高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊第十章概率含答案第十章概率【大銜接·進階之梯】在初中階段,我們學習了概率初步,已經認識了隨機事件和概率,初步了解了隨機事件的概念,并學習了在試驗結果等可能的情形下,求隨機事件的概率.在高中階段,我們將系統地學習概率,加深對隨機現象的認識和理解;理解研究隨機現象規律性的一般方法,通過建構概率模型解決實際問題,提高用概率的方法解決問題的能力,也為后續學習條件概率、隨機變量的分布、正態分布等打好基礎.【大概念?串珠成鏈】【大策略?好學深思】1.“一個”中心:本章研究中心是概率2.“兩個”基本點:(1)隨機事件;(2)概率3.“三類”問題:(1)隨機事件與概率;(2)事件的相互獨立性;(3)頻率與概率的聯系與區別4.“四種”策略:(1)結合“實例”:對于本章的學習,一定要結合具體實例,幫助學生理解樣本點、有限樣本空間、隨機事件等概念,提升數學抽象、邏輯推理和數據分析素養.(2)注重“公式”:本章要注重基本概念、公式的理解與應用,通過類比辨析探究,深化對公式和概念的理解.(3)把握“模型”:教學中,要注重從數學的角度對現實問題進行分析,針對問題建立概率數學模型,如“古典概型”“抽簽模型”“骰子模型”等,提升數學建模的意識和素養.(4)感悟“應用”:概率與實際問題緊密相連,在新教材中,每一個重要概念或模型都是采取“實例分析—抽象概括—建立概念(模型)—實際應用”的基本模式.在教學中,也應該盡可能地采取“在實際中引入,在實際中建構,到實際中應用”的基本模式.引導學生學會用概率的概念、模型和思維方式解決實際問題.階段提升課題型一頻率與概率【典例1】電影公司隨機收集了電影的有關數據,經分類整理得到如表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)隨機選取1部電影,估計這部電影沒有獲得好評的概率;(3)電影公司為增加投資回報,擬改變投資策略,這將導致不同類型電影的好評率發生變化.假設表格中只有兩類電影的好評率數據發生變化,那么哪類電影的好評率增加0.1,哪類電影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數與樣本中的電影總部數的比值達到最大(只需寫出結論)?【解析】(1)由題意知,樣本中電影的總部數是140+50+300+200+800+510=2000(部),第四類電影中獲得好評的電影部數是200×0.25=50(部),故所求概率為502000(2)由題意知,樣本中獲得好評的電影部數是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372(部),故所求概率估計為1-3722000(3)增加第五類電影的好評率,減少第二類電影的好評率.【補償訓練】某人發現人們在郵箱名稱里喜歡用數字,于是他做了調查,結果如表:郵箱數601302653061233213047006897名稱里有數字的郵箱數3678165187728130028204131頻率(1)填寫表中的頻率(結果保留到小數點后兩位);(2)人們在郵箱名稱里使用數字的概率約是多少?【解析】(1)由頻率公式可算出表格中的頻率從左向右依次為0.60,0.60,0.62,0.61,0.59,0.61,0.60,0.60;(2)由(1)知,雖然計算出的頻率不全相同,但都在常數0.60左右擺動,因此,人們在郵箱名稱里使用數字的概率約是0.60.【總結升華】1.對于只有一組試驗數據的,我們通常用事件A發生的頻率作為相應概率的估計值;2.對于有多組試驗數據的,通常將各組中事件A發生的頻率按試驗次數從小到大的順序,觀察頻率的穩定性,得到概率的估計值.題型二古典概型【典例2】袋中裝有除顏色外其他均相同的6個球,其中4個白球、2個紅球,從袋中任取兩球,求下列事件的概率.(1)A:取出的兩球都是白球;(2)B:取出的兩球一個是白球,另一個是紅球.【解析】設4個白球的編號為1,2,3,4,2個紅球的編號為5,6.從袋中的6個球中任取2個球,樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15個樣本點,且每個樣本點出現的可能性相同.(1)“從袋中的6個球中任取2球,所取的2球都是白球”為事件A,則A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共含有6個樣本點,所以P(A)=615=2(2)“從袋中的6個球中任取2球,其中一個是白球,另一個是紅球”為事件B,則B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共含有8個樣本點,所以P(B)=815【補償訓練】在人流量較大的街道,有一中年人吆喝“送錢”,只見他手拿一黑色小布袋,袋中有3個黃色、3個白色的乒乓球(各球的體積、質地完全相同),旁邊立著一塊小黑板寫著摸球方法:從袋中隨機摸出3個球,若摸得同一顏色的3個球,攤主送給摸球者5元錢;若摸得非同一顏色的3個球,摸球者付給攤主1元錢.(1)求摸出的3個球都為白球的概率;(2)求摸出的3個球為2個黃球,1個白球的概率;(3)假定一天中有100人參與摸球游戲,試從概率的角度估算一下這個攤主一個月(按30天計)能賺多少錢.【解析】把3個黃色乒乓球分別標記為A,B,C,3個白色乒乓球分別標記為1,2,3.從6個球中隨機摸出3個球的樣本空間Ω={ABC,AB1,AB2,AB3,AC1,AC2,AC3,BC1,BC2,BC3,A12,A13,A23,B12,B13,B23,C12,C13,C23,123},共20個樣本點,這20個樣本點發生的可能性是相等的.(1)設事件E={摸出的3個球都為白球},則事件E包含的樣本點有1個,即摸出123,則P(E)=120=0.(2)設事件F={摸出的3個球為2個黃球,1個白球},則事件F包含的樣本點有9個,P(F)=920=0.(3)設事件G={摸出的3個球為同一顏色}={摸出的3個球都為白球或摸出的3個球都為黃球},則事件G包含的樣本點有2個,故P(G)=220=0.1假定一天中有100人參與摸球游戲,由摸出的3個球為同一顏色的概率可估計事件“攤主送給摸球者5元錢”發生10次,事件“摸球者付給攤主1元錢”發生90次,故可估計該攤主一天能賺90×1-10×5=40(元),一個月能賺1200元.【總結升華】古典概型是一類最基本的概率模型,是學習概率知識的基礎,解題時要緊緊把握古典概型的兩個特征:有限性和等可能性,準確確定樣本空間和所求事件A中樣本點的個數,嚴格按公式P(A)=n(A題型三互斥事件、對立事件和相互獨立事件【典例3】(多選)甲罐中有3個紅球、2個白球,乙罐中有4個紅球、1個白球,先從甲罐中隨機取出1個球放入乙罐,分別以事件A1,A2表示由甲罐中取出的球是紅球、白球的事件,再從乙罐中隨機取出1個球,以事件B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件,下列命題正確的是()A.事件A1,A2互斥B.事件B與事件A1相互獨立C.P(A1B)=1D.P(B)=23【解析】選ACD.根據題意畫出樹狀圖,得到有關事件的樣本點數,所以事件A1,A2不可能同時發生,故彼此互斥,故A正確;P(A1)=1830=35,P(A2)=1230=25,P(B)=15+830=2330,P(A1因為P(A1B)=12,P(A1)P(B)=35×2330=2350,則P(A1B)≠P(A1)P(B),事件B與事件【補償訓練】在奧運知識有獎問答競賽中,甲、乙、丙三人同時回答一道有關奧運知識的問題,已知甲答對這道題的概率是34,甲、乙兩人都回答錯誤的概率是112;乙、丙兩人都回答正確的概率是1(1)求乙答對這道題的概率;(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答對這道題的概率.【解析】(1)記甲、乙、丙3人獨自答對這道題分別為事件A,B,C.設乙答對這道題的概率P(B)=x,由于每人回答問題正確與否是相互獨立的,因此A,B,C是相互獨立事件,由題意,并根據相互獨立事件同時發生的概率公式,得P(AB)=P(A)P(B)=1-34×(1-x)=112,解得x=23所以,乙答對這道題的概率為P(B)=23(2)設“甲、乙、丙三人中,至少有一人答對這道題”為事件M,丙答對這道題的概率P(C)=y.由(1),并根據相互獨立事件的概率公式,得P(BC)=P(B)P(C)=23y=1解得y=38甲、乙、丙三人都回答錯誤的概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1-34×1-23×1-38=596因為事件“甲、乙、丙三人都回答錯誤”與事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答對這道題”是對立事件,所以,所求事件概率P(M)=1-596=91【總結升華】事件間的關系的判斷方法(1)判斷事件間的關系時,可把所有的試驗結果寫出來,看所求事件包含哪幾個試驗結果,從而斷定所給事件間的關系.(2)對立事件一定是互斥事件,也就是說不互斥的兩事件一定不是對立事件,在確定了兩個事件互斥的情況下,就要看這兩個事件的和事件是不是必然事件,這是判斷兩個事件是否為對立事件的基本方法.判斷互斥事件、對立事件時,注意事件的發生與否都是對于同一次試驗而言的,不能在多次試驗中判斷.(3)判斷兩事件是否相互獨立,有兩種方法:①直接法;②看P(AB)與P(A)P(B)是否相等,若相等,則A,B相互獨立,否則不相互獨立.題型四概率與統計的綜合應用【典例4】某單位N名員工參加“社區低碳你我他”活動,他們的年齡在25歲至50歲之間,按年齡分組:第1組[25,30),第2組[30,35),第3組[35,40),第4組[40,45),第5組[45,50],得到的頻率分布直方圖如圖所示,如表是年齡的頻數分布表.區間[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]人數25ab(1)求正整數a,b,N的值;(2)現要從年齡較小的第1,2,3組中用分層隨機抽樣的方法抽取6人,則年齡在第1,2,3組的人數分別是多少?(3)在(2)的條件下,從這6人中隨機抽取2人參加社區宣傳交流活動,求恰有1人年齡在第3組的概率.【解析】(1)由頻率分布直方圖可知,[25,30)與[30,35)兩組的人數相同,所以a=25,且b=25×0.080.02(2)因為第1,2,3組共有25+25+100=150(人),所以利用分層隨機抽樣的方法在150名員工中抽取6人,第1組被抽取的人數為6×25150第2組被抽取的人數為6×25150第3組被抽取的人數為6×100150所以年齡在第1,2,3組的人數分別是1,1,4;(3)由(2)可設第1組的1人為A,第2組的1人為B,第3組的4人分別為C1,C2,C3,C4,則從6人中隨機抽取2人,樣本空間Ω={(A,B),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),(C1,C2),(C1,C3),(C1,C4),(C2,C3),(C2,C4),(C3,C4)},共有15個樣本點.其中恰有1人年齡在第3組的樣本點為(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),共有8個,所以恰有1人年齡在第3組的概率為815【補償訓練】個稅專項附加扣除的目的是讓大部分人能夠減輕納稅負擔,對各種收入的人群都能起到一定的減稅效果,共涉及子女教育、繼續教育、大病醫療、住房貸款利息、住房租金、贍養老人、嬰幼兒照顧等七項專項附加扣除.某學校具有高級職稱、中級職稱、初級職稱的教師分別有72人,108人,120人,現采用分層隨機抽樣的方法,從該學校上述教師中抽取25人調查專項附加扣除的享受情況.(1)應從具有高級職稱、中級職稱、初級職稱的教師中分別抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少兩項專項附加扣除的教師有6人,分別記為A,B,C,D,E,F,具體享受情況如表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受,現從這6人中隨機抽取2人接受采訪.①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;②設M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”,求事件M發生的概率.ABCDEF子女教育○○×○×○繼續教育××○×○○大病醫療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養老人○○×××○嬰幼兒照顧○○××○×【解析】(1)某學校具有高級職稱、中級職稱、初級職稱的教師分別有72人,108人,120人,現采用分層隨機抽樣的方法,從該學校上述教師中抽取25人調查專項附加扣除的享受情況,具有高級職稱、中級職稱、初級職稱的教師人數之比為6∶9∶10,由于采用分層隨機抽樣的方法從中抽取25人,所以應從具有高級職稱的教師中抽取25×66+9+10從具有中級職稱的教師中抽取25×96+9+10從具有初級職稱的教師中抽取25×106+9+10=10人(2)①{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15種.②由題中表格知,符合題意的所有可能結果為{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11種,所以事件M發生的概率P(M)=1115【總結升華】概率與統計的綜合應用解題策略處理該類問題的關鍵是弄清各概念間的關系,抓住問題本質,這類問題涉及數據較多,要分清各數據對應事件及端點處數據的特殊含義,理解頻率與概率間的關系,準確求解問題.【真題1】(1)(2023·全國甲卷)某校文藝部有4名學生,其中高一、高二年級各2名.從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演,則這2名學生來自不同年級的概率為()A.16 B.13 C.12 【解析】選D.依題意設高一年級的學生編號為1和2,高二年級的學生編號為3和4,則從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演情況有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6種情況,符合情況的有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)這4種情況,故這2名學生來自不同年級的概率為46=2(2)(2023·全國乙卷)某學校舉辦作文比賽,共6個主題,每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文,則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為()A.56 B.23 C.12 D【解析】選A.將這6個主題分別編號為1~6號,建立如下表格:項目甲123456乙1×2×3×4×5×6×其中一共有36種情況,表格畫“×”表示甲、乙兩位參賽同學抽到相同主題的情況,有6種,那么甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的情況就有36-6=30(種),所以甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為3036=5【溯源】(人教A必修二P246T8)從長度為1,3,5,7,9的5條線段中任取3條,求這三條線段能構成一個三角形的概率.【解析】該試驗的樣本空間可表示為Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),(5,7,9)}共有10個樣本點,其中能構成三角形的樣本點有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)共3個,故所求概率P=310[點評]2023年全國卷兩道高考試題和教材習題都是考查古典概型,有很高的相似性.教材習題是通過列舉法羅列出所有基本事件,再求出滿足要求的基本事件個數,由古典概型求解.而高考真題的考點和考查方向與此題一致,所以在平時的學習中要重視教材、研究教材中的例題和習題.【真題2】(2022·新高考Ⅱ卷,節選)