第九章檢驗(yàn)檢驗(yàn)是一種用途較廣的顯著性檢驗(yàn)方法，它既適用于參數(shù)估計(jì)，也適用于非參數(shù)估計(jì)，同方差分析F檢驗(yàn)一樣，檢驗(yàn)是一種能同時(shí)對(duì)多種資料進(jìn)行檢驗(yàn)的方法。在本章將闡述如何將統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的概念加以推廣，使之適用于樣本來(lái)自元素可分成三個(gè)或更多個(gè)類(lèi)目的總體的情形。這里只介紹用檢驗(yàn)在檢驗(yàn)兩個(gè)以上樣本率或構(gòu)成比之間差異時(shí)有無(wú)顯著性的方法。第一節(jié)分布與表在第七章敘述總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，曾簡(jiǎn)單提到分布。定義：設(shè)從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）中，取出n個(gè)樣品ui(i=1,2,……,)，它們的平方和記作，即=u12+u22+……+un2=（9－1）一般稱(chēng)為服從參數(shù)為n的的分布。（卡方分布）如果從一般正態(tài)分布N（，）中，抽出n個(gè)樣品xi,因?yàn)閡i=，所以公式（9－1）轉(zhuǎn)化為：==（9－2）有時(shí)在實(shí)用中，用代替，則有==這同第七章中提過(guò)的相同。如果將的各種不同數(shù)值連同相應(yīng)的相對(duì)出現(xiàn)頻數(shù)列出，就得到=的抽樣分布，這就是自由度為n的分布。圖9－1與幾種自由度相對(duì)應(yīng)的分布由圖9－1可看到的樣本分布形式有兩個(gè)特點(diǎn)：（1）正態(tài)，而是正偏態(tài)分布，右側(cè)無(wú)限延長(zhǎng)以橫軸為漸近線；（）不同自由度的取樣分布不同。隨自由度增大，曲線趨于“對(duì)稱(chēng)”、“正態(tài)”分布。實(shí)際上，在自由度為30時(shí)，曲線基本對(duì)稱(chēng)且近似正態(tài)分布。分布的實(shí)際重要性是基本于這樣的事實(shí)，即對(duì)大樣本而言，量X2=（9－3）的分布接近于的分布。式中：Ai=觀察頻數(shù)，即“實(shí)際數(shù)”；Ti=預(yù)期頻數(shù)，即“理論數(shù)”；K=給定情形下實(shí)際數(shù)與理論數(shù)的配對(duì)數(shù)。所以近似地有=（9－4）公式（9－4）是下面進(jìn)行檢驗(yàn)的常用公式。檢驗(yàn)主要是根據(jù)樣本算出的值與查值表所得的臨界值作比較。若≥，P（H0）≤，拒絕H0，則稱(chēng)在顯著性水平上差異有顯著性意義；否則稱(chēng)在水平上差異無(wú)顯著性意義。分布的尾端面積或概率P值在附表“值表”中按不同的自由度n′分別列出。至于自由度n′是直接由資料劃分類(lèi)別的多少所決定的，與樣本的大小無(wú)關(guān)。確定n′的原則是：互相排斥的類(lèi)別數(shù)k，減去所受的限制數(shù)m，即n′=k－m。第二節(jié)兩個(gè)樣本率差別的檢驗(yàn)當(dāng)兩個(gè)樣率不同時(shí)，可能由兩個(gè)原因造成：一是差異由抽樣誤差所致；二是它們來(lái)自不同質(zhì)的總體，確有不同。為區(qū)分二者，則要做檢驗(yàn)。檢驗(yàn)的步驟通過(guò)下例說(shuō)明。例9－1（資料同7－12）為研究游泳與患慢性鼻炎有無(wú)關(guān)系，隨機(jī)抽測(cè)游泳與田徑兩專(zhuān)業(yè)的學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，抽測(cè)資料如下：組別患病人數(shù)未患病人數(shù)合計(jì)患病率游泳專(zhuān)業(yè)20(13)60(67)8025%田徑專(zhuān)業(yè)6(13)74(67)807.5%合計(jì)2613416016.25%問(wèn)患慢性鼻炎是否與專(zhuān)業(yè)有關(guān)？（=0.05）上表中，2060這四個(gè)格子內(nèi)的數(shù)字是整個(gè)表的基本數(shù)674字，故這種資料稱(chēng)為“四格表資料”，或稱(chēng)為“2×2列聯(lián)表”。解：（1）無(wú)效假設(shè)H0：=（兩專(zhuān)業(yè)患病率相同，均為合計(jì)的患病率16.25%）（2）計(jì)算值：=實(shí)際數(shù)A已知，理論數(shù)T（表中括號(hào)內(nèi)的數(shù)字）是根據(jù)H0推算出來(lái)的：先由合計(jì)的160人患病26人知理論上的患病率為=16.25%，則游泳專(zhuān)業(yè)80人理論上的患病人數(shù)為T(mén)11=80×=13由此可知理論數(shù)的計(jì)算公式為：Trc=（9－5）式中：r－行號(hào),c－列號(hào),nr－r行的合計(jì)數(shù),nc－c列的合計(jì)數(shù),n－總例數(shù)。這樣，T12==67T21==13T22==67∴===3.7692+0.7313+3.7692+0.7313=9.001（3）取=0.05；“行×列表”資料的自由度為：=（行數(shù)－1）（列數(shù)－1）=（r－1）（c－1）（9－6）本例=2－1）（2－1）=1查值表得到=3.84（4）判斷結(jié)果：∵=9.001＞=3.84∴P（H0）＜0.05，拒絕H0，由數(shù)據(jù)上看，認(rèn)為患慢性鼻炎與游泳專(zhuān)業(yè)有關(guān)。此結(jié)論與例7－11用U檢驗(yàn)去作的結(jié)論一致。我們還可以用四格表專(zhuān)用公式計(jì)算值：=（9－7）式中a、b、c、d分別為四格表資料實(shí)際數(shù)，總例數(shù)n=a+b+c+d。把上例數(shù)據(jù)20(a)60(b)代入公式（9－7）得：6(c)74(d)==≈9.001結(jié)果與前法相同。另外需要注意：≈只是一種近似。在1＜T＜5，且n＞40時(shí)，對(duì)于自由度為1的四格表來(lái)說(shuō)為減小偏差，需要計(jì)算校正的值。此時(shí)：=（9－8）=（9－9）公式（9－8）為公式（9－4）的校正；公式（9－9）為公式（9－7）的校正。第三節(jié)多個(gè)樣本率（行×列表）的檢驗(yàn)四格表是行×列表中最簡(jiǎn)單的形式。至于行×列表（亦稱(chēng)r×c表）的理論與計(jì)算步驟均與四格表類(lèi)同。用公式=去計(jì)算行×列表的值較為麻煩，為簡(jiǎn)便可用下面公式，由實(shí)際數(shù)直接計(jì)算出值。=（9－10）例9－2上例的結(jié)論認(rèn)為患慢性鼻炎與游泳專(zhuān)業(yè)有關(guān)。為進(jìn)一步了解患慢性鼻炎的發(fā)病率與游泳專(zhuān)項(xiàng)運(yùn)動(dòng)年限有無(wú)關(guān)系，收集調(diào)查資料如下表中。解：（1）無(wú)效假設(shè)H0：發(fā)病率與運(yùn)動(dòng)年限無(wú)關(guān)。（2）計(jì)算值：==281×(+++++++－1)≈10.36（3）取=0.05，=（r－1）（c－1）=（4－1）（2－1）=3。查值表（書(shū)后附表6）知=7.81（4）判斷結(jié)果：＞，拒絕H0，認(rèn)為不同運(yùn)動(dòng)年限的游泳運(yùn)動(dòng)員鼻炎發(fā)病率的差別的顯著性意義。行×列表檢驗(yàn)的注意事項(xiàng)：（1）在行×列表中如果有五分之一以上的格子的理論數(shù)小于5，或有一個(gè)格子的理論數(shù)小于1時(shí)，則應(yīng)使理論數(shù)小于5的格子與鄰組合并以增大理論數(shù)。否則易導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。但合并時(shí)要注意是否合理，不同質(zhì)的資料不可并組！此時(shí)只有增加觀察例數(shù)再作統(tǒng)計(jì)分析。（2）做行×列表檢驗(yàn)得到P（H0）≤0.05，則拒絕無(wú)效假設(shè)H0，說(shuō)明被比較的幾個(gè)樣本率之間總的差別有顯著性，但不能作出任何兩組間差別都有顯著性的結(jié)論！要比較某兩個(gè)樣本率之間的差別如何，需另作檢驗(yàn)。分布檢驗(yàn)程序一、程序功能檢驗(yàn)常用于符合度分析。應(yīng)用本程序時(shí)如按程序所問(wèn)輸入行元素的個(gè)數(shù)、列元素的個(gè)數(shù)和每個(gè)元素值，程序就能自動(dòng)計(jì)算出其值、自由度數(shù)及其結(jié)尾值（檢驗(yàn)水平）。使用者將結(jié)尾值與給定的顯著性水平比較即能得出檢驗(yàn)的結(jié)果。二、程序中使用的主要符號(hào)說(shuō)明Z：TOTALX－SQUAREVALUE總計(jì)值；V：DEGREEOFFREEDOM自由度數(shù)；X2：TAILENDVALUE結(jié)尾值。三、程序所依據(jù)的理論計(jì)算公式Z=其中：foi為每一組的觀察頻數(shù)；fei為相應(yīng)的理論頻數(shù)。四、程序名稱(chēng)：X－SQUARE.TESREMX－Square.TESPRINT“x－square.Tes”P(pán)RINTDIMV1(25),V2(5),A(5),M(4)INPUT“numberofrows=”,RPRINT“numberofrows=”;RINPUT“numberofcolumns=”,CPRINT“numberofcolumns=”;CPRINT“Contingencytable:”FORI=1TORPRINT“ROW”;IFORJ=1TOCPRINT“Element”;J;PRINT“Element”,J;INPUTEEA=(I－1)*C+JV1(EA)=EPRINTEPRINTNEXTJPRINTNEXTIPRINTL=0M=1FORI=1TORFORJ=1TOCA(I)=A(I)+V1(M)M=M+1NEXTJL=L+A(I)NEXTIN=R*CFORI=1TOCFORJ=1TONSTEPCV2(I)=V2(I)+V1(J)NEXTJNEXTIZ=0PRINT“Observedvalue”;“”;“Expectedvalue”;“”;“X－SQUARECONTRIBUTION”FORI=1TOCPRINT“Column”;IFORJ=1TORP=A(J)*V2(I)/LX=I+(J－1)*CY=(V1(X)－P)^2/PZ=Z+YPTINT“”V1(X),“”P(pán),“”;YNEXTJ430NEXTIV=(C－1)*(R－1)PRINT“X－square=”;zPRINT“Degreeoffreedom=”;vPRINT“Tialendvalue=”;R=1FOTI=VTO2STEP－2R=R*INEXTIK=Z^(INT((V+1)/2))*EXP(－Z/2)/RIFINT(V/2)=V/2THEN560J=SQR(2/Z/3.1415926536)GOTO570J=1L=1M=1V=V+2M=M*Z/VIFM<.0000001THEN640L=L+MGOTO590X2=1－J*K*LPRINTX2END五、例題用A和B兩種方法，對(duì)同一物體進(jìn)行處理的試驗(yàn)結(jié)果如下表：類(lèi)別有效無(wú)效A4410B8135試有檢驗(yàn)法檢驗(yàn)這兩種方法的處理結(jié)果有無(wú)顯著性差別？（=0.05）解：按程序所問(wèn)輸入數(shù)據(jù)，計(jì)算得到結(jié)果。RUNx－square.Tesnumberofrows=2numberofcolumns=2Contingencytable:Row1Element144Element210ROW2Element181Element235ObservedvalueExpectedvaluex－SquareContributionColumn14439.705880.46440078185.294120.2161869Column21014.294121.2900033530.705880.6005182X－square=2.571108Degreeoffreedom=1Tialendvalue=0.1088316∵結(jié)尾值=0.1088316大于值∴A與B兩種方法的處理結(jié)果沒(méi)有顯著性差別。習(xí)題九1．對(duì)r×c列聯(lián)表資料的檢驗(yàn)應(yīng)注意什么問(wèn)題？2．在對(duì)兩個(gè)率作顯著性檢驗(yàn)時(shí)，既可用檢驗(yàn)，又可用第七章中的U檢驗(yàn)。這是因?yàn)樵谧杂啥葹?時(shí)，有=U2。請(qǐng)思考兩種檢驗(yàn)在實(shí)用上的區(qū)別。3．如何從r×c列聯(lián)表計(jì)算自由度？4．為調(diào)查某體校新生的運(yùn)動(dòng)能力，特作運(yùn)動(dòng)測(cè)試，結(jié)果受過(guò)基礎(chǔ)訓(xùn)練的58人中有40人成功；未受過(guò)基礎(chǔ)訓(xùn)練的27人中有9人成功。試問(wèn)在=0.05的顯著性水平下，這些資料能否說(shuō)明基礎(chǔ)訓(xùn)練與運(yùn)動(dòng)成績(jī)有關(guān)系？5．某校高一男、女生體育鍛煉的達(dá)標(biāo)情況如下，試檢驗(yàn)?zāi)小⑴_(dá)標(biāo)率有無(wú)顯著差異？（=0.05）組別達(dá)標(biāo)人數(shù)未達(dá)標(biāo)人數(shù)男生6248女生52386．統(tǒng)計(jì)甲、乙兩支排球隊(duì)在5局比賽中各隊(duì)的發(fā)球、攔網(wǎng)和扣球得分如下，試問(wèn)甲、乙兩隊(duì)各種得分的構(gòu)成比之差別有無(wú)顯著性意義？（=0.05）