相似綜合

一.中考真題（共6小題）

1.在等腰AA5c中，AC=BC,△ADE是直角三角形，ZDA￡=90°,ZADE=

連接B。，BE,點尸是8。的中點，連接C尸.

（1）當NC4B=45°時.

①如圖1,當頂點D在邊AC上時，請直接寫出NE48與NC84的數量關系

是.線段與線段CF的數量關系是；

②如圖2,當頂點D在邊AB上時，（1）中線段BE與線段CF的數量關系是否仍然成立？

若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由；

學生經過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：

思路一：作等腰△ABC底邊上的高CM,并取BE的中點N,冉利月三角形全等或相似有

關知識來解決問題；

思路二：取DE的中點G,連接AG,CG,并把△CAG繞點C逆時針旋轉90°,再利用

旋轉性質、三角形全等或相似有關知識來解決問題.

（2）當NC44=30°時，如圖3,當頂點。在邊AC上時，寫出線段BE與線段。〃的數

量關系，并說明理由.

E

圖1圖2圖3

2.小圓同學對圖形旋轉前后的線段之間、角之間的關系進行了拓展探究.

圖1圖2圖3

(一)猜測探究

在△A8C中，AB=AC,M是平面內任意一點，將線段AM繞點4按順時針方向旋轉與

相等的角度,得到線段AM連接NR

(1)如圖1,若M是線段8c上的任意一點，請直接寫出NNAB與NM4C的數量關系

是,岫與MC的數量關系是；

(2)如圖2,點七是A8延長線上點，若“是NCBE內部射線B。上任意一點，連接

MC,(1)中結論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由.

(二)拓展應用

如圖3,在△AiBCi中，481=8,ZAifiiCi=60°,Z5iAiCi=75°,P是小。上的

任意點，連接4尸，將AiP繞點4按順時針方向旋轉75°,得到線段AiQ,連接BiQ.求

線段BiQ長度的最小值.

3.在△ABC中,A8=AC,NBAC=120°,以CA為邊在NACB的另一側作NACM=NACB,

點D為射線5C上任意一點，在射線CM上截取CE=BD,連接4）、DE.AE.

（1）如圖1,當點。落在線段8C的延長線上時，直接寫出N4OE的度數；

（2）如圖2,當點。落在線段BC（不含邊界）上時，AC與OE交于點尸，請問（1）中

的結論是否仍成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，若48=6,求。尸的最大值.

4.某學習小組的學生在學習中遇到了下面的問題:

如圖1,在△A5C和中，ZACB=ZAED=90°,ZCAB=ZEAD=60°,點E,

A,。在同一條直線上，連接80,點尸是8。的中點，連接Er，CF,試判斷△（?￡：尸的

形狀并說明理由.

問題探究：

（1）小婷同學提出解題思路：先探究的兩條邊是否相等，如EF=CF,以下是她

的證明過程

證明：延長線段所交8的延長線于點G.:,NBGF=NDEF.

???尸是8。的中點，又'：4BFG=NDFE,

：.BF=DF.:?4BG乂ADEF(_______).

V^ACB=ZAED=9Q°,:?EF=FG.

：.ED//CG.：.CF=EF=^EG.

請根據以上證明過程，解答下列兩個問題：

①在圖1中作出證明中所描述的輔助線；

②在證明的括號中填寫理由（請在SAS,ASA,A45,SSS中選擇）.

（2）在（1）的探究結論的基礎上，請你幫助小婷求出NCE尸的度數，并判斷aCE尸的

形狀.

問題拓展：

（3）如圖2,當△AOE繞點A逆時針旋轉某個角度時，連接CE延長。七交8C的延長

線于點P,其他條件不變，判斷ACEF的形狀并給出證明.

5.在學習了圖形的旋轉知識后，數學興趣小組的同學們又進一步對圖形旋轉前后的線段之

間、角之間的關系進行了探究.

（-）嘗試探究

如圖1,在四邊形45co中，AB=AD,N5Ao=60°,ZABC=ZADC=90°，點、E、F

分別在線段BC、CO上，Z￡4F=3O°,連接E凡

（1）如圖2,將aABE繞點A逆時針旋轉60°后得到△入'B'Er（4'B'與4。重合），

請直接寫出NE'AF=度，線段BE、EF、尸。之間的數量關系為.

（2）如圖3,當點E、尸分別在線段8C、CO的延長線上時，其他條件不變，請探究線

段8E、EF、FO之間的數量關系，并說明理由.

（二）拓展延伸

如圖4,在等邊中，E、尸是邊5c上的兩點，ZEAF=30°,BE=\,將△ABE

繞點4逆時針旋轉60°得到八4'B'E'（4'B'與AC重合），連接反'，A戶與EE'

交于點N,過點A作AM_LBC于點M,連接MM求線段MN的長度.

圖1圖2圖3圖4

6.如圖1,在△ABC中，NACB=90°,AC=BC,ZE4C=90°，點M為射線AE上任意

一點（不與A重合），連接CM,將線段CM繞點。按順時針方向旋轉90°得到線段CN,

直線N8分別交直線CM、射線4E于點尸、D.

（1）直接寫出NNDE的度數；

（2）如圖2、圖3,當NE4C為銳角或鈍角時，其他條件不變，（1）中的結論是否發生

變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請說明理由；

（3）如圖4,若NE4C=15°,NACM=60°,直線CM與4B交于G,80=①磬，

其他條件不變，求線段4M的長.

圖3圖4

二.手拉手模型（共10小題）

7.以四邊形ABCD的邊48、4。為底邊分別作等腰三角形ABF和等腰三角形人。￡

（1）當四邊形A8CD為正方形時（如圖①），以邊AB、A。為斜邊分別向外側作等腰直

角448r和等腰直角△4OE,連接EF、FD,線段EB和FD的數量關系是；

（2）當四邊形A3C。為矩形時（如圖②），以邊為斜邊分別向矩形內側、外側

作等腰直角aABr和等腰直角AAOE,連接防、BD,線段所和B。具有怎樣的數量關

系？請說明理由；

（3）當四邊形ABC。為平行四邊形時，以邊A8、AD為底邊分別向平行四邊形內側、外

側作等腰AAB尸和等腰△4DE，且△E4O與△尸84的頂角都為a,連接ERBD,交點

為G.請用a表示出NEG。，并說明理由.

8.【操作發現】如圖(1),在△OAB和△OCO中，OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD

=45°,連接4C,BD交于點M.

①AC與BD之間的數量關系為；

②的度數為；

【類比探究】如圖（2）,在△OAB和△OCO中，ZAOB=ZCOD=90°,N0A8=N

OCO=30°,連接AC,交BO的延長線于點M.請計算絲的值及NAMB的度數；

BD

【實際應用】如圖（3）,是一個由兩個都含有30°角的大小不同的直角三角板A6C、QCE

組成的圖形，其中N4C8=N￡>CE=90°,NA=N￡>=30°且力、E、B在同一直線上，

CE=1,BC=V21,求點A、。之間的距離.

9.如圖1,在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,點E,尸分別是邊。C,D4的中點，四邊形

。尸GE為矩形，連接8G.

（1）問題發現

CE

在圖1中，；=；

BG--------------

（2）拓展探究

CE

將圖1中的矩形。尸GE繞點。旋轉一周，在旋轉過程中，:匚大小有無變化？請僅就圖2

BG

的情形給出證明；

（3）問題解決

當矩形OFGE旋轉至B,G,￡三點共線時，請直接寫出線段CE的長.

10.在數學課堂上，小明同學將兩個完全相同的直角三角形重合在一起.如圖1所示，NC

=90°,點4與點￡＞重合，點B與點E重合，CA=kCB.

（1）操作發現：當2=1時，洛△QCE繞點。順時針旋轉90°,發現此情況下線段8E

和線段AO存在特殊的數量和位置關系：①數量關系：；②位置關系：；

（請直接寫出答案）

（2）問題產生：當左=1時，如圖2,將△OCE繞點C順時針旋轉a（0。＜a＜90°）,

連接BE、AD,在此情況下（1）中的結論是否還成立呢？請給予你的解釋或證明；

（3）問題延伸：將（2）中的條件“2=1”調整為“k=2”,如圖3,其它條件不變：

①求此條件下線段BE和線段AD數量關系和位置關系：

②在旋轉過程中，當E點恰好落在線段A8上時，若8。=1,求點C到直線AO的距離.

圖1圖2圖3

11.(1)如圖1,在△OAB和△OC。中，OA=OB,OC=OD,NAOB=NCO￡>=40°,連

接4GBD交于點林

求：悔的值；

②N4MB的度數.

(2)如圖2,在△OAB和△OCO中，NAOB=NCOO=90°,ZOAB=ZOCD=30°,

AC

連接4c交BD的延長線于點M.請判斷前的值及NAM8的度數，并說明理由；

BD

(3)在(2)的條件下，將△0C。點。在平面內旋轉，AC,8。所在直線交于點M,若

00=2,0B=2內請直接寫出當點C與點M重合時AC的長.

12.如圖，已知正方形A8CD,點E為4B上的一點，EFA.AB,交BD于點尸.

(1)如圖1,直接寫出筆的值.

(2)將/繞點8順時針旋轉到如圖2所示的位置，連接DF,猜想。“與AE

的數量關系，并證明你的結論;

(3)如圖3,當8E=8A時，其他條件不變，△砧〃繞點8順時針旋轉，設旋轉角為a

(0°<a<360°),當a為何值時，EA=ED?在圖3或備用圖口畫出圖形，并直接寫

出此時a=

13.在△ABC中，A8=4C,點。為直線BC上一動點（點。不與&C重合）以AD為邊

作菱形4DEE使ND4尸=N5AC,連接CR

（1）如圖1,當點O在線段3c上時，求證：BD=CF；

（2）如圖2,當點。在線段3c的延長線上，且N84C=90°時.

①問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由;

②延長交C尸于點G,連接GE,若48=2及，CD=BC,請求出GE的長.

圖1圖2

14.(1)如圖1,已知NAC8=NOCE=90°,AC=8C=6,CO=CE,AE=3,NCAE=45°,

求AD的長.

(2)如圖2,己知NAC8=/Z)CE=90°,ZABC=ZCED=ZCAE=30°,4C=3,

AE=8,求AQ的長.

A

15.在銳角△ABC中，AB=4,BC=5,NAC8=45°,將△ABC繞點8按逆時針方向旋轉,

得到△44C1.

(1)如圖I,當點G在線段CA的延長線上時，求NCGAi的度數；

(2)如圖2,連接A4，CG.若△A84的面積為4,求△CBG的面積；

(3)如圖3,點E為線段A8中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點3按逆時

針方向旋轉過程中，點P的對應點是點P1，求線段￡Pi長度的最大值與最小值.

16.AABC為等邊三角形,48=8,。、E、尸分別是BC、AB、4C的中點，連接EF、CE,

分別取EACE的中點A/、M連接肋V、DN.

（1）如圖1,MN與ON的數量關系是,ZDNM=；

（2）如圖2,將繞點A逆時針旋轉，旋轉角為a,

①當0。<a<90°時，（1）中的結論是否依然成立？說明理由；

②連接BN,在△AEF繞點4逆時針旋轉過程中，當線段最大時，求△AON的面積.

三.練習(共9小題)

17.【探索發現】

(1)如圖①，當四邊形ABC。為正方形時，以邊AB、為斜邊分別向外側作等腰Rt

△AS”和等腰RtZ\AOE,連接80.直接寫出線段30、DE、5F之間的數量關系：；

【理解應用】

(2)如圖②，當四邊形A8C。為矩形時，以邊AB、4力為斜邊分別向矩形內側、外側作

等腰R1448尸和等腰RlZXAOE,連接月/、BD.判斷線段E尸與B。之間的數量關系，

并說明理由；

【拓展遷移】

(3)如圖③，當四邊形ABC。為平行四邊形時，以邊A3、AO為底邊分別向平行四邊形

內側、外側作等腰

EFl

△A5b和等腰△4￡陀,且乙4EZ)=NAF8,連接所、3。,交點為點G,若4。=2,—=V3,

BD

求AE的長.

BB

圖①圖②圖③

18.（1）【問題發現】

如圖①，正方形4EFG的兩邊分別在正方形ABCO的邊AB和AD上，連接CR

填空：①線段C尸與OG的數量關系為；

②直線CF與DG所夾銳角的度數為.

（2）【拓展探究】

如圖②，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉，在旋轉的過程中，（1）中的結論是否仍然

成立，請利用圖②進行說明.

（3【解決問題】

如圖③，和△AOE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,A8=AC=4,

。為AC的中點.若點。在直線上運動，連接。￡則在點。的運動過程中，線段

0E長的最小值為（直接寫出結果）.

19.如圖①，在RI/X4BC中，ZB=90°,48=2,BC=6,點D,E分別是邊BC,AC的

中點，連接DE，將△EDC繞點。順時針方向旋轉，記旋轉角為a.

（1）問題發現

當a=0。時，一=

BD-------------------------------

（2）拓展探究

AP

試判斷：當0°WaV360。時，訪的大小有無變化？請僅就圖②的情況給出證明.

（3）問題解決

當△EOC旋轉至A,D,E三點共線時，如圖③，圖④，直接寫出線段AE的長.

20.如圖(1),已知點G在正方形ABC。的對角線AC上，GELBC,GFLCD.

4G

(1)①求證：四邊形CEGf是正方形：②推斷：一的值為_______________：

BE

(2)將正方形CEG尸繞點。順時針方向旋轉a角(0°<a<45°),如圖(2)所示，

試探究線段AG與BE之間的數量關系；

(3)正方形CEG尸在旋轉過程中，當3,E,尸三點在一條直線上時，如圖(3)所示,

延長CG交A。于點若4G=6,GH=2>/2,求正方形CEG尸和正方形A8CO的邊長.

圖(1)圖(2)圖(3)

21./XABC和△AOE都是等腰直角三角形，且NAOE=NC=90°,AO4D

BEf-

(1)如圖1,當點。在AC邊上時，求證：-=V2；

(2)當繞A旋轉到如圖2的位置時(45°<ZCAD<90°).詈=①是否成立？

若成立，請給出證明；若不成立.請說明理由.

(3)當4C=IO,A。=2花且AADE繞A旋轉到NOEB=90°時.求線段CQ的長.

22.【提出問題】

（1）如圖1,在等邊△A5C中.點M是3c上的任意一點（不含端點艮C）,連接4M,

以A例為邊作等邊連續CN.求證：/ABC=NACN.

【類比探究】

（2）如圖2,在等邊△48C中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C）,其它

條件不變，（1）中結論N4BC=NACN還成立嗎？請說明理由.

【拓展延伸】

（3）如圖3,在等腰△ABC中，8A=BC,點M是BC上的任意一點（不含端點8、C）,

連接4M,以AM為邊作等腰使頂角N4MN=N48C.連接CM試探究NABC

與NACN的數量關系，并說明理由.

23.如圖①，△ABC與△COE是等腰直角三角形，直角邊AC、CO在同一條直線上，點M、

N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為4D的中點，連接4E、BD.

（1）猜想PM與PN的數量關系及位置關系，請直接寫出結論；

（2）現將圖①中的△CDE繞著點。順時針旋轉a（0°<a<90°）,得到圖②，AE與

M尸、3。分別交于點G、H,AE與BC相交于點O.請判斷（1）中的結論是否成立？若

成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC,CD=kCE,如圖③，

寫出PM與PN的數量關系，并加以證明.

24.如圖1,△ABC是等腰直角三角形，N84c=90°,AB=AC,四邊形A。所是正方形,

點5、。分別在邊AD.A尸上，此時BD=。尸，B￡)_LC尸成立.

(1)當△A8C繞點A逆時針旋轉8(0°<0<90°)時，如圖2,80=。尸成立嗎？若

成立，請證明，若不成立，請說明理由；

(2)當△ABC繞點4逆時針旋轉45°時，如圖3,延長BD交CF于點H.

①求證：BD1CF；

②當4B=2,AO=3四時，求線段。〃的長.

25.如圖1,在△ABC中，NAC8=90°,AC=BC,。為A8上一點，連接CD,將CO繞

點。順時針旋轉90°至CE,連接AE.

(1)求證：△8CD0△ACE；

(2)如圖2,連接EO,若CDSAE=lf求48的長；

(3)如圖3,若點尸為AO的中點，分別連接￡3和CF,求證：CFLEB.

四.角拉腳模型(共3小題)

26.如圖，△ABC與△CDE為等腰直角三角形，ZBAC=ZDEC=90°，連接人Z),AD

中點P，連接3P,并延長到點M,使BP=PM,連接4M、EM、AE,將△COE繞點C

順時針旋轉.

(I)如圖①，當點。在BC上，上在AC上時，4E與AM的數量關系

是,ZMAE=；

(2)將△COE繞點。順時針旋轉到如圖②所示的位置，(1)中的結論是否仍然成立，

若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；

(3)若COuaBC,將△CQE由圖①位置繞點C順時針旋轉a(0°<a<360°),當

例時，請直接寫出a的值.

27.(1)如圖1,△ABC和△COE均為等邊三角形，直線A。和直線BE交于點F.

①求證：AD=BE\

②求NA所的度數.

(2)如圖2,△A8C和△COE均為等腰直角三角形，ZABC=ZDEC=W,直線A。

和直線BE交于點F.

①求證：AD=V2BE；

②若A8=8C=3,DE=EC=V2,將△CQE繞著點C在平面內旋轉，當點。落在線段

BC上時，在圖3中畫出圖形，并求8尸的長度.

28.如圖，等腰RlZXABC的直角邊長為2魚，點0為斜邊的中點，點P為A8上任意

一點，連接尸C，以尸C為宜角邊作等腰Rt△尸CD,連接BD.

PCCO

(1)求證：一=一;

CDCB

（2）請你判斷AC與8。有什么位置關系？并說明理由.

（3）當點P在線段上運動時，設AP=x,△P8。的面積為S,求S與x之間的函數

關系式.

五.練習（共2小題）

29.如圖，已知△4BC和△ADE均為等腰三角形，AC=BC,DE=AE,將這兩個三角形放

置在一起.

（1）問題發現：

如圖①，當NAC4=N4EO=60°時，點B、。、E在同一直線上，連接CE,則NCE8

=°，線段8力、CE之間的數量關系是；

（2）拓展探究：

如圖②，當NAC8=NAEO=90°時，點B、。、E在同一直線上，連接CE,請判斷N

CEB的度數及線段8。、CE之間的數量關系，并說明理由；

（3）解決問題：

如圖③，NAC8=NAEO=90°,AC=2>f5,AE=2,連接CE、BD,在△AEO繞點4

旋轉的過程中，當及時，請直接寫出EC的長.

30.(1)如圖1,△ABC和△OEC均為等邊三角形，直線4。和直線BE交于點F.

填空：①造寫出圖1中的一對全等三角形：；

②線段AO,8E之間的數量關系為；

③/AF8的度數為.

(2)如圖2,/XABC和△DEC均為等腰直角三角形，NABC=NDEC=90°,AB=BC,

DE=EC,直線A。和直線BE交于點尸，請判斷NAF8的度數及線段A。，8E之間的數

量關系，并說明理由.

(3)如圖3,△ABC和△4OE均為直角三角形，ZACB=ZAED=90°,ZBAC=ZDAE

=30°,AB=5,AE=3,當點B在線段EO的延長線上時，求線段3。和CE的長度.

六.半角模型(共2小題)

31.如圖，正方形ABCD,NE4F=45°.交.BC、CD于E、F,交.BD于H.G.

(1)求證：AI^=BG?DH；

(2)求證：CE=V2DG；

(3)求證：EF=y[2HG.

32.(1)如圖1,在正方形ABCD中，E是A8上一點，F是A。延長線上一點，且DF=BE.求

證：CE=CFi

(2)如圖2,在正方形48CQ中，E是AB上一點，G是AO上一點.如果NGCE=45°,

請你利用(1)的結論證明：GE=BE+GD.

(3)運用(1)(2)解答中所積累的經驗和知識，完成下題：

如圖3,在直角梯形ABCO中，AD//BC(BC>AD),Z5=90°,AB=BC,E是48上

一點，且NOCE=45°,BE=4,OE=10,求直角梯形ABC。的面積.

七.練習（共1小題）

33.如圖，正方形488的邊長為10,點E、尸分別在邊BC.CD.t,且NE4尸=45°,

AHLEF于點H,AH=10,連接80,分別交AE、AH.A尸于點P、G、Q.

（1）求△口??的周長；

（2）若七是8c的中點，求證：CF=2DF；

（3）連接QE,求證：AQ=EQ.

八.對角互補模型(共2小題)

34.如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形048。的頂點4在x軸上，頂點C在y軸上,

OA=8,0C=4,點P為對角線AC上一動點，過點P作PQ_LP8PQ交x軸于點Q.

(1)tanZACB=；

pn

(2)在點P從點。運動到點A的過程中，三的值是否發生變化？如果變化，請求出其

PB

變化范圍；如果不變，請求出其值；

(3)若將沿直線B。疔疊后，點A與點P重合，求PC的長.

備用圖

35.已知正方形048。如圖放置在平面直角坐標系中，B（4,4）.如圖1,若直角MPN的

頂點P放置于正方形對角線邊AC、05交點處，直角MPN繞頂點P旋轉，角的兩邊分

別與線段0C、OA交于點M、N（不與點C、0、A重合）.在旋轉的過程中，易證：四

邊形0MPN的面積為定值，且S四邊形OM/W=4.

Dp]

（1）如圖2,若直角MPN的頂點P放置于對角線。8上，且77=大直角MPN繞頂

P03

點P旋轉，角的兩邊分別與線段0C、04交于點M、N（不與點C、0、A重合）.設CM

=a,四邊形。MPN的面積為S,則S隨。的變化而變化嗎？若不變，請求出S的值；若

變化，請求出S與。的關系式.

CP1

（2）如圖3,若直角M尸N的頂點尸放置于對角線AC上，且一=-,直角MPN繞頂點

PA3

P旋轉，角的兩邊分別與線段OC、0A交于點"、N（不與點C、0、A重合）.設CM=

a,四邊形OMPN的血積為5=.（直接寫出答案，不需證明；若5隨。的變

化而不變，直接寫出S的值；若變化，直接寫出S與。的關系式.）

九.練習(共1小題)

36.如圖，在矩形48。中，AD=kAB(A:>0),點E是線段延長線上的一個動點，連

接AE,過點從作4尺LAE交射線OC于點尸.

(1)如圖1,若左=1,則AF與AE之間的數量關系是

(2)如圖2,若21,試判斷4〃與4E之間的數量關系，寫出結論并證明；(用含A的

式子表示)

⑶若40=248=4,連接BD交4產于點G,連接EG,當時，求EG的長.

AD

BC

圖1圖2備用圖

一十.三等角(共3小題)

37.如圖，△ABC和△￡)￡1產是兩個全等的等腰直角三角形，NBAC=NEDF=90°,ADEF

的頂點E與△A8C的斜邊BC的中點重合.將△7)用繞點E旋轉，旋轉過程中，線段

DE與線段AB相交于點P,線段EF與射線CA相交于點Q.

(1)如圖①，當點。在線段AC上，且4P=AQ時，和ACQE的形狀有什么關

系，請證明；

(2)如圖②，當點Q在線段CA的延長線上時，ABPE和有什么關系，說明理

由；

(3)當8尸=1,。。=搟時，求P、。兩點間的距離.

38.等腰△ABC,A8=4C=8,ZBAC=120°,P為8C的中點，小慧拿著含30°角的透

明三角板，使30°角的頂點落在點P,三角板繞P點旋轉.

（1）如圖小當三角板的兩邊分別交A8、AC于點E、尸時.求證：△BPEs^CFP；

（2）操作：將三角板繞點尸旋轉到圖b情形時，三角板的兩邊分別交5A的延長線、邊

AC于點E、F.

①探究1：△8PE與還相似嗎？（只需寫出結論）

②探究2：連接EE△BPE1與△PFE是否相似？請說明理由；

③設EF=機，ZXEP/的面積為S,試用加的代數式表示S.

39.如圖，點B在線段AC上，點。、￡在AC同側，NA=NC=90°,BDLBE,AD=BC.

(1)求證：AC=AD+CE；

(2)若AO=3,CE=5,點P為線段A3上的動點，連接。P,作PQ_L￡>P,交直線BE

于點Q.

DP

(i)當點尸與A,B兩點不重合時，求77的值；

PQ

(ii)當點尸從A點運動到AC的中點時，求線段OQ的中點所經過的路徑(線段)長.

一十一.練習（共2小題）

40.如圖.等腰直角三角形48。中，NA=90°,P為BC的中點，小明拿著含45°角的透

明三角形，使45°角的頂點落在點P,且繞P旋轉.

（1）如圖①：當三角板的兩邊分別A3、AC交于七、戶點時，試說明

（2）將三角板繞點P旋轉到圖②，三角板兩邊分別交弘延長線和邊AC于點ER

探究1：ABPE與4CFP.還相似嗎？（只需寫結論）

探窕2：連接EF,△BPE與△EFP是否相似？請說明理

41.如圖，在△ABC中，點。、E分別在邊8C、4c上，連接4。、DE,且N1=NB=NC.

（1）由題設條件，請寫出三個正確結論：（要求不再添加其他字母和借助線，找結論過

程中添加的字母和輔助線不能出現在結論中，不必證明）

答：結論一：;

結論二：;

結論三：.

（2）若NB=45°,BC=2,當點。在BC上運動時（點。不與5、C重合），

①求CE的最大值；

②若AAOE是等腰三角形，求此時8。的長.

（注意：在第（2）的求解過程中，若有運用（1）中得出的結論，須加以證明）

一十二.梅式(共2小題)

42.閱讀下面材料：小昊遇到這樣一個問題：如圖1,在△ABC中，BE是4c邊上的中線,

DB2-AP

點。在BC邊上，—=AD與BE相父于點P,求77的值.

BC3PD

小昊發現，過點C作C尸〃4。，交8E的延長線于點F,通過構造△(?",經過推理和計

算能夠使問題得到解決(如圖2).

AD

請回答：77?的值為.

參考小昊思考問題的方法，解決問題：

DB3AE3

(1)如圖3,在△A8C中，點D在BC的延長線上，幸=二，點E在AC上，且h=二.求

BC2EC2

訪的值;

7

DB3AE-

(2)如圖4,在AABC中，點。在6c的延長線,，一=一，點E在AC_L,H.—2

BC2EC

43.已知：在四邊形ABCO中，AD//BC,NB4C=NO,點E、尸分別在8C、CO上，且

ZAEF=ZACD,試探究4E與"之間的數量關系.

（1）如圖1,若AB=BC=AC,則AE與E尸之間的數量關系是什么；

（2）如圖2,若AB=8C,你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出猜想，并加以證

明；

（3）如圖3,若AB=kBC,你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出猜想不用證明.

一十三.練習（共2小題）

44.在△A5C中，ZACB=90°，BE是AC邊上的中線，點D在射線3c上.

發現：如圖1,點。在8c邊上，CD：BD=\：2,AO與BE相交于點P,過點A作AF

AD

//BC,交5七的延長線于點凡易得前的值為.

解決問題：如圖2,在△ABC中，N4c3=90°,點。在3C的延長線上,A。與AC邊

AD

上的中線BE的延長線交于點P,DC：BC=1：2.求7；；的值：

PD

應用：若CD=2,4c=6,則BP=.

45.（1）某學校“智慧方園”數學社團遇到這樣一個題目:

如圖1,在△ABC中，點O在線段3C上，ZBAO=30°,ZOAC=75°,AO-373,

80：CO=1：3,求AB的長.

經過社團成員討論發現，過點5作BO〃AC,交AO的延長線于點。，通過構造△A3。

就可以解決問題（如圖2）.

請回答：ZADB=°,AB=.

（2）請參考以上解決思路，解決問題：

如圖3,在四邊形A8C。中，雙角線4c與8。相交于點。，ACA.AD,AO=3V3,/ABC

=ZACB=75°,BO：00=1：3,求。C的長.

一十四.試題(共7小題)

46.(1)如圖1,在△48。中，點E.Q分別在AB、AC.BC上，KDE//BC,AQ交

DPPE

DE于點P，求證：標二誕

(2)如圖，ZXABC中，N84C=90°,正方形OErG的四個頂點在△ABC的邊上，連

接4G,A尸分別交OE于M,N兩點、.

①如圖2,若AB=AC=1,直接寫出MN的長；

②如圖3,求證：MN2=DM?EN.

47.探究證明:

(1)如圖1,正方形AB8中，點M、N分別在邊BC、CO上，AMYBN.求證：BN=

AM；

(2)如圖2,矩形A8CO中，點M在8。上，EF±AMf所分別交.48、CD于點、E、F.求

yEFBC

證：----=—；

AMAB

(3)如圖3,四邊形ABC。中，NA3c=90°,AB=AD=\0fBC=CD=5,AMA.DNf

DN

點M、N分別在邊BC、AB±,求K的值.

AM

n

圖1圖2圖3

48.已知：如圖，四邊形ABC。是正方形，B。是對角線，BE平分NDBC交DC于E點,

交。尸于尸是3。延長線上一點，且

(1)求證：BM±DF；

(2)若正方形A8CO的邊長為2,求

49.在正方形ABC。中，點尸是邊BC上一動點(不包含端點)，線段AP的垂直平分線與

AB,AP,BD,分別交于點M,E,F,N.

(I)若A8=9,8尸=3,求線段MN的長度;

(II)求證：ME+NF=EF.

50.已知等邊△ABC的邊長為2,

(1)如圖1,在邊BC上有一個動點P,在邊AC上有一個動點Q,滿足NAPQ=60°,

求證：AABPs叢PCD

(2)如圖2,若點P在射線8c上運動，點。在直線AC上，滿足NAPO=120°,當

PC=1時，求A。的長

(3)在(2)的條件下，將點。繞點C逆時針旋轉120。到點O1,求A。'AP的面積.

51.如圖，在正方形ABC。中，邊長為4,/MDN=90°,將NMDN繞點D旋轉,其中

DM邊分別與射線B4.直線AC交于艮Q兩點，DN邊與射線BC交于點凡連接E凡

且E尸與直線4C交于點P.

(1)如圖1,點E在線段AB上時,

①求證：AE=CF；

②求證：。尸垂直平分所；

(2)當4E=1時，求PQ的長.

52.如圖，四邊形ABC。是矩形.

R

(1)如圖1,E、尸分別是A。、CO上的點，BFLCE,垂足為G,連接AG.

CECD

①求證：—=—；

BFBC

②若G為CE的中點，求證：sinZAGS=~

(2)如圖2,將矩形43C。沿MN折疊，點A落在點R處，點5落在C。邊的點S處,

連接8s交MN于點P,Q是心的中點.若A8=2,BC=3,直接寫出PS+PQ的最小值

為

一十五.練習(共5小題)

53.如圖，在銳角三角形ABC中，點￡>,￡分別在邊4C,AB上，AG_L8C于點G,AFA.

DE于點、F,ZEAF=ZGAC.

(1)求證：

54.如圖，已知正方形A8CO中，8E平分NDBC且交8邊于點E,將ABCE繞點。順時

針旋轉到△DC尸的位置，并延長BE交。戶于點G.

(1)求證：△BDGS^DEG；

(2)若EG?8G=4,求BE的長.

55.如圖，Rl^ABC中，NB4C=90°,A8=2,AC=4,。是BC邊上一點，且8O=CD,

G是BC邊上的一動點，GE〃A￡＞分別交直線AC,A8于尸，E兩點.

(1)AD=；

GE

(2)如圖1,當GF=1時，求二7的值；