PAGEPAGE5第4講隨機事務的概率[基礎達標]1．設事務A，B，已知P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(A∪B)＝eq\f(8,15)，則A，B之間的關系肯定為()A．兩個隨意事務 B．互斥事務C．非互斥事務 D．對立事務解析：選B.因為P(A)＋P(B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)＝eq\f(8,15)＝P(A∪B)，所以A，B之間的關系肯定為互斥事務．故選B.2．(2024·麗水模擬)從一箱產品中隨機地抽取一件，設事務A＝{抽到一等品}，事務B＝{抽到二等品}，事務C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事務“抽到的產品不是一等品”的概率為()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.5解析：選C.因為“抽到的產品不是一等品”與事務A是對立事務，所以所求概率P＝1－P(A)＝0.35.3．(2024·衢州調研)從3個紅球、2個白球中隨機取出2個球，則取出的2個球不全是紅球的概率是()A．eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)C．eq\f(7,10) D．eq\f(3,5)解析：選C.“取出的2個球全是紅球”記為事務A，則P(A)＝eq\f(3,10).因為“取出的2個球不全是紅球”為事務A的對立事務，所以其概率為P(A)＝1－P(A)＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).4．甲、乙兩人下棋，兩人和棋的概率是eq\f(1,2)，乙獲勝的概率是eq\f(1,3)，則乙不輸的概率是()A．eq\f(5,6) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)解析：選A.乙不輸包含兩種狀況：一是兩人和棋，二是乙獲勝，故所求概率為eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).5．從1，2，3，4，5這5個數中任取兩個數，其中：①恰有一個是偶數和恰有一個是奇數；②至少有一個是奇數和兩個都是奇數；③至少有一個是奇數和兩個都是偶數；④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數，上述事務中，是對立事務的是()A．① B．②④C．③ D．①③解析：選C.從1，2，3，4，5這5個數中任取兩個數，有三種狀況：一奇一偶，兩個奇數，兩個偶數．其中至少有一個是奇數包含一奇一偶，兩個奇數這兩種狀況，它與兩個都是偶數是對立事務，而①中的事務可能同時發生，不是對立事務，故選C.6．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，則從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是()A．eq\f(1,7) B．eq\f(12,35)C．eq\f(17,35) D．1解析：選C.設“從中取出2粒都是黑子”為事務A，“從中取出2粒都是白子”為事務B，“隨意取出2粒恰好是同一色”為事務C，則C＝A∪B，且事務A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即隨意取出2粒恰好是同一色的概率為eq\f(17,35).7．某城市2024年的空氣質量狀況如表所示：污染指數T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數T≤50時，空氣質量為優；50＜T≤100時，空氣質量為良；100＜T≤150時，空氣質量為稍微污染，則該城市2024年空氣質量達到良或優的概率為________．解析：由題意可知2024年空氣質量達到良或優的概率為P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)8．對飛機連續射擊兩次，每次放射一枚炮彈．設A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一次擊中飛機}，D＝{至少有一次擊中飛機}，其中彼此互斥的事務是________，互為對立事務的是________．解析：設I為對飛機連續射擊兩次所發生的全部狀況，因為A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?.故A與B，A與C，B與C，B與D為彼此互斥事務，而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事務．答案：A與B、A與C、B與C、B與DB與D9．口袋內裝有一些除顏色不同之外其他均相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若紅球有21個，則黑球有________個．解析：摸到黑球的概率為1－0.42－0.28＝0.3.設黑球有n個，則eq\f(0.42,21)＝eq\f(0.3,n)，故n＝15.答案：1510．(2024·溫州八校聯考)某次學問競賽規則如下：主辦方預設3個問題，選手能正確回答出這3個問題，即可晉級下一輪．假設某選手回答正確的個數為0，1，2的概率分別是0.1，0.2，0.3，則該選手晉級下一輪的概率為________．解析：記“答對0個問題”為事務A，“答對1個問題”為事務B，“答對2個問題”為事務C，這3個事務彼此互斥，“答對3個問題(即晉級下一輪)”為事務D，則“不能晉級下一輪”為事務D的對立事務eq\o(D,\s\up6(－))，明顯P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，故P(D)＝1－P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝1－0.6＝0.4.答案：0.411．(2024·浙江省名校協作體高三聯考)某醫院一天派出醫生下鄉醫療，派出醫生人數及其概率如下：醫生人數012345人及以上概率0.10.16xy0.2z(1)若派出醫生不超過2人的概率為0.56，求x的值；(2)若派出醫生最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y，z的值．解：(1)由派出醫生不超過2人的概率為0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，所以x＝0.3.(2)由派出醫生最多4人的概率為0.96，得0.96＋z＝1，所以z＝0.04.由派出醫生最少3人的概率為0.44，得y＋0.2＋0.04＝0.44，所以y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.12．某保險公司利用簡潔隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．解：(1)設A表示事務“賠付金額為3000元”，B表示事務“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應的情形是賠付金額為3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設C表示事務“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計概率得P(C)＝0.24.[實力提升]1．擲一個骰子的試驗，事務A表示“小于5的偶數點出現”，事務B表示“小于5的點數出現”，則一次試驗中，事務A＋B發生的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)解析：選C.擲一個骰子的試驗有6種可能結果，依題意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(B)＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).因為B表示“出現5點或6點”的事務，因此事務A與B互斥，從而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).2．對于隨意事務M和N，有()A．P(M∪N)＝P(M)＋P(N)B．P(M∪N)>P(M)＋P(N)C．P(M∪N)<P(M)＋P(N)D．P(M∪N)≤P(M)＋P(N)解析：選D.當M和N是互斥事務時，P(M∪N)＝P(M)＋P(N)；當M和N不是互斥事務時，P(M∪N)<P(M)＋P(N)．綜上可得P(M∪N)≤P(M)＋P(N)，故選D.3．一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地隨意抽取兩次，每次只取一個，取得兩個紅球的概率為eq\f(7,15)，取得兩個綠球的概率為eq\f(1,15)，則取得兩個同顏色的球的概率為__________；至少取得一個紅球的概率為________．解析：由于“取得兩個紅球”與“取得兩個綠球”是互斥事務，取得兩個同色球，只需兩互斥事務有一個發生即可，因而取得兩個同色球的概率為P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).由于事務A“至少取得一個紅球”與事務B“取得兩個綠球”是對立事務，則至少取得一個紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).答案：eq\f(8,15)eq\f(14,15)4．某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事務分別為A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．解：(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事務A，B，C的概率分別為eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設“1張獎券中獎”這個事務為M，則M＝A∪B∪C.因為A、B、C兩兩互斥，所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎券的中獎概率為eq\f(61,1000).(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事務N，則事務N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事務，所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).5．(2024·寧波調研)某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產品為優質品．現用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗，各生產了100件這種產品，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面試驗結果：A配方的頻數分布表指標值分組[90，94)[94，98)[98，102)[102，106)[106，110]頻數82042228B配方的頻數分布表指標值分組[90，94)[94，98)[98，102)[102，106)[106，110]頻數412423210(1)分別估計用A配方，B配方生產的產品的優質品率；(2)已知用B配方生產的一件產品的利潤y(單位：元)與其質量指標值t的關系式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2，t<94，,2，94≤t<102，,4，t≥102.))估計用B配方生產的一件產品的利潤大于0的概率，并求用B配方生產的上述100件產品平均一件的利潤．解：(1)由試驗結果知，用A配方生產的產品中優質品的頻