第1頁/共1頁鄂爾多斯市西四旗2024～2025學年第一學期期末聯考試卷高三數學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：一輪復習集合～解析幾何.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據交集的定義計算可得.【詳解】因為集合，，所以.故選：B2.已知復數滿足，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】應用復數乘法求復數，進而有，根據其對應點坐標確定所在象限.【詳解】由，則，所以在復平面內z對應點的坐標為，位于第一象限.故選：A3.已知向量，，若與方向相同，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據向量平行可得的值，利用與方向相同驗證可得結果.【詳解】由與方向相同得，，∴，解得，當時，，，，與方向相同，當時，，，，與方向相反，不合題意.綜上得，.故選：C.4.已知，，則（）A.8 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正切函數的和角公式，可得答案.【詳解】因，，所以.故選：D.5.已知直線：，：，若，則（）A.5 B.2 C.2或-5 D.5或-2【答案】A【解析】【分析】根據直線平行，結合一般式方程建立方程，分別驗根，可得答案.【詳解】因為直線：與直線：平行，所以，解得或.當時，直線：與直線：重合，不符合題意；當時，直線：與直線：平行，符合題意.綜上，.故選：A.6.設是等比數列的前項和，若，，則（）A.48 B.84 C.90 D.112【答案】C【解析】【分析】利用等比數列片段和的性質得，，進而可求.【詳解】因為是等比數列的前n項和，所以，，，成等比數列，又，，所以，，所以.故選：C7.已知拋物線：的焦點為F，點P是C上的一點，點，則周長的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過點P作C的準線的垂線，垂足為，結合拋物線定義及三角形的性質有求周長最小值.【詳解】由題知，準線方程為，過點P作C的準線的垂線，垂足為，由拋物線的定義知，又，所以，當且僅當M，P，三點共線時取得最小值，故周長的最小值是.故選：C8.已知函數，若函數恰有5個零點，則實數m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函數的圖象并換元，結合圖象將問題轉化為方程根的分布列不等式求解.詳解】由函數恰有5個零點，得方程有5個根，在平面直角坐標系中作出函數的圖象，令，觀察圖象知，當時，直線與的圖象有3個交點，當時，直線與的圖象有2個交點，令，由函數有5個零點，得有兩個不等實根，且，，因此或，解得或，所以實數m的取值范圍是.故選：B.【點睛】方法點睛：已知函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數的最小正周期為，則（）A. B.直線是圖象的一條對稱軸C. D.函數圖象的對稱中心為【答案】BC【解析】【分析】根據余弦函數周期公式判斷A，求出對稱軸方程代入特殊值判斷B，根據余弦型函數的單調性判斷C，根據對稱中心結論求解判斷D【詳解】因為函數的最小正周期為，所以，解得，故A錯誤；由上得，令，，解得，，當時，直線是圖象的一條對稱軸，故B正確；由，，時，可得在上單調遞減，因為，所以，故C正確；令，，解得，，所以的對稱中心為，故D錯誤.故選：BC.10.已知直線，，平面，，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】BC【解析】【分析】由線面平行的判定定理和性質定理可得A錯誤，B正確；由線面垂直的的性質可得C正確，D錯誤；【詳解】選項A中，可能在內，也可能與平行，故A錯誤；選項B中，因為，，，所以，故B正確；選項C中，因為，，所以，又，所以，故C正確；選項D中，因為，，，所以，故D錯誤.故選：BC.11.曲線C是平面內與三個定點，和的距離的和等于的點的軌跡，P為C上一點，則（）A.曲線C關于x軸對稱 B.存在點P，使得C.面積的最大值是1 D.存在點P，使得為鈍角【答案】BCD【解析】【分析】A選項，由已知表示出曲線C的方程，觀察方程的對稱性可以判斷結果；B選項，假設結論成立，推理出曲線存在，符合題意；C選項，點P在橢圓上頂點時，滿足題意，且面積最大；D選項，尋找曲線C上的一個特殊點，驗證為鈍角.【詳解】設曲線C上任意一點Px,y由題意可知C的方程為.因為點0,1在曲線C上，而點不在曲線C上，所以曲線C不關于x軸對稱，故A錯誤；若，則，所以這樣的點P存在，故B正確；，P應該在橢圓D：內（含邊界），曲線C與橢圓D有唯一的公共點，此時，，當點P為點時，的面積最大，最大值是1，故C正確；取曲線C上點，此時，在曲線C上再尋找一個特殊點，，則，即，兩邊平方并整理得，解得，即或.因為，則取點，此時，故D正確.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是判斷曲線C的方程表示的幾何圖形，根據已知條件并數形結合P點的位置，再通過找特殊點得出即或，并取點，從而解決問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知偶函數滿足：當時，，則______.【答案】18【解析】【分析】根據偶函數的性質，結合對數運算，可得答案.【詳解】因為為偶函數，所以.故答案為：.13.如圖是某烘焙店家烘焙蛋糕時所用的圓臺狀模具，它的高為6cm，下底部直徑為12cm，上面開口圓的直徑為20cm，現用此模具烘焙一個跟模具完全一樣的兒童蛋糕，若蛋糕膨脹成型后的體積會變為原來液態狀態下體積的2倍（模具不發生變化），現用直徑為16cm的圓柱形容器量取液態原料（不考慮損耗），則圓柱形容器中需要注入液態原料的高度為________cm.【答案】####【解析】【分析】根據圓臺的體積公式以及圓柱的體積公式，可得答案.【詳解】圓臺狀蛋糕膨脹成型后的體積為，圓柱形容器中液態原料的體積為，解得，即圓柱形容器中需要注入液態原料的高度為.故答案為：.14.已知圓和圓與x軸和直線都相切，兩圓相交于M，N兩點，其中點M的坐標為，且兩圓半徑的乘積為5，則k的值為_______.【答案】【解析】【分析】由題意設出圓心與半徑，根據圓的標準方程，將問題轉化為一元二次方程有解問題，利用韋達定理求得兩圓心所在直線的斜率，根據正切的二倍角公式，可得答案.【詳解】圓和圓與x軸和直線都相切，且一個交點，設a，b分別是圓和圓的半徑，，，其中，所以，所以a，b是的兩個不同的根，又，所以，解得，所以，而直線的傾斜角是直線的傾斜角的一半，當時，可得，符合題意；當時，可得，不符合題意.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于方程思想的應用，將問題轉化為一元二次方程有解問題，利用韋達定理求參數，即可使問題解決.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數列的前項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應用等差數列的通項公式及前n項和公式求基本量，進而寫出通項公式；（2）根據的符號，討論、，結合等差數列前n項和公式求.【小問1詳解】設等差數列的公差為，又，，所以，解得，，所以.【小問2詳解】由（1）知，當時，，則；當時，，則，當時，，當時，.綜上，16.如圖，在平面四邊形中，，，，．（1）求四邊形的周長；（2）求四邊形的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據二倍角公式得到，再根據余弦定理得到及的值，即可求得周長；（2）根據三角形面積公式得到的面積，即可求得結果【小問1詳解】因為，，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四邊形的周長為；【小問2詳解】因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以四邊形的面積為．17.已知雙曲線E：與有相同的漸近線，且過點.（1）求E的方程；（2）已知O為坐標原點，直線與E交于P，Q兩點，且，求m的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用待定系數法，結合代入法進行求解即可；（2）將直線方程與雙曲線方程聯立，根據一元二次方程根與系數關系，結合平面向量數量積的坐標表示公式進行求解即可.【小問1詳解】由題意，設E的方程為，又E過點，所以，解得，所以E的方程為.【小問2詳解】設Px1,y1，Q因為Δ=所以，，所以，所以，解得或.18.如圖，在四棱錐中，，，，是邊長為2的等邊三角形，且平面平面，點E是棱上的一點.（1）若，求證：平面；（2）若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值；（3）求點到直線的距離的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取的中點F，可得，再由線面平行的判定定理可得答案；（2）取的中點O，由面面垂直、線面垂直的性質定理得，，以O為坐標原點，直線，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設，求出平面、平面的法向量，由二面角的向量求法求出可得答案；（3）設，，求出點到直線的距離，分、、可得答案.【小問1詳解】取的中點F，連接，，又，點F是的中點，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】取的中點O，連接，，如圖所示，因為等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，，又，得，所以以O為坐標原點，直線，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，所以，D0,1,0，，，，設，，所以，又，設平面的法向量為，所以，令，解得，，所以平面的法向量.又，BC=0,1,0設平面的法向量為，所以，令，解得，，所以平面的法向量.設平面與平面的夾角為，所以，解得，所以；【小問3詳解】設，，所以，又，所以點到直線的距離，當時，；當時，，而，當時，取最小值，此時.綜上，點到直線的距離的最小值為.19.已知曲線在點處的切線交軸于點，曲線在點處的切線交x軸于點，依此類推，曲線在點處的切線交x軸于點，其中數列稱為函數關于的“切線數列”.（1）若，是函數關于的“切線數列”，求的值；（2）若，是函數關于的“切線數列”，記，求數列的通項公式；（3）若，是否存在，使得函數關于的“切線數列”為周期數列?若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義求切線方程，進而求；（2）導數幾何意義求切線方程，根據題設定義得到，結合已知得，代入整理，結合等比數列定義寫出通項公式；（3）根據定義得到，進而有且，應用導數研究右側的單調性，再討論的范圍研究單調性，即可得結論.【小問1詳解】由，得，因為，所以，，曲線在處的切線方程為，即.令，得，即.【小問2詳解】由，得，所以，，曲線在處的切線方程為，即.令，得，即.因為，所以，，即，所以，所以，又，所以，所以數列是以2為首項