高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊1.1第1課時集合的含義含答案1.1集合的概念第1課時集合的含義【學習目標】1.通過實例了解集合的含義.2.理解元素與集合之間的“屬于”與“不屬于”關系,熟記常用數集專用符號.3.理解集合元素的確定性、互異性、無序性,能夠用其解決有關問題.【素養達成】數學抽象數學抽象邏輯推理一、元素與集合的相關概念元素定義把研究對象統稱為元素記法常用小寫的拉丁字母a,b,c,…表示集合定義一些元素組成的總體叫做集合,簡稱為集記法常用大寫拉丁字母A,B,C,…表示集合相等構成兩個集合的元素是一樣的集合中元素的特性確定性、互異性和無序性版本交融(人BP4嘗試與發現)某校高一學生中身高不低于180厘米的男生能否構成一個集合?高個子的男生呢?提示:某校高一學生中身高不低于180厘米的男生能構成一個集合,因為標準確定;高個子的男生不能構成一個集合.二、元素與集合的關系關系語言描述記法屬于a是集合A中的元素a∈A不屬于a不是集合A中的元素a?A三、常用的數集及其記法常用數集自然數集正整數集整數集有理數集實數集記法NN*或N+ZQR【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)某校高一(1)班所有性格開朗的女生能構成一個集合.(×)提示:因為“性格開朗”沒有明確的劃分標準,所以不能構成一個集合.(2)分別由元素0,1,2和2,0,1組成的兩個集合是相等的.(√)提示:只要構成兩個集合的元素一樣,這兩個集合就相等,與元素的先后順序無關.(3)a∈A與a?A這兩種情況有且只有一種成立.(√)提示:元素與集合之間是屬于或不屬于的關系,二者只成立其一.(4)如果坐標平面內所有的點組成的集合為B,那么1∈B.(×)提示:集合B是點集,1?B.類型一集合的概念(數學抽象)【典例1】(1)下列給出的對象中能構成集合的是()A.著名的物理學家B.很大的數C.聰明的人D.小于3的實數【解析】選D.只有D項有明確的標準,能構成一個集合,其他選項不能構成集合.(2)下列說法中,正確的是()A.若P是以π為元素的集合,Q是以3.1415926為元素的集合,則集合P與Q相等B.接近0的數的全體構成一個集合C.由“title”中的字母構成的集合中元素的個數為4D.將小于5的自然數按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排列分別得到不同的兩個集合【解析】選C.選項A中,P,Q的元素不相同,所以P與Q不相等,不正確;選項B中,不滿足集合中元素的確定性,不正確;選項C中,由“title”中的字母構成的集合中的元素為t,i,l,e,共4個,正確;選項D中,小于5的自然數不管按哪種順序排列,里面的元素都是0,1,2,3,4這5個數,集合是相同的,和元素的排列順序無關,不正確.【總結升華】1.判斷一組對象能構成集合的條件(1)能找到一個明確的標準,使得對于任何一個對象,都能確定它是不是給定集合的元素;(2)任何兩個對象都是不同的;(3)對元素出現的順序沒有要求.2.判斷兩個集合相等的注意點若兩個集合相等,則這兩個集合中的元素相同,但是要注意其中的元素不一定按順序對應相同.【即學即練】下列說法正確的是()A.在一個集合中可以找到兩個相同的元素B.好聽的歌能組成一個集合C.我校高一年級所有同學的姓氏能構成集合D.把1,2,3三個數排列,共有6種情況,因此由這三個數組成的集合有6個【解析】選C.集合中的元素是互不相同的,A不正確;好聽的歌是不確定的,所以好聽的歌不能組成一個集合,B不正確;高一年級同學的姓氏是確定的,所以能構成集合,C正確;因為集合中的元素滿足無序性,故由1,2,3三個元素只能組成一個集合,D不正確.【補償訓練】下列對象中可以構成集合的是()A.大蘋果 B.小橘子C.中學生 D.好老師【解析】選C.A×大蘋果的“大”標準不明確B×小橘子的“小”標準不明確C√中學生標準明確,故可構成集合D×好老師的“好”的標準不明確類型二元素與集合的關系(邏輯推理)【典例2】(1)(多選)集合M是由大于0且小于2的實數構成的,則下列關系正確的是()A.5∈M B.0∈MC.1∈M D.π2∈【解析】選CD.5>2,故A錯誤;0?M,故B錯誤;1∈M,故C正確;0<π2<2,故D正確(2)已知集合A中元素x滿足2x+a>0,a∈R,若2∈A,則實數a的取值范圍為_________.

答案:{a|a>-4}【解析】因為2∈A,所以2×2+a>0,即a>-4.【總結升華】判斷元素和集合關系的兩種方法(1)直接法:首先明確集合是由哪些元素構成的,然后判斷該元素在已知集合中是否出現.(2)推理法:首先明確已知集合的元素具有什么特征,然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征.【即學即練】1.下列元素與集合的關系判斷正確的是()A.0∈N B.π∈QC.2∈Q D.-1?Z【解析】選A.因為0∈N,π?Q,2?Q,-1∈Z,所以只有A正確.2.設集合B是小于11的所有實數的集合,則23_______B,1+2_______B.(用符號“∈”或“?”填空)

答案:?∈【解析】因為23=12>11,所以23?B.因為(1+2)2=3+22<3+2×4=11,所以1+2<11,所以1+2∈B.類型三元素互異性的應用(邏輯推理)【典例3】(類題·節節高)(1)已知集合A中含有兩個元素a和a2,則實數a的取值范圍為_________.

【解析】(1)因為A中含有兩個元素a和a2,所以a≠a2,解得a≠0且a≠1.(2)已知集合A中含有三個元素3,a,a2-2a,若-2∈A,則實數a的值為_______.

【解析】(2)因為-2∈A,所以a=-2或a2-2a=-2.由于a2-2a=(a-1)2-1≥-1,所以a=-2.(3)已知集合A中含有兩個元素1和a2,若a∈A,則實數a的值為_______.

【解析】(3)由題意可知,a=1或a2=a,若a=1,則a2=1,這與a2≠1相矛盾,故a≠1.若a2=a,則a=0或a=1(舍去),又當a=0時,A中含有元素1和0,滿足集合中元素的互異性,符合題意,所以實數a的值為0.答案:(1){a|a≠0且a≠1}(2)-2(3)0【總結升華】由集合中元素的特性求解字母的取值(范圍)的步驟(1)求解:根據集合中元素的確定性,解出字母的取值(范圍);(2)檢驗:根據集合中元素的互異性,對解出的值(范圍)進行檢驗;(3)作答:寫出符合題意的字母的取值(范圍).提醒:不要忘記驗證集合中元素的互異性.【即學即練】已知集合P中有三個元素-1,2a+1,a2-1.若0∈P,則實數a的值為_________.

答案:-12【解析】因為集合P={-1,2a+1,a2-1},且0∈P,所以2a+1=0或a2-1=0,解得a=-12或a=±1當a=-12時,a2-1=-3當a=1時,2a+1=3,符合題意;當a=-1時,2a+1=-1,不滿足元素的互異性,舍去;所以,實數a的值為-12或1第2課時集合的表示【學習目標】1.掌握集合的兩種表示方法:列舉法和描述法.2.能夠運用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合.【素養達成】數學抽象邏輯推理一、列舉法把集合中的所有元素一一列舉出來,并用花括號“{}”括起來表示集合的方法.

教材挖掘(P5思考)什么類型的集合適合用列舉法表示?提示:(1)元素個數較少的集合.(2)元素較多,元素的排列又呈現一定的規律,在不至于發生誤解的情況下,也可列出幾個元素作代表,其他元素用省略號表示,如N可表示為{0,1,2,…,n,…}.(3)當集合所含元素不易表述時,用列舉法表示方便.如集合{x2,x2+y2,x3}.二、描述法前提條件A是一個集合要表示的集合集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合形式{x∈A|P(x)}結論對于任何y∈x∈都有y∈A且P(y)成立版本交融(人BP6嘗試與發現)滿足x>3的所有實數組成的集合A能用列舉法表示嗎?提示:不能.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)Q={全體有理數}.(×)提示:集合的“{}”已包含所有的意思,{有理數}即代表有理數集Q.(2)“大于-2且小于2的整數”構成的集合不能用列舉法表示.(×)提示:能,{-1,0,1}.(3)集合{(0,1)}中的元素是0和1.(×)提示:集合中元素為(0,1).(4){x|x>3}與{y|y>3}是相等集合.(√)提示:都表示由大于3的數構成的集合.類型一用列舉法表示集合(邏輯推理)【典例1】用列舉法表示下列給定的集合:(1)不大于11的質數組成的集合A;【解析】(1)不大于11的質數有2,3,5,7,11,所以集合A={2,3,5,7,11}.(2)所有非負偶數組成的集合B;【解析】(2)非負偶數為0,2,4,6,8,…,所以集合B={0,2,4,6,8,…}.(3)方程2x2-x-3=0的實數根組成的集合C;【解析】(3)方程2x2-x-3=0的實數根為-1,32所以集合C={-1,32}(4)直線y=2x+1與y軸的交點所組成的集合D.【解析】(4)將x=0代入y=2x+1中,得y=1,即所求交點是(0,1),所以集合D={(0,1)}.【總結升華】用列舉法表示集合的步驟(1)求出集合的元素.(2)把元素一一列舉出來,且相同元素只能列舉一次.(3)用花括號括起來.提醒:一定要弄清集合中的元素是什么,是數還是點,還是其他元素.【即學即練】用列舉法表示下列給定的集合:(1)不小于2且不大于6的整數組成的集合A;【解析】(1)因為不小于2且不大于6的整數包括2,3,4,5,6,所以集合A={2,3,4,5,6}.(2)方程x2-2=0的實數根組成的集合B;【解析】(2)方程x2-2=0的實數根為-2,2,所以集合B={-2,2}.(3)一次函數y=x+2與y=-2x+5的圖象的交點組成的集合C.【解析】(3)由y=x所以一次函數y=x+2與y=-2x+5的交點為(1,3),所以集合C={(1,3)}.類型二用描述法表示集合(邏輯推理)【典例2】用描述法表示下列集合:(1)小于10的非負整數構成的集合;【解析】(1)小于10的所有非負整數構成的集合,用描述法可表示為{x∈Z|0≤x<10};(2)數軸上與原點的距離大于3的點構成的集合;【解析】(2)數軸上與原點的距離大于3的點構成的集合,用描述法可表示為{x||x|>3};(3)平面直角坐標系中第二、四象限內的點構成的集合;【解析】(3)平面直角坐標系中第二、四象限內的點構成的集合,用描述法可表示為{(x,y)|xy<0};(4)集合{1,3,5,7,…}.【解析】(4){1,3,5,7,…}用描述法可表示為{x|x=2k-1,k∈N*}.【總結升華】描述法表示集合的兩個步驟提醒:用描述法表示集合時,不能出現未被說明的字母.【即學即練】用描述法表示下列集合:(1)不等式2x-3<5的解組成的集合A;【解析】(1)解不等式2x-3<5得x<4,所以集合A={x|x<4}.(2)被5除余1的正整數組成的集合B;【解析】(2)被5除余1的數可以表示為5n+1,n∈Z,所以集合B={x|x=5n+1,n∈N}.(3)C={2,4,6,8,10};【解析】(3)設偶數為x,則x=2n,n∈Z.但元素是2,4,6,8,10,所以x=2n,n≤5,n∈N*,所以集合C={x|x=2n,n≤5,n∈N*}.(4)平面直角坐標系中第二象限內的點組成的集合D.【解析】(4)平面直角坐標系中第二象限內的點的橫坐標為負,縱坐標為正,即x<0,y>0,所以集合D={(x,y)|x<0,y>0}.【補償訓練】下列三個集合:A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1}.(1)它們是不是相同的集合?【解析】(1)不是.(2)它們各自的含義分別是什么?【解析】(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,所以{x|y=x2+1}=R,即集合A表示函數y=x2+1中自變量x的取值范圍;集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,滿足條件y=x2+1的y的取值范圍是y≥1,所以B={y|y≥1},即集合B表示函數y=x2+1中因變量y的取值范圍;集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是滿足y=x2+1的數對,即集合C是由坐標平面內滿足y=x2+1的點(x,y)構成的.類型三根據集合求參數問題(邏輯推理)【典例3】(易錯·對對碰)(1)已知集合A={x|x2+2x+a=0,a∈R},若A中只有一個元素,則a的值為_______;

答案:1【解析】(1)由題意,當Δ=4-4a=0,即a=1時,原方程的解為x=-1,符合題意,故當A中只有一個元素時,a的值為1.(2)已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},若A中只有一個元素,則a的值為_______;

答案:0或1【解析】(2)當a=0時,原方程變為2x+1=0,此時x=-12當a≠0時,方程ax2+2x+1=0為一元二次方程,當Δ=4-4a=0,即a=1時,原方程的解為x=-1,符合題意.故當A中只有一個元素時,a的值為0或1.(3)已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},若A中至多有一個元素,則a的取值范圍為_______.

答案:{a|a=0或a≥1}【解析】(3)由題意,A中有一個元素或沒有元素.當A中只有一個元素時,由(2)可知,a=0或a=1.當A中沒有元素時,Δ=4-4a<0且a≠0,即a>1.故當A中至多有一