第05講拓展一：分離變量法解決導數恒成立，能成立問題(精練）A夯實基礎一、單選題1．已知函數，對都有成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：函數,對都有,當時,即,即為可化為令,則當時,,單調遞減.因此所以故實數的取值范圍是故選B2．已知函數，，若至少存在一個，使得成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知至少存在一個，使得成立，即在上有解，滿足即可，設，，∵，∴，∴在上恒為增函數，∴，∴，故選：B.3．已知函數，若在定義域內存在，使得不等式成立，則實數m的最小值是（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【詳解】函數的定義域為，.令，得或（舍）.當時，；當時，.所以當時，取得極小值，也是最小值，且最小值為1.因為存在，使得不等式成立，所以，所以實數m的最小值為1.故選：C4．若函數，滿足恒成立，則的最大值為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【詳解】解：因為，滿足恒成立，所以，令，則，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，所以的最大值為，故選：C.5．已知函數，若對任意兩個不等的正數，，都有恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對任意都有恒成立，則時，，當時恒成立，

，當時恒成立，，故選：A6．已知函數．若的最小值為，且對任意的恒成立，則實數m的取值圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】∵函數的對稱軸方程為，∴，令，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；∴，又對任意的恒成立，即，∴.故選：C7．已知函數，實數，滿足，若，，使得成立，則的最大值為A．4 B．C． D．【答案】A【分析】試題分析：，則當時，；當時，，∴.，作函數的圖象如圖所示，當時，方程兩根分別為和，則的最大值為.故選A.8．已知若對于任意兩個不等的正實數、，都有恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】不妨設，可得，可得，令，則，所以，函數在上為增函數，對任意的恒成立，所以，，當時，，當且僅當時，等號成立，所以，.故選：B.二、多選題9．若關于的不等式在上有解，則實數的取值可以是（

）．A． B．1 C． D．【答案】ABC【詳解】解：依題意，問題等價于關于的不等式在上有解．令，，則．令，，則，易知單調遞增，，所以單調遞增，故，故，則在上單調遞增，故，即實數的取值范圍為．故選：ABC10．已知函數，滿足對任意的，恒成立，則實數a的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】因為函數，滿足對任意的，恒成立，當時，恒成立，即恒成立，因為，當且僅當，即時取等號，所以.當時，恒成立.當時，恒成立，即恒成立，設，，，，為減函數，，，為增函數，所以，所以，綜上所述：.故選：ABC三、填空題11．當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是______．【答案】【詳解】根據題意，當時，分離參數，得恒成立．令，∴時，恒成立．令，則，當時，，∴函數在上是減函數．則，∴．∴實數的取值范圍是．故答案為：12．已知函數在上存在極值點，則實數a的取值范圍是_____________.【答案】或【詳解】由題可知：，因為函數在上存在極值點，所以有解所以，則或當或時，函數與軸只有一個交點，即所以函數在單調遞增，沒有極值點，故舍去所以或，即或故答案為：或四、解答題13．已知函數，其中為自然對數的底數.（參考數據：）(1)討論的單調性；(2)設，恒成立，求的最大值.【答案】(1)當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．(2)3(1)由題意得，則，當時，當時恒成立，則在上單調遞減；當時，令，得，令，得.函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，令，得，令，得，函數在上單調遞增，在上單調遞減；綜上所述：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．(2)設函數，則，令，得，在上單調遞減，在上單調遞增；則，要使恒成立，只要恒成立，即令，則當時恒成立∴在上單調遞減，又∵，所以滿足條件的的最大值為3.14．已知函數.(1)當時，求的單調區間與極值；(2)若在上有解，求實數a的取值范圍.【答案】(1)在上單調遞減，在上單調遞增，函數有極小值，無極大值(2)(1)當時，，所以當時；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時函數有極小值，無極大值.(2)因為在上有解，所以在上有解，當時，不等式成立，此時，當時在上有解，令，則由（1）知時，即，當時；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，所以，綜上可知，實數a的取值范圍是.B能力提升1．已知函數.（1）若，求曲線在處切線的方程；（2）求的單調區間；（3）設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）當時，單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為；（3）.【詳解】（1）由已知，，曲線在處切線方程為，即.（2）.①當時，由于，故，所以，的單調遞增區間為，無單調遞減區間.②當時，由，得.在區間上，，在區間上，所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（3）由已知，轉化為，由（2）知，當時，在上單調遞增，值域為，故不符合題意.(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)當時，在上單調遞增，在上單調遞減，故的極大值即為最大值，，所以，解得.2．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【詳解】解：（1）由已知定義域為，當，即時，恒成立，則在上單調遞增；當，即時，（舍）或，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以時，在