小學奧數同余問題專題講義一、知識點講解1.同余基本概念定義:若兩數除以的余數相同,則稱與模同余,記作.

性質:

若,則

若且,則2.同余運算規則加減法:若,,則

乘法:

冪運算:若,則3.常用模數特性模4:平方數

模9:數位和同余

模3:數位和同余二、例題精講例題1:求的余數.解答:

答案:2.例題2:求.解答:

答案:10.例題3:2023年元旦是星期日,問2025年元旦是星期幾？解答:

2023年:365天

2024年:366天

總余數:

星期日+3天=星期三

答案:2025年元旦是星期三.例題4:解方程.解答:

例題5:求.解答:

答案:2例題6:求最小正整數滿足:

①;②.解答:先滿足條件②設

代入條件①,

當時,

答案:最小的正整數為8.例題7:求的個位數字.解答:

個位周期為4:7,9,3,1,……

2023÷4=505余3→對應第三位

答案:3.例題8:解方程.解答:

答案:.例題9:工廠每天生產零件數,周一到周三共生產89個,是否可能？解答:

設每天產量,三天總產量

而

答案:不可能.三、習題訓練.習題1:求.習題2:今天是星期五,100天后是星期幾？習題3:求.習題4:求的余數.習題5:今天是星期五,150天后是星期幾？習題6:解方程.習題7:求.習題8:求.習題9:解方程組

.習題10:求.習題11:某數除以5余3,除以7余2,求最小正整數.習題12:求.習題13:證明:不存在整數使得.習題14:解方程.習題15:求.習題16:求滿足以下條件的最小自然數:

.習題17:求的最后兩位數字.習題18:證明:對任意整數,.習題19:數列,,求.習題20:解方程組

.

小學奧數同余問題專題講義解析版一、知識點講解1.同余基本概念定義:若兩數除以的余數相同,則稱與模同余,記作

性質:

若,則

若且,則2.同余運算規則加減法:若,,則

乘法:

冪運算:若,則3.常用模數特性模4:平方數

模9:數位和同余

模3:數位和同余二、例題精講例題1:求的余數.解答:

答案:2.例題2:求.解答:

答案:10.例題3:2023年元旦是星期日,問2025年元旦是星期幾？解答:

2023年:365天

2024年:366天

總余數:

星期日+3天=星期三

答案:2025年元旦是星期三.例題4:解方程.解答:

例題5:求.解答:

答案:2例題6:求最小正整數滿足:

①;②.解答:先滿足條件②設

代入條件①,

當時,

答案:最小的正整數為8.例題7:求的個位數字.解答:

個位周期為4:7,9,3,1,……

2023÷4=505余3→對應第三位

答案:3.例題8:解方程.解答:

答案:.例題9:工廠每天生產零件數,周一到周三共生產89個,是否可能？解答:

設每天產量,三天總產量

而

答案:不可能.三、習題訓練.習題1:求.解答:

?

?

答案:.習題2:今天是星期五,100天后是星期幾？解答:

星期五+2天=星期日

答案:星期日.習題3:求.解答:

當時,含因子12

只需計算

答案:9.習題4:求的余數.解答:

計算

答案:2.習題5:今天是星期五,150天后是星期幾？解答:

星期五+3天=星期一

答案:星期一.習題6:解方程.解答:

答案:6

習題7:求.解答:

逐步計算:

答案:5.習題8:求.解答:

答案:1.習題9:解方程組

.解答:

列奇數:3,5,7,9,11,13,15,17,...

驗證:7÷5余2→符合條件

答案:7.習題10:求.解答:

答案:3.習題11:某數除以5余3,除以7余2,求最小正整數.解答:

列:8,13,18,23,28,...

驗證:23÷7余2→符合條件

答案:23

習題12:求.解答:

答案:2.習題13:證明:不存在整數使得.解答:平方數模3余0或1,2無法出現.習題14:解方程.解答:

答案:.習題15:求.解答:

,

答案:.習題16:求滿足以下條件的最小自然數:

.解答:

1.先解前兩個條件:

列偶數:8,18,28,38,48,...

驗證:8÷5余3→8

2.解

→→

最小解:

答案:驗證:18符合條件

習題17:求的最后兩位數字.解答:

答案:7.習題18:證明:對任意整數,.解答:

分三類討論:

:

:

:

對任意整數,.習題19:數列,