廣西壯族自治區2024-2025學年高二下學期開學考試數學試題一、單選題1．設是橢圓上的動點，則點到的兩個焦點的距離之和為（

）A．80 B．10 C．20 D．402．若直線與直線平行，則（

）A．3 B． C．-1或3 D．13．已知向量，則向量在向量方向上的投影向量的坐標為（

）A． B． C． D．4．方程表示的曲線是（

）A．一個點 B．一個點和一條直線 C．一條直線 D．兩條直線5．已知數列滿足，設的前項和為，則（

）A．1 B．0 C． D．20256．已知雙曲線的一條漸近線截圓所得弦長為2，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．7．若原點到直線的距離為2，點到直線的距離為3，則符合題意的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條8．已知數列滿足，設數列的前項和為，若，，成等差數列，則（

）A．10 B．11 C．12 D．13二、多選題9．已知直線的傾斜角為，則（

）A．B．直線在兩坐標軸上的截距相等C．為直線的一個方向向量D．直線關于軸對稱的直線的方程為10．如圖，在正方體中，點在平面內，設直線與直線所成的角分別為，則下列結論正確的是（

）A．B．是與的等差中項C．直線與平面所成角的正弦值為D．若，則11．已知是拋物線上不同的動點，為拋物線的焦點，直線為拋物線的準線，線段的中點為，則（

）A．當時，的最大值為32B．當時，的最小值為22C．當時，直線的斜率為D．當三點共線時，點到直線的距離的最小值為14三、填空題12．若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則的取值范圍是．13．已知兩定點，若動點滿足，則點的軌跡所圍成的圖形的面積等于．14．已知在正四棱錐中，，點是該正四棱錐內切球球面上的動點，則正四棱錐的體積為，的最小值為．四、解答題15．已知正項等比數列滿足．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和．16．已知點在雙曲線上．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若過點的直線與雙曲線只有一個公共點，求直線的方程．17．如圖，在直四棱柱中，，，，為的中點．

(1)證明：平面平面．(2)求平面與平面夾角的余弦值．18．已知拋物線，圓的圓心為拋物線的焦點，直徑等于拋物線的焦點到準線的距離．(1)求圓的標準方程．(2)試判斷點與圓的位置關系．(3)設為坐標原點，點，過點作斜率為的直線交圓于、兩點，其中，過點作斜率為的直線與線段交于點，點滿足．證明：直線過定點．19．已知橢圓的短軸長為，且離心率為.(1)求C的方程.(2)過點作斜率不為0的直線與橢圓C交于S，T不同的兩點，再過點作直線ST的平行線與橢圓C交于G，H不同的兩點.①證明：為定值.②求面積的取值范圍.參考答案題號12345678910答案DBDDACBBABDABD題號11答案ACD12．13．14．/15．(1)(2)16．(1)(2)或17.【詳解】（1）因為四棱柱為直四棱柱，所以平面，因為平面，所以．又因為，所以，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）四棱柱為直四棱柱，得平面，平面，所以，因為平面，所以平面，平面，則，所以以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

因為，所以，，，，．設平面的法向量為，取．設平面的法向量為，取．設平面與平面的夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．18.【詳解】（1）因為拋物線的焦點坐標為，焦點到準線的距離為，所以圓的圓心坐標為，半徑為，故圓的標準方程為（2）因為，所以點在圓的內部．（3）設直線的方程為，即，

由得，，解得或，由韋達定理可得，.易得直線的方程為，將代入，得，則．由，得點是線段的中點，則，所以，則直線的方程為，即因為，，，所以，所以直線的方程為.則直線過定點.19.【詳解】（1）由已知得，因為，又由，可解得，所以橢圓方程為：.（2）①設斜率不為0的直線的方程為，聯立直線和橢圓方程可得，化簡得，由于橢圓與直線交于兩點，，因此，所以或，根據韋達定理可得，，又因為，，因此，令的方程為