試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第四章三角形第19講直角三角形（思維導圖+4考點+4命題點18種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一直角三角形考點二勾股定理考點三勾股定理逆定理考點四勾股定理的實際應用04題型精研·考向洞悉命題點一直角三角形的性質與判定?題型01由直角三角形的性質求解?題型02根據已知條件判定直角三角形命題點二勾股定理?題型01利用勾股定理求解?題型02判斷勾股數問題?題型03以直角三角形三邊為邊長的圖形面積?題型04與直角三角形三邊為邊長的圖形面積有關的規律探究問題?題型05勾股定理與網格問題?題型06勾股定理與折疊問題?題型07勾股定理與無理數?題型08利用勾股定理證明線段平方關系?題型09勾股定理的證明方法?題型10趙爽弦圖?題型11利用勾股定理構造圖形解決實際問題命題點三勾股定理逆定理?題型01在網格中判定直角三角形?題型02利用勾股定理逆定理求解命題點四勾股定理的實際應用?題型01用勾股定理解決實際生活問題?題型02用勾股定理逆定理解決實際生活問題?題型03求最短路徑問題

01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求直角三角形★★★理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質定理;勾股定理★★探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題.勾股定理逆定理★★【考情分析】該模塊內容在中考中一直是較為重要的幾何考點，考察難度為中等偏上，常考考點為:直角三角形的性質定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理與實際問題等，特別是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重點.出題類型可以是選擇，填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進行拓展延伸.結合以上考察形式，需要考生在復習這一模塊時，準確掌握有關直角三角形的各種性質與判定方法，以及特殊直角三角形?？嫉目疾旆较?02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一直角三角形定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．性質：性質直角三角形兩個銳角互余.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.圖示幾何描述在△ABC，∠C=90°∴∠A+∠B=90°在△ABC，∠C=90°，CD為AB邊的中點，∴∠A+∠B=90°在△ABC，∠C=90°，∠B=30°，∴AB=2AC判定：1）兩個內角互余的三角形是直角三角形.2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．3）有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．4）勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形是直角三角形.面積公式：S=12ab=121．（2024·海南·中考真題）設直角三角形中一個銳角為x度（0<x<90），另一個銳角為y度，則y與x的函數關系式為（

）A．y=180+x B．y=180?x C．y=90+x D．y=90?x2．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點，∠BDC=60°，AC=6，則BC的長是（

A．3 B．6 C．3 D．33．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖是脊柱側彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（

）

A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO4．（2023·貴州·中考真題）5月26日，“2023中國國際大數據產業博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是（

）

A．4m B．6m C．10m5．（2023·湖南·中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣=12矩，1欘=112宣（其中，1矩=90°），問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若∠A=1矩，∠B=1

考點二勾股定理文字語言：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.符號語言：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2變式：a2=cc=a2+b2【易錯點】1）勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關系，它只適用于直角三角形，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形；2）如果已知的兩邊沒有指明邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時必須進行分類討論，以免漏解．3）應用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=勾股定理的驗證方法一：如圖一，用4個全等的直角三角形，可以得到一個以為邊長的小正方形和一個以c為邊長的大正方形.即4SΔ+S正方形EFGH方法二（圖二）：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4×大正方形面積為S=(a+b)2=方法三：如圖三，用兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形，可以得到一個直角梯形.S梯形=12圖一圖二圖三1．（2024·青海·中考真題）（1）解一元二次方程：x2（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長．2．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖，在數軸上，OB=1，過O作直線l⊥OB于點O，在直線l上截取OA=2，且A在OC上方．連接AB，以點B為圓心，AB為半徑作弧交直線OB于點C，則C點的橫坐標為．3．（2023·湖南郴州·中考真題）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則AB4．（2023·江蘇鎮江·中考真題）《九章算術》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓，徑幾何？”譯文：現在有一個直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步．問這個直角三角形內切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長．用直角三角形三條邊的長相加作為除數，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數，計算所得的商就是這個直角三角形內切圓的直徑．根據以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長度單位）

5．（2024·江蘇南通·中考真題）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形的兩條直角邊長分別為m，nm>n．若小正方形面積為5，m+n2=21A．12 B．13 C．14 D．15QUOTEQUOTE考點三勾股定理逆定理1.勾股數勾股數：能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即滿足關系a2勾股數需要滿足的兩個條件：1）這三個數均是正整數；2）兩個較小數的平方和等于最大數的平方.常見的勾股數：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.2.勾股定理的逆定理內容：如果三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2【補充說明】1）勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法；2）勾股定理的逆定理通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2+b2與較長邊的平方c2作比較，①若a2+②若a2+b2<c2③若a2+b2>c21．（2024·江蘇揚州·三模）下列幾組數中不能作為直角三角形三邊長度的是（

）A．3，4，5 B．9，15，17 C．25，7，24 D．8，6，102．（2024·江蘇南京·三模）下列各組數中是勾股數的為（

）A．3,4,5 B．1,1,23．（21-22八年級下·湖北省直轄縣級單位·階段練習）如圖，每個小正方形的邊長為1，則∠ABC的度數為度．4．（2023·吉林白城·模擬預測）正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點．以格點為頂點．(1)在圖①中，畫一個邊長為2的線段；(2)在圖②中，畫一個直角三角形，使它的三邊長分別是2、22、105．（2024·廣東·模擬預測）若a?1+a?b+c?22=0，則以a考點四勾股定理的實際應用1.利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：1）從實際問題中抽象出幾何圖形；2）確定與問題相關的直角三角形；3）找準直角邊和斜邊，根據勾股定理建立等量關系；4）求得符合題意的結果.2.利用勾股定理解決實際問題的常見類型1）直接利用勾股定理列方程解決實際問題；2）利用勾股定理解決幾何體表面最短距離問題；3）利用勾股定理和方程思想解決與“翻折”相關的問題；4）利用勾股定理解決有關幾何圖形的面積問題.

1．（2024·四川巴中·中考真題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問：水深幾何？”這是我國數學史上的“葭生池中”問題．即AC=5，DC=1，BD=BA，則BC=（

）A．8 B．10 C．12 D．132．（2021·江蘇宿遷·中考真題）《九章算術》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，則水深為尺．

3．（2024·上海寶山·一模）在馬拉松比賽過程中，嘉琪和李明之間一直用最遠對講距離為300米的對講設備聯系．嘉琪運動到A點時，嘉琪用對講機與朋友李明聯系，李明告知嘉琪正在通過路口B向C運動后，就失去了聯系，已知嘉琪的跑步速度為2m/s，李明的跑步速度為4m/A．150s B．60s C．100s D．不會再取得聯系4．（2023·陜西西安·二模）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A

04題型精研·考向洞悉命題點一直角三角形的性質與判定?題型01由直角三角形的性質求解1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，若∠C=20°，則∠CAD=°．2．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧分別交AB,AC于點M和點N，再分別以點M,N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D．若△ACD的面積為8，則△ABD的面積是（A．8 B．16 C．12 D．243．（2023·湖南郴州·中考真題）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則AB4．（2023·海南·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為6,0，將△ABO繞著點B順時針旋轉60°，得到△DBC，則點C的坐標是（

）

A．33,3 B．3,33 C．6,35．（2024·海南·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=120°，邊AB在數軸上，將AC繞點A順時針旋轉，點C落在數軸上的點E處，若點E表示的數是3，則點A表示的數是（

）A．1 B．1?3 C．0 D．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02根據已知條件判定直角三角形1．（2022·湖南株洲·中考真題）如圖所示，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作CE∥BD交AB的延長線于點E，下列結論不一定正確的是（A．OB=12CE C．BC=12AE2．（2024·福建南平·一模）如圖1，點D是△ABC的邊AB上一點．AD=AC，∠CAB=α，⊙O是△BCD的外接圓，點E在DBC上（不與點C，點D重合），且∠CED=90°?α．

(1)求證：△ABC是直角三角形；(2)如圖2，若CE是⊙O的直徑，且CE=2，折線ADF是由折線ACE繞點A順時針旋轉α得到．①當α=30°時，求△CDE的面積；②求證：點C，D，F三點共線．3．（2024·山東濟南·模擬預測）如圖1，拋物線L：y=33x?22+m與x軸交于點A，B，與y(1)求m的值；(2)點D是直線BC下方拋物線L上一動點，當△BCD的面積最大時，求點D的坐標；(3)如圖2，在（2）條件下，將拋物線L向右平移1個單位長度后得到拋物線M，設拋物線M與拋物線L的交點為E，AF⊥BC，垂足為F．證明△DEF是直角三角形．命題點二勾股定理?題型01利用勾股定理求解1．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF內接于⊙O，則它的內切圓半徑為（

）

A．1 B．2 C．2 D．32．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形AOBC的頂點A在x軸負半軸上，頂點B在直線y=34x上，若點B的橫坐標是8，為點CA．(?1,6) B．(?2,6) C．(?3,6) D．(?4,6)3．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，圓錐的側面展開圖是一個圓心角為72°的扇形，若扇形的半徑l是5，則該圓錐的體積是（

）A．3118π B．118π 4．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一條對角線，E是AC上一點，過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接DE．若CE=AF，則DE的長為．5．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于點E，則AE的長是（

）A．245 B．6 C．485 ?題型02判斷勾股數問題1）確定是三個正整數a，b，c；2）確定最大的數c；3）計算較小的兩個數的平方a2+b1．（2023·江蘇南通·中考真題）勾股數是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數，世界上第一次給出勾股數公式的是中國古代數學著作《九章算術》．現有勾股數a，b，c，其中a，b均小于c，a=12m2?12，c=12．（2023·四川瀘州·中考真題）《九章算術》是中國古代重要的數學著作，該著作中給出了勾股數a，b，c的計算公式：a=12m2?n2，b=mn，c=12A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，253．（2024·河北秦皇島·一模）我們把滿足a2+b2=c2的三個正整數a，b(1)當b=n+7，c=n+8時，請用含n的代數式表示a2，并直接寫出n取何值時，a(2)當b=2n2+2n，c=b+1時，用含nabc_____40411160_____4．（2024·浙江·模擬預測）在中國古代數學著作《周髀算經》中就對勾股定理和勾股數有過一定的描述，所謂勾股數一般是指能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，觀察下面的表格中的勾股數：abc3=1+24=2×1×25=2×1×2+15=2+312=2×2×313=2×2×3+17=3+424=2×3×425=2×3×4+19=4+540=2×4×541=2×4×5+1………(1)當a=11時，b=______，c=______．(2)按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數）．(3)請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的．QUOTE?題型03以直角三角形三邊為邊長的圖形面積作正方形作半圓作等邊三角形作等腰直角三角形圖示結論1．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個正方形．執行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達哥拉斯樹”．若圖①中的直角三角形斜邊長為2，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為．2．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，矩形ABCD內接于⊙O，分別以AB、BC、CD、

A．414π?20 B．412π?20 3．（2024·廣東中山·模擬預測）在直線L上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形的面積分別1、4、9，正放置的四個正方形的面積依次為S1，S2，S3，S4，則4．（2024·廣西梧州·二模）圖1是第七屆國際數學教育大會（ICME?7）的會徽，會徽的主題圖案是由圖2中七個直角三角形演化而成的，其中OA1=

5．（2024·江蘇宿遷·二模）小明在一塊畫有Rt△ABC的紙片上（其中∠ABC=90°，BC＜AB）進行了如下操作：第一步分別以AB、BC為邊向外畫正方形ABFG和正方形BCDE；第二步過點A、B分別作AC的垂線和AC的平行線，將紙片ABFG－分成②、③、④、⑤四塊，如圖1；第三步將圖1中的正方形紙片BCDE、△ABC紙片及紙片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成圖2．若CMPM=67

6．（2020·江西·中考真題）某數學課外活動小組在學習了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側作多邊形，它們的面積S1，S2，類比探究（1）如圖2，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB,AC,BC為斜邊向外側作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，則面積S1，S2，S3推廣驗證（2）如圖3，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB,AC,BC為邊向外側作任意△ABD，△ACE，△BCF，滿足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，則（1）中所得關系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明理由；拓展應用（3）如圖4，在五邊形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=23，DE=2，點P在AE上，∠ABP=?題型04與直角三角形三邊為邊長的圖形面積有關的規律探究問題1．（2020·遼寧丹東·中考真題）如圖，在矩形OAA1B中，OA=3，AA1=2，連接OA1，以OA1為邊，作矩形OA1A2B1使A1A2=23OA1，連接OA2交A1B于點C2．（2024·四川內江·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為2，其面積標記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，并以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S2……按照此規律繼續下去，則S20243．（23-24九年級下·山東聊城·階段練習）如圖（1），已知小正方形ABCD的面積為1，把它的各邊延長一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B

4．（2023·山東青島·二模）【問題背景】如圖1，△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C=90°，AC=BC=2．取AC、BC、AB中點進行第1次剪取，記所得正方形面積為S1，如圖2，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為S2【問題探究】（1）S2（2）如圖3，再在余下的四個三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形面積和為S3繼續操作下去…，則第10次剪取時，S10=______；第n【拓展延伸】在第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和為______．?題型05勾股定理與網格問題正方形網格中的每一個角都是直角，在正方形網格中的長度計算都可以歸結為求任意兩個點之間的距離，一般情況下都是運用勾股定理來進行計算，關鍵是確定每一條邊所在的直角三角形.1．（2023·吉林長春·中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作△ABC，點C在格點上．

(1)在圖①中，△ABC的面積為92(2)在圖②中，△ABC的面積為5(3)在圖③中，△ABC是面積為522．（2023·吉林·中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上．在圖①、圖②、圖③中以AB為邊各畫一個等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點均在格點上．

3．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在6×7的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，四邊形ABCD的頂點均在網格的格點上．(1)求sinD(2)操作與計算：用尺規作圖法過點C作CE⊥AD，垂足為E，并直接寫出CE的長．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）?題型06勾股定理與折疊問題解決“翻折”問題時，要弄清翻折前后的邊、角的對應情況，將待求線段或角與已知線段、角歸結到一起，尤其是求線段長度時，常常利用勾股定理直接求出未知線段的長度或通過勾股定理列方程使問題得以解決.1．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，D是邊AC的中點，E是邊BC上一點，連接BD、DE．將△CDE沿DE翻折，點C落在BD上的點F處，則CE=2．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，點E在矩形ABCD的邊CD上，將△ADE沿AE折疊，點D恰好落在邊BC上的點F處，若BC=10．sin∠AFB=45，則

3．（2023·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點B恰好落在CD邊上的點B'處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5，那么線段FC的長為

4．（2024·四川廣元·中考真題）已知y=3x與y=kxx>0的圖象交于點A2,m，點B為y軸上一點，將△OAB沿OA翻折，使點B恰好落在y=k

?題型07勾股定理與無理數1．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段AB，按以下步驟作圖：①過點B作BC⊥AB，使BC=12AB，連接AC；②以點C為圓心，以BC長為半徑畫弧，交AC于點D；③以點A為圓心，以AD長為半徑畫弧，交AB于點E．若AE=mAB，則m

A．5?12 B．5?22 C．2．（2024·貴州貴陽·一模）如圖，BA=BC，在數軸上點A表示的數為a，則a的值最接近的整數是．3．（2024·山西大同·模擬預測）為了比較5+1與10的大小，小亮先畫了一條數軸，然后在原點O處作了一條垂線段OA，且OA=1，點B表示的數是2，點C表示的數為3，連接AB，AC，由AB+BC>AC推出5+1>10A．統計思想 B．數形結合 C．模型思想 D．分類討論4．（2024南寧三中模擬）利用勾股定理，可以作出長為2、3、5、?的線段，如圖：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1，則AC的長等于______．在按同樣的方法，可以在數軸上畫出表示2、3、5、?

（1）在數軸上作出表示?2的點M（2）在數軸上作出表示3的點N（尺規作圖，保留痕跡）．?題型08利用勾股定理證明線段平方關系1．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；（2）性質探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O．猜想：AB2+C（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE2．（2024·山西朔州·二模）閱讀與思考下面是小宇同學收集的一篇數學小論文，請仔細閱讀并完成相應的任務.構圖法在初中數學解題中的應用構圖法指的是構造與數量關系對應的幾何圖形，用幾何圖形中反映的數量關系來解決數學問題的方法.巧妙地構造圖形有助于我們把握問題的本質，明晰解題的路徑，也有利于發現數學結論.本文通過列舉一個例子，介紹構圖法在解題中的應用，例：如圖1，已知P為等邊三角形ABC內一點，∠APB=113°，∠APC=123°.求以AP，BP，CP為邊的三角形中各個內角的度數.解析：如何求所構成的三角形三個內角的度數？由于沒有出現以AP，BP，CP為邊的三角形，問題難以解決.于是考慮通過構圖法構造長度為AP，BP，CP的三角形來解決問題．解：將△APC繞點A順時針旋轉60°得△AQB，則△AQB≌△APC．∴BQ=CP，AQ=AP，∠1=∠CAP．由旋轉可知∠QAP=60°，∴△APQ是等邊三角形．【依據】∴QP=AP，∠3=∠4=60°．∴△QBP就是以AP，BP，CP為邊的三角形．∵∠APB=113°，∴∠5=∠APB?∠4=53°．∵∠AQB=∠APC=123°.∴∠6=∠AQB?∠3=63°．∴∠QBP=180°?∠5?∠6=64°．∴以AP，BP，CP為邊的三角形中，三個內角的度數分別為64°，63°，53°.構造圖形的關鍵在于通過圖形的變化，能使抽象的數量關系集中在一個圖形上直觀地表達出來，使問題變簡單．任務：(1)上面小論文中的“依據”是________．(2)如圖2，已知點P是等邊三角形ABC的邊BC上的一點，若∠APC=102°，則在以線段AP，BP，CP為邊的三角形中，最小內角的度數為________°．(3)如圖3，在四邊形ABCD中，∠ADC=30°，∠ABC=60°，AB=BC．求證：BD3．（2023·湖北武漢·模擬預測）如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上．

(1)判斷∠ACD與∠BCE間的數量關系，并說明理由；(2)直接寫出線段AD、AE、AC間滿足的數量關系．4．（2023·陜西咸陽·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB的中點，作∠POQ=90°．分別交AC，BC于點P，Q，連接(1)【嘗試探究】如圖1，若AC=BC，求證AP(2)【深入研究】如圖2，試探索（1）中的結論在一般情況下是否仍然成立；(3)【解決問題】如圖3，若AC=6，BC=8，點C，P，O，Q在同一個圓上，求△PCQ面積的最大值．?題型09勾股定理的證明方法1．（2023·北京大興·一模）下面是用面積關系證明勾股定理的兩種拼接圖形的方法，選擇其中一種，完成證明．勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．已知：如圖，直角三角形的直角邊長分別為a，b，斜邊長為c．求證：a2方法一如圖，大正方形的邊長為a+b，小正方形的邊長為c．證明方法二如圖，大正方形的邊長為c，小正方形的邊長為b?a．證明2．（2024·山西呂梁·模擬預測）閱讀與思考：請閱讀下列材料，完成相應任務．從勾股定理的“無字證明”談起在勾股定理的學習過程中，我們已經學會運用一些幾何圖形驗證勾股定理．如圖1是古印度的一種證明方法：過正方形ADEC的中心O，作兩條互相垂直的直線，將正方形分成4份，所分成的四部分和一小正方形恰好能拼成一個大正方形．這種方法，不用運算，單靠移動幾塊圖形就直觀地證出了勾股定理，這種根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．

意大利著名畫家達·芬奇用如圖2所示的方法證明了勾股定理，其中圖甲的空白部分是由兩個正方形和兩個直角三角形組成，圖丙的空白部分由兩個直角三角形和一個正方形組成．設圖甲中空白部分的面積為S1，圖丙中空白部分的面積為S任務：(1)下面是小亮利用圖2驗證勾股定理的過程，請你幫他補充完整．解：根據題意，得S1=S2∵S1∴________，即________．(2)我國是最早了解勾股定理的國家之一．東漢末年數學家劉徽在為《九章算術》作注中依據割補術而創造了勾股定理的無字證明“青朱出入圖”．如圖3，若CB=6，CG=8，則IN的長度為________．(3)在初中的數學學習中，我們已經接觸了很多代數恒等式．一些代數恒等式也可以通過“無字證明”來解釋．可以借助圖4直觀地解釋的代數恒等式為________．借助此方法可將抽象的數學知識變得直觀且具有可操作性，從而幫助我們解決問題，在此過程中體現的數學思想是________．A．分類討論思想

B．公理化思想

C．數形結合思想

D．從特殊到一般的思想(4)借助圖5可以直觀解釋的式子為________．（填序號）①a+32=a2+9③a+32≠a2+9(5)實際上，初中數學還有一些代數恒等式（除上述涉及的）也可以借助“無字證明”來直觀解釋，請你舉出一例，畫出圖形并直接寫出所解釋的代數恒等式．?題型10趙爽弦圖內弦圖模型外弦圖模型條件在正方形內部，有四個全等的直角三角形.圖示結論1）四邊形ABMN為正方形2）3）1）四邊形CMHG為正方形2）3）1．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個大正方形ABCD．直線MP交正方形ABCD的兩邊于點E，F，記正方形ABCD的面積為S1，正方形MNPQ的面積為S2．若BE=kAE(k>1)，則用含k的式子表示S12．（2023·湖北鄂州·中考真題）2002年的國際數學家大會在中國北京舉行，這是21世紀全世界數學家的第一次大聚會．這次大會的會徽選定了我國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH，連接AC和EG，AC與DF、EG、BH分別相交于點P、O、Q，若BE:EQ=3:2，則OPOE的值是

3．（2023·湖北黃岡·中考真題）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．設圖中AF=a，DF=b，連接AE,BE，若△ADE與△BEH的面積相等，則b2a

4．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，在趙爽弦圖中，正方形ABCD是由四個全等的直角三角形ABF，BCG，CDH，DAE和一個小正方形EFGH組成的．若把四個直角三角形分別沿斜邊向外翻折，可得正方形MNPQ，連接PH并延長，交MQ于點O．若正方形MNPQ的面積為196，正方形EFGH的面積為4，則：（1）正方形ABCD的面積為．（2）OH的長為．?題型11利用勾股定理構造圖形解決實際問題1．（2024·遼寧撫順·一模）《算法統宗》是中國古代數學名著，作者是明代數學家程大位．書中記載了一道“蕩秋千”問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地；送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉；良工高士素好奇，算出索長有幾?”譯文：“秋千靜止的時候，踏板高地1尺，將它往前推送兩步(兩步＝10尺)時，此時踏板升高到離地5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問秋千繩索有多長?”如圖，若設秋千繩索長為x尺，則可列方程為（）A．x2+10C．(x?4)2+102．（2023·四川瀘州·一模）我國古代偉大的數學家劉徽將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成．若a=6，b=8，則該矩形的面積為（）

A．96 B．1532 C．19943．（2022·貴州遵義·二模）已知a，b均為正數，且a2+b2，a2A．32ab B．ab C．124．（2023·湖南衡陽·一模）在日常生活中我們經常會使用到訂書機，如圖MN是裝訂機的底座，AB是裝訂機的托板，始終與底座平行，連接桿DE的D點固定，點E從A向B處滑動，壓柄BC可繞著轉軸B旋轉．已知BC=AB=12cm，BD=5(1)當托板與壓柄夾角∠ABC=37°時，如圖①，點E從A點滑動了2cm，求連接桿DE(2)當壓柄BC從（1）中的位置旋轉到與底座AB的夾角∠ABC=127°，如圖②．求這個過程中點E滑動的距離．（答案保留根號）（參考數據：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，命題點三勾股定理逆定理?題型01在網格中判定直角三角形1．（2022·四川廣元·中考真題）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cos∠APC的值為（）A．35 B．255 C．22．（2023·廣東·中考真題）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A(2)證明（1）中你發現的結論．3．（2024·北京·模擬預測）如圖所示的網格是正方形網格，點A，B，C，D是網格線交點，則S△ABCS4．（23-24九年級下·河南駐馬店·階段練習）如圖，在5×6的網格圖中，每個小正方形的邊長均為1．點A、B、C、D均在格點上．則圖中陰影部分的面積為．（結果保留π）?題型02利用勾股定理逆定理求解1．（2023·湖北·中考真題）如圖，在3×3的正方形網格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中的圓弧為格點△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長為1，圖中陰影部分的面積為（

）

A．52π?74 B．52π?2．（2023·四川遂寧·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，點P為線段AB上的動點，以每秒1個單位長度的速度從點A向點B移動，到達點B時停止．過點P作PM⊥AC于點M、作PN⊥BC于點N，連接MN，線段MN的長度y與點P的運動時間t（秒）的函數關系如圖所示，則函數圖象最低點

A．5，5 B．6,245 3．（2024·浙江·模擬預測）如圖，X，Y，Z是某社區的三棟樓，XY=40m，YZ=30m，XZ=50m．若在XZ中點M處建一個5G網絡基站，該基站的覆蓋半徑為A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y4．（2023·江蘇南通·模擬預測）如圖，已知點A0,3B4,0，點C在第一象限，且AC=55，BC=10，則直線命題點四勾股定理的實際應用?題型01用勾股定理解決實際生活問題1．（2021·江蘇南通·中考真題）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為海里（結果保留根號）．2．（2020·四川·中考真題）如圖，海中有一小島A，它周圍10.5海里內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行．在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上．如果漁船不改變航線繼續向東航行，那么漁船