高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊5.4.2正弦函數、余弦函數的性質(一)含答案5.4.2正弦函數、余弦函數的性質(一)【學習目標】1.了解周期函數、周期、最小正周期的意義.2.會求函數y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數,且A≠0,ω>0)的周期.3.掌握y=sinx,y=cosx的奇偶性,會判斷簡單三角函數的奇偶性.【素養達成】數學抽象、直觀想象數學抽象、直觀想象數學抽象、直觀想象一、周期函數1.函數的周期性一般地,設函數f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數T,使得對每一個x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函數f(x)就叫做周期函數.非零常數T叫做這個函數的周期.2.最小正周期如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.二、正弦函數、余弦函數的周期性與奇偶性函數y=sinxy=cosx圖象定義域RR周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函數偶函數教材挖掘(P202思考)是不是所有的函數都有最小正周期?舉例說明.提示:不是所有的函數都有最小正周期.例如,常函數f(x)=C(C為常數),x∈R是周期函數,但它沒有最小正周期.【教材深化】1.周期性(1)周期函數的定義是對定義域中的每一個值來說的.如果只有個別的x值滿足f(x+T)=f(x),那么T是不能稱為f(x)的周期的.(2)從等式來看,應是自變量x本身所加的非零常數才是周期.(3)不是所有的函數都是周期函數.(4)周期函數的周期不止一個,如果T是函數f(x)的周期,那么kT(k∈Z且k≠0)也是函數f(x)的周期.(5)設周期為T的函數的定義域為M,若x∈M,則必有x+nT∈M(n∈Z且n≠0).因此周期函數的定義域一定是無限集.(6)函數的周期性是函數在定義域上的整體性質.若一個函數為周期函數,則只需研究它在一個周期范圍內的性質,就可以知道它的整體性質.2.奇偶性(1)判斷函數的奇偶性時,一定要判斷函數的定義域是否關于原點對稱,當定義域不關于原點對稱時,正弦型函數和余弦型函數就不具有奇偶性.(2)由奇偶性可知正弦曲線關于原點(0,0)對稱,余弦曲線關于y軸對稱.(3)正弦曲線和余弦曲線既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.函數y=sinx,x∈R的對稱軸是x=π2+kπ,k∈Z,對稱中心是(kπ,0),k∈Z;函數y=cosx,x∈R的對稱軸是x=kπ,k∈Z,對稱中心是(π2+kπ,0),k∈(4)函數y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數,且A≠0,ω>0,x∈R)的最小正周期為T=2πω【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)因為sin(π2+π4)=sinπ4,所以π2是函數y=sinx(2)函數f(x)=1是周期函數,無最小正周期. (√)(3)因為sin(2x+2π)=sin2x,所以函數y=sin2x的最小正周期為2π. (×)(4)函數y=sinx,x∈(-π,π]是奇函數. (×)類型一正弦函數、余弦函數的周期性(數學抽象)【典例1】(多選)以下函數中,最小正周期不是2π的是()A.f(x)=2sin(12x-πB.f(x)=2cos(2x+π3C.y=│sinx2D.y=cos(12x+π【解析】選ABD.A.f(x)=2sin(12x-π3)的最小正周期為T=B.f(x)=2cos(2x+π3)的最小正周期為T=2πC.y=│sinx2│的最小正周期為T=12×D.y=cos(12x+π3)的最小正周期為T=2π【總結升華】求三角函數最小正周期的常用方法定義法利用周期函數的定義求解.公式法對形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常數,A≠0,ω≠0)的函數,T=2π圖象法利用變換的方法或作出函數的圖象,通過觀察得到最小正周期.【即學即練】1.(多選)下列函數,最小正周期為π的有()A.y=sin|x| B.y=|sinx|C.y=cos(π3-2x) D.y=|cos(x-π【解析】選BCD.對于A,因為令x=π3,y=sinπ3=32,令x=4π3,y=sin所以y=sin|x|的最小正周期不是π;對于B,y=sinx的最小正周期為2π1=2π,所以y=|sinx對于C,y=cos(π3-2x)=cos(2x-π3),則y=cos(π3-2x對于D,y=cos(x-π3)的最小正周期為2π1=2π,則y=|cos(x-π2.(多選)若函數f(x)=sinωx的最小正周期為4π,則ω的值可能是()A.2 B.12 C.-12 D【解析】選BC.因為函數f(x)=sinωx的最小正周期為4π,所以|ω|=2πT=2π4π=12,ω類型二正弦函數、余弦函數的奇偶性(直觀想象)【典例2】(1)已知函數f(x)=sin(-12x+π2),則函數f(A.奇函數B.偶函數C.既是奇函數又是偶函數D.非奇非偶函數【解析】選B.函數的定義域為R,關于原點對稱.因為f(x)=sin(-12x+π2)=cos1所以f(-x)=cos(-12x)=cos12x=f(所以f(x)是偶函數.(2)判斷下列函數的奇偶性,并說明理由.①y=|sinx|;②y=cosx③y=sinx+tanx;④y=1-cosx【解析】①對任意x∈R,因為f(-x)=|sin(-x)|=|-sinx|=|sinx|=f(x),所以函數y=|sinx|為偶函數.②定義域為{x|x≠2kπ-π2,k∈Z},因為定義域不關于原點對稱,所以函數y=cosx③定義域為{x|x≠kπ+π2,k∈Z},關于原點對稱.因為f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sinx-tanx=-f(x),所以函數y=sinx+tanx是奇函數④由1-cosx≥0cosx-1≥0得cosx=1,所以x=2kπ(【總結升華】判斷函數奇偶性的思路【即學即練】(教材P203練習3改編)1.(多選)關于x的函數f(x)=sin(x+φ)有以下說法,正確的是()A.對任意的φ,f(x)都是非奇非偶函數B.存在φ,使f(x)是奇函數C.對任意的φ,f(x)都不是偶函數D.不存在φ,使f(x)既是奇函數,又是偶函數【解析】選BD.當φ=π時,f(x)=sin(x+π)=-sinx,是奇函數.當φ=π2時,f(x)=sin(x+π2)=cosx所以A,C錯誤,B正確.無論φ為何值,f(x)不可能恒為0,故不存在φ,使f(x)既是奇函數,又是偶函數,故D正確.2.若函數f(x)=sin(12x-φ)是偶函數,則φA.2010π B.-π8 C.-π4 D.【解析】選D.因為函數f(x)=sin(12x-φ)是偶函數,所以-φ=kπ+π2,k∈Z,即φ=-kπ-π2,k∈Z,當k=0時,得φ類型三三角函數奇偶性與周期性的綜合應用(數學運算、邏輯推理)【典例3】定義在R上的函數f(x)既是偶函數,又是周期函數,若f(x)的最小正周期為π,且當x∈[0,π2)時,f(x)=sinx,則f(5πA.-12 B.12 C.-32 【解析】選D.f5π3)=f(5π3-2π)=f(-π3)=f(π3)=sin【一題多變】在本典例條件中,把“偶函數”變成“奇函數”,其他不變,則f(5π3)的值為【解析】f(5π3)=f(5π3-2π)=f(-π3)=-f(π3)=-sin答案:-3【總結升華】關于奇偶性、周期性的應用(1)奇偶性:以函數fx=sinωx+φ為例,當已知函數為奇函數時,φ=kπ,k∈Z,當已知函數為偶函數時,φ=π2+kπ,k(2)周期性:利用周期性可以將角轉化到已知的區間上,利用已知區間上的解析式求值.【即學即練】1.設f(x)是定義域為R,最小正周期為3π2的函數,若f(x)=cosx,-π2≤xA.1 B.22 C.0 D.-【解析】選B.f(-15π4)=f[3π2×(-3)+=f(3π4)=sin3π4=2.函數y=f(x)是R上的周期為3的偶函數,且f(-1)=3,則f(2026)=.

【解析】T=3,且f(x)為偶函數.又2026=675×3+1,所以f(2026)=f(675×3+1)=f(1)=f(-1)=3.答案:3高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊5.4.2正弦函數、余弦函數的性質(一)含答案5.4.3正切函數的性質與圖象【學習目標】1.了解正切函數圖象的畫法,理解并掌握正切函數的性質.2.能夠利用正切函數的圖象與性質解決相關問題.【素養達成】數學抽象、直觀想象數學抽象、數學運算正切函數y=tanx的性質和圖象解析式y=tanx圖象定義域x值域R周期π奇偶性奇函數單調性在區間-π2+kπ對稱性對稱中心kπ2,0版本交融(人BP55想一想)正切函數y=tanx在定義域上是單調遞增函數嗎?提示:正切函數在每一個區間-π2+kπ【教材深化】(1)正切函數無單調遞減區間,在每一個區間內都是遞增的,并且每個單調區間均為開區間.(2)正切曲線在x軸上方的部分下凸,在x軸下方的部分上凸,畫圖時,要注意曲線的光滑性及凸凹性.(3)正切曲線是由被相互平行的直線x=π2+kπ,k∈Z所隔開的無窮多支曲線組成的,這些平行直線也稱為正切曲線的漸近線,即無限接近但不相交【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)正切函數的值域和定義域都是R. (×)提示:正切函數的值域為R,定義域為xx(2)正切函數的對稱中心為kπ,0,k∈提示:正切函數的對稱中心為kπ2,0,(3)函數y=tanx為奇函數,故對任意x∈R都有tan(-x)=-tanx. (×)提示:x≠π2+kπ,k∈Z類型一正切函數的定義域、值域問題(數學抽象)【典例1】(1)函數y=1-tanA.[-2,-πB.[-π4,C.[-2,-π2]∪(-πD.[-2,-π2)∪(-π4,【解析】選C.由題意可得1-tan解得-π即-π解得-2≤x≤-π2或-π4<x≤(2)(2024·長沙高一檢測)已知f(x)=tanωx(0<ω<1)在區間[0,2π3]上的最大值為3,則A.12 B.13 C.23 【解析】選A.因為x∈[0,2π3],即0≤x≤2π3,又0<ω<1,所以0≤ωx≤2ωπ3<2π3,所以f(x)max=tan2ωπ3=3=tan【總結升華】求正切函數定義域、值域的方法(1)求與正切函數有關的函數定義域時,除了求函數定義域的一般要求外,還要保證正切函數y=tanx有意義,即x≠π2+kπ,k∈Z(2)求正切型函數y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定義域時,要將“ωx+φ”視為一個整體.令ωx+φ≠kπ+π2,k∈Z,解得(3)處理正切函數值域問題時,應注意正切函數自身值域為R,將問題轉化為某種函數的值域求解.【即學即練】1.函數y=tan(π4+6x)的定義域為【解析】令6x+π4≠π2+kπ,k解得x≠π24+kπ6,k∈x|答案:x2.函數y=tanx+π6,x∈-【解析】設z=x+π6,因為x∈-可得z∈(0,π2)因為正切函數y=tanz在0,π2即函數y=tanx+π6在-答案:03.函數y=tan(π6-x)的定義域為(2π3,3πA.(3,+∞) B.(-33,+∞C.(-3,+∞) D.(33,+∞【解析】選C.由2π3<x<3π2,即-3π2<-x<-2π3,得π6-3π2<π6-x<π6-從而tan(π6-x)>tan(-4π3)=-故函數的值域為(-3,+∞).類型二正切函數單調性及其應用(邏輯推理)【典例2】(易錯·對對碰)(1)函數fx=tanπ2x+【解析】令-π2+kπ<π2x+π4<kπ+π2解得-32+2k<x<2k+12,k∈Z,所以函數fx的單調遞增區間為2k-3答案:2k-32(2)函數y=tan-12x【解析】y=tan-12x由kπ-π2<12x-π4<kπ+π2得2kπ-π2<x<2kπ+3π2(k所以函數y=tan-12x+π4的單調遞減區間是答案:2kπ-π(3)下列各式中正確的是()A.tan4π7>tanB.tan(-13π4)<tan(-17πC.tan4>tan3D.tan281°>tan665°【解析】選C.A.因為tan4π7=tan(π-3π7)=tan(-3π7),且-3πy=tanx在(-π2,π2)上單調遞增,則tan4π7B.因為tan(-13π4)=tan(-π4-3π)=tan(-π4),tan(-17π5)=tan(-3π-2π5)=tan又-π4>-2π5>-π2,函數y=tanx在區間(-π2所以tan(-13π4)>tan(-17π5C.因為π2<3<π<4<3πD.因為tan281°=tan(360°-79°)=tan(-79°),tan665°=tan(720°-55°)=tan(-55°),-79°<-55°,且函數y=tanx在區間(-90°,90°)上是增函數,所以tan281°<tan665°,D錯.【總結升華】1.運用正切函數單調性比較大小的方法(1)運用函數的周期性或誘導公式將角化到同一單調區間內.(2)運用單調性比較大小關系.2.求函數y=tan(ωx+φ)的單調區間的方法y=tan(ωx+φ)(ω>0)的單調區間的求法是把ωx+φ看成一個整體,解-π2+kπ<ωx+φ<π2+kπ,k∈Z即可.當ω<0時,先用誘導公式把ω【即學即練】1.在tan2π7,tan3π7,tan4π7A.tan2π7 B.tan3π7 C.tan4π7 D【解析】選B.tan3π7>tan2π7>0,tan4π7<0,tan5π2.若函數y=tanωx在(-π,π)上是遞增函數,則ω的取值范圍是.

【解析】根據題設可知ω>0,又函數y=tanωx(ω>0)在(-π,π)上是單調遞增函數,所以kπ-π2≤ω·(-π),且ω·π≤π2+kπ,k所以求得ω≤12-k,且ω≤12+k,k所以可得ω≤12,所以ω的取值范圍為(0,1答案:(0,1類型三與正切函數有關的奇偶性、周期性、對稱性問題(邏輯推理)【典例3】(1)若f(x)=tanωx(ω>0)的最小正周期為1,則f(13)A.-3 B.-33 C.33 D【解析】選D.因為f(x)=tan(ωx)(ω>0)的最小正周期為πω=1,所以ω=π,即f(x)=tan(πx則f(13)=tanπ3=(2)關于x的函數f(x)=tan(x+φ)有以下幾種說法:①對任意的φ,f(x)都是非奇非偶函數;②f(x)的圖象關于(π2-φ,0)③f(x)的圖象關于(π-φ,0)對稱;④f(x)是以π為最小正周期的周期函數.其中不正確的說法的序號是.

【解析】①當φ=kπ時,f(x)=tan(x+φ)=tanx,為奇函數,則“對任意的φ,f(x)都是非奇非偶函數”說法錯誤,符合題意;②由x+φ=kπ2(k∈Z)得x=kπ2-φ(k∈Z),即f(x)的對稱中心為(kπ2-φ,0)(k∈Z),則當k=1時,對稱中心為(π2-φ,0),則f(x)的圖象關于(③由②得,當k=2時,對稱中心為(π-φ,0),則f(x)的圖象關于(π-φ,0)對稱,正確,不符合題意;④f(x)是以π為最小正周期的周期函數,正確,不符合題意.答案:①【總結升華】1.函數f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法(1)定義法.(2)公式法:對于函數f(x)=Atan(ωx+φ),它的最小正周期T=π|(3)觀察法(或圖象法):觀察函數的圖象,看自變量間隔多少差值重復出現.2.關于正切函數的對稱性和奇偶性(1)對于函數y=Atanωx+φ,可令ωx+φ=kπ2,k(2)對于奇偶性的判斷,一是直接利用定義,根據誘導公式變形進行判斷;二是根據正切函數是奇函數,利用奇、偶函數的運算性質進行判斷.提醒:正切函數的對稱中心為(kπ2,0),k∈Z,而不是kπ,0【即學即練】1.函數f(x)=tanωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y=1所得的線段長為π4,則f(π12A.0 B.33 C.1 D.【解析】