PAGEPAGE1習題課——導數運算及幾何意義的綜合問題課后訓練案鞏固提升一、A組1.(2024東北育才學校期中考試)已知奇函數f(x)滿意f'(-1)=1,則limΔx→0A.1 B.-1 C.2 D.-2解析:由f(x)為奇函數,得f(1)=-f(-1),所以lim=limΔx→0f(-1+答案:A2.(2024四川綿陽高二月考)若曲線f(x)=13x3+x2+mx的切線中,只有一條與直線x+y-3=0垂直,則實數m的值等于(A.2 B.0 C.0或2 D.3解析:依題意,只有一條切線的斜率等于1,又f'(x)=x2+2x+m,所以方程x2+2x+m=1只有一個實數根,于是Δ=4-4(m-1)=0,解得m=2.答案:A3.已知f(x)=f'(1)x+4x,則f'(1)A.1 B.4 C.2 D.-1解析:因為f(x)=f'(1)x所以f'(x)=-f'(1)因此f'(1)=-f'(1)12+4,解得答案:C4.經過點(3,0)的直線l與拋物線y=x22的兩個交點處的切線相互垂直,則直線l的斜率k等于(A.-16 B.-13 C.12 D解析:設直線l的斜率為k,則其方程為y=k(x-3),設直線l與拋物線的兩個交點為A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x22,y=k(所以x1x2=6k.又對y=x22求導有y'=x,所以拋物線在A,B兩點處的切線的斜率分別為x1,x于是有x1x2=6k=-1,所以k=-16答案:A5.(2024山西朔州高二月考)視察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cosx)'=-sinx,可推得:若定義在R上的函數f(x)滿意f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導函數,則g(-x)=()A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x)解析:由已知可以看出:奇函數的導數是偶函數,偶函數的導數是奇函數.答案:D6.給出定義:若函數f(x)在D上可導,即f'(x)存在,且導函數f'(x)在D上也可導,則稱f(x)在D上存在二階導函數,記f″(x)=(f'(x))',若f″(x)<0在D上恒成立,則稱f(x)在D上為凸函數,以下四個函數在0,π2A.f(x)=sinx+cosx B.f(x)=lnx-2xC.f(x)=-x3+2x-1 D.f(x)=-xe-x解析:若f(x)=sinx+cosx,則f″(x)=-sinx-cosx,在0,π2上,恒有f″(x)<0;若f(x)=lnx-2x,則f″(x)=-1x2,在0,π2上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-x3+2x-1,則f″(x)=-6x,在0,π2上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-xe-x=-xex,則f'(x)=x-1ex,答案:D7.(2024惠州一中月考)已知函數f(x)的圖象在x=2處的切線方程為2x+y-3=0,則f(2)+f'(2)=.

解析:切線2x+y-3=0的斜率為-2,所以f'(2)=-2.又切點在切線上,所以2×2+y-3=0.因此y=f(2)=-1,故f(2)+f'(2)=-1+(-2)=-3.答案:-38.已知a=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx,b=limΔx→0解析:簡單推得c=d,又在e=limx→x0f(x)-f(x0)x-x答案:c=d,a=e9.在曲線y=x3+3x2+6x-10的切線中,斜率最小的切線的方程為.

解析:由導數的幾何意義知,曲線y=x3+3x2+6x-10上每一點處的切線的斜率等于函數f(x)=x3+3x2+6x-10在該點處的導數,因此曲線切線的斜率k=f'(x)=3x2+6x+6=3(x+1)2+3≥3,當x=-1時斜率取到最小值3,此時,切點為(-1,-14),切線方程為y+14=3(x+1),即3x-y-11=0.答案:3x-y-11=010.已知曲線y=x2+1,問是否存在實數a,使得經過點(1,a)能夠作出該曲線的兩條切線?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.解:因為y=x2+1,所以y'=2x.設切點為(t,t2+1),所以切線斜率為y'|x=t=2t,于是切線方程為y-(t2+1)=2t(x-t),將(1,a)代入,得a-(t2+1)=2t(1-t),即t2-2t+(a-1)=0.因為切線有兩條,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在實數a,使得經過點(1,a)能夠作出該曲線的兩條切線,且a的取值范圍是a<2.二、B組1.(2024河北承德高二月考)已知函數f(x)=lnx,g(x)=12x2+a(a為常數),直線l與函數f(x),g(x)的圖象都相切,且與函數f(x)的圖象的切點的橫坐標為1,則實數a的值為(A.1 B.-1 C.-12 D.解析:∵f(1)=0,∴直線l過點(1,0).∵f'(x)=1x,∴f'(1)=1∴直線l的方程為y=x-1.∵g(x)=12x2+a,∴g'(x)=x設直線l與函數g(x)的圖象的切點的橫坐標為x0,由導數的幾何意義,可知g'(x0)=x0=1,將x0=1代入直線l的方程,可得切點的縱坐標為0,即切點為(1,0),將其代入g(x)=12x2+a,可得a=-12.答案:C2.設f'(x)是函數f(x)(x>0)的導函數,且滿意xf'(x)+2f(x)=1x2,f(1)=1,則f(x)的解析式為(A.f(x)=lnx+1x2(x>0) B.f(x)=lnC.f(x)=lnxx2+1(x>0) D.f(x)=lnx解析:∵xf'(x)+2f(x)=1x∴x2f'(x)+2xf(x)=1x∵[x2f(x)]'=x2f'(x)+2xf(x),∴可設[x2f(x)]'=(lnx+c)',即f(x)=lnx又f(1)=1,∴c=1.∴f(x)=lnx+1x2答案:A3.已知f(x)=xex,f1(x)=f'(x),f2(x)=[f1(x)]',…,fn+1(x)=[fn(x)]',n∈N*,經計算得f1(x)=1-xex,f2(x)=x-2ex,那么f3(x)=,依據解析:f3(x)=exf4(x)=-e類比可得fn(x)=(-1答案:34.(2024中山一中測試)設曲線y=xn+1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,令an=lgxn,則a1+a2+…+a99的值為.

解析:∵y'|x=1=n+1(n∈N*),∴曲線在點(1,1)處的切線為y-1=(n+1)(x-1)(n∈N*),令y=0,得x=xn=nn+1(n∈N*),∴an=lgnn+1(n∴a1+a2+…+a99=lg12+lg23+…+=lg12×23×…答案:-25.已知f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a>b>c),試證明方程f'(x)=0必有兩個實數根.證明:法一:因為f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)[(x-b)(x-c)],所以f'(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)[(x-b)(x-c)]'=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b).令g(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-a)·(x-c),因為a>b>c,所以有g(a)=(a-b)(a-c)>0,g(b)=(b-a)(b-c)<0,g(c)=(c-a)(c-b)>0,依據函數零點的性質知,函數g(x)在區間(b,a)和(c,b)內各有一個零點,故原方程有兩個實根,且一個大于b,另一個小于b.法二:∵f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x-abc,∴f'(x)=3x2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac).Δ=[-2(a+b+c)]2-4×3×(ab+bc+ac)=4[(a+b+c)2-3(ab+bc+ac)]=4(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=2[(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ac)]=2[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2],∵a>b>c,∴Δ>0恒成立.∴方程f'(x)=0必有兩個實數根.6.導學號59254043設函數f(x)=ax-bx,曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)證明:曲線y=f(x)在任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.(1)解:方程7x-4y-12=0可化為y=74x-3當x=2時,y=12.又f'(x)=a+b于是2a-b2=12,(2)證明:設P(x0,y0)為曲線上任一點,由y'=1+3x2,知曲線在點P(x0,y0)處