欽州市2024年秋季學(xué)期高二年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版必修第一冊(cè)第7章，必修第二冊(cè)第5章，選擇性必修第一冊(cè)第1章至第3章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】首先由復(fù)數(shù)的運(yùn)算求得，則答案可得.【詳解】因?yàn)椋裕湓趶?fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率公式即可求解；【詳解】由，可得：，故選：C3.甲、乙兩人獨(dú)立地攻克一道難題，已知兩人能攻克的概率分別是，，則該題被攻克的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式求解.【詳解】因?yàn)樵擃}未被攻克的概率為，所以該題被攻克的概率為.故選：B4.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由得，，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.5.已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由焦點(diǎn)到漸近線的距離公式即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，焦點(diǎn)為因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為.因?yàn)椋裕噪p曲線的離心率為.故選：C.6.擲兩枚質(zhì)地均勻正方體骰子，記事件“第一枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件“第二枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則（）A.與互為對(duì)立事件 B.與互斥C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念可判斷A、B，根據(jù)獨(dú)立事件的概率可判斷C，由包含的基本事件可判斷D.【詳解】因?yàn)槭录梢酝瑫r(shí)發(fā)生，所以與不是互斥事件，不是對(duì)立事件.因?yàn)槭录幕臼录灰粯樱允录幌嗟?因?yàn)椋?故選：C7.已知復(fù)數(shù)z滿足，為z的共軛復(fù)數(shù)，則的最大值為（）A7 B.9 C.25 D.49【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義可知的幾何意義為在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn),到點(diǎn)的距離為2，再結(jié)合圓的知識(shí)可解.【詳解】設(shè)，因?yàn)榈膸缀我饬x為在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn),到點(diǎn)的距離為2，所以所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，而可看作該圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，所以.故選：D.8.在平行四邊形中，，，，是的中點(diǎn)，沿將翻折至的位置，使得平面平面，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線線角即可.【詳解】在中，，則，即，又平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，于是，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，于是，得，所以直線與所成角的余弦值為.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.的虛部為31i B.C.為純虛數(shù) D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】因?yàn)椋缘奶摬繛椋蔄錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以C正確；因?yàn)樘摂?shù)不能比較大小，所以D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知圓，點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，則（）A.圓上有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2B.圓上只有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2C.從點(diǎn)向圓引切線，切線長(zhǎng)的最小值為D.從點(diǎn)向圓引切線，切線長(zhǎng)的最小值是【答案】BC【解析】【分析】由圓心到直線的距離和半徑關(guān)系可判斷A，B；由切線長(zhǎng)計(jì)算公式可判斷C，D；【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑.圓心到直線的距離，所以A不正確，B正確.從點(diǎn)向圓引一條切線，設(shè)切點(diǎn)為，連接，則，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)取得最小值，即，故C正確，D不正確.故選：BC11.在長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)（含表面），且滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，則（）A.的面積為B.的面積為C.當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使得D.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)中點(diǎn)以及線線平行可得的軌跡為四邊形，即可利用梯形面積求解AB，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解C，利用線面平行，結(jié)合體積公式即可求解D.【詳解】取的中點(diǎn)，連接則，所以四點(diǎn)共面.因?yàn)椋运狞c(diǎn)共面，故點(diǎn)的軌跡為四邊形，所以的面積即為梯形的面積.因?yàn)椋裕蔄正確，B錯(cuò)誤.對(duì)于C，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.因?yàn)椋裕?因?yàn)椋裕茫源嬖邳c(diǎn)，使得，故C正確.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槠矫妫庶c(diǎn)到平面的距離為定值2，又三角形的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以D正確.故選:ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、勾股定理求解即可.【詳解】由，可得：，即圓心，，圓心到直線l的距離為：，所以弦長(zhǎng)為故答案為：213.已知事件與互斥，且，，則______.【答案】0.5##【解析】【分析】運(yùn)用互斥事件概率加法公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榕c互斥，所以.故答案：0.5.14.在正四面體中，，則______（用，，表示）．若，則______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)向量的模的計(jì)算，結(jié)合向量數(shù)量積的定義與向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出答案.【詳解】，，，且正四面體為正四面體，所以，且之間的夾角都是，則，故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某學(xué)校舉辦了一場(chǎng)趣味知識(shí)競(jìng)賽，將100名參賽學(xué)生的成績(jī)（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中m的值，并估計(jì)這100名參賽學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)；（2）若從競(jìng)賽成績(jī)?cè)赱80，90），[90，100]內(nèi)的兩組學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取8人，再?gòu)倪@8人中任意抽取2人代表學(xué)校參加競(jìng)賽，求抽取的2人中至少有1人的成績(jī)?cè)赱90，100]內(nèi)的概率.【答案】（1），68（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖長(zhǎng)方形面積和為1確定m，進(jìn)而求出中位數(shù)即可；（2）根據(jù)古典概型求解基本事件總數(shù)與所求事件總數(shù)即可得答案.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可得，解得.設(shè)所求中位數(shù)的估計(jì)值為，則，解得，即這100名參賽學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)約為68.【小問(wèn)2詳解】由題意知，成績(jī)?cè)趦?nèi)的共有12人，在內(nèi)的共有4人，所以用分層抽樣的方法抽取的8人中，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有6人，分別記為1，2，3，4，5，6，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有2人，分別記為A，B.從8人中抽取2人包含12，13，14，15，16，1A，1B，23，24，25，26，2A，2B，34，35，36，3A，3B，45，46，4A，4B，56，5A，5B，6A，6B，AB，共28個(gè)基本事件，而抽取的2人中至少有1人的成績(jī)?cè)趦?nèi)含有13個(gè)基本事件，所以抽取的2人中至少有1人的成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率為.16.已知圓過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線與圓相切，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓的方程為，帶入A、B點(diǎn)的坐標(biāo)以及將圓心帶入直線方程構(gòu)成方程組，解方程組可得答案；（2）分直線的斜率不存在和斜率存在兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求得切線l的方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得，則直線的方程為，即.故直線的方程為或.17.如圖，已知矩形所在平面與直角梯形所在平面垂直，在直角梯形中，，，.（1）判斷與是否垂直，并說(shuō)明理由；（2）求直線CN與平面所成角的余弦值.【答案】（1）不垂直，理由見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，線的方向向量坐標(biāo)和面的法向量坐標(biāo)，結(jié)合向量垂直判定和向量夾角余弦值公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】解：由題意知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則.因?yàn)椋裕手本€與不垂直.【小問(wèn)2詳解】設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋粤睿?設(shè)直線CN與平面所成的角為，因?yàn)椋裕裕手本€CN與平面所成角的余弦值為.18.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，.（1）證朋：平面平面（2）若平面與平面的夾角為，求的長(zhǎng)度.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，再由面面垂直的判定定理得平面平面；（2）取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由平面PBC與平面的夾角為可得a值，則長(zhǎng)度可求.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫云矫?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【小問(wèn)2詳解】解：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)椋?因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，平面PBC的法向量為，因?yàn)椋粤睿?平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，所以，所以，故.19.已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；（2）與直線平行的直線交于兩點(diǎn)（均不與的頂點(diǎn)重合），設(shè)直線，的斜率分別為，證明：為定值．【答案】（1