高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊第八章8.48.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系含答案8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系【學習目標】1.了解空間兩條直線間的位置關系,理解異面直線的定義.2.了解直線與平面間的位置關系,能判斷它們之間的位置關系.3.了解平面與平面間的位置關系,能判斷它們之間的位置關系.【素養達成】直觀想象直觀想象、邏輯推理直觀想象、邏輯推理一、空間中兩條直線的位置關系共面直線相交直線在同一個平面內,有且只有一個公共點平行直線在同一個平面內,沒有公共點異面直線不同在任何一個平面內的兩條直線,沒有公共點【教材挖掘】(P129)分別在兩個平面內的兩條直線一定是異面直線嗎?提示:不一定.可能平行、相交或異面.【版本交融】(人BP99嘗試與發現)在立體幾何中怎樣作異面直線的直觀圖?提示:通常用一個平面或兩個平面襯托,如圖:二、空間中直線與平面的位置關系在平面內有無數個公共點在平面外相交有且只有一個公共點平行沒有公共點【教材挖掘】(P129)“直線與平面不相交”與“直線與平面沒有公共點”是一回事嗎?提示:不是.前者包括直線與平面平行及直線在平面內這兩種情況,而后者僅指直線與平面平行.三、空間中平面與平面的位置關系平行沒有公共點,記作:α∥β相交有一條公共直線【教材挖掘】(P130)兩本書所在的平面可以相交嗎?公共點的個數是多少?提示:可以,有無數個公共點.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)兩條異面直線一定在兩個不同的平面內.(√)(2)若a與b是異面直線且a與c也是異面直線,則b與c是異面直線.(×)提示:b與c可能是相交、平行或異面直線.(3)若直線l上有無數個點都在平面α外,則直線l與平面α平行.(×)提示:直線l與平面α相交或平行.(4)若兩個平面都平行于同一條直線,則這兩個平面平行.(×)提示:兩個平面平行或相交.類型一空間中直線與直線的位置關系(直觀想象)【典例1】(1)若直線a∥b,b∩c=A,則a與c的位置關系是()A.異面 B.相交 C.平行 D.異面或相交【解析】選D.若a∥c,因為a∥b,所以b∥c,這與b∩c=A矛盾,所以a與c不可能平行,但a與c異面、相交都有可能.(2)(多選)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,CC1的中點,以下結論正確的是()A.直線DM與CC1是相交直線B.直線AM與NB是平行直線C.直線MN與CD1是平行直線D.直線AM與DD1是異面直線【解析】選ACD.A中直線DM與直線CC1在同一平面內,它們不平行,必相交,故結論正確.C中MN是△CD1C1的中位線,故結論正確.D中的兩條直線既不相交也不平行,即為異面直線,故結論正確.B中AM與BN是異面直線,故結論不正確.【總結升華】空間兩直線位置關系的判斷(1)判定兩條直線是平行或相交直線,可用平面幾何的方法.(2)判定兩條直線是異面直線的方法:①定義法:即利用異面直線的定義來判斷兩直線不可能在同一平面內;②排除法:判斷兩直線既不平行也不相交.【即學即練】1.三棱錐A-BCD的六條棱所在直線成異面直線的有()A.3對 B.4對 C.5對 D.6對【解析】選A.三棱錐A-BCD的六條棱所在直線中,成異面直線的有AB和CD,AD和BC,BD和AC,所以三棱錐A-BCD的六條棱所在直線成異面直線的有3對.2.(多選)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,下列結論正確的為()A.直線A1B與直線D1C平行B.直線A1B與直線B1C相交C.直線D1D與直線D1C異面D.直線AB與直線B1C異面【解析】選AD.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,且A1D1=BC,所以四邊形A1BCD1為平行四邊形,所以A1B∥D1C.直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內,A1B與B1C異面.直線D1D與直線D1C相交于點D1.直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內,AB與B1C異面.類型二空間中直線與平面的位置關系(直觀想象、邏輯推理)【典例2】(教材P131T3改編)下列說法正確的是()A.若直線a在平面α外,則a∥αB.若直線a∥b,b?平面α,則a∥αC.若直線a∥平面α,則直線a平行于平面α內的無數條直線D.若直線a平行于平面α內的無數條直線,則a∥α【解析】選C.直線a在平面α外包括兩種情況,即a∥α或a與α相交,所以a和α不一定平行,故A不正確.因為直線a∥b,b?平面α,只能說明a和b無公共點,但a可能在平面α內,所以a不一定平行于α,故B不正確.對于C,比如在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥平面ABCD,A1D1∥AD,所以平面ABCD內任一條平行于AD的直線都與A1D1平行,故C正確.對于D,當a?α時,α內也存在無數條直線與直線a平行,故D不正確.【總結升華】直線與平面位置關系的判斷的關注點(1)通法:要判斷直線在平面內,只要判斷直線上兩點在平面內;要判斷直線與平面相交,只需說明直線與平面只有一個公共點;要判斷直線與平面平行,則必須說明直線與平面沒有公共點.(2)巧法:借助模型(正方體、長方體等).(3)提醒:判斷直線與平面的位置關系時不要遺漏直線在平面內的情況.【即學即練】下列說法中,正確的個數是()①如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交,那么另一條直線也和這個平面相交;②經過兩條異面直線中的一條直線,有一個平面與另一條直線平行;③兩條相交直線,其中一條與一個平面平行,則另一條一定與這個平面平行.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.易知①正確,②正確.③中兩條相交直線中一條與平面平行,另一條可能平行于平面,也可能與平面相交,故③錯誤.類型三空間中平面與平面的位置關系(直觀想象、邏輯推理)【典例3】(易錯·對對碰)(1)已知在兩個平面內分別有一條直線,且這兩條直線平行,則這兩個平面的位置關系是____________;

(2)已知在兩個平面內分別有一條直線,且這兩條直線相交,則這兩個平面的位置關系是__________;

(3)已知在兩個平面內分別有一條直線,且這兩條直線異面,則這兩個平面的位置關系是____________.

【解析】(1)如圖,兩平面有平行或相交兩種情況.(2)因為分別在兩個平面內的兩條直線相交,所以兩平面是相交的.(3)如圖,a?α,b?β,a,b異面.由圖知這兩個平面可能平行,也可能相交.答案:(1)平行或相交(2)相交(3)平行或相交【總結升華】1.平面與平面的位置關系的判斷方法(1)平面與平面相交的判斷,主要是以基本事實3為依據找出一個交點;(2)平面與平面平行的判斷,主要是說明兩個平面沒有公共點.2.常見的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上、下底面平行;(2)長方體(正方體)的六個面中,三組相對面平行.【即學即練】1.若兩個平面互相平行,則分別在這兩個平行平面內的直線()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面【解析】選D.兩個平面內的直線必無交點,所以是異面或平行.2.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B1,BB1的中點,則平面AA1D1D與平面BNC的位置關系是__________,平面AMD1與平面BNC的位置關系是__________.

【解析】因為平面BNC即平面BB1C1C,所以平面AA1D1D與平面BNC平行,平面AMD1與平面BNC相交.答案:平行相交【補償訓練】已知正方體ABCD-A1B1C1D1,在圖甲中,E,F分別是D1C1,B1B的中點,請畫出圖甲、圖乙中有陰影的平面與平面ABCD的交線.【解析】在圖甲中,過點E作EN平行于BB1交CD于點N,連接NB,并延長交EF的延長線于點M,連接AM,則AM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.在圖乙中,延長DC,過點C1作C1M∥A1B交DC的延長線于點M,連接BM,則BM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.教材深一度異面直線的判定定理(源于教材例題2)【判定定理】過平面外一點和平面內一點的直線,與平面內不過該點的直線是異面直線.用符號語言可表示為A?α,B∈α,l?α,B?l?AB與l是異面直線(如圖).【典例4】如圖,若P是△ABC所在平面外一點,PA≠PB,PN⊥AB,N為垂足,M為AB的中點,求證:PN與MC為異面直線.【證明】方法一(用異面直線的判定定理):因為PA≠PB,PN⊥AB,N為垂足,M是AB的中點,所以點N與點M不重合.因為N∈平面ABC,P?平面ABC,CM?平面ABC,N?CM,所以PN與MC為異面直線.方法二(用反證法):假設PN與MC不是異面直線,則存在一個平面α,使得PN?α,MC?α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.因為PA≠PB,PN⊥AB,N為垂足,M是AB的中點,所以點M與點N不重合.因為M∈α,N∈α,所以直線MN?α.因為A∈MN,B∈MN,所以A∈α,B∈α,即A,B,C,P四點均在平面α內,這與點P在平面ABC外相矛盾.所以假設不成立.故PN與MC為異面直線.

8.5空間直線、平面的平行8.5.1直線與直線平行【學習目標】1.理解并掌握基本事實4,會用其解決相關直線與直線平行問題.2.理解等角定理,會用其解決角相等或互補問題.【素養達成】數學抽象、直觀想象直觀想象、邏輯推理一、基本事實4平行于同一條直線的兩條直線平行.【教材挖掘】(P134)在平面幾何中,證明兩直線平行的常用結論有哪些?提示:三角形的中位線平行于底邊、平行四邊形的對邊平行等.【版本交融】(人BP97嘗試與發現)初中所學的結論“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”,在空間中是否仍成立?初中所學的結論“在同一平面內,如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行”,如果去掉條件“在同一平面內”,結論是否仍成立?提示:這兩個結論在空間中仍成立.【教材深化】該事實也稱平行定理,它給出了空間兩條直線平行的依據,說明直線的平行關系具有傳遞性,也稱空間直線可以平移.二、等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.【教材挖掘】(P134)若兩個角的兩邊分別對應平行,且兩個角的開口方向相同,那么這兩個角的關系是什么?提示:相等.【版本交融】(蘇教P170思考)如果∠BAC和∠B1A1C1的邊AB∥A1B1,AC∥A1C1,且邊AB與A1B1方向相同,而邊AC與A1C1方向相反,那么,∠BAC和∠B1A1C1之間有何關系?提示:互補.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)分別與異面直線平行的兩條直線也是異面直線.(×)提示:也可能是相交直線.(2)相等或互補的角的兩邊分別平行.(×)提示:無法判斷兩條邊的位置關系.(3)對于空間直線a,b,c,d,如果a∥b,b∥c,c∥d,那么a∥d.(√)(4)如果兩條相交直線與另外兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.(√)類型一空間中直線平行的判定(直觀想象)【典例1】如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱C1D1,A1D1的中點.求證:四邊形MNAC為梯形.【證明】如圖,連接A1C1,在△A1C1D1中,因為M,N分別是C1D1,A1D1的中點,所以MN是△A1C1D1的中位線,所以MN∥A1C1,MN=12A1C1因為AC∥A1C1,AC=A1C1,所以MN∥AC,且MN=12AC,即MN≠AC所以四邊形MNAC為梯形.【總結升華】證明空間兩條直線平行的方法(1)平面幾何法:三角形中位線、平行四邊形的性質等.(2)定義法:用定義證明兩條直線平行,一是兩條直線在同一平面內;二是兩條直線沒有公共點.(3)基本事實4:用基本事實4證明a,c兩條直線平行,只需找到直線b,使得a∥b,同時b∥c,由基本事實4即可得到a∥c.【即學即練】(教材P134例1改編)如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點,AC⊥BD,求證:四邊形EFGH為矩形.【證明】因為E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,所以EH∥BD,FG∥BD,且EH=FG=BD2所以四邊形EFGH為平行四邊形.又因為AC⊥BD,HG∥AC,EH∥BD,所以EH⊥HG,所以四邊形EFGH為矩形.類型二等角定理的應用(直觀想象、邏輯推理)【典例2】(教材P135T4改編)如圖,已知線段AA1,BB1,CC1交于點O,且OAOA1=OBOB1=OCOC1,求證:△【證明】因為AA1與BB1交于點O.且OAOA1=OBOB1,所以同理A1C1∥AC,B1C1∥BC.又因為A1B1和AB,A1C1和AC方向相反,所以∠BAC=∠B1A1C1,同理∠ABC=∠A1B1C1.所以△ABC∽△A1B1C1.【總結升華】關于等角定理的應用(1)根據空間中