專題13等腰三角形中的分類討論模型模型1、等腰三角形中的分類討論模型【知識儲備】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質與三角形三邊關系解題即可。1）無圖需分類討論①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；②已知角度數無法確定是頂角還是底角時要分類討論；③遇高線需分高在△內和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論。2）“兩定一動”等腰三角形存在性問題：即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）②當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）③當時，作的中垂線，點在該中垂線上（除外）例1．（2023春·山東棗莊·八年級校考期中）已知x，y滿足，則以，的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對【答案】B【分析】利用非負數的性質，求出，的值，利用分類討論的思想思考問題即可．【詳解】解：，又，，，，當等腰三角形的邊長為4，4，8時，不符合三角形的三邊關系；當等腰三角形的三邊為8，8，4時，周長為20，故選：B．【點睛】本題考查等腰三角形的概念、非負數的性質、三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．例2．（2023·四川達州·八年級校考期末）等腰三角形的周長為，其中一邊長為，則其腰長為（

）A． B．或 C． D．以上都不對【答案】C【分析】分為腰和底兩種情況求解,注意三角形的存在性：通過兩個短邊和大于最長邊可判斷三角形存在，反之則無法構成三角形．【詳解】解：因為等腰三角形的周長為，其中一邊長為，當為腰長時，其余兩邊的長分別為，,三角形不存在；當為底邊長時，其余兩邊的長都為，三角形存在；故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．例3．（2023春·四川達州·八年級校考階段練習）等腰三角形的一個角是，則它頂角的度數是（）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】根據三角形的內角和為，進行分類討論即可【詳解】解：①當底角為時，頂角，②當頂角為時，頂角度數，綜上：頂角度數為或；故選：B．【點睛】本題考查了三角形的內角和為，等腰三角形兩底角相等，解題的關鍵是書熟練掌握相關內容．例4．（2023·四川廣元·八年級校聯考期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個等腰三角形的頂角等于（）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】分三角形是銳角三角形時，利用直角三角形兩銳角互余求解；三角形是鈍角三角形時，利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解．【詳解】如圖1，三角形是銳角三角時，，頂角；如圖，三角形是鈍角時，，頂角，綜上所述，頂角等于或．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的兩個銳角互余，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．例5．（2023春·安徽宿州·八年級校考期中）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，點A，B均在格點上．要在格點上確定一點C，連接和，使是以為頂角的等腰三角形，則網格中滿足條件的點C的個數是（

）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【分析】利用格點分別作出等腰三角形，即可得到答案.【詳解】如圖所示．網格中滿足條件的點C有，共4個,故選B．【點睛】此題考查的是等腰三角形的判定，正確畫出圖形是解題的關鍵.例6．（2023·北京·八年級期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為____．【答案】或或．【分析】根據題意分類討論，①，②，③，分別作出圖形，再結合已知條件勾股定理求解即可．【詳解】解：①如圖，當時，是等腰直角三角形，,，；②如圖，當時，過點作，交的延長線于點，，，是等腰直角三角形，，，又，是等腰直角三角形，，在中，，，在中，，在中，；③如圖，當時，，是等腰直角三角形，，在中，，在中，．綜上所述，的長為：或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質，分類討論是解題的關鍵．例7．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級校考期中）從一個等腰三角形的頂角引出的一條射線把這個等腰三角形分成兩個等腰三角形，則這個等腰三角形的頂角為．【答案】或【分析】畫出圖形，利用等腰三角形的性質結合三角形的內角和定理求解即可.【詳解】解：分兩種情況討論：①如圖，，

∴，∴；②如圖，，∴，∵，，∴，∴；綜述：等腰三角形的頂角的度數為或.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和三角形內角和定理，恰當分類并畫出圖形是解題的關鍵.例8．（2023·甘肅蘭州·八年級校考期中）如圖，建立平面直角坐標系，點坐標為，若是以為腰的等腰三角形，且點在軸上，則滿足條件的的坐標是．【答案】或或【分析】分，，，三種情況，利用等腰三角形的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴，如圖，當時，的坐標為；當時，的坐標為；當時，過點A作軸，垂足為C，∴，∴的坐標為；綜上：點B的坐標為或或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質及坐標與圖形性質，難度適中，關鍵是注意分情況討論．例9．（2023春·山東濟南·七年級統考期末）如圖，在中，，，，點從點出發，沿射線以每秒4個單位長度的速度運動．設點的運動時間為秒．

(1)的長為__________；（用含的代數式表示）(2)若點在的角平分線上，求的值；(3)在整個運動中，求出是等腰三角形時的值．【答案】(1)(2)t的值為(3)t的值為或或4【分析】（1）根據題意列代數式可求得答案；（2）根據角平分線的性質解答即可；（3）分作為底和腰兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵已知點P從點A出發，以每秒4個單位長度的速度運動，∴點P運動的長度為：；故答案為：；（2）解：過點P作于點M，如圖所示：

在中，，，，由勾股定理得：，點P在的角平分線上，，，，又，，，，設，則，在中，，，解得：，，即若點P在的角平分線上，則t的值為；（3）解：當作為底邊時，如圖所示：

則，設，則，在中，，，解得：此時；當作為腰時，如圖所示：，此時；時，，，此時，綜上分析可知，t的值為或或4．【點睛】本題主要考查了勾股定理在動點問題中的應用，等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，數形結合、分類討論并熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．例10．（2023春·四川成都·八年級校考期中）如圖1，直線：與直線交于軸上一點，點在軸正半軸上，．

(1)求直線的函數表達式；(2)如圖2，將直線繞點逆時針旋轉與射線交于點，若面積是，求點的坐標；(3)點是直線上的一個動點，在坐標軸上找一點，連接，，，當是以為底邊的等腰直角三角形時，直接寫出點的坐標．【答案】(1)直線的函數表達式為(2)(3)點的坐標為或或或【分析】（1）由待定系數法可求出答案；（2）據三角形的面積可求出點的縱坐標，代入直線的解析式可得出答案；（3）分四種情況畫出圖形，由等腰直角三角形的性質及全等三角形的判定與性質可求出答案．【詳解】（1）解：直線：分別與軸，軸交于兩點，在中，當時，，點坐標為，點在軸正半軸上，，，設直線的解析式為，，，直線的函數表達式為；（2）解：直線：分別與軸，軸交于兩點，在中，當時，，解得，，，，，，，由題意知，點在軸下方，，，，把代入，，解得，；（3）解：若點在軸的正半軸，如圖，

，

，是以為底邊的等腰直角三角形，，，直線的解析式為，時，，，，，；若點在軸的負半軸，如圖，同理可得，，；若點在軸的負半軸，如圖，，

，過點作軸于點，是等腰直角三角形，，，，，，，，設，則，，解得，，，；若點在軸的正半軸，如圖，過點作軸于點，同理可得，，，，，，綜上所述，點的坐標為或或或．【點睛】本題屬于一次函數綜合題，考查了待定系數法求一次函數解析式，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，坐標與圖形的性質，面積的計算等知識，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法求一次函數的解析式，全等三角形的判定與性質．課后專項訓練1．（2023秋·湖南長沙·八年級校考開學考試）等腰三角形的一邊為4，一邊為3，則此三角形的周長是（）A．10 B．11 C．6或8 D．10或11【答案】D【分析】分邊4是底邊和腰長兩種情況討論，再根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷是否能組成三角形，然后求解即可．【詳解】解：若4是底邊，則三角形的三邊分別為4、3、3，能組成三角形，周長，若4是腰，則三角形的三邊分別為4、4、3，能組成三角形，周長，綜上所述，此三角形的周長是10或11．故選：D．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，三角形的三邊關系，難點在于分情況討論并判斷是否能組成三角形．2．（2023春·陜西西安·八年級校考階段練習）如圖，在4×4方格中，以AB為一邊，第三個頂點也在格點上的等腰三角形可以作出()

A．7個 B．6個 C．4個 D．3個【答案】A【分析】分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，圓弧經過的格點即為第三個頂點的位置，作AB的垂直平分線，如果經過格點，則這樣的點也滿足條件，由上述作法即可求得答案.【詳解】如圖所示，分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，則圓弧經過的格點C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即為第三個頂點的位置；作線段AB的垂直平分線，垂直平分線未經過格點，故以AB為一邊，第三個頂點也在格點上的等腰三角形可以作出7個，故選A．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，關鍵是根據題意畫出符合條件的等腰三角形．3．（2022·北京九年級階段練習）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線BC上取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點P有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據等腰三角形的判定定理，結合圖形即可得到結論．【詳解】解：以點A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，交直線BC于兩個點，然后作AB的垂直平分線交直線BC于點，如圖所示：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴，∵，∴是等邊三角形，∴點重合，∴符合條件的點P有2個；故選B．【點睛】本題考查等腰三角形性質及等邊三角形的性質與判定，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．4．（2022·上海·七年級專題練習）在平面直角坐標系xoy中，已知點A（2，﹣2），在y軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】如果OA為等腰三角形的腰，有兩種可能，以O為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個交點，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個交點；如果OA為等腰三角形的底，只有一種可能，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個交點；符合條件的點一共4個．【詳解】解：分二種情況進行討論：當OA為等腰三角形的腰時，以O為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個交點，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個交點；當OA為等腰三角形的底時，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個交點．∴符合條件的點一共4個．故選D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定及坐標與圖形的性質；針對線段OA在等腰三角形中的地位，分類討論用畫圓弧的方式，找與y軸的交點，比較形象易懂．5．（2022秋·福建福州·八年級校考期中）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是，則底角度數為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由于此高不能確定是在三角形的內部，還是在三角形的外部，所以要分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況求解．【詳解】解：分兩種情況：①高在三角形的內部時，如圖：

，，，∴，∴；②高在三角形的外部時，如圖：

，，，∴，∴．故底角度數為或，故選D．【點睛】此題考查等腰三角形的性質，難度適中，解題的關鍵是注意分類討論思想與數形結合思想的應用．6．（2023秋·江蘇蘇州·八年級校考階段練習）等腰三角形中一個角為，則它的底角為（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】C【分析】據題意，分已知角是底角與不是底角兩種情況討論，結合三角形內角和等于，分析可得答案．【詳解】解：根據題意，一個等腰三角形的一個角等于，①當這個角是底角時，即該等腰三角形的底角的度數是，②當這個角是頂角時，設該等腰三角形的底角是，則，解可得，，即該等腰三角形的底角的度數是；故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，及三角形內角和定理；通過三角形內角和，列出方程求解是正確解答本題的關鍵；注意分類討論思想的應用．7．（2023春·山西太原·八年級校考期末）如圖，在折線段中，可繞點旋轉，，，線段上有一動點，將線段分成兩部分，旋轉，，當三條線段，，首尾順次相連構成等腰三角形時，的長為（

）

A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4【答案】A【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質和三角形的三邊關系可求解．【詳解】解：當時，，，當時，則，，三條線段，，不能構成三角形，當時，則，，三條線段，，不能構成三角形，故選：A．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．8．（2022秋·湖北孝感·八年級統考期末）等腰三角形的一個外角是140°，則它的頂角的度數為．【答案】40°或100°【分析】由該等腰三角形的外角是140°，可求出相鄰的內角為40°．分情況討論，①當40°角為頂角時，40°即為所求；②當40°角為底角時，結合三角形內角和定理即可求出頂角大小．【詳解】解：根據題意可知該等腰三角形的一個內角為：，①當40°角為頂角時，即該等腰三角形頂角度數為40°；②當40°角為底角時，該等腰三角形頂角度數。故答案為：40°或100°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理．注意分類討論是解答本題的關鍵．9．（2023春·四川達州·八年級校考階段練習）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰所在直線的夾角是，則底角的度數是．【答案】或【分析】根據題意分等腰三角形的頂角是鈍角或銳角兩種情況，分別根據三角形內角和定理和等腰三角形的性質求解即可．【詳解】解：①當為銳角三角形時，如圖1，∵，，∴，∴∴三角形的底角為；②當為鈍角三角形時，如圖2，∵，，∴，∵，∴∴∴三角形的頂角為，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理，做題時，考慮問題要全面，必要的時候可以做出模型幫助解答，進行分類討論是正確解答本題的關鍵，難度適中．19．（2023·湖北十堰·八年級統考期中）平面直角坐標系中有點A（2，0），B（0，4），以A，B為頂點在第一象限內作等腰直角△ABC，則點C的坐標為．【答案】(4，6)、(6，2)或(3，3)【分析】根據等腰直角三角形中直角頂點的不同情況進行分類討論，并結合全等三角形的判定與性質求解即可．【詳解】解：①如圖所示，點C在第一象限，AB⊥BC，AB=BC時，作CP⊥y軸于P點，則∠CPB=∠BOA=90°，∵∠ABC=90°，∴∠PBC+∠OBA=90°，∵∠PBC+∠PCB=90°，∴∠OBA=∠PCB，在△OBA和△PCB中，∴OB=PC，OA=PB，由題意，OB=4，OA=2，∴PC=4，PB=2，∴OP=2+4=6，∴此時，C點坐標為(4，6)；②如圖所示，點C在第一象限，AB⊥AC，AB=AC時，作CQ⊥x軸于Q點，則∠AQC=∠BOA=90°，同①理，可證得△BOA≌△AQC，∴OB=AQ=4，CQ=OA=2，∴OQ=2+4=6，∴此時，C點坐標為(6，2)；③如圖所示，點C在第一象限，BC⊥AC，BC=AC時，作BM⊥CN，交CN延長線于M點，則∠BMC=∠CNA=90°，同①理，可證得△BMC≌△CNA，∴AN=MC，CN=BM，則，即：，解得：，∴ON=2+1=3，∴此時，C點坐標為(3，3)；綜上，點C的坐標為(4，6)、(6，2)或(3，3)；故答案為：(4，6)、(6，2)或(3，3)．【點睛】本題考查平面直角坐標系中等腰直角三角形的確定，掌握等腰直角三角形的基本性質，熟練運用全等三角形的判定與性質求解是解題關鍵．11．（2022·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，，，在直線或直線上取點，使得為等腰三角形，符合條件的點有_______個．【答案】8【分析】根據等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡稱：在同一三角形中，等邊對等角）”分三種情況解答即可．【詳解】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線AC有二點M1，M2，交BC有一點M3，（此時AB=AM）；②以B為圓心，BA為半徑畫圓，交直線BC有二點M5，M4，交AC有一點M6（此時BM=BA）．③AB的垂直平分線交AC一點M7（MA=MB），交直線BC于點M8；∴符合條件的點有8個．故答案為：8．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；構造等腰三角形時本著截取相同的線段就能作出等腰三角形來，思考要全面，做到不重不漏．12.（2022·湖南·長沙八年級階段練習）如圖，在中，，，在坐標軸上取點，使得為等腰三角形，符合條件的點有__________個.【答案】6【分析】分類討論：AB=AM時，AB=BM時，AM=BM時，根據兩邊相等的三角形是等腰三角形，可得到符合題意的點的個數.【詳解】①當AB=AM時，在y軸上有2個滿足條件的點M,在x軸上有1個滿足條件的點M;②當AB=BM時，在y軸上有1個滿足條件的點M,在x軸上有2個滿足條件的點M,有1點與AB=AM時的x軸負半軸上的點M重合；③當AM=BM時，在x軸、y軸上各有1個滿足條件的點M，有一點與AB=AM時的x軸負半軸上的點M重合．綜上所述，符合條件的點M共有6個．故答案為:6.【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，注意有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故存在重合的情況，此為解題的關鍵.13．（2022·河南·鄭州八年級階段練習）如圖，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一個動點，將△ABE沿著AE折疊到△ADE處，再將邊AC折疊到與AD重合，折痕為AF，當△DEF是等腰三角形時，BE的長是___________．【答案】或或．【分析】分三種情況討論：DE=DF，DE=EF，EF=DF．利用等腰三角形的性質和全等三角形解題．【詳解】解：由折疊可知，BE=DE，DF=CF，AD=AB=AC=5，當DE=DF時，如圖1，此時DE=DF=BE=CF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∴AD垂直平分EF，∴EH=FH，，∴，∴，設，則，則在直角△DHE中，，解得，當DE=EF時，如圖2，作AH⊥BC于H，連接BD，延長AE交BD于N，可知BE=DE=EF，∵AH⊥BC，AB=AC，BC=8∴BH=CH=4，∴，設，則，∴，即∵AB=AD，∠BAN=∠DAN，∴AN⊥BD，BN=DN，∴，∴在△AHE和△BNE中，∴△AHE≌△BNE，∴AE=BE，設，則，在直角△AEH中，，解得，當DF=EF時，如圖3，過A作AH⊥BC于H，延長AF交DC于M，同理∴故答案為：或或．【點睛】本題考查折疊問題，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，注意分類討論是解題的關鍵．14．（2023春·上海嘉定·八年級校考開學考試）在中，，垂直平分分別交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是．【答案】或【分析】首先根據線段垂直平分線的性質得出，即可得到.然后對中的邊進行討論，然后在中，利用三角形內角和定理即可求得的度數.【詳解】∵是的中垂線,∴，∴，∵,∴，設,則，

①當時,則在中，根據三角形內角和定理可得：,解得:,則；②當時,,而,故此時不成立；③當時,在中，根據三角形內角和定理得到：，解得:，即的度數為或，故答案為或．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，正確對的邊進行討論是解題的關鍵.15．（2023秋·河南鄭州·八年級校考階段練習）如圖所示的三角形紙片中，，，，將沿某一條直線剪開（該直線需經過點A），使其變成兩個三角形，且要求其中的一個三角形是等腰三角形，則剪出的等腰三角形的面積是．【答案】8或【分析】分兩種情況進行討論：①當時，是等腰直角三角形，根據三角形面積公式可求得剪出的等腰三角形的面積；②當時，是等腰三角形，根據勾股定理可求得的長，再根據可求得剪出的等腰三角形的面積．【詳解】解：①如圖1：當時，是等腰直角三角形，則；②如圖2：當時，是等腰三角形，在中，，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得，則，綜上所述，剪出的等腰三角形的面積是8或，故答案為：8或．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用以及等腰三角形的定義，關鍵是采用分類討論的思想進行計算．16．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，中，，，，動點從點出發沿射線以的速度運動，設運動時間為，當為等腰三角形時，的值為．【答案】13或24或【分析】當為等腰三角形時，分三種情況：①當時；②當時；③當時，分別求出的長度，繼而可求得的值．【詳解】解：，，，．①當時，；②當時，，；③當時，，，，在中，，即，解得．綜上，當為等腰三角形時，或24或．故答案為：13或24或．【點睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．17．（2023春·安徽亳州·八年級校考期中）如圖，在中，，分別是和的高．若，

（1）的長為()（2）在的腰上取一點M，當是等腰三角形時，長為()【答案】6或【分析】（1）由分別是和的高得到，由得到，，，則，則，即可得到答案；（2）分點在邊上和點在邊上兩種情況分別畫圖進行求解即可．【詳解】（1）∵分別是和的高．∴，∵，∴，，，∴，∴，∴，故答案為：6（2）當點在邊上時，如圖，

∵，∴是等腰三角形，∴，，∴，當點在邊上時，①若，如圖，

∵在中，，分別是的高．平分，∵于點，∴，即時，為等腰三角形；②如圖3，當時，為等腰三角形；

，∴，過點E作，與的延長線相交于點F，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，③如圖4，當時，為等腰三角形；過點M作于點Q，與交于點O，

∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，過點M作于點P，∴，，∴，∵，∴，解得，∴，綜上可知，長為，故答案為：或．【點睛】此題考查了等腰三角形的判定和性質、勾股定理、含角的直角三角形的性質等知識，分類討論是解題的關鍵．18．（2022秋·上海靜安·八年級上海市市北初級中學校考期中）如圖，已知在中，．過三角形頂點的一條直線將分割為兩個等腰三角形．求的度數．

【答案】【分析】分三種情況：當時，當，時，當，時，根據等腰三角形的性質和三角形外角的性質即可得到結論．【詳解】解：∵，設，則，∵，即：，可得：，如圖，當時，

此時，，∵，即：，解得：，即：；如圖，當，時，此時，，∵，即：，解得：，即：（不符合題意，舍去）；

如圖，當，時，

此時，，∵，即：，解得：，即：（不符合題意，舍去）；綜上所述：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和，三角形外角的性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．19．（2022春·陜西銅川·七年級統考期末）如圖，在中，，，點為上任意一點，若是以為腰的等腰三角形，求的度數．

【答案】或【分析】根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求出，再分兩種情況進行討論：①；②．【詳解】解：在中，，，．分兩種情況：①當時，；②當時，．綜上所述，的度數為或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，解題的關鍵是能夠分類討論，難度不是很大，是常考的題目之一．20．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，中，，垂足為，，，．(1)求證：；(2)點為上一點，連接，若為等腰三角形，求的長．【答案】(1)見解析(2)或或【分析】（1）在中利用勾股定理可求，同理在中利用勾股定理可求，而，易求，從而可知是直角三角形．（2）分三種情況：①當時；②當時；③當時；分別求出的長即可．【詳解】（1）證明：是直角三角形，