小學奧數奇偶性分析專題講義一、知識點講解.1.奇偶性基本性質.奇數：形如（為整數）

偶數：形如（為整數）

重要結論：

奇數＋奇數＝偶數

奇數＋偶數＝奇數

偶數＋偶數＝偶數

奇數×奇數＝奇數

奇數×偶數＝偶數

偶數×偶數＝偶數.2.高階應用技巧.反證法：假設某種情況存在，導出奇偶矛盾

狀態守恒：操作前后奇偶性不變

染色法：用黑白交替染色揭示奇偶規律.二、例題精講.例題1：的和是奇數還是偶數？解答：

總和包含50個奇數和49個偶數：

奇數個奇數相加結果為偶數，偶數總和的奇偶性由奇數的個數決定

奇數

例題2：證明不存在三個連續自然數乘積為奇數.解答：

三個連續數中必有一個偶數，乘積必為偶數

不存在

例題3：數列，，求奇偶性.解答：

為偶，為偶，為奇，為奇……，以4為周期.2023÷4=505……3，所以為偶數.例題4：若和都是質數，且.求.解答：

若都為奇質數，則為偶數，不成立。所以，其中必有一個為2，另一個為89.或.例題5：黑板有數1－2023，每次擦去兩數寫其差，最終剩下的數奇偶性？解答：

操作不改變全體數之和的奇偶性。初始和為偶數

偶數.例題6：7個倒置杯子，每次翻轉4個，能否全朝上？解答：

每次翻轉偶數次改變奇偶性，需奇數次操作使7奇→偶，矛盾

不能.例題7：能否將1-15排成環形，使相鄰兩數和均為質數？解答：

奇偶交替排列時，奇+偶=奇（可能為質數），但15個數中8奇7偶，無法完全交替

不能.例題8：方程是否有整數解？解答：

平方數模4余0或1。，而

無解.例題9：【策略游戲】兩堆石子分別有2022和2023顆，每次從一堆取1-3顆，先取完者勝。先手有必勝策略嗎？解答：

將兩堆差調整為4的倍數：先手從2023取1顆，使兩堆均為2022，后續鏡像操作

先手取1顆.三、習題訓練.習題1：判斷的奇偶性.答案：奇數（偶+奇=奇）.習題2：能否找到5個奇數之和等于100？答案：不能（5奇之和必奇）.習題3：方程是否有都為奇數的解？答案：無（奇+奇+奇=奇≠偶）.習題4：15人握手，每人握奇數次，可能嗎？答案：不能（總握手次數必為偶數）.習題5：證明：不存在整數使.答案：模4分析，平方數模4余0或1，當n≥2時模4余3.習題6：判斷的奇偶性.解答：

連乘式中含因數2，乘積為偶數

偶數+1=奇數

答案：奇數.習題7：能否用11個奇數的和得到2024？解答：

11個奇數之和為奇數，而2024是偶數

答案：不能.習題8：證明：兩個連續整數的乘積一定是偶數.解答：

設數為和，必有一偶一奇

乘積=偶數奇數=偶數

答案：成立.習題9：方程是否存在全奇數的解？解答：

奇數平方

（2025）

答案：無解.習題10：15盞燈排成環形，每次翻轉相鄰3盞，能否全亮？解答：

每次翻轉改變3盞狀態→總改變次數為奇數次

初始狀態全滅（偶次改變）

無法達到全亮（奇次改變）

答案：不能.習題11：數列定義：，，求的奇偶性.解答：

遞推觀察奇偶性：

（奇）→（奇）→所有項均為奇

答案：奇數.習題12：證明：不存在整數使（）.解答：

當時，

右邊

平方數模8余0,1,4→矛盾

答案：無解.習題13：兩堆石子，每次從一堆取1-3顆，先取完勝。若初始為（9,10），先手有必勝策略嗎？解答：

將兩堆差調整為4的倍數：先手從10取1→（9,9），后續鏡像操作

答案：先手取1顆。.習題14：數列，前40項是否全為質數？解答：

當時，

答案：否（第40項為合數）.習題15：能否找到5個不同奇數，平均數為偶數？解答：

5個奇數之和為奇數，平均數必為奇數

答案：不能.習題16：證明：不是整數.解答：

考慮分母中2的最高冪次為.通分后分子為奇數，分