第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省廣州二中高一（上）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.命題“?x∈R，sinx+cosx≤2”的否定是(????)．A.?x∈R，sinx+cosx>2 B.?x∈R，sinx+cosx≤2

C.?x∈R，sinx+cosx≥2.已知集合A={?1,1,2,3}，集合B={y|y=x2,x∈A}，則集合B的子集個數為A.7 B.8 C.16 D.323.已知tan(α+β)=3,tanβ=13，則tanα=A.83 B.43 C.34.下列函數中，既是偶函數又在區間(0,+∞)上單調遞減的是(

)A.y=lnx B.y=x2 C.y=(15.已知點P(m,1)是角α終邊上的一點，且sinα=13，則m的值為(

)A.2 B.?22 C.22或2 6.若f(sinx)=2?cos2x，則f(cosx)等于(

)A.2?sin2x B.2+sin2x C.2?cos2x D.2+cos2x7.已知函數f(x)=ex,x≥0?2x,x<0，則方程y=f[f(x)]?2A.1個 B.2個 C.3個 D.4個8.設a=log23，b=log34A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.b<c<a二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.半徑為3，弧長為π的扇形的面積為3π

B.計算2log510+log50.25的值為2

C.函數f(x)=ex+x的零點所在的一個區間是10.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,?π2<φ<π2A.f(x)的最小正周期為π

B.當x∈[0,π2]時，f(x)的值域為[?12,12]

C.將函數f(x)的圖象向右平移π6個單位長度可得函數g(x)=sin2x11.已知函數f(x)=log2(A.函數f(x)的圖象關于點(0,3)對稱

B.f(ln2)+f(ln12)=6

C.函數f(x)在定義域上單調遞增

D.若實數a，b三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.定義在R上的奇函數f(x)滿足：當x≥0，f(x)=log2(x+2)+m，則f(?2)=13.若sin2α=55,sin(β?α)=14.若對任意的x∈(0,+∞)，(x2+ax?5)(ax?1)≥0恒成立，則實數a=四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知函數f(x)=(log2x?2)(log2x?1)．

(1)求不等式f(x)<0的解集；

(2)若存在x∈[4,16]16.(本小題12分)

已知函數f(x)=cosxsin(x+π3)?3cos2x+34，x∈R．

(1)17.(本小題12分)

如圖，某公園有一塊扇形人工湖OAB，其中∠AOB=π2，OA=OB=1千米，為了增加人工湖的觀賞性，政府計劃在人工湖上建造兩個觀景區，其中荷花池觀景區的形狀為矩形PCOD，噴泉觀景區的形狀為△PBC，且C在OB上，D在OA上，P在AB上，記∠POA=θ．

(1)試用θ分別表示矩形PCOD和△PBC的面積；

(2)若在PD的位置架起一座觀景橋，已知建造觀景橋的費用為每千米8萬元(包含橋的寬度費用)，建造噴泉觀景區的費用為每平方千米16萬元，建造荷花池的總費用為6萬元.求當θ為多少時，建造該觀景區總費用最低，并求出其最低費用．18.(本小題12分)

已知函數f(x)的定義域為R，且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y)，f(1)=1．

(1)若f(x)=Acosωx(0<ω<π)，求A與ω；

(2)證明：函數f(x)既是偶函數又是周期函數；

(3)若T為f(x)的一個周期，且f(x)在[0,T2]上單調遞減，記f(x)的正的零點從小到大依次為x1，x2，x3，…，證明：f(x)在區間[0,2024T]19.(本小題12分)

列奧納多?達?芬奇(Leonardo?da?Vinci,1452?1519)是意大利文藝復興三杰之一.他曾提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數表達式φ(x)=acos?xa，其中a為懸鏈線系數，cos?x稱為雙曲余弦函數，其函數表達式為cos?x=ex+e?x2，相反地，雙曲正弦函數的函數表達式為sin?x=ex?e?x2．

(1)證明：cos?2x?sin?2x=1；參考答案1.D

2.B

3.B

4.C

5.D

6.D

7.A

8.D

9.BD

10.AD

11.ABD

12.?1

13.7π414.1215.解：(1)f(x)=(log2x?2)(log2x?1)<0，

令t=log2x，

則原不等式可化為(t?2)(t?1)<0，

解得1<t<2，即1<log2x<2，

所以2<x<4，

不等式f(x)<0的解集{x|2<x<4}．

(2)當x∈[4,16]時，

令t=log2x，可得t∈[2,4]，

原不等式可化為t2?3t+2≥mt對于t∈[2,4]能成立，

即可得t?3+2t≥m對于t∈[2,4]能成立，

由對勾函數性質可知，

y=t?3+16.解：(1)已知函數f(x)=cosxsin(x+π3)?3cos2x+34，x∈R．

則f(x)=cosx(sinxcosπ3+cosxsinπ3)?3cos2x+34

=12sinxcosx?32cos2x+34

=14sin2x?34(1+cos2x)+34

=14sin2x?34cos2x17.解：(1)由題意∠POD=θ∈(0,π2)，所以OD=cosθ，PD=sinθ，

所以矩形PCOD的面積為S=cosθsinθ，θ∈(0,π2)，

△PBC的面積為S△PBC=12cosθ(1?sinθ)=12cosθ?12sinθcosθ，θ∈(0,π2)；

(2)由題意，可得建造觀景區所需總費用為：

f(θ)=16(cosθ?sinθcosθ)+8sinθ+6

=8(sinθ+cosθ?sinθcosθ)+6，θ∈(0,π2)，

設sinθ+cosθ=t，則2sinθcosθ=t2?1，

又由18.解：(1)根據題意，函數f(x)的定義域為R，滿足f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y)，①

令x=1，y=0可得，2f(1)=f(1)f(0)，

因為f(1)=1，所以f(0)=2，

若f(x)=Acosωx，則f(0)=Acos0=2，則A=2．

又由f(1)=1，得2cosω=1，

解得cosω=12，

因為0<ω<π，所以ω=π3，

所以f(x)=2cosπ3x．

(2)證明：由(1)得，f(0)=2，

①中，令x=0可得，f(y)+f(?y)=2f(y)，

即f(y)=f(?y)，所以函數f(x)為偶函數；

令y=1得，f(x+1)+f(x?1)=f(x)f(1)=f(x)，

即有f(x+2)+f(x)=f(x+1)，

從而可知f(x+2)=?f(x?1)，f(x?1)=?f(x?4)，

故f(x+2)=f(x?4)，

即f(x)=f(x+6)．

所以函數f(x)是一個周期為T=6的周期函數．

(3)證明：由(1)得f(0)=2，f(T)=f(0)=2，

在f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y)中，

令x=y=T2，可得f(T)+f(0)=f(T2)?f(T2)，

因為f(T2)<f(0)，所以f(T2)=?2，

所以f(0)f(T2)<0，又因為f(x)在[0,T]上是減函數，

所以f(x)在[0,T2]上有且僅有一個零點．

f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y)中，令x=y=T4，得f(T4)=0．

所以f(x)在區間[0,T2]上有且僅有一個零點x1=T4．

又因為f(x)是偶函數，所以f(x)在[?T2,0]上有且僅有一個零點x0=?T4，即f(x)在一個周期內有且僅有2個零點．

f(34T)=f(T?19.解：(1)證明：cos?2x?sin?2x=(ex+e?x2)2?(ex?e?x2)2

=e2x+e?2x+24?e2x+e?2x?24=1；

(2)因為sin?(?x)=e?x?ex2=?sin?x,x∈R恒成立，

所以y=sin?x為奇函數，

易知y=ex在R上嚴格遞增，y=e?x在R上嚴格遞減，

所以y=sin?x=ex?e?x2是R上的嚴格增函數，

所以sin?(2x?1)+sin?(x?2)<0，

即sin?(2x?1