試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第七章圖形的變化第30講尺規作圖與定義，命題，定理（思維導圖+2考點+2命題點18種題型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一尺規作圖考點二定義、命題、定理04題型精研·考向洞悉命題點一尺規作圖?題型01作線段?題型02作一個角等于已知角?題型03尺規作角的和、差?題型04過直線外一點作已知直線的平行線?題型05作三角形?題型06作角平分線?題型07作垂線?題型08作等腰三角形?題型09畫圓?題型10過圓外一點作圓的切線?題型11作正多邊形?題型12格點作圖?題型13無刻度直尺作圖?題型14最短路徑問題命題點二定義、命題、定理?題型01判斷是否是命題?題型02判定命題的真假?題型03寫成命題的逆命題?題型04反證法

01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求尺規作圖★★能用尺規作圖定義、命題、定理★通過具體實例，了解定義、命題、定理、推論的意義.結合具體實例，會區分命題的條件和結論，了解原命題及其逆命題的概念.會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立.【命題預測】本考點內容以考查尺規作圖和真假命題為主，年年考查，是廣大考生的得分點，分值為6分左右．預計2024年各地中考還將繼續考查這兩個知識點.中考對尺規作圖的考查涉及多種形式，不再是單一的對作圖技法操作進行考查，而是把作圖與計算、證明、分析、判斷等數學思維活動有效融合，既體現了動手實踐的數學思維活動，也考查了學生運用數學思考解決問題的能力，為避免丟分，學生應扎實掌握．02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一尺規作圖定義：最基本、最常用的尺規作圖，通常稱作基本作圖,五種基本作圖：1）作一條線段等于已知線段已知線段a求作線段0A，使OA等于a作法1）任作一條射線OP；2）以點0為圓心，a的長為半徑畫弧，交0P于點A，則線段OA即為所求依據圓上的點到圓心的距離等于半徑.2）作一個角等于已知角已知∠AOB求作∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB作法1）作射線O'A'；2）以點0為圓心，任意長為半徑畫弧，交0A于點C，交OB于點D；3）以點0'為圓心，0C的長為半徑畫弧，交O'A'于點E；4）以點E為圓心，CD的長為半徑畫弧，交前弧于點F；5）經過點F作射線O'B',ㄥA'0'B'即為所求.依據1）三邊分別相等的兩個三角形全等；2）全等三角形的對應角相等；3）兩點確定一條直線.3）作已知角的角平分線已知∠AOB求作射線OP，使∠AOP=∠BOP作法1）以點0為圓心，適當長為半徑畫弧，交0A于點M，交0B于點N；2）分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點P；3）作射線OP，射線OP即為所求.依據1）三邊分別相等的兩個三角形全等；2）全等三角形的對應角相等；3）兩點確定一條直線.4）過一點作已知直線的垂線已知直線AB和AB上的一點M求作AB的垂線，使它經過點M作法作平角ㄥACB的平分線MF.直線MF就是所求作的垂線.已知直線AB和AB外一點M求作AB的垂線，使它經過點M作法1）任意取一點P，使點P和點M在AB的兩旁；2）以點M為圓心，MP的長為半徑作弧，交AB于點C和點D；3）分別以點C和點D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點E；4）作直線EM，直線EM就是所求作的垂線.依據1）等腰三角形“三線合一”；

2）兩點確定一條直線.5）作線段的垂直平分線已知線段AB求作線段AB的垂直平分線作法1）分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N；2）作直線MN，直線MN就是線段AB的垂直平分線.依據1）到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；2）兩點確定一條直線.尺規作圖的關鍵:1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；2）讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題；3)切記作圖中一定要保留作圖痕跡；4）無刻度直尺作圖通常會與等腰三角形的判定，三角形中位線定理，矩形的性質和勾股定理等幾何知識點結合，熟練掌握相關性質是解題關鍵.1．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在△ABC中，O是邊AB的中點．按下列要求作圖：①以點B為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段BO于點D，交BC于點E；②以點O為圓心、BD長為半徑畫弧，交線段OA于點F；③以點F為圓心、DE長為半徑畫弧，交前一條弧于點G，點G與點C在直線AB同側；④作直線OG，交AC于點M．下列結論不一定成立的是（）A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=C．AM=CM D．OM=【答案】D【分析】本題主要考查了作一個角等于已知角，平行線的性質和判定，平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是熟練掌握相關的性質，先根據作圖得出∠AOM=∠B，根據平行線的判定得出OM∥BC，根據平行線的性質得出∠OMC+∠C=180°，根據平行線分線段成比例得出【詳解】解：A．根據作圖可知：∠AOM=∠B一定成立，故A不符合題意；B．∵∠AOM=∠B，∴OM∥∴∠OMC+∠C=180C．∵O是邊AB的中點，∴AO=BO，∵OM∥∴AMCM∴AM=CM一定成立，故C不符合題意；D．OM=12．（2024·四川·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步驟作圖：①以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點D，E；②分別以點D，E為圓心，大于12DE長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC的內部相交于點F，作射線BF交AC于點G．則∠ABG的大小為【答案】35【分析】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的尺規作法，熟練掌握等腰三角形的性質和角平分線的尺規作法是解題的關鍵．根據AB=AC，∠A=40°，由等邊對等角，結合三角形內角和定理，可得∠ABC=∠ACB=70°，由尺規作圖過程可知BG為∠ABC的角平分線，由此可得∠ABG=∠GBC=1【詳解】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，根據尺規作圖過程，可知BG為∠ABC的角平分線，∴∠ABG=∠GBC=1故∠ABG=35°，故答案為：35°．3．（2024·山東德州·中考真題）已知∠AOB，點P為OA上一點，用尺規作圖，過點P作OB的平行線．下列作圖痕跡不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查作圖-復雜作圖．作一個角等于已知角，作一個角的平分線，平分線的判定，菱形的判定和性質，據此判斷即可．【詳解】解：A、由作圖知，OC是∠AOB的平分線，且PO=PC，∴∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PC∥B、由作圖知，PD是∠APC的平分線，且PO=OC，∴∠3=∠4，∠1=∠2，不能說明∠2與∠4相等，∴PD與OB不平行，故本選項符合題意；C、由作圖知，PO=OD=CD=CP，∴四邊形POCD是菱形，∴PC∥D、由作圖知，∠1=∠O，∴PC∥故選：B．4．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠B=90°(1)尺規作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖中，將中線BO繞點O逆時針旋轉180°得到DO，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是矩形．【答案】(1)作圖見解析(2)證明見解析【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，矩形的判定，平行四邊形的判定與性質,旋轉的性質；（1）作出線段AC的垂直平分線EF，交AC于點O，連接BO，則線段BO即為所求；（2）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再結合矩形的判定可得結論．【詳解】（1）解：如圖，線段BO即為所求；（2）證明：如圖，∵由作圖可得：AO=CO，由旋轉可得：BO=DO，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD為矩形．考點二定義、命題、定理1.命題定義：判斷一件事情的語句，叫做命題.組成：命題是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項．表達形式：可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結論．2.真命題、假命題內容舉例注意真命題如果題設成立，那么結論一定成立的命題，叫做真命題?對頂角不相等說明一個命題是真命題，需從已知出發,經過一步步推理，最后得出正確結論假命題命題中題設成立時，不能保證結論一定成立的命題，叫做假命題?相等的角是對頂角判定一個命題是假命題，只要舉出一個例子(反例)，使它符合命題的題設，但不滿足結論即可3.逆命題逆命題：把原命題的結論作為命題的題設，把原命題的題設作為命題的結論，所組成的命題叫做原命題的逆命題.互逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題．如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個命題就叫做它的逆命題．4.公理、定理公理：如果一個命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做公理.如：兩點之間線段最短.定理：如果一個命題可以從公理或其他命題出發，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的命題叫做定理．5.互逆定理互逆定理：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理．6.反證法定義：先假設原命題的結論不正確，然后從這個假設出發，經過逐步推理論證，最后得出與學過的概念、基本事實、已證明的定理、性質或題設條件相矛盾的結果，這種證明的方法叫做反證法.反證法的步驟：①假設命題結論的反面正確；②從假設出發，經過邏輯推理，推出與公理、定理、定義或已知條件相矛盾的結論；③說明假設不成立，從而得出原命題正確．1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）請寫出定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理．【答案】同位角相等，兩直線平行【分析】本題考查了逆定理的改寫，根據題意，將題設與結論交換位置即可．【詳解】解：定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，兩直線平行，故答案為：同位角相等，兩直線平行．2．（2024·山東濰坊·中考真題）下列命題是真命題的有（

）A．若a=b，則ac=bcB．若a>b，則ac>bcC．兩個有理數的積仍為有理數D．兩個無理數的積仍為無理數【答案】AC【分析】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了等式及不等式的性質、無理數及有理數的積．利用等式及不等式的性質、無理數及有理數的積分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、由等式的性質可得，若a=b，則ac=bc，原命題為真命題；B、由不等式的性質可得，若a>b，且c>0，則ac>bc，原命題為假命題；C、兩個有理數的積仍為有理數，原命題為真命題；D、兩個無理數的積不一定為無理數，比如2×故選：AC．3．（2022·上海·中考真題）下列說法正確的是（

）A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題【答案】A【分析】根據命題的定義和定理及其逆定理之間的關系，分別舉出反例，再進行判斷，即可得出答案．【詳解】解：A、命題一定有逆命題，故此選項符合題意；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形對應角相等沒有逆定理，故此選項不符合題意；C、真命題的逆命題不一定是真命題，如：對頂角相等的逆命題是：相等的兩個角是對頂角，它是假命題而不是真命題，故此選項不符合題意；D、假命題的逆命題定不一定是假命題，如：相等的兩個角是對頂角的逆命題是：對頂角相等，它是真命題，故此選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了命題與定理，掌握好命題的真假及互逆命題的概念是解題的關鍵．把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題，所有的命題都有逆命題；正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題．4．（2022·黑龍江綏化·中考真題）下列命題中是假命題的是（

）A．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半B．如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角一定相等C．從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角D．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半【答案】B【分析】利用三角形的中位線定理、鄰補角性質、切線長定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，是真命題，故此選項不符合題意；B.如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角不一定相等，故此選項是假命題，符合題意；C.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角，是真命題，故此選項不符合題意；D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是真命題，故此選項不符合題意；故選：B【點睛】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解三角形的中位線定理、鄰補角性質、切線長定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質．04題型精研·考向洞悉命題點一尺規作圖?題型01作線段1．（2023·山西太原·模擬預測）已知線段a、b、c．

(1)用直尺和圓規作出一條線段AB，使它等于a+c?b．（保留作圖痕跡，檢查無誤后用水筆描黑，包括痕跡）(2)若a=6，b=4，c=7，點C是線段AB的中點，求AC的長．【答案】(1)作圖見解析(2)4.5【分析】（1）作射線AM，在射線AM上順次截取AE=a,EF=c，在線段FA上截取FB=b，則線段AB即為所求；（2）由（1）中結論及已知條件，求得AB的長，再利用線段中點的性質即可解得AC的長．【詳解】（1）解：如圖，線段AB即為所求：

（2）如圖，

∵a=6，b=4，c=7，∴AB=a+c?b=6+7?4=9∵點C是線段AB的中點，∴AC=即AC的長4.5．【點睛】本題考查基本作圖、線段的和差、線段的中點等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．2．（2024·河北·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D，再分別以B，D為圓心，大于12BD的長為半徑畫弧，兩弧交于M，N兩點，作直線MN分別交AB于點E，若AD=3,BE=1，則BCA．3 B．4 C．4.5 D．5【答案】B【分析】本題考查了，作圖等長線段，作圖垂直平分線，勾股定理，解題的關鍵是：由作圖方法得到等量關系式．根據取等長線段的做法，垂直平分線的做法，得到AC=AD=3，DE=BE，即可求出AB=AD+BD=5，在Rt△ABC【詳解】解：根據作圖可得：AC=AD=3，MN為BD的垂直平分線，∵BE=1，∴BD=2BE=2，∴AB=AD+BD=5，∵∠ACB=90°，∴BC=A故選：B．3．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在等邊△ABC中，AD為BC邊上的高．(1)實踐與操作：利用尺規，以CD為邊在CD下方作等邊△CDE，延長ED交AB于點M；（要求：尺規作圖并保留作圖痕跡、不寫作法，標明字母）(2)應用與證明：在（1）的條件下，證明CE=BM．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了作線段，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識．熟練掌握作線段，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．（1）如圖，分別以C、D為圓心，CD的長為半徑畫弧，交點為E，連接CE、DE，則等邊△CDE即為所作，延長ED交AB于點M，點M即為所作；（2）證明△BMD≌△CEDASA，進而可證CE=BM【詳解】（1）解：如圖，分別以C、D為圓心，CD的長為半徑畫弧，交點為E，連接CE、DE，則CD=CE=DE，等邊△CDE即為所作，延長ED交AB于點M，點M即為所作；（2）證明：∵△ABC為等邊三角形，AD為BC邊上的高，∴∠B=∠ACB=60°，∵等邊△CDE，∴∠ECD=60°，∴∠B=∠ECD，又∵∠MDB=∠EDC，∴△BMD≌△CEDASA∴CE=BM．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02作一個角等于已知角1．（2024·北京·中考真題）下面是“作一個角使其等于∠AOB”的尺規作圖方法.（1）如圖，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；（2）作射線O'A'，以點O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交O'A'于點C（3）過點D'作射線O'B

上述方法通過判定△C'O'D'≌△CODA．三邊分別相等的兩個三角形全等B．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等C．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等D．兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等【答案】A【分析】根據基本作圖中，判定三角形全等的依據是邊邊邊，解答即可.本題考查了作一個角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據是解題的關鍵.【詳解】解：根據上述基本作圖，可得OC=O故可得判定三角形全等的依據是邊邊邊，故選A.2．（2024·河南·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，BE∥DC交AC

(1)請用無刻度的直尺和圓規作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射線CM交BE于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)證明（1）中得到的四邊形CDBF是菱形【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了尺規作圖，菱形的判定，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是：（1）根據作一個角等于已知角的方法作圖即可；（2）先證明四邊形CDBF是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊中線的性質得出CD=BD=1【詳解】（1）解：如圖，

；（2）證明：∵∠ECM=∠A，∴CM∥∵BE∥∴四邊形CDBF是平行四邊形，∵在Rt△ABC中，CD是斜邊AB∴CD=BD=1∴平行四邊形CDBF是菱形．3（2021·山東青島·中考真題）已知：∠O及其一邊上的兩點A，B．求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且點C在∠O內部，∠BAC=∠O．【答案】見解析【分析】先在∠O的內部作∠DAB=∠O，再過B點作AD的垂線，垂足為C點．【詳解】解：如圖，Rt△ABC為所作．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．?題型03尺規作角的和、差1．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知∠PAQ及AP邊上一點C．(1)用無刻度直尺和圓規在射線AQ上求作點O，使得∠COQ=2∠CAQ；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，以點O為圓心，以OA為半徑的圓交射線AQ于點B，用無刻度直尺和圓規在射線CP上求作點M，使點M到點C的距離與點M到射線AQ的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)在（1）、（2）的條件下，若sinA=35，CM=12【答案】(1)作圖見詳解(2)作圖見詳解(3)BM=6【分析】（1）根據尺規作角等于已知角的方法即可求解；（2）根據尺規作圓，作垂線的方法即可求解；（3）根據作圖可得MW⊥AQ，CM=WM=12，AB是直徑，結合銳角三角函數的定義可得AM的值，根據勾股定理可求出AC的值，在直角△BCM中運用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，∴∠COQ=2∠CAQ；點O即為所求（2）解：如圖所示，連接BC，以點B為圓心，以BC為半徑畫弧交AQ于點B1，以點B1為圓心，以任意長為半徑畫弧交AQ于點C1，D1，分別以點C1，D1為圓心，以大于∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，即BC⊥AP，根據作圖可得B1∴MB1⊥AQ，即∠MB1B=90°，∵BC=BB∴Rt△BCM≌∴CM=B點M即為所求點的位置；（3）解：如圖所示，根據作圖可得，∠COQ=2∠CAQ，MC=MW=12，MW⊥AQ，連接BC，∴在Rt△AMW中，sin∴AM=5WM∴AC=AM?CM=20?12=8，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴sinA=設BC=3x，則AB=5x，∴在Rt△ABC中，5x解得，x=2（負值舍去），∴BC=3x=6，在Rt△BCM中，BM=【點睛】本題主要考查尺規作角等于已知角，尺規作垂線，勾股定理，銳角三角函數的定義等知識的綜合，掌握以上知識的綜合運用是解題的關鍵．2．（2022·江蘇鎮江·中考真題）操作探究題(1)已知AC是半圓O的直徑，∠AOB=180n°（n是正整數，且n操作：如圖1，分別將半圓O的圓心角∠AOB=180n°交流：當n=11時，可以僅用圓規將半圓O的圓心角∠AOB=180探究：你認為當n滿足什么條件時，就可以僅用圓規將半圓O的圓心角∠AOB=180(2)如圖2，⊙o的圓周角∠PMQ=2707°．為了將這個圓的圓周【答案】(1)作圖見解析；交流：60°?9×18028°=探究：正整數n（n不是3的倍數），理由見解析(2)作圖見解析【分析】（1）由操作可知，如果(60n)°可以用60°（2）將圓周14等分就是把∠PMQ=2707°所對的圓周角【詳解】（1）操作：交流：60°?9×18028°=探究：設60°?k180n°=60n或設k180n°?60°=60n所以對于正整數n（n不是3的倍數），都可以僅用圓規將半圓O的圓心角∠AOB=180（2）【點睛】本題考查了用圓規作圖的基本技能，需要準確理解題意，對于復雜圖形的作圖要學會將其轉化成基本圖形去作，本題第二問利用轉化思想，轉化為第一問的思路從而得以解決，這也是本題求解的關鍵．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04過直線外一點作已知直線的平行線1．（2024·山東青島·中考真題）已知：如圖，四邊形ABCD，E為DC邊上一點．求作：四邊形內一點P，使EP∥BC，且點P到AB,AD的距離相等．【答案】見解析【分析】本題考查作圖-復雜作圖，角平分線的性質，解題的關鍵是掌握作角平分線和作一個角等于已知角的尺規作圖方法．作∠DAB的平分線AM，以E為頂點，ED為一邊作∠DEN=∠C，EN交AM于P，點P即為所求．【詳解】解：作∠DAB的平分線AM，以E為頂點，ED為一邊作∠DEN＝∠C，EN交AM于P，如圖，點2．（2024·河南新鄉·模擬預測）如圖，一次函數y=x?2的圖象與反比例函數y=mx的圖象交于A，B3,n兩點，且直線AB與坐標軸分別交于P(1)求m和n的值；(2)已知點M0,2，請用無刻度的直尺和圓規過點M作直線AB(3)若（2）中所作的平行線交x軸負半軸于點N，連接NP，QM，求四邊形【答案】(1)m=3，n=1(2)見解析(3)8【分析】本題考查一次函數與反比例函數綜合，尺規作圖：（1）將B3,n代入y=x?2可得n的值，將B3,n代入y=m（2）以M為頂點，y軸為角的一邊，作一個角等于∠MPB即可；（3）先求出直線AB與坐標軸的交點坐標，可得△OMN為腰長是2的等腰直角三角形，再根據S四邊形【詳解】（1）解：一次函數y=x?2經過點B3,n，代入解得n=1∵B3,1在反比例函數y=∴m=1×3=3；（2）解：所作平行線如圖所示：（3）解：由（1）知反比例函數解析式為y=3當x=0時，y=0?2=?2，當y=0時，0=x?2，解得：x=2，則y=x?2交坐標軸于Q2,0，P∴OP=OQ=OM=2，PM=4，∴∠OMN=∠OPQ=45°，∴△OMN為腰長是2的等腰直角三角形，∴S四邊形QUOTE?題型05作三角形1．（2022·廣西貴港·中考真題）尺規作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知線段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．【答案】見解析【分析】作直線l及l上一點A；過點A作l的垂線；在l上截取AB=m；作BC=n；即可得到△ABC．【詳解】解：如圖所示：△ABC為所求．注：（1）作直線l及l上一點A；（2）過點A作l的垂線；（3）在l上截取AB=m；（4）作BC=n．【點睛】本題考查作圖——復雜作圖，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．2．（2023·江蘇南京·中考真題）在平面內，將一個多邊形先繞自身的頂點A旋轉一個角度θ(0°<θ<180°)，再將旋轉后的多邊形以點A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為k，稱這種變換為自旋轉位似變換．若順時針旋轉，記作T(A，順θ，k)；若逆時針旋轉，記作T(A，逆θ，k)．例如：如圖①，先將△ABC繞點B逆時針旋轉50°，得到△A1BC1，再將△A1BC1以點B為位似中心縮小到原來的(1)如圖②，△ABC經過T(C，順60°，2)得到△A'B(2)如圖③，△ABC經過T(B，逆α，k1)得到△EBD，△ABC經過T(C，順β，k2)得到△FDC，連接AE，(3)如圖④，在△ABC中，∠A=150°,AB=2,AC=1.若△ABC經過（2）中的變換得到的四邊形AFDE是正方形．①用尺規作出點D（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；②直接寫出AE的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①見解析；②2【分析】（1）旋轉60°，可作等邊三角形DBC，ACE，從而得出B點和點A對應點D，E，進而作出圖形；（2）根據△EBD和△ABC位似，△FDC與△ABC位似得出∠EBD=∠ABC，BEAB=BDBC，DFCD=ABBC，進而推出△EBA∽△DBC，從而（3）要使?AFDE是正方形，應使∠EAF=90°，AE=AF，從而得出∠BAE+∠FAC=270°?∠BAC=120°，從而得出∠DBC+∠DCB=120°，從而∠BDC=60°，于是作等邊△BCG，保證∠BDC=∠G=60°，作直徑BD，保證BD=2CD，這樣得出作法．【詳解】（1）解：如圖1，1．以B為圓心，BC為半徑畫弧，以C為圓心，BC為半徑畫弧，兩弧在BC的上方交于點D，分別以A，C為圓心，以AC為半徑畫弧，兩弧交于點E，2．延長CD至B'，使DB'=CD，延長CE至A'則△A（2）證明：∵△EBD和△ABC位似，△FDC與△ABC位似，∴∠EBD=∠ABC，BEAB=BD∴∠EBA=∠DBC，∴△EBA∽△DBC，∴AECD∴AECD∴AE=DF，同理可得：DE=AF，∴四邊形AFDE是平行四邊形；（3）解：如圖2，1．以BC為邊在BC上方作等邊三角形GBC，2．作等邊三角形BCG的外接圓O，作直徑BD，連接CD，3．作∠DBE=∠ABC，∠BDE=∠ACB，延長BA，交⊙O于F，連接CF，DF，則四邊形AFDE是正方形，證明：由上知：△EBA∽△DBC，△FAC∽△DBC，∴∠BAE=∠DCB，∠FAC=∠DBC，AECD=AB∴∠BAE+∠FAC=∠DCB+∠DBC，要使?AFDE是正方形，應使∠EAF=90°，AE=AF，∴∠BAE+∠FAC+∠BAC=270°，BD=2CD，∴∠BAE+∠FAC=270°?∠BAC=270°?150°=120°，∴∠DBC+∠DCB=120°，∴∠BDC=60°，∴作等邊△BCG，保證∠BDC=∠G=60°，作直徑BD，保證BD=2CD，這樣得出作法；∵∠ABE=∠DBC=30°，∠EAB=∠BCD=90°，AB=2，∴AE=3【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，圓周角定理，確定圓的條件，尺規作圖等知識，解決問題的關鍵是較強的分析能力．?題型06作角平分線1．（2024·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以點B為圓心，適當長為半徑作弧，分別交BC，BA于點D，E，再分別以點D，E為圓心，大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠ABC的內部相交于點P，作射線BP交AC于點F．已知CF=3，AF=5，則BF的長為【答案】3【分析】本題考查了作圖?基本作圖：作角平分線，角平分線的性質定理，勾股定理及全等三角形的判定與性質等知識．根據基本作圖可判斷BF平分∠ABC，過F作FG⊥AB于G，再利用角平分線的性質得到GF=CF=3，根據勾股定理求出AG=AF2?FG2=52?32=4，證明Rt△CBF≌Rt【詳解】解：過F作FG⊥AB于G，由作圖得：BF平分∠ABC，FG⊥AB，∠C=90°，∴GF=CF=3，在Rt△AFG中根據勾股定理得：AG=∵FG=CF，BF=BF，∴Rt∴BG=BC，設BG=BC=x，則AB=4+x，AC=AF+CF=5+3=8，在Rt△ABCAC即：82解得：x=6，∴BC=6，在Rt△BCF中根據勾股定理得：BF=故答案為：352．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC于點E，再分別以B、E為圓心，大于12BE的長為半徑畫弧，兩弧在∠BAC的內部交于點F，作射線AF【答案】10°/10度【分析】本題主要考查角平分線的作法及三角形內角和定理，根據題意得出AF平分∠BAC，然后利用三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：因為∠B=50°，所以∠BAC=180°?50°?30°=100°，根據題意得：AF平分∠BAC，所以∠BAF=1因為AD為高，所以∠BDA=90°，所以∠BAD=180°?50°?90°=40°,所以∠DAF=∠BAF?∠BAD=50°?40°=10°，故答案為：10°．3．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在△ABC中，AB>AC．(1)尺規作圖：作∠BAC的角平分線，在角平分線上確定點D，使得DB=DC；（不寫作法，保留痕跡）(2)在（1）的條件下，若∠BAC=90°，AB=7，AC=5，則AD的長是多少？（請直接寫出AD的值）【答案】(1)見詳解(2)6【分析】（1）作∠BAC的角平分線和線段BC的垂直平分線相交于點D，即為所求．（2）過點D作DE⊥AB交AB與點E，過點D作DF⊥AC交AC與點F，先利用角平分線的性質定理證明四邊形AEDF為正方形，設AE=AF=ED=DF=x，則BE=7?x，FC=5?x，以DB=DC為等量關系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出AD．【詳解】（1）解：如下圖：AD即為所求．（2）過點D作DE⊥AB交AB與點E，過點D作DF⊥AC交AC與點F，則∠AED=∠AFD=90°，又∵∠BAC=90°∴四邊形AEDF為矩形，∵AD是∠BAC的平分線，∴DE=DF，∴四邊形AEDF為正方形，∴AE=AF=ED=DF，設AE=AF=ED=DF=x，∴BE=AB?AE=7?x，FC=AC?AF=5?x，在Rt△BED中，B在Rt△CFD中，C∵DB=DC∴D∴x2解得：x=6，∴AD=A【點睛】本題主要考查了作角平分線以及垂直平分線，角平分線的性質定理，正方形的判定以及勾股定理的應用，作出圖形以及輔助線是解題的關鍵．?題型07作垂線1．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，已知P是⊙O外一點．用兩種不同的方法過點P作⊙O的一條切線．要求：（1）用直尺和圓規作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．【答案】答案見解析．【分析】方法一：作出OP的垂直平分線，交OP于點A，再以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交⊙O于點Q，連結PQ，PQ即為所求．方法二：根據等腰三角形的性質三線合一作⊙O的切線，作射線PO，交⊙O于點M,N，以P為圓心，PO為半徑作⊙P,以O為圓心，MN的長為半徑畫弧交⊙P于點A，連接PA,OA,OA交⊙O于點B，則△PAO是等腰三角形，OB=12OA，則PB⊥OA【詳解】解：作法：連結PO，分別以P、O為圓心，大于12PO的長度為半徑畫弧，交于兩點，連結兩點交PO于點A；以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交⊙O于點Q，連結PQ，PQ作法：作射線PO，交⊙O于點M,N，以P為圓心，PO為半徑作⊙P,以O為圓心，MN的長為半徑畫弧交⊙P于點A，連接PA,OA,OA交⊙O于點B，則△PAO是等腰三角形，OB=12OA，則PB⊥OA【點睛】本題考查了作圖——復雜作圖，涉及垂直平分線的作法，角平分線的作法，等腰三角形的作法，圓的作法等知識點．復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖．解題的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合基本幾何圖形的性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．?題型08作等腰三角形1．（2024·福建泉州·模擬預測）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=4，C是直線BO上一個動點，若△ABC(1)用直尺和圓規作出點C的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)求OC的長．【答案】(1)見解析(2)78【分析】（1）分三種情形：AB=AC，CA=CB，BC=BA，以頂角的點為圓心，腰長為半徑畫弧，依次畫出圖形即可；（2）分三種情形求出OC的長即可．本題考查作圖?復雜作圖，勾股定理，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的射線解決問題．【詳解】（1）解：當AC=BC時，點C的位置如圖1所示；當AC=AB時，點C的位置如圖2所示；當BC=AB時，點C的位置如圖3所示；（2）解：如圖2中，當AC=AB時，OB=OC=4；如圖1中，當CA=CB時，設CA=CB=x，則有x2解得x=25∴OC=OB?BC=4?25如圖3中，當BA=BC時，AB=O∴OC=5?4=1或OC綜上所述，OC的長為4或78?題型09畫圓1．（2023·內蒙古通遼·中考真題）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規作圖過程：已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°求作：Rt△ABC作法：如圖2．（1）分別以點A和點B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于P，（2）作直線PQ，交AB于點O；（3）以O為圓心，OA為半徑作⊙O，⊙O即為所求作的圓．

下列不屬于該尺規作圖依據的是（

）A．兩點確定一條直線B．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半C．與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上D．線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等【答案】D【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質證明：OC=OA=OB即可．【詳解】解：作直線PQ（兩點確定一條直線），連接PA，

∵由作圖，PA=PB，∴PQ⊥AB且AO=BO（與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上）．∵∠ACB=90°，∴OC=1∴OA=OB=OC，∴A，B，C三點在以O為圓心，AB為直徑的圓上．∴⊙O為△ABC的外接圓．故選：D．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，線段的垂直平分線的定義，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．2．（2024·甘肅·中考真題）馬家窯文化以發達的彩陶著稱于世，其陶質堅固，器表細膩，紅、黑、白彩共用，彩繪線條流暢細致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術風格，創造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術精品，體現了古代勞動人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點定位的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知⊙O和圓上一點M．作法如下：①以點M為圓心，OM長為半徑，作弧交⊙O于A，B兩點；②延長MO交⊙O于點C；即點A，B，C將⊙O的圓周三等分．(1)請你依據以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規在圖2中將⊙O的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)根據（1）畫出的圖形，連接AB，AC，BC，若⊙O的半徑為2cm，則△ABC的周長為______cm【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）根據尺規作圖的基本步驟解答即可；（2）連接AM，設AB,OM的交點為D，得到AD⊥OM，根據⊙O的半徑為2cm，MC是直徑，△ABC本題考查了尺規作圖，圓的性質，等邊三角形的性質，熟練掌握尺規作圖的方法和圓的性質是解題的關鍵．【詳解】（1）根據基本作圖的步驟，作圖如下：則點A，B，C是求作的⊙O的圓周三等分點．（2）連接AM，設AB,OM的交點為D，根據垂徑定理得到AD⊥OM，∵⊙O的半徑為2cm，MC是直徑，△ABC∴∠CAM=90°，∠CMA=∠B=60°,MC=4cm∴AC=MCsin∴△ABC的周長為AB+BC+AC=63故答案為：633．（2022·甘肅武威·中考真題）中國清朝末期的幾何作圖教科書《最新中學教科書用器畫》由國人自編（圖1），書中記載了大量幾何作圖題，所有內容均用淺近的文言文表述，第一編記載了這樣一道幾何作圖題：原文釋義甲乙丙為定直角．以乙為圓心，以任何半徑作丁戊弧；以丁為圓心，以乙丁為半徑畫弧得交點己；再以戊為圓心，仍以原半徑畫弧得交點庚；乙與己及庚相連作線．如圖2，∠ABC為直角．以點B為圓心，以任意長為半徑畫弧，交射線BA，BC分別于點D，E；以點D為圓心，以BD長為半徑畫弧與DE交于點F；再以點E為圓心，仍以BD長為半徑畫弧與DE交于點G；作射線BF，BG．

(1)根據以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規，在圖2中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)根據（1）完成的圖，直接寫出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小關系．【答案】(1)見解析(2)∠DBG=∠GBF=∠FBE【分析】（1）根據題意作出圖形即可；（2）連接DF，EG，可得△BDF和△BEG均為等邊三角形，∠DBF=∠EBG=60°，進而可得∠DBG=∠GBF=∠FBE=30°．【詳解】（1）解：（1）如圖：

（2）∠DBG=∠GBF=∠FBE．理由：連接DF，EG如圖所示

則BD=BF=DF，BE=BG=EG即△BDF和△BEG均為等邊三角形∴∠DBF=∠EBG=60°∵∠ABC=90°∴∠DBG=∠GBF=∠FBE=30°【點睛】本題考查了尺規作圖，根據題意正確作出圖形是解題的關鍵．?題型10過圓外一點作圓的切線1．（2023·黑龍江綏化·中考真題）已知：點P是⊙O外一點．

(1)尺規作圖：如圖，過點P作出⊙O的兩條切線PE，PF，切點分別為點E、點F．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，若點D在⊙O上（點D不與E，F兩點重合），且∠EPF=30°．求∠EDF的度數．【答案】(1)見解析(2)∠EDF=75°或105°【分析】（1）①連接PO，分別以點P,O為圓心，大于12PO的長為半徑畫圓，兩圓交于點M,N兩點，作直線MN交OP于點A，②以點A為圓心，OA為半徑畫圓，與⊙O交于E,F兩點，作直線（2）根據切線的性質得出∠PEO=∠PFO=90°，根據四邊形內角和得出∠EOF=150°，進而根據圓周角定理以及圓內接四邊形對角互補即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，

①連接PO，分別以點P,O為圓心，大于12PO的長為半徑畫弧，兩弧交于點M,N兩點，作直線MN交OP于點②以點A為圓心，OA為半徑畫圓，與⊙O交于E,F兩點，作直線PE,PF，則直線PE,PF即為所求；（2）如圖所示，點D在⊙O上（點D不與E，F兩點重合），且∠EPF=30°，∵PE,PF是⊙O的切線，∴∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EOF=360°?90°?90°?30°=150°，當點D在優弧EF上時，∠EDF=1當點D在劣弧EF上時，∠EDF=180°?75°=105°，∴∠EDF=75°或105°．【點睛】本題考查了切線的性質與判定，直徑所對的圓周角是直角，圓內接四邊形對角互補，圓周角定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．2．（2023·北京東城·模擬預測）下面是小明設計的“過圓上一點作這個圓的切線”的尺規作圖過程．已知：⊙O及圓上一點A．求作：直線AB，使得AB為⊙O的切線，A為切點．小明的作法如下：①連接OA并延長到點C；②分別以點A,C為圓心，大于12AC長為半徑作弧，兩弧交于點D（點D在直線③以點D為圓心，DA長為半徑作⊙D；④連接CD并延長，交⊙D于點B，作直線AB．則直線AB就是所求作的直線．根據小明設計的尺規作圖過程，完成下列問題：(1)使用直尺和圓規，完成作圖；（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接AD．∵___________=AD∴點C在⊙D上，CB是⊙D的直徑．∴___________=90°．（___________）∴AB⊥________．∵OA是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線．（___________）【答案】(1)見詳解(2)CD，∠BAC，直徑所對的圓周角是90°，OA，過半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線【分析】本題考查了作圖的證明，掌握圓的切線的判定是解題的關鍵．（1）根據上述描述的過程作圖，即可作答．（2）根據題中的過程，結合圖形進行合情推理．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）證明：如圖：連接AD，∵CD=AD∴點C在⊙D上，CB是⊙D的直徑．∴∠BAC=90°（直徑所對的圓周角是90°)，∴AB⊥AC，∵OA是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線，（過半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線），故答案為：CD，∠BAC，直徑所對的圓周角是90°，OA，過半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線．?題型11作正多邊形1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）根據背景素材，探索解決問題．平面直角坐標系中畫一個邊長為2的正六邊形ABCDEF背景素材六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個古老而經典的幾何問題，旨在解決如何使用直尺和圓規將一個圓分成六等份的問題．這個問題由歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細闡述．已知條件點C與坐標原點O重合，點D在x軸的正半軸上且坐標為2,0操作步驟①分別以點C，D為圓心，CD長為半徑作弧，兩弧交于點P；②以點P為圓心，PC長為半徑作圓；③以CD的長為半徑，在⊙P上順次截取DE=④順次連接DE，EF，FA，AB，BC，得到正六邊形ABCDEF．問題解決任務一根據以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）任務二將正六邊形ABCDEF繞點D順時針旋轉60°，直接寫出此時點E所在位置的坐標：______．【答案】任務一：見解析；任務二：4,0【分析】本題考查尺規作圖，弧、弦、圓心角的關系，旋轉的性質．利用數形結合的思想是解題關鍵．任務一：根據操作步驟作出⊙P，再根據弧、弦、圓心角的關系，分別作出DE=EF=AF=AB=CD，即得出DE=任務二：由旋轉的性質可知DE'=OD=2，即得出OE'【詳解】解：任務一：如圖，正六邊形ABCDEF即為所作；任務二：如圖，由旋轉可知DE∴OE∴E'故答案為：4,0．2．（2024·上海閔行·二模）滬教版九年級第二學期的教材給出了正多邊形的定義：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．同時還提到了一種用直尺和圓規作圓的內接正六邊形和圓的內接正五邊形的方法，但課本上并未證明．我們現開展下列探究活動．活動一：如圖1，展示了一種用尺規作⊙O的內接正六邊形的方法．①在⊙O上任取一點A，以A為圓心、AO為半徑作弧，在⊙O上截得一點B；②以B為圓心，AO為半徑作弧，在⊙O上截得一點C；再如此從點C逐次截得點D、E、F；③順次連接AB、BC、CD、DE、EF、FA．(1)根據正多邊形的定義，我們只需要證明__________，________（請用符號語言表示，不需要說明理由），就可證明六邊形ABCDEF是正六邊形．活動二：如圖2，展示了一種用尺規作⊙O的內接正五邊形的方法．①作⊙O的兩條互相垂直的直徑PQ和AF；②取半徑OP的中點M；再以M為圓心、MA為半徑作弧，和半徑OQ相交于點N；③以點A為圓心，以AN的長為半徑作弧，與⊙O相截，得交點B．如此連續截取3次，依次得分點C、D、E，順次連接AB、BC、CD、DE、EA，那么五邊形ABCDE是正五邊形．(2)已知⊙O的半徑為2，求邊AB的長，并證明五邊形ABCDE是正五邊形．（參考數據：sin22.5°=2?22，cos22.5°=2+1【答案】(1)AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F(2)AB=10?25，證明五邊形【分析】（1）各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形，據此即可獲得答案；（2）首先結合題意并根據勾股定理解得AM=5，進而可得MN=AM=5，易得ON=5?1，再在Rt△AON中，由勾股定理解得AN=10?25，即可確定AB的值；連接BF，OB，OC，OD，OE，結合AF為⊙O直徑易得∠ABF=90°，利用三角函數可得∠AFB=36°，由圓周角定理可得∠AOB=72°【詳解】（1）解：根據正多邊形的定義，我們只需要證明AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，就可證明六邊形ABCDEF是正六邊形．故答案為：AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F；（2）解：根據題意，可得AF⊥PQ，OP=OA=2，∵點M為半徑OP的中點，∴OM=1∴在Rt△AOM中，AM=∵以M為圓心、MA為半徑作弧，和半徑OQ相交于點N，∴MN=AM=5∴ON=MN?OM=5∴在Rt△AON中，AN=∵以點A為圓心，以AN的長為半徑作弧，與⊙O相截，得交點B，∴AB=AN=10?2如下圖，連接BF，OB，OC，OD，OE，∵AF為⊙O直徑，∴∠ABF=90°，AF=2×2=4，∵sin∠AFB=∴∠AFB=36°，∴∠AOB=2∠AFB=72°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=1在△OAB和△OBC中，OA=OBAB=BC∴△OAB≌△OBC，∴∠AOB=∠BOC=72°，∴∠OBC=∠OCB=54°，同理可得△OCD≌△ODE≌△OAB，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=72°，∴∠EOA=360°?∠AOB?∠BOC?∠COD?∠DOE=72°=∠AOB，又∵OE=OA，OA=OB，∴△EOA≌△AOBSAS∴EA=AB，∠OEA=∠OAE=54°，∴AB=BC=CD=DE=EA，∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB=54°×2=108°，∴五邊形ABCDE是正五邊形．【點睛】本題主要考查了尺規作圖、多邊形的定義和性質、全等三角形的判定與性質、圓周角定理、解直角三角形等知識，正確理解題意，熟練掌握相關知識是解題關鍵．?題型12格點作圖1．（2024·吉林長春·中考真題）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作四邊形ABCD，使其是軸對稱圖形且點C、D均在格點上．(1)在圖①中，四邊形ABCD面積為2；(2)在圖②中，四邊形ABCD面積為3；(3)在圖③中，四邊形ABCD面積為4．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查網格作圖、設計圖案、軸對稱的性質、平移的性質等知識點，根據軸對稱的性質、平移的性質作圖是解題的關鍵．（1）根據軸對稱的性質、平移的性質作出面積為2四邊形ABCD即可．（2）根據軸對稱的性質、平移的性質作出面積為3四邊形ABCD即可．（3）根據軸對稱的性質、平移的性質作出面積為4四邊形ABCD即可．【詳解】（1）解：如圖①：四邊形ABCD即為所求；（不唯一）．（2）解：如圖②：四邊形ABCD即為所求；（不唯一）．（3）解：如圖③：四邊形ABCD即為所求；（不唯一）．2．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，線段AB和線段CD的端點均在小正方形的頂點上．

(1)在方格紙中畫出△ABE，且AB=BE，∠ABE為鈍角（點(2)在方格紙中將線段CD向下平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后得到線段MN（點C的對應點是點M，點D的對應點是點N），連接EN，請直接寫出線段EN的長．【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析，EN=【分析】（1）找到1×3的格點的E，使得BE=AB，且∠ABE>90°，連接AE,BE，則△ABE即為所求；（2）根據平移畫出MN，連接EN，勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，△ABE即為所求；

（2）解：如圖所示，MN，EN即為所求；

EN=12【點睛】本題考查了平移作圖，勾股定理與網格，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．3．（2021·湖北荊州·中考真題）如圖，在5×5的正方形網格圖形中小正方形的邊長都為1，線段ED與AD的端點都在網格小正方形的頂點（稱為格點）上．請在網格圖形中畫圖：(1)以線段AD為一邊畫正方形ABCD，再以線段DE為斜邊畫等腰直角三角形DEF，其中頂點F在正方形ABCD外；(2)在（1）中所畫圖形基礎上，以點B為其中一個頂點畫一個新正方形，使新正方形的面積為正方形ABCD和△DEF面積之和，其它頂點也在格點上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質、正方形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是了解如何根據題意構造直角三角形并利用勾股定理．（1）根據正方形的性質、等腰直角三角形的性質和網格的特點畫出圖形即可；（2）先計算出新正方形的面積，從而得出邊長，根據勾股定理和網格的特點畫出圖形即可．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：∵新正方形的面積為正方形ABCD和△DEF面積之和，其它頂點也在格點上．∴新正方形的面積為：9+1=10，∴新正方形的邊長為：10，如圖：正方形KBGF的邊長為：32∴正方形KBGF即為所求．?題型13無刻度直尺作圖1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖是6×7的網格，每個小正方形的邊長均為1，半圓ACB上的點A，(1)在圖中作出弧BC的中點D．(2)連結AC，作出∠BAC的角平分線．(3)在AB上作出點P，使得AP=AC．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）連BC與網格線交于一格點G，以O為端點，作射線OG與圓弧交于點D，（2）作射線AD，則AD即是∠BAC的角平分線，（3）連結BD并延長，交AC的延長線于點E,AD與BC交于點F，連結EF并延長交AB于點P，則AP=AC．本題考查了無刻度直尺作圖，垂徑定理，圓周角定理，角平分線的性質定理，解題的關鍵是：熟練掌握無刻度直尺作圖，與相關定理的結合．【詳解】（1）解：由格點可知G為BC中點，根據垂徑定理可得，點D為弧BC的中點，點D即為所求，（2）解：∵點D為弧BC的中點，根據圓周角定理，可得∠CAD=∠BAD，AD即為所求，（3）解：∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB=∠ADE=90°，∠BCE=90°，∵∠CAD=∠BAD，AD=AD，∴△AED≌△ABDASA∴ED=BD，∠AED=∠ABD，∴AD是BE的垂直平分線，∴FE=FB，∴∠FEB=∠FBE，∴△EPB≌△BCEASA∴∠EPB=∠BCE=90°，∴△ACF≌△APFAAS∴AP=AC，作圖如下：．2．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是由小正方形組成的3×4網格，每個小正方形的頂點叫做格點．△ABC三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條．(1)在圖（1）中，畫射線AD交BC于點D，使AD平分△ABC的面積；(2)在（1）的基礎上，在射線AD上畫點E，使∠ECB=∠ACB；(3)在圖（2）中，先畫點F，使點A繞點F順時針旋轉90°到點C，再畫射線AF交BC于點G；(4)在（3）的基礎上，將線段AB繞點G旋轉180°，畫對應線段MN（點A與點M對應，點B與點N對應）．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析(3)作圖見解析(4)作圖見解析【分析】本題考查了網格作圖．熟練掌握全等三角形性質，平行四邊形性質，等腰三角形性質，等腰直角三角形性質，是解題的關鍵．（1）作矩形HBIC，對角線HI交BC于點D，做射線AD，即可；（2）作OP∥BC,射線AR⊥OP于點Q，連接CQ交AD于點E，即可；（3）在AC下方取點F，使AF=CF=5，△ACF是等腰直角三角形，連接CF，AF，AF交BC于點G（4）作OP∥BC，交AG于點M，作ST∥AG，交BC于點N，連接MN，即可．【詳解】（1）如圖，作線段HI，使四邊形HBIC是矩形，HI交BC于點D，做射線AD，點D即為所求作；（2）如圖，作OP∥BC,作AR⊥OP于點Q，連接CQ交AD于點E，點E即為作求作；（3）如圖，在AC下方取點F，使AF=CF=5，連接CF，連接并延長AF，AF交BC于點G，點F，G（4）如圖，作OP∥BC，交射線AG于點M，作ST∥AG，交BC于點N，連接MN，線段MN即為所求作．3．（2023·湖北·中考真題）已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫作法，用虛線表示作圖過程，實線表示作圖結果）．

(1)在圖1中作出以BE為對角線的一個菱形BMEN；(2)在圖2中作出以BE為邊的一個菱形BEPQ．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據菱形的性質對角線互相垂直平分即可作出圖形．（2）根據菱形的性質四條邊平行且相等即可作出圖形．【詳解】（1）解：如圖，菱形BMEN即為所求（點M，N可以對調位置）：

（2）解：如圖，菱形BEPQ即為所求．∵BEPQ是菱形，且要求BE為邊，∴①當BE為上底邊的時候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

②當BE為上底邊的時候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

③當BE為下底邊的時候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

④當BE為下底邊的時候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖，復雜作圖是結合了幾何圖形的性質和基本作圖的方法，涉及到的知識點有菱形的性質和判定，解題的關鍵在于熟悉菱形的幾何性質和正六邊形的幾何性質，將復雜作圖拆解成基本作圖．?題型14最短路徑問題1．（2020·江蘇南京·中考真題）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個燃氣站，向l同側的A、B兩個城鎮分別發鋪設管道輸送燃氣，試確定燃氣站的位置，使鋪設管道的路線最短．（1）如圖②，作出點A關于l的對稱點A'，線A'B與直線l的交點C的位置即為所求，即在點C處建氣站，所得路線ACB是最短的，為了讓明點C的位置即為所求，不妨在l直線上另外任取一點C'，連接AC（2）如果在A、B兩個城鎮之間規劃一個生態保護區，燃氣管道不能穿過該區域請分別始出下列兩種情形的鋪設管道的方案（不需說明理由），①生市保護區是正方形區域，位置如圖③所示②生態保護區是圓形區域，位置如圖④所示．【答案】（1）證明見解析；（2）①見解析，②見解析【分析】（1）連接A'C，利用垂直平分線的性質，得到（2）由（1）可知，在點C處建燃氣站，鋪設管道的路線最短．分別對①、②的道路進行設計分析，即可求出最短的路線圖．【詳解】（1）證明：如圖，連接A∵點A、A'∴A'∴CA+CB=A'C+CB=A'B，同理AC'+C'B=A'C'+C'B，在ΔA'∴AC+CB<AC'+C'B；（2）解：①在點C處建燃氣站，鋪設管道的最短路線是AC+CD+DB（如圖，其中D是正方形的頂點）．②在點C處建燃氣站，鋪設管道的最短路線是AC+CD+DE【點睛】本題考查了切線的應用，最短路徑問題，垂直平分線的性質，解題的關鍵是熟練掌握題意，正確確定點C的位置，從而確定鋪設管道的最短路線．2．（2024·廣東·模擬預測）綜合與實踐【提出問題】唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“中隱含著一個有趣的數學問題——將軍飲馬問題．如圖1，將軍從山腳下的點A出發，到達河岸點P飲馬后再回到點B宿營，請問怎樣走才能使總路程最短？【分析問題】如圖1，取點A關于河岸線的對稱點A'，連接AP，A'P，當A'，【解決問題】（1）當A'，P【遷移應用】（2）如圖2，A，B兩個村莊在河岸CD的同側，兩村到河岸CD的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，(CD=3千米，現要在河岸CD上建一水廠P，從P處向①請在河岸CD上作出水廠P的位置，并寫出作圖過程；②若鋪設水管的工程費用為20000元/千米，求出鋪設水管最節省的總費用．【答案】（1）兩點之間線段最短；（2）①作圖見解析；②100000元．【分析】本題考查了軸對稱?最短路徑問題，勾股定理，兩點之間線段最短，掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．（1）根據兩點之間線段最短即可求解；（2）①如圖，延長AC到點A'，使CA'=CA，連接A'B交CD于點P，點P即為所求；②過點A'作A'N⊥BD的延長線于點N，則∠A'【詳解】解：（1）當A'故答案為：兩點之間線段最短；（2）①如圖，延長AC到點A'，使CA'=CA，連接A'B交②過點A'作A'N⊥BD的延長線于點N，則∠A'∴BN=BD+DN=3+1=4千米，∴A'∴最短路線PA+PB=A∴鋪設水管最節省的總費用為20000×5=100000元．命題點二定義、命題、定理?題型01判斷是否是命題1．（2020·四川雅安·中考真題）下列四個選項中不是命題的是（

）A．對頂角相等B．過直線外一點作直線的平行線C．三角形任意兩邊之和大于第三邊D．如果a=b，a=c，那么b=c【答案】B【分析】判斷一件事情的語句，叫做命題．根據定義判斷即可．【詳解】解：由題意可知，A、對頂角相等，故選項是命題；B、過直線外一點作直線的平行線，是一個動作，故選項不是命題；C、三角形任意兩邊之和大于第三邊，故選項是命題；D、如果a=b，a=c，那么b=c，故選項是命題；故選：B．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經過推理論證的真命題稱為定理．注意：疑問句與作圖語句都不是命題．2．（2023·廣西南寧·模擬預測）下列語句中，不是命題的是（

）A．如果b+1<a+1，那么a+1>b+1 B．對頂角相等C．兩點之間，線段最短 D．過一點作已知直線的垂線【答案】D【分析】本題考查了命題，根據命題的概念逐項判斷即可得出答案，熟練掌握判斷一件事情的語句，叫做命題是解此題的關鍵．【詳解】解：A、如果b+1<a+1，那么a+1>b+1，是命題，不符合題意；B、對頂角相等，是命題，不符合題意；C、兩點之間，線段最短，是命題，不符合題意；D、過一點作已知直線的垂線，不是命題，符合題意；故選：D．3．（2023·廣東揭陽·二模）下列句子中哪一個是命題（

）A．你的作業完成了嗎？ B．美麗的天空．C．猴子是動物． D．過直線l外一點作l的平行線．【答案】C【分析】需判定每個句子是否判斷一件事情，若進行了判斷，則為命題，反之，則不是命題；根據上述方法判斷．【詳解】解：A、你的作業做完了嗎？它是疑問句，不是命題，本選項不符合題意；B、美麗的天空，它是