AB2則36=81+16?12×3×2cosθ，解得故答案為：6172題型5題型5平面向量基本定理的應用17．（23-24高一下·上海金山·階段練習）在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上靠近點B的三等分點，AE=λAB+μAD，則λμ的值為【解題思路】畫出圖形，由向量的加法結合平面向量的基本定理計算即可；【解答過程】如圖，∵在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上靠近點B的三等分點，

∴AE=AB+∴根據平面向量基本定理得，λ=1,μ=1λμ=1故答案為：1318．（24-25高一下·黑龍江·階段練習）如圖所示，在正方形ABCD中，點E為BC的中點，點F為CD上靠近點C的四等分點，點G為AE上靠近點A的三等分點，則向量FG用AB與AD表示為FG=?5【解題思路】根據平面向量的基本定理結合線性運算求解.【解答過程】由題意可得：AE=所以FG=故答案為：FG=?19．（23-24高一下·甘肅白銀·期末）趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間一個小正方形組成）.類比“趙爽弦圖”，可構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設AD=λAB+μAC（λ，μ∈R），若DF=2AF【解題思路】因為大三角形是等邊三角形，所以可以通過建系的方法進行求解.【解答過程】不妨設AF=1，則AD=3，如圖，由題可知∠ADB=2π由AB得AB=13，所以AC=13，所以B13,0，又BDsin∠BAD=ABsin所以DADcos∠BAD,AD所以AD=211326,因為AD=λAB+μ解得λ=913μ=故答案為：3.20．（23-24高一下·廣西·階段練習）已知D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點，線段BE和CD相交于點P，若AD=3DB，DP=λPC，CE=μEA，其中λ>0,μ>0．則【解題思路】利用平面向量基本定理得到AP=11+λ?34AB【解答過程】如圖所示：因為AD=3DB又DP=λPCCE=μEAAP=AD∵B,P,E三點共線，∴341+λ∴1λ+2μ≥22故答案為：42題型6題型6\o"平面向量線性運算的坐標表示"\t"/gzsx/zj168404/_blank"平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示21．（23-24高一下·遼寧葫蘆島·開學考試）已知點A(?1,1),B(3,2),D(0,5)，若BC=3AD，AC與BD交于點M，則點M的坐標為3【解題思路】設Cx,y,Mx1,y1，利用BC【解答過程】結合題意：設Cx,y,Mx1,由BC=3AD，可得：x?3,y?2=31,4，解得因為BC=3AD，所以△DMA～△BMC所以AM=14AC，即即點M的坐標為34故答案為：3422．（23-24高一下·上海·期中）如圖所示，⊙O是正六邊形A1A2A3A4A5A6的外接圓，若點P【解題思路】建立平面直角坐標系，設Px,y，寫出相關向量得到方程組，解出λ,μ，則得到λ+μ【解答過程】如圖，以直線A6A3為x軸，線段A則A1?1,?3,A則A1A因為A1P=λ即x+1,y+3則x+1=3λ?μy+3=則λ+μ=33y+1，因為故答案為：2323．（23-24高一下·河北滄州·階段練習）已知A2,4,B?4,6，若AC=3【解題思路】根據平面向量線性運算的坐標表示進行計算即可.【解答過程】因為A2,4所以AB=?6,2則AC=又AD=則CD=故答案為：11,?1124．（23-24高一下·北京豐臺·期末）根據畢達哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊作出的正方形面積之和.現在對直角三角形CDE按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形.若AF=xAB+yAD，則x+y=【解題思路】建立平面直角坐標系，標出各個點的坐標，利用平面向量的坐標運算即可得解.【解答過程】如圖，以A為原點，分別以AB,AD為設正方形ABCD的邊長為2a，則正方形DEHI的邊長為3a，正方形EFGC邊長為可知A0,0，B2a,0，D則xF=3+1又AF=xAB即2ax=3+32a故答案為：4+3題型7題型7向量共線、垂直的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示25．（2024·全國·模擬預測）已知向量a=?1,2,b=x,6，若a【解題思路】根據向量線性運算的坐標表示，及向量平行的坐標表示進行計算即可.【解答過程】由題意得a?22a又a?2所以?10?2?x解得x=?3．故答案為：?3.26．（23-24高一下·河北滄州·期中）已知向量a=1,1，b=1,m．若?λ∈0,+∞，a【解題思路】根據a+λb⊥a?1λb可得：【解答過程】因為a+λb⊥因為a→a?由1+λ,1+λm?1?1λ,1?mλ=0因為上式對任意λ∈0,+∞都成立，所以1+m=0?故答案為：?1.27．（23-24高一下·天津濱海新·階段練習）已知向量AB=?1,2，AC=2,3，AD=m,?3，若B，C，D【解題思路】根據題意求BC,【解答過程】由題意可得：BC若B，C，D三點共線，可知BC//則m+1=?15，解得m=?16.故答案為：?16.28．（23-24高三上·北京西城·階段練習）已知向量a=2,4,b=1,0【解題思路】根據向量的坐標運算與垂直關系的坐標表示求解即可.【解答過程】a→故答案為：2.題型8題型8用向量解決夾角、線段的長度問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示29．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點，F是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于點M，則∠DMF的余弦值為?210【解題思路】依題意建立平面直角坐標系，分別求出兩向量ED,【解答過程】以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系如圖，

因為正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點，F是BC邊上靠近點B的三等分點，設AB=a，則Ea2,0，Fa,a則ED=而∠DMF等于ED與AF所成的角．所以cos∠DMF=故答案為：?230．（24-25高一下·河北石家莊·階段練習）已知AB=a+b,AC=a?2b,|【解題思路】設D為BC的中點，則2AD【解答過程】設D為BC的中點，則2AD所以2AD所以4AD所以AD=故答案為：13231．（23-24高一下·山東聊城·期末）如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，M是BC的中點，AN=23AC，設AM與BN相交于點P

【解題思路】用AB和AC表示AM和BN，根據cos∠MPN=cos<AM,BN>以及【解答過程】因為M是BC的中點，所以AM=|AM|=12AB因為AN=23|BN|=23AC所以AM?BN=12AB+1所以cos∠MPN=cos<AM,BN故答案為：193832．（23-24高一下·山東濟寧·期中）已知兩點E,F分別是四邊形ABCD的邊AD,BC的中點，且AB=3，CD=2，∠ABC=45°，∠BCD=75°，則線段EF的長為是【解題思路】作AH//CD，交BC于點H，可知∠BAH=60°；利用向量線性運算可得到2EF【解答過程】作AH//CD，交BC于點H，則∴∠BAH=180°?∵EF=EA又EA=?ED，BF=?∴EF2=∴EF故答案為：192題型9題型9向量與幾何最值（范圍）問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示33．（23-24高三上·天津·期末）在梯形ABCD中，AB//CD,AB=BC=2,CD=1,∠BCD=120°,P、Q分別為線段BC和線段CD上的動點，且BP=λBC,DQ=12λ【解題思路】以點B為坐標原點，直線AB為x軸，過點B且垂直于直線AB的直線為y軸建立平面直角坐標系，利用平面向量數量積的坐標運算可得出DP?AQ關于λ的函數關系式，求出λ的取值范圍，利用對勾函數的單調性可求得【解答過程】以點B為坐標原點，直線AB為x軸，過點B且垂直于直線AB的直線為y軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，

則A?2,0、C?1,3、D?2,3由題意可得0≤λ≤10≤12λAQ=所以，DP?由對勾函數的單調性可知，函數fλ=1在12,33上單調遞減，且則23因此，DP?AQ的取值范圍是故答案為：2334．（23-24高一下·江蘇無錫·期末）點P是邊長為2的正三角形ABC的三條邊上任意一點，則|PA+PB+PC【解題思路】構建直角坐標系，設A(0,3),B(?1,0),C(1,0)且P(x,3【解答過程】不妨假設P在AB上且A(0,3所以，P在y=3(x+1)且?1≤x≤0，設則PA=(?x,?3x)，PB所以PA+故|PA當x=?12時，|PA故答案為：3.35．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）在2022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國?各地區代表團的91朵“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界，順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形ABCDEF.已知正六邊形的邊長為1，點P是其內部一點（包含邊界），則AP?FC的最大值是3【解題思路】由已知，作PP′⊥AB，由正六邊形的性質得AP?FC=2AP【解答過程】由已知，正六邊ABCDEF中，得AP?作PP′⊥AB要使AP?AB最大，必須讓所以AP?如圖可知，當P在C處時，AP′最大，從而此時|AP所以AP?FC故答案為：3.36．（23-24高一下·浙江金華·期末）已知非零向量AB與AC滿足ABAB+ACAC?BC=0，且AB?AC=22,AB【解題思路】根據向量的幾何意義得到∠BAC的平分線與BC垂直，并計算出AE=32，CB=2【解答過程】ABAB,ACAC分別表示AB與AC方向的單位向量，故又ABAB+ACAC?由三線合一得到AB=AC，取BC的中點E，因為AB?AC=

以E為坐標原點，BC所在直線為x軸，EA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則B2設D2?m,3m，則DB?當m=210時，DB?故答案為：?1題型10題型10\o"正、余弦定理判定三角形形狀"\t"/gzsx/zj168411/_blank"正、余弦定理判定三角形形狀

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示37．（24-25高一上·上海·課后作業）在△ABC中，c?acosB=(2a?b)cosA（a、b、c分別為角A、B、C的對邊），則【解題思路】根據給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式化簡推理即得.【解答過程】在△ABC中，c?acosB=(2a?b)cos而sinC=sin(A+B)=于是cosA(sinB?sinA)=0，則cosA=0或sinB=所以△ABC為等腰或直角三角形.故答案為：等腰或直角三角形.38．（23-24高一下·河南三門峽·期中）已知△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=b+ccosB+cosC【解題思路】由正弦定理以及兩角和的正弦公式整理可得cosA(sinC+【解答過程】由正弦定理以及a=b+ccosB+所以sin=sin化簡可得：cosA(因為0<B<π，0<C<π，所以sinB>0，sin因為0<A<π，所以A=π2故答案為：直角三角形.39．（24-25高一下·全國·課后作業）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2b=a+c，若4cos2B?8cosB+3=0【解題思路】先求出B的余弦值，再用余弦定理求出邊長關系，最后判斷三角形形狀即可.【解答過程】由4cos解得cosB=12∵B∈0,π，∴∵2b=a+c，∴b=a+c∴cosB=整理，得a2+c2?2ac=0∴△ABC為等邊三角形.故答案為：等邊三角形.40．（23-24高三上·山東青島·期中）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，給出以下命題：①若tanA+tanB+②若acosA=bcos③若bcosC+ccos④若acosA=以上命題中，所有真命題的序號為①③④．【解題思路】①利用切弦關系及三角恒等變換、三角形內角性質可得tanA+【解答過程】①tan=sinCcosAcosB所以A,B,C都為銳角，正確；②由正弦邊角關系：sinAcosA=sinB所以A=B或2A+2B=π（A+B=π2③由正弦邊角關系：sinBcosC+所以A=B，故△ABC為等腰三角形，正確；④由asinA=bsin且A,B,C∈(0,π)，故A=B=C，則故答案為：①③④.題型11題型11三角形（四邊形）的面積問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示41．（23-24高一下·四川遂寧·階段練習）在△ABC中，角A,B,C對應的邊分別為a,b,c，已知c=1,b>c,sinBsinC=210，且asin【解題思路】由正弦定理得a2?b2=2bc+c2，再結合余弦定理cosA=b2+c2【解答過程】因為asin在△ABC中，由正弦定理得a2?b由余弦定理得cosA=b2+c因為在△ABC中，由正弦定理asinA=所以sinBsinC=所以a2=b所以b=2或b=22（舍）所以△ABC故答案為：1242．（23-24高一下·江蘇常州·期末）已知在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2(a2+b2?c2【解題思路】先由已知條件結合余弦定理和sin2C+cos2C=1,C∈【解答過程】在△ABC中，由2(a2整理得sinC=22cosC，由而sin2C+cos由c=2及余弦定理，得4=a解得ab≤3，當且僅當a=b=3因此S△ABC=12ab故答案為：2.43．（23-24高一下·北京·期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=22，∠B=2∠D=2π3，記△ABC與△ACD的面積分別為S1，S2，則

【解題思路】根據余弦定理得BC2?AC2=?22【解答過程】在△ABC中，由余弦定理得cosB=即?12=在△ACD中，由余弦定理得cosD=即12=8+C又S1所以S2由②?①，得CD2?B得CD?BC=22，代入③得S故答案為：2344．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c，已知(2b?c)cosA?acosC=0，點D在邊BC上，AD是內角A的角平分線，且AD=3，則△ABC面積的最小值是【解題思路】利用正弦定理將邊化角，即可求出A，再由角平分線可得面積線段可得b，c的關系，再由基本不等式可得bc的最小值，進而求出該三角形面積的最小值．【解答過程】因為(2b?c)cos由正弦定理可得(2sin即2sin所以2sinBcos因為B∈(0,π)，則sinB>0而A∈(0,π)，則因為AD是內角A的角平分線，所以∠BAD=∠CAD=π因為S△ABC=S△ABD+可得3bc=3(b+c)因為b+c≥2bc，當且僅當b=c時，等號成立，即3所以bc≥12，所以△ABC的面積S△ABC=1所以該三角形的面積的最小值為33故答案為：33題型12題型12求\o"求三角形中的邊長或周長的最值或范圍"\t"/gzsx/zj168411/_blank"三角形中的邊長或周長的最值或范圍

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示45．（23-24高一下·四川瀘州·期中）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c=2,B=π3，則△ABC周長的取值范圍為(3+【解題思路】由正弦定理可以把a+b表示為角C的函數，由銳角三角形得出角C的取值范圍，進而可得a+b的取值范圍.【解答過程】在銳角△ABC中，c=2,B=π3，0<C<π2，由正弦定理，得a=csinA所a+b=3cosC+由π12<C2<π4因此1+3<a+b<1+32?3故答案為：(3+346．（23-24高三上·安徽淮南·階段練習）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若△ABC是銳角三角形且角A=2B，則ab的取值范圍為(2【解題思路】由正弦定理可以把邊的比值關系轉化為角B的關系，之后利用銳角三角形得到角B的范圍，之后求解即可.【解答過程】解：由正弦定理asinA=因為△ABC是銳角三角形，所以0<A<π20<B<π20<C<π所以22<cos所以ab的取值范圍為(故答案為：(247．（23-24高一下·福建莆田·階段練習）已知△ABC的外接圓O的半徑為733，AC的長為7,△ABC周長的最大值為【解題思路】根據給定條件，利用正弦定理求出角B，再利用余弦定理結合基本不等式求解即得.【解答過程】由△ABC的外接圓O的半徑為733且AC=7，得而0<B<π，則B=π3或B=當B=π3≥(AB+BC)2?3因此當AB=BC=7時，(AB+BC)max=14，當B=2π3≥(AB+BC)2?因此當AB=BC=73時，(AB+BC)max=14而143+7<21，所以故答案為：21.48．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）設銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若C=2A，則2c+ba的取值范圍是(22【解題思路】根據已知條件，利用正弦定理邊角互化結合三角恒等變換將目標式化為角A的函數關系，再求A的取值范圍，根據函數值域即可求得結果．【解答過程】因為C=2A，則sinC=sin2A=2又sinB=故由正弦定理可得：2c+ba=sin又△ABC為銳角三角形，故可得A∈(0,π解得A∈(π6,由于y=4cos2A+4當cosA=22故4cos即b+2ca故答案為：(22題型13題型13復數的模的幾何意義

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示49．（23-24高一下·上海·期末）已知復數z滿足z=1，則z?3+4i的取值范圍是4,6【解題思路】根據復數模的幾何意義，即可求得z?3+4i【解答過程】解：z=1表示zz?3+4i的幾何意義表示單位圓上的點和3,?4∴最小距離為32+?4∴z?3+4i的取值范圍為故答案為：4,6.50．（23-24高一下·湖南·期中）已知復數z滿足|z|≤2，且|z?1||z?i|=1，則復數【解題思路】根據給定條件，利用復數的幾何意義確定復數z對應點的軌跡得解.【解答過程】由|z|≤2，得在復平面內，復數z對應的點Z在以原點O為圓心，2為半徑的圓及內部，由|z?1||z?i|=1，得|z?1|=|z?i|，則點Z到即點Z在以(1,0),(0,1)為端點的線段的中垂線y=x上，因此點Z的軌跡是直線y=x在上述圓O及內部，顯然直線y=x過圓心，所以所求軌跡長度為4.故答案為：4.51．（23-24高一下·浙江紹興·階段練習）已知z∈C，且|z?i|=1，i為虛數單位，則z+3?5i的最大值是【解題思路】設z=x+yi(x,y∈R)，根據|z?i|=1得出【解答過程】設z=x+yi(x,y∈R)，由則x2+(y?1)2=1?而z+3?5i=(x+3)+(y?5)如圖所示，顯然最大距離是(?3,5)與圓心(0,1)的連線加上半徑長，即最大值為(?3?0)2故答案為：6.52．（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知三個復數z1,z2,z3，并且z1=z2=z3=1【解題思路】根據給定條件，以向量OZ1，OZ【解答過程】由OZ1?以向量OZ1，OZ

由z1=z2=1，得z1=1,z2由z3=1，得復數z3對應的點Z因此z1+z|ZZ3所以z1+z故答案為：[2題型14題型14根據復數的四則運算結果求復數特征

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示53．（23-24高一下·陜西寶雞·階段練習）已知復數z滿足z=2i1+i，則復數【解題思路】利用復數的除法運算化簡得到z=1+i【解答過程】因為z=2所以z=1?i，所以z在復平面對應的點為故答案為：第四象限.54．（23-24高三下·安徽·開學考試）若復