第1章函數與極限

1.1函數概念及其性質

1.2極限的概念

1.3無窮小量與無窮大量

1.4極限的運算法則

1.5兩個重要極限

1.6函數的連續性

本章小結

內容提要：函數是微積分研究的對象，極限是研究微積分的工具。本章首先復習中學已經學習過的函數及其性質的有關知識，進而給出基本初等函數與初等函數的定義。

然后重點研究極限的概念與性質及函數的連續性。

學習要求：了解函數、復合函數、分段函數等概念；復述無窮小與無窮大的概念、極限的運算法則、函數連續與間斷點的概念；熟悉復合函數的復合與分解，能用無窮小性質求極限、判斷無窮小與無窮大；能夠用極限的運算法則求極限，熟悉兩個重要極限以及其在求極限中的應用。

1.1函數概念及其性質1.1.1函數的概念

1.函數的定義定義1設x

和y

為兩個變量，

D為一個給定的數集.如果對每一個x∈D，按照一定的法則f，變量y

總有唯一確定的數值與之對應，就稱y為x

的函數，記為

y

=f(x

)，x

∈D其中數集D稱為該函數的定義域，記為D(f)，

x

叫做自變量，

y

叫做因變量。

對于確定的x

0

∈D，依法則f

的對應的值稱為函數y=f(x)在x=x0

時的函數值，記作

y0=yx=x0=f(x0)

函數值的集合M={yy

=f(x)，

x∈D}，

稱為函數y=f(x)的值域。

2.函數的兩個要素

函數的對應法則和定義域稱為函數的兩個要素。如果兩個函數的定義域與對應法則分別相同，則稱這兩個函數是同一函數。例如，

u=v2

與

s=t2

就是相同的函數，由此可以看出，函數與表示其變量的符號是無關的。

例1

設

f(x)=x2

-2x+3

,求

f(2)、f(x+1)

.

解函數的對應規律為

f(

)=(

)2

-2×(

)+3

所以

f

(2)=22-2×2+3=3

f

(x+1)=(x+1)2

-2(x

+1)+3=x2

+2

3.函數的表示法

函數通常可以用表格法、圖像法、解析法來表示,還可以用它們的綜合來表示.

(1)表格法:將自變量的值與對應的函數值列成表格表示兩個變量的函數關系的方法.如三角函數表、常用對數表以及經濟分析中的各種統計報表等.

(2)圖像法:用圖像表示兩個變量的函數關系的方法.如圖1－1所示例子即為圖像法的應用.

(3)解析法:用一個等式表示兩個變量的函數關系的方法.如y=2sinx

,y=2x3-lg(x

+5)等.圖1－1

4.函數定義域的求解方法

函數定義域的求解方法如下:

(1)根據實際問題的實際意義確定.

(2)抽象的函數解析式必須使其解析式有意義.通常應

該考慮:分式中分母不能為零;偶次根式的被開方數非負;對數中真數表達式大于零;反三角函數,例如arcsinx

,arccosx

,要滿足{x||x

|≤1};多個函數代數和的定義域應是各

項函數定義域的公共部分等等.

5.反函數

定義2設函數的定義域為Df，值域為Vf

。

對于任意的y∈V

f，

在Df上至少可以確定一個x

與y

對應，且滿足y=f(x)。

如果把y

看做自變量，

x

看做因變量，就可以得到一個新的函數：

x=f-1(y

)。

我們稱這個新的函數x=f-1(y

)為函數y=f(x)的反函數，而把函數y=f

(x

)稱為直接函數。

反函數x=f

-1(y)與y=f

-1(x)，這兩種形式都可能用到。

應當說明的是函數y

=f(x)與它的反函數x=f

-1(y)具有相同的圖形。而直接函數y

=f

(x)與反函數y=f

-1(x)的圖形是關于直線y=x

對稱的，如圖1－2所示。圖1－2

1.1.2函數的幾種特性

1.奇偶性

定義3設函數f

(x)的定義域D

關于原點對稱,對于任意一個x∈D,都有f(-x

)=-

f(x),則稱f(x)為奇函數;若有f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數.奇函數的圖形關于原點對稱;偶函數的圖形關于y軸對稱.如圖1－3所示.圖1－3

例如:f(x)=x2

是偶函數，因為f

(-x)=(-x)2=x2=f(x)；又如f(x)=x3

是奇函數，因為f

(-x)=(-x)3

=-x3=-f(x)；函數y=sinx

是奇函數，

y=cosx

是偶函數；

函數y=sinx

+cosx

既非奇函數，也非偶函數，稱為非奇非偶函數。

2.函數的周期性

定義4設函數f(x)的定義域為D

。

若存在不為零的數T

使得對于任意的x

∈D，都有x±T∈D

，且

f(x+T)=f(x

)

恒成立，則稱f

(x)為周期函數，其中T

叫做函數的周期。通常周期函數的周期是指它的最小正周期。

例如，

y=sinx

，y

=cosx

都是以2π

為周期的周期函數，y

=tanx

，

y=cotx

都是以π為周期的周期函數。周期函數的圖形是按照周期重復出現的，參見附錄Ⅱ。

3.函數的單調性

定義5設函數f

(x)的定義域為D

，(a,b)?D

，任取x1

、x2

∈(a,b

)，且x1

<x2

，恒有

f(x1

)<f

(x2

)

則稱函數f

(x)在(a,b)內是單調增加的，如圖1－4(a)所示。

如果任x1

、x2

∈(a,b

)，且x1

<x2

，恒有

f(x1)>f(x2)

則稱函數f(x)在(a,b)內是單調減少的,如圖1－4(b)所示.單調增加和單調減少的函數統稱為單調函數.圖1－4

例如,函數f(x)=x2

在區間[0,+∞)內是單調增加的,在區間(-∞,0]內是單調減少的;但是在區間(-∞,+∞)內,函數f

(x)=x2

不是單調的.

又如,函數f(x)=x3

在區間(-∞,+∞)內是單調增加的.

如果函數y=f(x)在(a,b)內是增函數(或是減函數),則稱函數f(x)在區間(a,b

)內是單調函數,區間(a

,b)叫做函數f(x)的單調區間.函數在區間(a,b)內的單調增加或單調減少的性質,叫做函數的單調性

4.函數的有界性

定義6設函數f(x)的定義域為D,數集I?D,如果存在正數M,使得與任一x

∈I所對應的函數值都滿足不等式

|f(x)|≤M

則稱f(x)在I內有界.如果這樣的M不存在,就稱函數f(x)在I內無界.這就是說,如果對于任何正數M,總存在x1∈I,使|f

(x1)|>M,那么函數f(x)在I內無界.

1.1.3初等函數

1.基本初等函數

常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數統稱為基本初等函數。

(1)常數函數

y=C(C

為常數)。

(2)冪函數y=xμ(μ

為常數,μ

∈R

)。

(3)指數函數y=ax(a

>0,a≠1,a

為常數);y=ex(e=2.71828182849…).

(4)對數函數y=logax(a

>0，a

≠1，

a為常數)；y

=lnx

(自然對數)。

(5)三角函數y

=sinx

，y

=cosx

，

y

=tanx

，

y

=cotx

，

y

=secx，

y

=cscx

。

(6)反三角函數y

=arcsinx

，

y

=arccosx，y

=arctanx

。

y

=arccotx。

上述基本初等函數的圖形請讀者參見附錄Ⅱ。

例5

試求由函數y=u3

，u=tanx

復合而成的函數。

解將u=tanx

代入y=u3

中，即得所求復合函數y=tan3x

。

有時，一個復合函數可能由三個或更多的函數復合而成。

例如，由函數y=2u

，u

=sinv和v=x2+1

可以復合成函數y=2sin(x2+1)，其中u

和v都是中間變量。反之，分析一個復合函數的復合結構一般由外向里，每一步都應是基本初等函數的形式。

今后我們所討論的函數，絕大多數都是初等函數。

在定義域的不同范圍內用不同的解析式表示的函數稱為分段函數。

一般說來分段函數不是初等函數，分段函數往往不能用一個解析式子表示。

例如

習題1－1

2.指出下列各組函數的同異性,為什么?

3.指出下列函數的復合過程:

1.2極限的概念

極限描述的是變量在某個變化過程中的變換趨勢.比如現實生活中電池的充放電;從市場的變化趨勢來預測產品需求狀況,等等,這些過程從數學上看便體現了極限的思想.

1.2.1數列的極限

數列是按正整數的順序排列的無窮多個數.通常也把數列寫成

y

1,y2,…,y

n,…

數列中的每一個數叫做數列的項.第n項yn叫做數列的通項或一般項.

例如８頁

等都是數列.

數列可用通項簡記為{y

n}.

因此,上述數列可簡寫為:

我們要研究的問題是：給定一個數列{y

n}，當項數n

無限增大時，通項y

n的變化趨勢.

定義1給定數列{y

n}，如果當n無限增大時,y

n無限接近于一個確定的常數A,則稱n趨于無窮大時(記為n→∞),數列{y

n}以常數A為極限,也稱數列{y

n}收斂于A.

記作

否則,稱數列yn{}沒有極限,也稱該數列是發散的.

數列{(-1)n+1},當

n無限增大時，yn

總是在1與-1之間跳躍，永遠不會趨近于某一個固定的數。因此它沒有極限,是發散的。

數列{2n-1}，當n

無限增大時，yn

將隨著n增大而增至無窮大，我們說它也沒有極限，是發散的。

圖1－5

例3考察y=sinx,當x→+∞時的變化情況。

解

由于y

=sinx是周期函數,當x

→+∞時,函數y=sinx的值在-1和1之間呈現周期性擺動,不趨向于任何常數.所以我們說當x→+∞時,函數y=sinx沒有極限。

我們給出如下的定義:

定義2如果當x→+∞

時,函數f

(x)趨于某一個常數A,則稱當x→+∞時,函數f(x)以A

為極限.記作

類似地,可以引入當x→-∞和x→∞時f(x)的極限.

定義3如果當x→-∞時,函數f(x)趨于某一個常數A,則稱當x→-∞時,函數f

(x)以A

為極限.記作

例4求。

解由指數函數的圖形可知，當x→-∞時,3x

→0,所以

定義4如果當x→∞(包括x→+∞x

→-∞)時，函數f(x)趨于某一個常數A

，則稱當x→∞時,函數

f(x)以A

為極限。記作

如

定理1當x→∞時,f(x)以A

為極限的充分必要條件是:

例5求

解由反正切函數圖形1－6可以看出

因為

所以不存在

圖1－6

定義5設函數y=f(x)在點x

0

的某個鄰域(點

x

0本身可以除外)內有定義，如果當x趨于x

0

(但x≠x

0

)時，函數f(x)趨于一個常數A,則稱當x趨于x

0時，

f(x)以A

為極

限。記作

亦稱當x→x

0時，f(x)的極限存在。否則稱當x→x

0時，

f(x)的極限不存在。

上述x

趨于x

0

的變化趨勢并沒有限定。事實上，一般x趨于x

0有兩個方向：從x大于x

0趨于x

0時我們稱為f(x)的右極限；從x小于x

0趨于x

0時我們稱為f(x)的左極限。

記作

例7根據極限定義說明:

解(1)當自變量x

趨于x

0時，函數2x

就趨于2x

0

,于是依照定義有。

(2)無論自變量取何值，函數都取相同的值c，所以。

由上得知:常數的極限是它本身.

根據上面的定義,我們給出類似定理1極限存在的充分必要條件.

定理2當x→x

0時，

f(x)以A為極限的充分必要條件是f(x)在點x

0處左、右極限存在并且都等于

A。即

例8設

。試判斷是否存在。

解

先分別求f(x)當x→1時的左、右極限：

習題1－21.求下列極限:

1.3無窮小量與無窮大量

1.3.1無窮小量定義1若函數f(x)在自變量x

的某個變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中,f(x)為無窮小量。簡稱無窮小。無窮小量常用希臘字母α

，β，γ等來表示。

例如,

,即當x→-∞時,3x

為無窮小量；,即當x→0時,x2

也為無窮小量.

理解無窮小概念時應注意：

(1)無窮小是以零為極限的變量,是一個函數。

不要把一個很小很小的數誤認為是無窮小量。如10-30這個數雖然非常小,但它不以0為極限,所以不是無窮小量。常數0是特殊的無窮小量，除0之外，任何常數都不是無

窮小量。

其中limα=0.

在自變量的同一變化過程中,無窮小具有以下性質：

性質1有限個無窮小的代數和仍然是無窮小。

性質2常數與無窮小的積仍是無窮小。

性質3

有限個無窮小之積(自變量為同一變化過程時)仍然是無窮小。

性質4有界函數與無窮小之積仍是無窮小。

習題1－3

1.判斷下列敘述是否正確，并說明理由。

(1)無窮小量是越來越接近于零的量；

(2)0是無窮小量；

(3)無窮小量是0；

(4)無窮小量是以零為極限的變量；

(5)無窮小量的倒數是無窮大量。

1.4極限的運算法則

利用極限定義求函數的極限,一般情況下是不方便的,而且有一定的局限性.本節介紹極限的四則運算法則,并利用運算法則求變量的極限.

推論1

如果limf(

x)存在，而C為常數，那么

推論2

limf(

x)=A

存在，而n為正整數，那么

例1求

解

例2求

解

例4求

解

當x→2時,分式的分子、分母的極限均為0,不能直接用商的極限法則求解.而當x

→2但x≠2時,分子、分母都有以零為極限的公因子x-2,可消去后再求極限.即

例5求

解

例7求

解

當x→∞時,分式的分子、分母均趨于無窮大,不能直接用商的極限法則求解.將分子、分母同除以x的最高次冪x3,得

例8求

解將分子、分母同除以x

的最高次冪x

3,得

例9求

解

將分子、分母同除以x

的最高次冪x

3,得

習題1－

4

1.求下列極限:

2.求下列極限:

1.5兩個重要極限

從上表可以看出,當x→0時,函數,即

1.5.2第二重要極限

我們可以從表1－3中觀察函數隨x

無限增大的變化趨勢。

更一般地,還可以有如下公式:

這兩個極限式可以統一為“1加無窮小的無窮大次方的極限為e”

1.5.3等價無窮小在求極限中的應用

我們知道,如果α

，β

都是無窮小量，當limβα=1時，則β與α是等價的，記作α~β。關于等價無窮小,我們有下面兩個等價代換法則，它們對于求極限有時是很有用的。

習題1－5

1.求下列極限:

2.求下列極限:

1.6函數的連續性

在現實生活中有許多量都是連續變化的，例如氣溫的變化，植物的生長,物體運動的路程，等等。這些反映在數學上就是函數的連續性，它是與函數的極限密切相關的另一個基本概念。

1.6.1連續函數的概念

1.增量

定義1

設變量u

從它的初值u

0

變到終值u

1,則終值與初值之差u

1

-u

0就叫做變量u

的增量,又叫做u的改變量,記作Δu,即Δu

=u

1-u

0

.

對于函數y=f

(x

),當自變量x

從x

0變到x

0+Δx(自變量的改變為Δx)時,函數y有相應的改變量,記作Δy,即

Δy=f

(x

0

+Δx)-f

(x

0

)

2.函數在點x0處的連續

定義2

設函數y=f(x),在點x

0的某個鄰域內有定義,如果當自變量x

在點x

0處的改變量Δx

趨于零時,函數相應的改變量Δy=f

(x

0+Δx)-f(x

0)也趨于零,即

則稱函數f(x),在點x

0處連續。

由上述定義，如果令x=x

0+Δx，則當Δx→0時，

x

→x

0，于是limΔx→0Δy

=0可以改寫為

即

因此，函數在點x

0

處連續也可定義如下:

定義3

設函數y=f(x

)，在點x

0

的某個鄰域內有定義，如果當x→x

0時函數f(x

)，的極限存在，

且等于f(x

)，在點x

0

處的函數值f

(x

0)，即

則稱函數f(x)在點x

0處連續。

據此,函數f(x)在點x

0處連續必須同時滿足以下三個條件:

(1)函數在x

0點有定義;

(2)函數f(x)當x→x

0時有極限;

(3)極限值等于該點處的函數值。

如果這三條中任何一條滿足,則可判定函數f(x)在x

0

處就是不連續的。

同理,根據函數f(x)在x

0處左極限和右極限的定義,可給出f(x)左連續與右連續的定義:

定義4如果=f(x

0),則稱函數y=f(x)在點x

0處左連續;如果li

=f(x

0),則稱函數y=f(x)在點x

0處右連續。

例1討論函數

在x=0處的連續性。

解

點x=0是函數f(x

)的分段點，且此點兩側函數的表達式不同，所以必須分別求左、右極限，再用連續的定義判定。

因為

所以

又因為f(0)=2,于是

故函數f(x)在點x=0處是連續的

3.函數在區間上的連續

定義5

如果函數f(x)在區間(a,b)內每一點都連續,則稱f(x)在區間(a,b)內連續.若函數f(x)在區間(a,b)內連續,且則稱f(x)在區間[a

,b]上連續。

連續函數的圖形是一條連續不間斷的曲線。

1.6.2初等函數的連續性

定理

一切初等函數在其定義區間內都是連續的。

根據這條定理，我們在求初等函數在其定義區間內某點的極限時，只需求初等函數在該點的函數值即可。

1.6.3函數的間斷點

1.間斷點

定義6

如果函數y=f(x)在點x

0處不連續，則稱函數y=f(x)在點x

0處間斷，點x

0稱為函數y=f(x)的間斷點。

2.間斷點的分類

定義7

設x

0

為f(x)的一個間斷點，如果當x→x

0

時，與均存在，則x

0稱為函數y=f(x)的第一類間斷點，否則，稱x

0為f(x)的第二類間斷點。

第一類間斷點還可分為如下兩類：

(1)跳躍間斷點———左、右極限存在但不相等，即

(2)可去間斷點———極限值存在但不等于函數值，即

例2

設函數f(x)=，討論f(x)在x=0處的連續性。

解因為f(x)在x=0處有定義，且

顯然

所以f(x)在x=0處不連續，且x=0是第一類間斷點,且為可去間斷點。

1.6.4閉區間上連續函數的性質

閉區間上連續函數具有一些重要性質,這些性質在理論與實際中都有廣泛的應用，

性質1

若函數f(x)在閉區間[a,b

]上連續，則函數f(x)在區間[a,b]上必然存在最大值與最小值。

性質2

設函數y=f(x)在閉區間[a,b]上連續,f(a)=A,f(b)=B,且A≠B,

則對于A

與B

之間的任一值C,在開區間(a

,b)內至少存在一點ξ,使得f

(ξ

)=C。

性質3

設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且

f(a)·f(b)<0，則在開區間(a

,b

)內,至少存在一點ξ，使得f(ξ)=0。

性質4

如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,則函數f(x)在閉區間[a,b]上有界。

例4證明方程x

5-2x2+x+1=0在區間(-1,1)內至少有一個實根。

證明設f(x)=x

5-2x2+x+1=0，因為f(x)是初等函數,并在[-1,1]上連續；又因為f(-1)=-3<0，

f(1)=1>0，所以，根據性質4，在(-1,1)內至少有一點ξ

，使f

(ξ)=0，(-1<ξ<1)，即

ξ5

-2ξ2+ξ+1=0

所以，方程x

5-2x2+x+1=0在區間(-1,1)內至少有一個實根。

習題1－61.判斷下列敘述的正誤(說明判斷理由):(1)如果f(x

0)存在,則

f(x)在點x

0處連續.

(

)(2)如果

f

(x)存在,則f(x)在點x0處連續.

(

)(3)如果f(x

0

)存在,

f

(x)存在,則f(x)在點x

0處連續.

(

)(4)如果f

(x

0

-0)=f

(x

0

+0),則f(x)在點x

0處連續.

(

)(5)一切初等函數在定義區間內連續.

(

)

2.討論下列函數在指定點的連續性:

本章小結

一、函數的概念

1.函數的概念函數是高等數學研究的基本對象.函數的定義域確定函數存在的范圍,函數的對應法則確定自變量如何對應到因變量,這是構成函數的兩個要素.兩個函數恒等當且僅當定義域和對應法則完全相等,若兩者之一不同,就是兩個不同的函數.

2.復合函數

設y=f(u

),而u

=φ(x)且函數φ(x)的值域全部或部分包含在函數f(u)的定義域內,那么我們把y叫做x

的復合函數,簡單地說,復合函數就是函數嵌套函數或者函數的函數.但要注意:不是任何兩個函數都能復合成一個函數