P第二章綜合素質評價一、選擇題(每題3分，共36分)1．[數學文化]【2022·福建】美術老師讓同學們設計窗花，下列作品為軸對稱圖形的是()2．視力表中的字母“E”有各種不同的擺放形式，下面每種組合的兩個字母“E”不能關于某條直線成軸對稱的是()3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10cm，則AC的長度為()A．10cm B．20cm C．5cm D．15cm4．如圖是一張等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則∠1＋∠2的度數是()A．180° B．220° C．240° D．300°5．【2023·濱州惠民月考】下列條件不能得到等邊三角形的是()A．有兩個內角是60°的三角形B．有一個角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形D．有兩個角相等的等腰三角形6．【2023·泰安泰山區月考】如圖，△ABC中，點D在BC邊上，將點D分別以AB，AC所在直線為對稱軸，畫出對稱點E，F，并連接AE，AF.根據圖中標示的角度，可得∠EAF的度數為()A．108° B．115° C．122° D．130°7．【2023·濰坊諸城市月考】如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC＝10，DE＝3，則△BCE的面積等于()A．9 B．15 C．21 D．308．【2023·聊城陽谷月考】如圖的2×4的正方形網格中，△ABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角形，在網格中與△ABC成軸對稱的格點三角形一共有()A．2個 B．3個 C．4個 D．5個9．【2023·淄博高青期中】如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點A落在CD邊上的點A′處，點B落在點B′處，A′B′交BC于點G.若∠1＝115°，則∠2的度數為()A．40° B．45° C．50° D．60°10．【2023·泰安泰山區月考】在等腰三角形中有一個角是50°，那么另外兩個角分別是()A．50°，80° B．50°，80°或65°，65°C．65°，65° D．無法確定11．【2023·濱州鄒平市月考】如圖，∠MAN＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，則∠DEF等于()A．90° B．75° C．70° D．60°12．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分別是BC，DC上的點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數為()A．50° B．60° C．70° D．80°二、填空題(每題3分，共18分)13．【2023·淄博張店區月考】設A，B兩點關于直線MN對稱，則________垂直平分________．14．如圖，在4×4的正方形網格中已將四個小正方形涂上陰影，若再從①②③④中選一個涂上陰影，使得整個陰影部分組成的圖形是軸對稱圖形，則不符合條件的小正方形是________．(填序號)15．如圖，△ABC中，AD為角平分線，若∠B＝∠C＝60°，AB＝6，則CD的長度為________．16．如圖，一艘輪船由海平面上A地出發向南偏西40°的方向行駛100海里到達B地，再由B地向北偏西20°的方向行駛100海里到達C地，則A，C兩地相距________．17．【2023·濱州陽信月考】如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線DE交BC于點E，交AC于點D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，則∠C＝________°.18．如圖，P是∠AOB內一定點，點M，N分別在邊OA，OB上運動，若∠AOB＝30°，OP＝6，則△PMN的周長的最小值為________．三、解答題(19～22題每題9分，23～25題每題10分，共66分)19．如圖，△ABC中，∠A＝90°，E為BC上一點，點A和點E關于BD對稱，點B和點C關于DE對稱，求∠ABC和∠C的度數．20．如圖，在等邊三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點O，作BO，CO的垂直平分線分別交BC于點E和點F.小明說：“E，F是BC的三等分點．”你同意他的說法嗎？請說明理由．21．【2023·臨沂羅莊區期末】如圖，電信部門要在S區修建一座電視信號發射塔．按照設計要求，發射塔到兩個城鎮A，B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．發射塔應修建在什么位置？在圖上標出它的位置．(保留作圖痕跡)22．【2023·濰坊安丘市月考】如圖，在△ABC中，AB＝AC，過點A作AD⊥BC于點D，過點B作BE⊥AC于點E，AD與BE交于點F，連接CF.(1)試說明：∠ABF＝∠ACF；(2)若∠BAC＝48°，求∠CFE的度數．23．【2023·濱州鄒平市月考】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD＝AB，∠EDF＝60°，其兩邊分別交邊AB，AC于點E，F.試說明：(1)△ABD是等邊三角形；(2)BE＝AF.24．【2023·濟寧統考期中】如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC至E，使CE＝CD.(1)試說明：DB＝DE.(2)過點D作DF⊥BE，垂足為F，若CF＝3，求△ABC的周長．25．如圖，在△ABC中，∠A＝60°.BE，CF交于點P，且分別平分∠ABC，∠ACB.(1)求∠BPC的度數；(2)連接EF，試說明：△EFP是等腰三角形．

答案一、1．A2．C3．C4．C【點撥】因為△ABC是等邊三角形，所以∠A＝60°，所以∠ADE＋∠AED＝180°－60°＝120°.因為∠1＋∠ADE＝180°，∠2＋∠AED＝180°，所以∠1＋∠ADE＋∠2＋∠AED＝360°，所以∠1＋∠2＝360°－120°＝240°.5．D6．D【點撥】根據題意可知∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，所以∠EAF＝∠EAB＋∠BAD＋∠CAD＋∠FAC＝2∠BAD＋2∠CAD＝2(∠BAD＋∠CAD)＝2∠BAC.因為∠B＝61°，∠C＝54°，所以∠BAC＝180°－61°－54°＝65°，所以∠EAF＝2∠BAC＝130°.7．B【點撥】過E作EM⊥BC于M，因為CD⊥AB，EM⊥BC，BE平分∠ABC，DE＝3，所以EM＝DE＝3，所以△BCE的面積是eq\f(1,2)×BC×EM＝eq\f(1,2)×10×3＝15.8．B【點撥】如圖，共3個．9．A【點撥】因為∠1＝115°，所以∠EFB′＝∠1＝115°，∠EFC＝180°－∠1＝65°.所以∠CFB′＝∠EFB′－∠EFC＝50°，又因為∠B′＝∠B＝90°，所以∠FGB′＝180°－90°－∠CFB′＝40°，所以∠2＝∠FGB′＝40°.10．B【點撥】當50°為頂角度數時，兩個底角都為eq\f(180°－50°,2)＝65°；當50°為一個底角度數時，另一個底角為50°，頂角為180°－50°×2＝80°，故另外兩個角分別是50°，80°或65°，65°.11．D【點撥】因為AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠MAN＝15°，所以∠BCA＝∠MAN＝15°，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠DEC，∠EDF＝∠EFD.所以∠CBD＝∠BDC＝180°－∠ABC＝180°－(180°－∠BCA－∠MAN)＝∠BCA＋∠MAN＝15°＋15°＝30°，所以∠BCD＝180°－(∠CBD＋∠BDC)＝180°－(30°＋30°)＝120°，所以∠ECD＝∠CED＝180°－∠BCD－∠BCA＝180°－120°－15°＝45°，所以∠CDE＝180°－(∠ECD＋∠CED)＝180°－(45°＋45°)＝90°，所以∠EDF＝∠EFD＝180°－∠CDE－∠BDC＝180°－90°－30°＝60°，所以∠DEF＝180°－(∠EDF＋∠EFD)＝180°－(60°＋60°)＝60°.12．D【點撥】如圖，作點A關于BC和CD的對稱點A′，A″，易知A，B，A′在同一條直線上，A，D，A″在同一條直線上．連接A′A″，交BC于點E，交CD于點F，連接AE，AF，易知此時△AEF的周長最小．連接AC.因為∠ABC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，∠ADC＋∠DCA＋∠DAC＝180°，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，∠BCA＋∠DCA＝50°，所以∠BAC＋∠DAC＝130°，即∠DAB＝130°.所以∠A′＋∠A″＝180°－∠DAB＝50°.又易知∠A′＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，所以∠EAA′＋∠FAD＝50°.所以∠EAF＝130°－50°＝80°.二、13．直線MN；線段AB14．①【點撥】如圖所示，②③④涂上陰影，整個陰影部分組成的圖形是軸對稱圖形．15．3【點撥】因為∠B＝∠C＝60°，所以∠BAC＝180°－60°－60°＝60°.所以∠B＝∠C＝∠BAC.所以△ABC為等邊三角形．所以BC＝AB.因為AB＝6，所以BC＝AB＝6.因為AD為角平分線，所以BD＝CD，所以CD＝3.16．100海里【點撥】連接AC.由點B在點A的南偏西40°方向，點C在點B的北偏西20°方向，可得∠ABD＝40°，∠CBD＝20°，所以∠CBA＝∠ABD＋∠CBD＝60°.又因為BC＝BA＝100海里，所以△ABC為等邊三角形．所以AC＝BC＝100海里．17．24【點撥】因為DE是AC的垂直平分線，所以EA＝EC，所以∠EAC＝∠C，又因為∠FAE＝19°，所以∠FAC＝∠EAC＋19°＝∠C＋19°，因為AF平分∠BAC，所以∠BAF＝∠FAC＝∠C＋19°，則∠C＋19°＋∠C＋19°＋∠C＋70°＝180°，解得∠C＝24°.18．6【點撥】如圖，分別作點P關于OA，OB的對稱點C，D，連接CD，交OA，OB于點M，N，連接OC，OD，PM，PN.易知此時△PMN的周長最小．因為點P關于OA的對稱點為C，所以PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA.因為點P關于OB的對稱點為D，所以PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB.所以OC＝OD＝OP＝6，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°.所以△COD是等邊三角形．所以CD＝OC＝OD＝6.所以PM＋MN＋PN＝CM＋MN＋DN＝CD＝6.故△PMN的周長的最小值為6.三、19．【解】因為點A和點E關于BD對稱，所以∠ABD＝∠EBD，所以∠ABC＝2∠EBD.因為點B和點C關于DE對稱，所以∠EBD＝∠C，所以∠ABC＝2∠C.因為∠A＝90°，所以∠ABC＋∠C＝2∠C＋∠C＝180°－90°＝90°，所以∠C＝30°，所以∠ABC＝2∠C＝60°.20．【解】同意．理由如下：連接OE，OF.由題意易知BE＝OE，CF＝OF，∠OBC＝∠OCB＝30°，所以∠BOE＝∠OBC＝30°，∠COF＝∠OCB＝30°，∠BOC＝120°.所以∠EOF＝∠BOC－∠BOE－∠COF＝60°，∠OEF＝180°－∠BEO＝∠BOE＋∠OBE＝60°，∠OFE＝180°－∠OFC＝∠COF＋∠OCF＝60°.所以△OEF是等邊三角形．所以OE＝OF＝EF.所以EF＝BE＝CF.所以E，F是BC的三等分點．21．【解】如圖，連接AB，作出線段AB的垂直平分線與∠COD的平分線，兩線相交于P點，P點為所求．22．【解】(1)因為AD⊥BC，AB＝AC，所以CD＝BD，∠ABC＝∠ACB，所以AD垂直平分BC.所以BF＝CF，所以∠CBF＝∠BCF，所以∠ABC－∠CBF＝∠ACB－∠BCF，即∠ABF＝∠ACF.(2)因為AB＝AC，∠BAC＝48°，所以∠ABC＝∠ACB＝eq\f(180°－∠BAC,2)＝66°.因為BE⊥AC，所以∠AEB＝90°.所以∠ABF＝90°－∠BAC＝42°，所以∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝24°.由(1)得∠CBF＝∠BCF，所以∠CBF＝∠BCF＝24°，所以∠CFE＝180°－∠BFC＝∠CBF＋∠BCF＝48°.23．【解】(1)因為AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，所以∠BAD＝∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)×120°＝60°.又因為AD＝AB，所以△ABD是等邊三角形．(2)因為△ABD是等邊三角形，所以∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD.因為∠EDF＝60°，所以∠ADB＝∠EDF，所以∠ADB－∠ADE＝∠EDF－∠ADE，即∠BDE＝∠ADF.在△BDE和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DBE＝∠DAF＝60°，,BD＝AD，,∠BDE＝∠ADF，))所以△BDE≌△ADF(ASA)，所以BE＝AF.24．【解】(1)因為△ABC是等邊三角形，所以AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°.因為BD是AC邊上的高，所以AD＝CD＝eq\f(1,2)AC，∠ABD＝∠CBD＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.因為CE＝CD，所以∠EDC＝∠E.因為∠EDC＋∠E＝180°－∠DCE＝∠ACB＝60°，所以∠EDC＝∠E＝30°，所以∠CBD＝∠E＝30°，所以DB＝DE.(2)由(1)得，AD＝CD＝eq\f(1,2)AC，因為DF⊥BE，所以∠DFC＝90°，因為∠ACB＝60°，所以∠FDC＝30°，所以CF＝eq\f(1,2)DC，因為CF＝3，所以DC＝6，因為AD＝CD＝eq\f(1,2)AC，所