第1頁/共1頁2024~2025學年上學期高二年級教學質量監測考試數學試卷【考試時間：2025年1月14日09：00~11：00】（全卷四個大題，共19個小題，共4頁；滿分150分，考試用時120分鐘）注意事項：1.答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號等在答題卡上填寫清楚，并認真核準條形碼上的相關信息，在規定的位置貼好條形碼.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.在試題卷上作答無效.3.非選擇題用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區域內作答，在試題卷上作答無效.4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題，共58分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求解對數不等式得集合，再根據集合的交集運算求解.【詳解】，，所以.故選：C.2.若，則復數對應的點位于第（）象限.A.一 B.二C.三 D.四【答案】C【解析】【分析】根據復數乘方運算可得，再由復數的幾何意義可得結論.【詳解】易知，由可得，可知對應的點在第三象限，故選：C.3.已知函數，，則“”是“函數在上單調遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，求出函數在1,+∞上單調遞增等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】若函數在1,+∞上單調遞增，則，解得，所以“”是“函數在1,+∞上單調遞增”的必要不充分條件.故選：B.4.甲同學近10次數學考試成績情況如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，則甲同學這10次數學考試成績的第25百分位數是（）A.113 B.109.5C.106 D.103【答案】A【解析】【分析】利用百分位數定義即可求得結果.【詳解】已知數據按從小到大排列為：103，106，113，118，118，119，121，123，125，134，因為，因此第25百分位數是第3個數113，故選：A.5.已知數列是首項為1，公差為2的等差數列，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據等差數列的定義，寫出通項公式，結合題意，可得答案.【詳解】由題得，即，則，故選：A.6.已知，則（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件，結合兩角差正切公式求，利用商的關系將所求表達式轉化為由表示的形式，代入可得結論.【詳解】因為，所以，解得，所以，故選：D.7.設，，，則的最小值為（）A. B.4 C. D.6【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式中常數代換技巧求解最值即可.【詳解】由題可得：，，，所以，當且僅當即時取等號，故的最小值為4.故選：B.8.已知正項數列滿足，若，則（）A. B.10 C. D.5【答案】B【解析】【分析】根據方程組法求得時，進而，結合求解即可.【詳解】因為，當時，，兩式相減得：，，當時，，，又，解得.故選：B二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知事件，發生的概率分別為，，則下列說法正確的是（）A.若與互斥，則B.若與相互獨立，則C.若與相互獨立，則D.若發生時一定發生，則【答案】ABC【解析】【分析】根據互斥事件概率加法公式求解判斷A，根據獨立事件乘法公式和概率性質求解判斷B，結合對立事件概率公式，利用獨立事件乘法公式求解判斷C，根據事件關系求解概率判斷D.【詳解】選項A：與互斥，則，正確；選項B：與相互獨立，所以，從而，正確；選項C：，正確；選項D：發生時一定發生，則，，不正確.故選：ABC.10.雙曲線的左、右焦點分別為，.若點是關于的一條漸近線的對稱點，且恰在另一條漸近線上，則（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的離心率為C.的面積為D.若為雙曲線上的一動點，則到兩條漸近線的距離之積為定值【答案】CD【解析】【分析】對于A：根據題意可知漸近線的傾斜角分別為，，進而可得漸近線方程；對于B：可知，進而可求離心率；對于C：根據題意可得，，進而可求面積；對于D：可得雙曲線方程為，結合點到直線的距離公式分析判斷.【詳解】對于選項A，因為點是關于的一條漸近線的對稱點，且恰在另一條漸近線上，可知，則漸近線的傾斜角分別為，，所以雙曲線漸近線方程為，故A錯誤；對于選項B，由選項A可知，所以雙曲線的離心率為，故B錯誤；對于選項C，因為，且，可知，且，在中，可得，，所以的面積為，故C正確；對于選項D，由及，得，，則雙曲線的方程為.設Px0,所以到兩條漸近線的距離之積為，故D正確；故選：CD.11.已知等比數列的首項，公比為，前項和為，前項積為，則（）A.若數列是遞增數列，則B.當時，數列是常數列C.當時，存在實數，使得恒成立D.若，則使得成立的的最大值為10【答案】ACD【解析】【分析】根據遞增的性質列不等式求解判斷A，利用指數運算化簡求出判斷B，利用等比數列求和公式求解判斷C，結合B選項及題意求得，，即可判斷D.【詳解】A：若數列是遞增數列，則當時，，因為，所以，故A正確；B：，因為，所以數列不是常數列，故B錯誤；C：因為當時，，故存在，使得恒成立，故C正確；D：因為，若，則，，所以，所以，，，，所以，，則使得成立的的最大值為10，故D正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，，則向量在向量上的投影向量的坐標為______.【答案】【解析】【分析】結合數量積的坐標運算和模的坐標公式，利用投影向量公式求解即可.【詳解】向量在向量上的投影向量的坐標為.故答案為：13.圓錐的底面積為，其母線長為，則該圓錐的體積為______.【答案】【解析】【分析】根據底面圓面積求出半徑，進而求出圓錐的高，代入圓錐的體積公式即可求解.【詳解】圓錐的母線長為，底面半徑長為，又，解得，故高，可得圓錐的體積為.故答案為：14.設拋物線的焦點為，直線與的一個交點為，，直線與的另一個交點為，則________.【答案】##【解析】【分析】根據題意聯立直線方程分別解出的坐標，即可求得.【詳解】聯立消可得，解得或，即直線與拋物線的交點為或，∵，∴，又，直線：，即，聯立，消可得，解得或，則，此時.故答案為：四、解答題（共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面和平面所成的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，證明出，，結合線面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）利用空間向量法可求得平面和平面所成的夾角的余弦值.【小問1詳解】連接，因為底面，底面是矩形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，P0,0,1，，，所以，，，因為，，所以，，又，、平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知平面的一個法向量為，，，設平面的法向量為m=x,y,z，則有，令，則，，故，所以，所以平面和平面所成夾角的余弦值為.16.一個圓切直線于點，且圓心直線上.（1）求該圓的方程；（2）過直線上一點引圓的兩條切線，切點分別為，，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據直線垂直關系求出PM直線方程，與直線方程聯立求得圓心，再求出半徑即可得解；（2）先判斷直線與圓相離，然后利用對稱性得四邊形面積為，結合垂線段最短利用點線距離求解即可.【小問1詳解】設圓心坐標為，則設過點的半徑所在的直線為，代入，可得，由解得所以.所以，所以圓的方程為.【小問2詳解】因為到直線的距離為，所以直線與圓相離，由題意四邊形面積為，可得，當與直線垂直時，最小，四邊形面積最小.由.所以四邊形面積的最小值為.17.設中的內角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若，，三邊成等比數列，角的角平分線交于點，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，結合內角和公式，誘導公式，輔助角公式化簡后求解即可；（2）由條件根據等比中項性質可得，由關系結合面積公式可得，再結合余弦定理可求，根據三角形面積公式求結論.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，所以，所以即，即，因為，所以，故，即，因為，所以，故.【小問2詳解】∵，，三邊成等比數列，所以，①.∵，是的平分線，∴，又，∴，化簡得：②.由余弦定理得，將①②代入上式可得：，∴.18.設等差數列的前項和為，首項，且，數列的前項和為，且滿足.（1）求數列和的通項公式；（2）求數列的前項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）判斷數列為等差數列，結合已知求出公差即可得的通項；再利用前項和與第的關系求出通項.（2）由（1）的結論求出，再利用錯位相減法求和即得.【小問1詳解】設等差數列公差為，則，，于是數列是首項為，公差為的等差數列，而，即，解得，因此；由數列的前項和，當時，，即，當時，，解得，因此數列是以1為首項，為公比的等比數列，，所以數列和的通項公式分別為，.【小問2詳解】由（1）知，，，則有，兩式相減得，所以.19.已知和為橢圓上兩點.（1）求橢圓的離心率；（2）過點的直線與橢圓交于、兩點（、不在軸上）.（i）若的面積為，求直線的方程；（ii）直線和分別與軸交于、兩點，求證：為定值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）由已知可得出、的值，可得出的值，由此可得出橢圓的離心率；（2）（i）設、，設直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，利用三角形的面積公式可得出關于的等式，解出的值，即可得出直線的方程；（ii）求出、，以及直線、的方程進而可得出點、的縱坐標，結合韋達定理計算可得出為定值.【小