2024-2025學年江西省宜春市高安市九年級（上）期末數學試卷一、選擇題（每小題3分，共18分，每小題只有一個正確選項）1．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列說法中正確的是（）A．“任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖形”是隨機事件 B．任意擲一枚質地均勻的硬幣10次，正面向上的一定是5次 C．“概率為0.0001的事件”是不可能事件 D．“任意畫出一個平行四邊形，它是中心對稱圖形”是必然事件3．（3分）已知⊙O的半徑是6cm，點O到同一平面內直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷4．（3分）已知關于x的方程（c﹣2）x2﹣2x+1＝0有實數根，則c的取值范圍是（）A．c≥﹣3且c≠2 B．c≠2 C．c≤3 D．c≤3且c≠25．（3分）如圖，反比例函數y=kx在第二象限的圖象上有一點A，過點A作AB⊥x軸于B，且S△AOB＝2，則A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．46．（3分）如圖所示為拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，其對稱軸為直線x＝1，且經過點（3，0）．則下列結論：（1）abc＞0；（2）b2﹣4ac＞0；（3）a﹣b+c＜0；（4）9a+3b+c＝0其中，正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（每小題3分，共18分）7．（3分）平面直角坐標系內與點A（2，﹣3）關于原點對稱的點坐標是．8．（3分）如圖．已知AB是圓O的直徑，∠BOC＝80°，則∠BDC的度數為．9．（3分）已知x1，x2分別是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個根，則1x1+10．（3分）如圖，圓內接正六邊形的半徑為2cm，則圖中陰影部分面積為．11．（3分）如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰CD以D為旋轉中心逆時針旋轉90°至ED，連接AE，則△ADE的面積是．12．（3分）已知點A在反比例函數y=12x（x＞0）的圖象上，點B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長為5，則AB的長為三、（本大題共五小題，每小題6分，共30分）13．（6分）（1）解方程：x（x﹣3）＝x﹣3；（2）拋物線的頂點坐標為（2，﹣1），且圖象經過點（0，3）．求函數解析式．14．（6分）如圖，一個寬為2厘米的刻度尺（刻度單位：厘米），放在圓形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一邊與杯口外沿相切，另一邊與杯口外沿兩個交點處的讀數恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半徑為多少厘米？15．（6分）有四張卡片（背面完全相同），分別寫有數字1、2、﹣1、﹣2，把它們背面朝上洗勻后，甲同學抽取一張記下這個數字后放回洗勻，乙同學再從中抽出一張，記下這個數字，用字母b、c分別表示甲、乙兩同學抽出的數字．（1）用列表法求關于x的方程x2+bx+c＝0有實數解的概率；（2）求（1）中方程有兩個相等實數解的概率．16．（6分）已知反比例函數y=kx的圖象與直線y＝ax+b相交于點A（﹣2，3），B（1，（1）求直線與反比例函數解析式；（2）若在x軸上有一點P，使得三角形PAB的面積是18，求P點坐標．17．（6分）如圖，點A，B，C在⊙O上，且∠ABC＝120°，請僅用無刻度的直尺，按照下列要求作圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）在圖（1）中，AB＞BC，作一個度數為30°的圓周角；（2）在圖（2）中，AB＝BC，作一個頂點均在⊙O上的等邊三角形．四、（本大題共三個小題，每小題8分，共24分）18．（8分）如圖，△ADE由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°得到，且點B的對應點D恰好落在BC的延長線上，AD，EC相交于點P．（1）求∠BDE的度數；（2）F是EC延長線上的點，且∠CDF＝∠DAC．判斷DF和PF的數量關系，并證明．19．（8分）某商家銷售一種成本為20元的商品，銷售一段時間后發現，每天的銷量y（件）與當天的銷售單價x（元/件）滿足一次函數關系，并且當x＝25時，y＝550；當x＝30時，y＝500．物價部門規定，該商品的銷售單價不能超過48元/件．（1）求出y與x的函數關系式；（2）問銷售單價定為多少元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤是8000元？（3）直接寫出商家銷售該商品每天獲得的最大利潤．20．（8分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD＝90°，AC為對角線，點E在BC的延長線上，且∠E＝∠BAC．（1）判斷DE所在直線與⊙O的位置關系，并說明理由．（2）若∠CDE＝25°，⊙O的半徑為3，求BC的長．（結果保留π）五、（本大題共兩個小題，每小題9分，共18分）21．（9分）如圖，A、B為一次函數y＝﹣x+5的圖象與二次函數y＝x2+bx+c的圖象的公共點，點A、B的橫坐標分別為0、4．P為二次函數y＝x2+bx+c的圖象上的動點，且位于直線AB的下方，連接PA、PB．（1）求b、c的值；（2）求△PAB的面積的最大值．22．（9分）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分線與AC，BC及AB的延長線分別相交于點D，E，F，⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點G，交⊙O于點H，連接BD，若BC＝BF．（1）求證：△ABC≌△EBF．（2）試判斷DB與⊙O的位置關系，并說明理由．六、（本大題共1小題，共12分）23．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+2ax（a＜0）位于x軸上方（包括x軸）的圖象記為F1，它與x軸交于P1、O兩點，圖象F2與F1關于原點O對稱，F2與x軸的另一個交點為P2，將F1與F2同時沿x軸向右平移P1P2的長度即可得到F3與F4；再將F3與F4同時沿x軸向右平移P1P2的長度即可得到F5與F6；…；按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象F1，F2，…，Fn．我們把這組圖象稱為“波浪拋物線”．（1）當a＝﹣1時，①求P1、P2及圖象F1的頂點坐標；②點H（2015，﹣2）是否在“波浪拋物線”上，并說明理由；若圖象Fn的頂點Tn的橫坐標為201，請求出圖象對應的解析式，并寫出自變量x的取值范圍．（2）設圖象Fm、Fm+1的頂點分別為Tm、Tm+1（m為正整數），x軸上一點Q的坐標為（12，0）．試在圖中先標出Q點所在的位置，再探究：當a為何值時，以O、Tm、Tm+1、Q四點為頂點的四邊形為矩形？請直接寫出此時m的值．

2024-2025學年江西省宜春市高安市九年級（上）期末數學試卷參考答案與試題解析題號123456答案BDACAB一、選擇題（每小題3分，共18分，每小題只有一個正確選項）1．【解答】解：A．該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B．該圖既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故本選項符合題意；C．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D．該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：B．2．【解答】解：“任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖形”是必然事件，A錯誤；任意擲一枚質地均勻的硬幣10次，正面向上的不一定是5次，B錯誤；“概率為0.0001的事件”是隨機事件，C錯誤；“任意畫出一個平行四邊形，它是中心對稱圖形”是必然事件，D正確，故選：D．3．【解答】解：設圓的半徑為r，點O到直線l的距離為d，∵d＝5，r＝6，∴d＜r，∴直線l與圓相交．故選：A．4．【解答】解：∵關于x的方程（c﹣2）x2﹣2x+1＝0有實數根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4（c﹣2）≥0，（c≠2）解得c≤3，c≠2，當c＝2時，則原方程為﹣2x+1＝0，x=1∴c的取值范圍為c≤3．故選：C．5．【解答】解：∵反比例函數的圖象在二、四象限，∴k＜0，∵S△AOB＝2，∴|k|＝4，∴k＝﹣4，即可得雙曲線的表達式為：y=?4故選：A．6．【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0．又∵拋物線的對稱軸是直線x=?b∴b＝﹣2a＞0．又∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0．∴abc＜0，故（1）錯誤．∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故（2）正確．∵對稱軸為直線x＝1，且經過點（3，0），∴拋物線與x軸的另一交點為（﹣1，0）．∴當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝0，故（3）錯誤．∵拋物線經過點（3，0），∴當x＝3時，y＝9a+3b+c＝0，故（4）正確．綜上，正確的有（2）（4）共2個．故選：B．二、填空題（每小題3分，共18分）7．【解答】解：平面直角坐標系內與點A（2，﹣3）關于原點對稱的點坐標是（﹣2，3）．故答案為：（﹣2，3）．8．【解答】解：∵∠BOC＝80°，∠BDC=12∠∴∠BDC＝40°，故答案為：40°．9．【解答】解：由題知，因為x1，x2分別是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個根，所以x1+x2＝3，x1x2＝1，則1x故答案為：3．10．【解答】解：如圖，連接OA，OB，OC，∵圓內接正六邊形的半徑為2cm，∴OA＝OB＝OC＝2cm，∠AOB＝∠BOC＝60°，∴△AOB與△BOC都是等邊三角形，∴OA＝AB＝OB＝BC＝OC，∴四邊形ABCO是菱形，∴S△ABC＝S△BOC=12S菱形∴圖中陰影部分面積＝S扇形OBC=60π×22360=故答案為：23πcm11．【解答】解：作DH⊥BC于H，EF⊥AD于F，如圖，易得四邊形ADHB為矩形，∴BH＝AD＝2，DH＝AB＝3，∴CH＝BC﹣BH＝3﹣2＝1，∵腰CD以D為旋轉中心逆時針旋轉90°至ED，∴DE＝DC，∠CDE＝90°，∵∠EDF+∠FDC＝90°，∠FDC+∠CDH＝90°，∴∠EDF＝∠CDH，在△EDF和△CDH中∠EFD=∠CHD∠EDF=∠CDH∴△EDF≌△CDH，∴EF＝CH＝1，∴△ADE的面積=12?AD?EF故答案為1．12．【解答】解：如圖1所示，當A1O＝A1B1時，A1B1＝5；如圖2所示，當A2B2＝OB2時，A2B2＝5；如圖3所示，當OA＝OB時，設A（a，12a）（a因為OA＝5，所以a2即a4﹣25a2+144＝0，令a2＝b，則b2﹣25b+144＝0，解得b＝16或9，則a2＝16或9．又因為a＞0，所以a＝4或3，則點A的坐標為（3，4）或（4，3）．當A（3，4）時，AB=(5?3當A（4，3）時，AB=(5?4綜上所述，AB的長為5或25或10故答案為：5或25或10三、（本大題共五小題，每小題6分，共30分）13．【解答】解：（1）x（x﹣3）＝x﹣3，∴x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x1＝1，x2＝3；（2）根據題意設拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2﹣1，把（0，3）代入解析式得，3＝4a﹣1，解得a＝1，所以二次函數的解析式為y＝（x﹣2）2﹣1．14．【解答】解：∵杯口外沿兩個交點處的讀數恰好是3和9，∴AC＝9﹣3＝6，過點O作OB⊥AC于點B，則AB=12AC=1設杯口的半徑為r，則OB＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOB中，OA2＝OB2+AB2，即r2＝（r﹣2）2+32，解得r=134答：玻璃杯的杯口外沿半徑為13415．【解答】解：（1）列表得：（1，﹣2）（2，﹣2）（﹣1，﹣2）（﹣2，﹣2）（1，﹣1）（2，﹣1）（﹣1，﹣1）（﹣2，﹣1）（1，2）（2，2）（﹣1，2）（﹣2，2）（1，1）（2，1）（﹣1，1）（﹣2，1）∴一共有16種等可能的結果，∵關于x的方程x2+bx+c＝0有實數解，即b2﹣4c≥0，∴關于x的方程x2+bx+c＝0有實數解的有（1，﹣1），（1，﹣2），（2，1），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，﹣2），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（﹣2，﹣2）共10種情況，∴關于x的方程x2+bx+c＝0有實數解的概率為：1016（2）（1）中方程有兩個相等實數解的有（﹣2，1），（2，1），∴（1）中方程有兩個相等實數解的概率為：21616．【解答】解：（1）將點A坐標代入y=kk＝﹣2×3＝﹣6，所以反比例函數的解析式為y=?6將點B坐標代入y=?6m＝﹣6，所以點B的坐標為（1，﹣6）．將點A和點B坐標代入一次函數解析式得，?2a+b=3a+b=?6解得a=?3b=?3所以一次函數的解析式為y＝﹣3x﹣3．（2）令直線AB與x軸的交點為M，則點M的坐標為（﹣1，0）．因為三角形PAB的面積是18，所以12解得PM＝4，則﹣1﹣4＝﹣5，﹣1+4＝3，所以點P的坐標為（﹣5，0）或（3，0）．17．【解答】解：（1）如圖1中，∠CAD即為所求；（2）如圖2中，△ACE即為所求．四、（本大題共三個小題，每小題8分，共24分）18．【解答】解：（1）由旋轉的性質可知，AB＝AD，∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，∴∠ADE＝∠B＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．（2）DF＝PF．理由如下：由旋轉的性質可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，即∠FPD＝∠FDP，∴DF＝PF．19．【解答】解：（1）設y＝kx+b，根據題意可得25k+b=55030k+b=500解得：k=?10b=800則y＝﹣10x+800，0＜x≤48；（2）根據題意，得：（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，整理，得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60，∵銷售單價最高不能超過48元/件，∴x＝40，答：銷售單價定為40元/件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元；（3）利潤w＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣80）（x﹣20），∵﹣10＜0，故w有最大值，當x＝48時，w最大值為8960．20．【解答】解：（1）DE所在直線與⊙O相切．如圖，連接BD，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣90°＝90°，∴∠CDE+∠E＝90°，∵∠E＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC，∴∠E＝∠BDC，∴∠CDE+∠BDC＝90°，即∠BDE＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD為⊙O的直徑，∴DE所在直線與⊙O相切；（2）如圖，連接OC，∵∠CDE+∠BDC＝90°，∴∠BDC＝90°﹣∠CDE＝90°﹣25°＝65°，∴∠BOC＝2∠BDC＝2×65°＝130°，∴BC的長為130π×3180五、（本大題共兩個小題，每小題9分，共18分）21．【解答】解：（1）當x＝0時，y＝﹣x+5＝5；當x＝4時，y＝﹣x+5＝1，則A（0，5），B（4，1），則c=516+4b+c=1解得：c=5b=?5（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，設P（m，m2﹣5m+5），作PE∥OA，交AB于E，則E（m，﹣m+5），則PE＝4m﹣m2，∴S△ABP當m＝2時，最大值為8．22．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝90°，∴∠EBF＝90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF＝90°，∴∠C+∠A＝