8.2兩條直線的位置關(guān)系【考點(diǎn)梳理】1．兩條直線的位置關(guān)系(1)平行：對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1∥l2?k1＝k2，特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2的關(guān)系為l1∥l2．(2)垂直：如果兩條直線l1，l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1k2＝－1，特別地，若直線l1：x＝a，直線l2：y＝b，則l1與l2的關(guān)系為l1⊥l2．2．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0.))若方程組有惟一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時兩條直線平行．3．距離公式(1)點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(Ax0＋By0＋C)),\r(A2＋B2))．(2)兩條平行直線間的距離：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)間的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(C1－C2)),\r(A2＋B2))．考點(diǎn)一兩條直線平行、相交、重合【例題】（1）下列說法中正確的是（

）A．若兩條直線斜率相等，則它們互相平行B．若，則C．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交D．若兩條直線的斜率都不存在，則它們相互平行【答案】C【解析】若兩條直線斜率相等，則它們互相平行或重合，A錯誤；若，則或，的斜率都不存在，B錯誤；若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交，C正確；若兩條直線的斜率都不存在，則它們互相平行或重合，D錯誤，故選：C.（2）若直線：與直線：互相平行，則的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】若直線：與直線：互相平行，，解得，故選：A．（3）是直線和平行的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)橹本€和平行，所以，解得或，當(dāng)時，兩直線分別為，兩直線平行，當(dāng)時，兩直線分別為，兩直線平行，所以或，所以是直線和平行的充分不必要條件，故選：A.（4）直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由解得，則直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：A.（5）直線l經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且平行于直線，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得兩直線交點(diǎn)為(－1，0)，直線l斜率與相同，為，則直線l方程為y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0，故選：B.（6）已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】0或【解析】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，，解得或，故答案為：0或.【變式】（1）已知直線，．若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由題意得，，解得.經(jīng)驗(yàn)證符合題意，故選：D.（2）“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】D【解析】充分性：直線與平行，但是和都沒有斜率，即當(dāng)和都垂直于軸時，與仍然平行，但是，此時不滿足直線與的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直線與的斜率相等，則直線與平行或重合，故必要性不成立；綜上，“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的既非充分又非必要條件，故選：D.（3）直線和直線平行，則直線和直線的位置關(guān)系是（

）A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交【答案】B【解析】因?yàn)橹本€和直線平行，所以，故直線為，與直線平行，故選：B.（4）若三條直線和交于一點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】聯(lián)立得，把代入得，故選：C.（5）經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，并且平行于直線的直線的一般式方程為．【答案】【解析】由解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為，由平行于直線可得斜率為1，故方程為，化為一般方程為，故答案為：.（6）已知方程組有無窮解，則的值為.【答案】4【解析】因?yàn)榉匠探M有無窮解，所以直線與直線重合，所以且，解得；故答案為：.考點(diǎn)二兩直線垂直、點(diǎn)到直線的距離【例題】（1）若直線：與：垂直，則實(shí)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可得：，則，故選：D．（2）“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】直線與直線垂直，則，解得：或，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件，故選：B.（3）在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)到直線的距離等于（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【解析】原點(diǎn)到直線的距離為，故選：B.（4）已知的三個頂點(diǎn)，則的高CD所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知：，則，故CD所在的直線方程為，即，故選：D.（5）已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】由直線平行可得，解得，則直線方程為，即，則距離是，故選：D.（6）已知直線，．若，求與的距離．【答案】【解析】由，得，解得或．當(dāng)時，兩直線方程均為，不合題意；當(dāng)時，方程為，即，方程為，即，所求距離為，故答案為：．【變式】（1）已知直線與互相垂直，則（

）A． B． C．1 D．1或【答案】C【解析】因?yàn)橹本€與互相垂直，所以，解得，故選：C.（2）“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若直線與直線垂直，則，即，解得或，因?yàn)椋裕啊笔恰爸本€與直線垂直”的充分非必要條件，故選：A.（3）已知直線，，且，點(diǎn)到直線的距離（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由可得，解得，故，故選：D.（4）若直線l1與l2的斜率k1、k2是關(guān)于k的方程的兩根，若l1⊥l2，則b=．【答案】【解析】因?yàn)樾甭蔾1、k2是關(guān)于k的方程的兩根，所以，因?yàn)閘1⊥l2，所以，即，故答案為：.（5）已知斜率為的直線過直線與交點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立，，解得，又直線斜率為，∴直線的方程為，即，∴原點(diǎn)到直線的距離為，故選：A.（6）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離是.【答案】1【解析】由拋物線得焦點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離，故答案為：1.【方法總結(jié)】1．當(dāng)直線的方程中含有字母參數(shù)時，不僅要考慮斜率存在與不存在的情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．2．兩條直線的位置關(guān)系一般用斜率和截距來判定，但當(dāng)直線方程用一般式給出且系數(shù)中有參數(shù)時，往往需要繁瑣地討論．但也可以這樣避免：設(shè)兩直線為A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0，則兩直線垂直的條件為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A1,B1)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A2,B2)))＝－1，由此得A1A2＋B1B2＝0，但后者適用性更強(qiáng)，因?yàn)楫?dāng)B1＝0或B2＝0時前者不適用但后者適用．3．運(yùn)用直線系方程，有時會使解題更為簡單快捷，常見的直線系方程有：(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；4．運(yùn)用公式d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(C1－C2)),\r(A2＋B2))求兩平行直線間的距離時，一定要將兩條直線方程中x，y