高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市2025屆高三上學期期末數學試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，則，可得.所以.故選：B（改編自《數學》（必修第一冊）第7頁例4）2.已知集合，，則集合的真子集個數為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，則，所以，集合的真子集個數為.故選：A.3.直線交圓于、兩點，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】聯立解得：，，所以.故選：D.4.的展開式中，的系數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為.的二項展開式的通項公式為.而，所以的系數為為.故選：C.5.計算機是將信息轉換成二進制進行處理的，二進制即“逢二進一”．如表示一個二進制數，將它轉換成十進制的數就是，那么將二進制數轉換成十進制數就是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.6.已知點，Q為曲線上任意一點，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】為曲線上任意一點，可設，所以當時，最大.故選：C.7.已知函數，則（）A.當時，在區間上單調遞增B.當時，的圖象關于點對稱C.若將的圖象向左平移個單位長度后與原圖象重合，則實數的最小值為D.若在區間上恰有兩個極值點，三個零點，則實數的最大值為【答案】D【解析】對于AB，當時，，當時，，函數在區間上單調遞減，，的圖象關于不對稱，AB錯誤；對于C，的圖象向左平移個單位長度，得，由圖象與原圖象重合，得，解得，的最小值為，C錯誤；對于D，當時，，由在區間上恰有兩個極值點，三個零點，得，解得，因此實數的最大值為，D正確.故選：D.8.如圖，已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點，，A、B、C、D是它們的公共點，且都在圓上，直線與x軸交于點P，直線與雙曲線交于點，記直線、的斜率分別為、，若橢圓的離心率為，則的值為（）A.2 B.C. D.4【答案】B【解析】設橢圓標準方程為，雙曲線的標準方程為，則，由，，所以，所以橢圓方程可化為，由，兩式相減得，，則，根據對稱性可知關于原點對稱，關于軸對稱.則，直線的方程為.將代入得，由，解得或，而，，所以，所以，所以雙曲線方程可化為，由消去并化簡得，設，解得，所以，所以.故選：B.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列命題中正確的是（）A.一組數據，，，，，，，，的分位數為B.若一組樣本數據的對應樣本點都在直線上，則這組樣本數據的相關系數為C.在對高三某班學生物理成績的分層隨機抽樣調查中，抽取男生人，其平均數為，方差為；抽取女生人，其平均數為，方差為，則這名學生物理成績的方差為D.若隨機變量，且，則【答案】CD【解析】對于A：該組數據已從小到大排序，又，故分位數為第位，即，故A錯誤；對于B：因為樣本點都在直線上，說明是負相關且相關系數為，故B錯誤；對于C：這名同學物理成績的平均數為：，所以這名同學物理成績的方差為：，故C正確；對于D：因為，且，所，所以，故D正確.故選：CD.10.小明在“數學建模活動”課中，取兩個三角形模具，把它們的斜邊靠在一起，如圖所示，三角形模具繞著可以轉動.其中斜邊，，，則（）A.當A，B，C，D四點共面時，B.當A，B，C，D四點共面時，設與交于點，則C.當平面平面時，D.當A、B、C、D不共面時，四點A、B、C、D在同一球面上，且此球的體積為【答案】BCD【解析】由，，，可得，，.對于A：，由余弦定理得，錯誤；對于B：由，得即，解得，正確；對于C：過作于，則為的中點，連接.當面面時，面面，面，則面.而面，則，所以為直角三角形，，正確；對于D：取的中點，則，所以四點A、B、C、D在同一球面上，且球的半徑為5，所以，正確.故選：BCD.11.已知函數，，下列說法正確的是（）A.函數存在唯一極值點，且B.令，則函數無零點C.若恒成立，則D.若，，則【答案】ABD【解析】對于A：，顯然在上單調遞增，又，，所以，使得，故A正確；對于B：由A得，，使得，即，，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以恒大于0；所以要研究函數的零點，只需研究函數的零點.由，令，，，當時，，即在單調遞增，當時，，即在單調遞減，所以，即，即在單調遞增，又時，，所以，由恒大于0，恒大于0，故無零點，故B正確；對于C：由B得，由恒成立，得在恒成立，所以，即，故錯誤；對于D：因為在單調遞增，又，，則，所以，即，整理得，不等式兩邊同除以得，，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.某校高三年級有男生660人，女生440人，現按性別用分層隨機抽樣的方法從高三年級所有學生中抽取5人組成某活動志愿者小隊，再從被抽取的這5人中抽取2人作為志愿者小隊隊長，則恰有1名男隊長的概率為_____.【答案】或0.6【解析】由分層抽樣知，所抽取的這5人中有3男2女，所以恰有1個男隊長的概率.故答案為：.13.已知等差數列的前項和為，若，且，，，四點共面（為該平面外一點），則_____.【答案】【解析】因為，所以.因為，，，四點共面，所以，即.所以.故答案為：.14.已知雙曲線的方程為：，離心率為，過的右支上一點，作兩條漸近線的平行線，分別交軸于，兩點，且.過點作的角平分線，在角平分線上的投影為點，則的取值范圍為_____.【答案】【解析】，，即，∴兩漸近線方程為，為右支上一點，.設，，分別令，可得，，又，，即，，∴雙曲線方程為，故，，.延長交于點，如圖，平分且，，又，，為的中點，，，易知，，，，即的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.（1）如圖（1），在圓O的內接四邊形ABCD中，，，，求四邊形ABCD的面積．（2）如圖（2），設圓O的內接四邊形的邊長分別為a，b，c，d，試證明其面積為．解：（1）如圖所示：連接BD，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得:,因為，則，兩式相減得，又，所以，所以.（2）如圖所示：連接AC，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得:,因為，則，兩式相減得：，所以，而，因為，所以，所以，所以，則，，即.16.已知拋物線.（1）求拋物線在點處的切線方程；（2）若直線交拋物線于不同于原點的兩點，，經研究，下面三個結論等價，請選擇其中一個作為條件，證明其他兩個成立.①；②直線過定點；③，.解：（1）法一：顯然拋物線在處的切線的斜率存在，設其為，則切線方程為，與拋物線聯立，得，即，只需，解得，所以切線方程為.法二：要求拋物線在處的切線，則由可得所以在處的切線的斜率，所以切線方程為.（2）因為直線交拋物線于，兩點，所以可設直線由，消去可得，所以，，，，，由①②③：因為，所以，即，所以（舍去）.所以直線經過定點，即證②.所以，，即證③.由②①③：因為直線經過定點，則由上面可得，，即證③；所以，所以，即證①.由③①②：因為，，所以，所以，即證①.由上面可得，解得，所以直線經過定點，即證②.（改編自《數學》）（選擇性必修第一冊）第219頁A組第6題）17.高三（1）班有名同學，在某次考試中總成績在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、??；在分—分之間的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中數學成績超過分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.（1）從該班同學中任選一人，求在數學成績超過分的條件下，總成績超過分的概率；（2）從數學成績超過分的同學中隨機抽取人.①采取不放回抽樣方式抽取，記為成績在分—分之間的同學的個數，求的分布列和期望；②采取放回抽樣方式抽取，記為成績在分—分之間的同學的個數，求的值.（直接寫出結果）解：（1）解法一：記事件所抽取的學生的數學成績超過分，則，記事件所抽取的學生的總成績超過分，則，所以.即任取一人，在數學成績超過分的條件下，總成績超過分的概率為；解法二：數學成績超過分的有人，其中包含總成績超過分以上的有人，所以任取一人，在數學成績超過分的條件下，總成績超過分的概率為（2）①名數學成績超過分的同學包含個總成績在分之間的，所以所有可能的取值為：、、、，，，，.所以的分布列為：.②名數學成績超過分同學包含個總成績在分之間的，按可放回抽樣的方式隨機抽取，則隨機變量，所以.18.已知函數.（1）當時，求證：的圖象關于點對稱；（2）若，，證明：；（3）若，恒有，求實數的取值范圍.（1）證明：當時，的定義域為.對任意，都有因為恒成立，所以的圖象關于點對稱；（2）證明：解法一：，當時，是遞增函數，因此，，又，所以，在上遞減，，因為，所以，從而；解法二：因為，所以，欲證，只需證明記，則因為，，，所以，所以，在上遞減，因為，所以，從而；（3）解：解法一：因，恒有，所以即，所以.當時，因為，所以，記，則在上遞減，在上遞增，，所以綜上所述的取值范圍是.解法二：，，當時，，在上是減函數，當時，，因此fx=時，由得，記，，則有兩個實根，一根小于1，一根大于1，大于1的根為，知它是關于的減函數，注意到在上是增函數，且，即時，，時，2x-1x-1>1a所以時，，遞減，時，，遞增，所以，時，，此時，記，在上遞減，在上遞增，且，因此，，即成立.當時，，fx0=ln當時，，，所以不恒成立.綜上，時，恒成立所以的取值范圍是.19.空間直角坐標系中，任何一個平面的方程都能表示成（其中），且為該平面的法向量.（1）若平面，，且，求實數的值；（2）請利用法向量和投影向量的相關知識證明：點到平面的距離為，若記集合所圍成的幾何體為，求的內切球的表面積；（3）記集合中所有點構成的幾何體為.①求的體積的值；②求的相鄰（有公共棱）兩個面所成二面角的大小.解：（1）根據題意，平面的法向量，平面的法向量，所以，故.（2）不妨設，在平面內取一點，則向量，取平面的一個法向量，所以點到平面的距離為對于，當時，表示經過，，的平面在第一象限的部分.由對稱性可知表示，，這六個頂點形成的正八面體.法1：設內切球的半徑為，則即為原點到平面的距離，則.所以內切球的表面積為；法2：考慮；即為三個坐標平面與圍成的四面體，其四個頂點分別為，，，，此四面體的體積為，由對稱性知，正八面體的體積，設內切球的半徑為，正八面體的表面積為，所以，解得：.所以內切球的表面積為；（3）由（2）可知所圍幾何體是關于平面，，對稱的，其在第一卦限的形狀為正三棱錐，如圖其中、OB、兩兩垂直，且.集合所表示的幾何圖形也關于平面，，對稱，其在第一卦限內的部分的圖形如圖（1），圖