2線性變換3第三節矩陣乘法與線性變換1坐標變換線性變換的矩陣1.平移變換若空間平移量為(tx,ty,tz)，則平移變換為P(x,y,z)

P’(x’,y’,z’)xyz補充說明：點的平移、物體的平移、多面體的平移、逆變換一、坐標變換2.繞坐標軸的旋轉變換

三維空間中的旋轉變換比二維空間中的旋轉變換復雜。除了需要指定旋轉角外，還需指定旋轉軸。若以坐標系的三個坐標軸x,y,z分別作為旋轉軸，則點實際上只在垂直坐標軸的平面上作二維旋轉。此時用二維旋轉公式就可以直接推出三維旋轉變換矩陣。規定在右手坐標系中，物體旋轉的正方向是右手螺旋方向，即從該軸正半軸向原點看是逆時針方向。

一、坐標變換（1）繞z軸旋轉xxxyyyzzz（2）繞x軸旋轉（3）繞y軸旋轉2.繞坐標軸的旋轉變換一、坐標變換繞z軸旋轉繞x軸旋轉繞y軸旋轉2.繞坐標軸的旋轉變換一、坐標變換

設V為數域P上的線性空間，若變換滿足：則稱為線性空間V上的線性變換.

1、線性變換的定義二、線性變換1．為V的線性變換，則2．線性變換保持線性組合及關系式不變，即

若則3．線性變換把線性相關的向量組的變成線性相關的向量組.即若線性相關，則也線性相關.注意：3的逆不成立，即線性無關，

未必線性無關.

2、線性變換的簡單性質二、線性變換1．定義設為線性空間V的兩個線性變換，定義它們的乘積為：則也是V的線性變換.２．基本性質（1）滿足結合律：（2），E為單位變換（3）交換律一般不成立，即一般地，3、線性變換的運算-乘法二、線性變換1．定義設為線性空間V的兩個線性變換，定義它們的和為：2．基本性質（1）滿足交換律：（2）滿足結合律：（3）

0為零變換.

（4）乘法對加法滿足左、右分配律：3、線性變換的運算-加法二、線性變換1．定義設為線性空間V的線性變換，定義k與的數量乘積

為則也是V的線性變換.2．基本性質3、線性變換的運算-數乘二、線性變換1．定義設為線性空間V的線性變換，若有V的變換使,則稱為可逆變換，稱為的逆變換，記作2．基本性質

(1)可逆變換的逆變換也是V的線性變換.

(2)線性變換可逆線性變換是一一對應.

4、線性變換的逆二、線性變換

(3)設是線性空間V的一組基，為V的線性變換，則可逆當且僅當線性無關.(4)可逆線性變換把線性無關的向量組變成線性無關的向量組.4、線性變換的逆二、線性變換設

為數域F上線性空間V的一組基，為V的線性變換.基向量的象可以被基線性表出,設用矩陣表示即為其中矩陣A稱為線性變換在基下的矩陣.

三、線性變換的矩陣定理:設為數域P上線性空間V的一組基，在這組基下，V的每一個線性變換都與中的唯一一個矩陣對應，且具有以下性質：

①線性變換的和對應于矩陣的和；

②線性變換的乘積對應于矩陣的乘積；③線性變換的數量乘積對應于矩陣的數量乘積；④可逆線性變換與可逆矩陣對應，且逆變換對應于逆矩陣.三、線性變換的矩陣定理:設線性空間V的線性變換T

在兩組基(Ⅰ)(Ⅱ)下的矩陣分別為A、B，且從基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的過渡矩陣是P，則三、線性變換的矩陣三、線性變換的矩陣例1.設T為上的線性變換，，求T在