漢陽一中、江夏一中、洪山高中2024-2025學年度下學期2月聯考高二數學試卷試卷滿分：150分注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點坐標為（

）A. B. C. D.2.已知直線與平行，則（）A.或3 B.0或3 C.0或 D.或0或33.記為等比數列的前項和，若，則（）A.63 B.64 C.127 D.1284.已知直線與雙曲線相交于、兩個不同點，點是的中點，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.5.如圖，已知平行四邊形，，且，沿對角線將折起，當二面角的余弦值為時，則A與C之間距離為（）A.2 B. C. D.6.已知數列的通項公式為，則當取得最小值時，（）A.3 B.4 C.5 D.67.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，為底面內的一個動點，若，則動點在（）A.直線上 B.圓上 C.拋物線上 D.橢圓上8.定義：，兩點間的“M距離”為把到兩定點，的“距離”之和為常數的點的軌跡叫“橢圓”，則“橢圓”的面積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若方程，所表示的曲線為C，則下列命題正確的是（）A.曲線C可以表示圓 B.若曲線C是橢圓，則C.曲線C不可能表示直線 D.若，則C為雙曲線10.已知直三棱柱中，，點為的中點，則下列說法正確的是（）A.B.平面C.異面直線與所成的角的余弦值為D.直三棱柱的外接球的表面積為11.（多選）已知數列滿足，，設，記數列的前項和為，數列的前項和為，則下列結論正確的是（）A B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線與直線有公共點，則k的取值范圍是__________.13.設是數列的前項和，且，則__________.14.如圖所示，在圓錐內放入兩個大小不同的球，，使得它們分別與圓錐的側面和平面都相切，平面分別與球，相切于點，.數學家GerminalDandelin利用這個模型證明了平面與圓錐側面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個焦點，這兩個球也被稱為Dandelin雙球.若球，的半徑分別為6和3，球心距離，則此橢圓的長軸長為___________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓A經過兩點，，且圓心A在直線上.（1）求圓A的標準方程；（2）求過點且與圓A相切的直線方程.16.記為數列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）若，求整數的最小值．17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面平面，點在棱PB上，且平面ACE.（1）求證：為PB的中點；（2）求平面ACE與平面ACD夾角的正弦值.18.已知橢圓：上的點到焦點距離最短為，到焦點距離最長為．（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線與橢圓交于，兩點，且橢圓的左、右焦點分別為，，，的面積分別為，，求的最大值．19.已知拋物線（為正整數），為直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，記點的縱坐標分別為（其中）．（1）證明：成等差數列；（2）若，記等差數列的公差為．（i）用和表示；（ii）初等數論是研究數的規律，特別是整數性質的數學分支．初等數論中有如下定理：若兩個正整數的最大公約數為1，且這兩個正整數的乘積是某個正整數的平方，則這兩個正整數都為完全平方數．請用該定理證明下面的問題：若為正奇數，為正整數，且這三個數兩兩之間的最大公約數都為1，證明：一定可以表示為某兩個正整數的平方之和．

參考答案1-8【答案】D【答案】B【答案】C【答案】D【答案】C【答案】B【答案】B【答案】C9.【答案】ACD10.【答案】ABD11.【答案】ABD12.【答案】13.【答案】##14.【答案】15.【答案】（1）（2）或16.【答案】（1）（2）17.【小問1詳解】證明：連接BD交AC于點，連接EF，因為底面ABCD是矩形，所以為BD的中點，因為平面平面PBD，平面平面，所以，又因為為BD的中點，所以為PB的中點.【小問2詳解】解：取CD的中點，連接PO，FO，因為底面ABCD為矩形，所以，因為為CD的中點，所以，，所以，又因為平面平面ABCD，平面平面平面，所以平面ABCD，所以，所以OF，OC，OP兩兩垂直.以為坐標原點，OF，OC，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則由題意可得，，則，由上可知為平面ACD的一個法向量，設平面ACE的法向量為，則令，則，所以，所以，所以平面ACE與平面ACD夾角的正弦值為.18.【小問1詳解】由題意，，解得，則，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由（1）知，，，當直線的斜率不存在時，，則；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯立，得，設，則，所以，，由于異號，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為．綜上所述，的最大值為．19.【小問1詳解】由題意有，點，設直線的斜率分別為，直線的方程為，代入，有，整理為，有，有，同理有，可得是關于的方程的兩個根，有,又由，同理有，有，故成等差數列；【小問2詳解】（i）若，有，可得，有，故有；（ii）由（i）有，又由為正整數，為正整數，為正奇數，且這三個數兩兩之間的最大公約數都為1，可得為奇