第四講系統辨識基礎

一、自校正控制與系統辨識

1、自校正控制

自校正控制是一類重要的自適應控制方案。自校正的概念最早是由Kalman

在1958年首先提出的，主要用于信號去噪。而自校正控制是由瑞典學者阿斯特

羅姆（K.J.Astrom）和威特馬克（B.Wittenmark）在1973年首次提出的，并在工

業上得到了廣泛的應用。

在自校正控制系統中，被控對象的參數被在線地辨識，然后經過控制器的在

線設計過程，對控制器參數進行在線調整，使其始終能適應被控對象模型的變化。

必須注意的是：自校正調節過程是一個迭代優化的過程，通過邊辨識、邊綜合，

使得控制器參數能夠逐步趨向于最優值。

自校正控制的實現需要滿足以下假定：

?被控對象的模型時變速度緩慢

?被控對象可辨設

?由控制器和被控對象構成的系統是穩定的

因此，可認為在自校正調節過程中，被控對象的模型是不變的，在此條件下,

自校正控制的過程為：

（1）在,時刻根據〃⑺和丁切估計被控對象參數占⑺；

（2）根據知）設計控制器參數。⑺；

（3）由&⑺和”什1）,可計算出什1時刻的控制量〃（什1）；

（4）根據什1時刻的〃（什1）和）*+1）再次估計被控對象參數執，+1）；

（5）返回步驟2,繼續進行遞推，直至波控對象參數估計值4f）收斂

到其真值8。

2、系統辨識

由自校正控制的原理可知，系統辨識是自校正控制的基礎。

系統辨識是根據一個系統的輸入/輸出數據建立系統最優數學模型的理論和

方法，它不能確保獲得系統“真實”的數學模型，但可以在輸入/輸出關系，也

即系統動態響應的意義上獲得一個與系統等價的最優的數學模型，而“最優”需

要有確定的準則來評判。

系統辨識的內容冗■以劃分為以下三個層次：

層次一：模型結構的選擇

層次二：系統階次的確定

層次三：系統參數的估計

由于系統的輸入/輸出信息都只能依靠測量技術采集，而采集到的數據總是

包含各種干擾因素的影響，所以系統辨識是一個“不確定”的過程，具有隨機性

特征，只能用統計方法來進行研究。

3、分離性原理和確定性等價原理

由于自校正控制中，只是用被控對象參數的估計值。而不是真值。來進行

控制器設計，由此帶來的隨機性使得自校正控制系統成為典型的“隨機控

制系統”。而對于隨機控制系統，有兩條重要的原理：

(1)分離性原理

所謂分離性原理，是指在隨機控制系統的設計中，可以將隨機部分和

確定部分分離開來，單獨進行處理。

例如在自校正控制中，被控對象的參數估計是一個具有隨機性的部分，

而控制器的設計則是確定性的部分，如果這兩部分任務可以分離進行，同

時得到的控制器參數是最優的，則稱自校正控制系統的設計過程是可分離

的。

遺憾的是，只有少量系統，例如采用線性二次型為控制器設計的性能

指標的自校正控制系統，滿足分離性原理。

(2)確定性等價原理

在分離性原理的基礎上，需要有確定性等價原理才能實現自校正控制系統。

確定性等價原理是指采用參數估計得到的被控對象參數兒來設計出的控

制器參數。，與用被控對象真實參數8來設計的控制器參數4是完全等價

的，都是使性能指標能取得最優值的最優控制律。即隨機變量。在控制器設

計中的作用確定性地等價于對象真實參數0。

同樣的，確定性等價原理并未得到一般性的證明，目前只證明了對于白

噪聲、可疊加的測量噪聲和具有線性二次型性能指標的自校正控制系統中，

確定性等價原理成立，

二、隨機過程基礎

因為系統辨識是在采樣系統輸入/輸出信息的基礎上估測系統的模型，又因

為系統輸入/輸出信息的采集值是具有隨機性的序列，所以需要首先學習了解描

述序列性的隨機信號的隨機過程的有關知識。

1、隨機變量及其分布

(1)隨機變量

定義：設隨機試驗E的樣本空間S={e},若對每個試驗結果e,都有

確定的實數X(G)與之對應，則稱實值變量X(c)為隨機變量，簡記為X。

隨機變量就是定義在隨機樣木空間上的變量。

(2)分布函數

設X是隨機變量，對于任意實數先令

F(x)=P[X<x}

則稱FM為X的分布函數，即F(x)是X在區間(-8,燈內取值的概率。

(3)概率密度函數

設隨機變量X的連續的分布函數為尸(外，若存在非負函數/(x),使得:

b(x)=J：fU)dl

則稱/*)為X的概率密度函數。

概率密度反映了X在某個區間內取值的概率大小，即

P{Xe[a,h]}=^fMdx

但/(幻不一定存在。

(4)常見概率分布

(0-1)分布：P{X=\}=p,P{X=0}={1-p)

二項分布：P{X=k\=C：p、i,p+q=LA=0,l,...〃

泊松分布：P{X=k}=^—k=0』，...〃

k\

1

均勻分布:/W=<b-a

0

7rs,O

指數分布：f")='

0,x<0

正態分布:/(4)=bjzJ21記為Na，/)

2、隨機變量的數字特征

(1)數學期望

離散隨機變量：E(X)=W>,.pj

f=l

連續隨機變量：E(X)=[yf{x}dx

數學期望是隨機變量可取的各值的加權平均值，權值系數是各值的取

值概率，也稱為概率均值。

(2)方差

設隨機變量X的數學期望是E(X),若E[X-E(X)]2存在，則稱為X的

方差，記為O(X),，XX)稱為標準差或均方差。

2

離散隨機變量：D(X)=￡[xf-E(X)]p,.

1-1

連續隨機變量：D(X)=^[x-E(X)]2f(x)dx

也可用此公式計算方差：D(X)=E[X-E(X)]2=E(X2)-[E(X)f

方差是隨機變量取值分布的分散程度的度量。

(5)常見概率分布的數字特征

(0-1)分布：E(X)=p,D(X)=p(l—p)

二項分布：E(X)=叩,D(X)=np([-p)

泊松分布：E(X)=4D(X)=2

均勻分布：E(X)=—,O(X)="21

212

指數分布：E(x)=J,o(x)=!

AA

正態分布：E(X)=%D(X)=(y2

3、隨機過程及其數字特征

(1)隨機過程的概念

定義：設有定義在樣本空間S={e}上的無窮多個隨機變量序列，按

參數1UTU(YQ,XO)排列，稱[XQ),fuT)為隨機過程。

，一般是時間，如不是時間，則稱X⑺為隨機函數；如/離散，則稱為

隨機序列。

例如：對一系列產品進行抽樣檢查，其合格性構成一個隨機序列(隨

機函數)；江河的水位變化構成一個隨機過程；對人每小時測一次體溫，其

值構成一個隨機序列，

對于每個時刻乙￡丁，對應的x(G是一個隨機變量，稱為隨機過程x⑺

在『二八時刻的狀態；當在一系列連續試驗中x⑺取得一系列具體值時，這些

值構成一個僅依賴于t的確定性函數x(f),稱為隨機過程X⑺的?一條樣本函

數，也稱為樣本曲線，

若一個隨機過程x⑺中任意兩個時刻《山€丁，都有x(G、X(一相互獨

立，則稱x⑺為獨立隨機過程。

(2)隨機過程的數字特征

定義1：設(X(，)je7}是一個隨機過程，對于任意給定的，wT,隨機過

程在該點的狀態X(r)的數學期望構成一個t的函數，稱為XQ)的均值函數，

記為m(t)o

對于連續的隨機過程，均值函數

m(t)=E[X(t)]=Vxf(x\t)dx

/(x；/)是/時刻XQ)的概論密度函數。

定義2：設是一個隨機過程，對于任意給定的小丁，隨機過

程在該點的狀態X(f)的方差構成一個/的函數，稱為XQ)的方差函數，記為

。⑺。

對于連續的隨機過程，方差函數

D(t)=E{[X(t)-m(t)]2]=JJx(f)-,z?(r)]2/(x;t)dx

定義3：設{X(Z),Z￡T}是一個隨機過程，對于任意給定的％山6丁，X&)、

X?2)之間的協方差構成一個的函數，稱為X⑺的協方差函數，記為

r(r,,r2)o

對于連續的隨機過程，協方差函數

-=cov[X(4),X(t2)]=￡{[%(/,)-)][X(r2)-m(t2)]}

=J：J_[X(八)一刀億)】〔MG僧(J)]/2a,當；討2

其中&a，8消冉)是X(G、x?2)的二維聯合概論密度函數。

協方差表示了兩個隨機變量之間的線性相關程度，當協方差為0時,

兩個隨機變量不相關。獨立的隨機變量一定不相關，但不相關的隨機變量

不一定互相獨立。

方差函數是協方差函數的特例。

定義4：設(X(/),Z￡T}是一個隨機過程，對于任意給定的4/￡丁，X&)、

x(幻之間的自相關函數(簡稱為相關函數)是％)的函數,記為/?G，G，

定義為

及&也)一應x-)x(幻]

「■KOp+00

=LL-'2).a，w；出)(收但

也可將相關函數表示為：R(y)=ETXQ)XQ+/)]。

協方差函數、均值函數和相關函數之間有如下關系：

r(r1,r2)=E{[X(0-/n(zI)][Xa2)-m(r2)J}=E[XaI)X(r2)]-E[X(/1)]￡[X(/2)]

=/?(r1,r2)-m(AX^2)

對于不相美的隨機過程，有

-)=RQi,L)一皿枷?2)=o

即有

/?(討2)=皿6)加?2)

4、平穩過程及各態遍歷性

(1)矩的概念

矩就是指隨機變量的各種數字特征，其中E(x")稱為隨機變量X的攵

階原點矩，E{[X-E(X)力稱為隨機變量X的k階中心矩。

顯然：數學期望是一階原點矩，方差是二階中心矩。

如隨機過程的均值函數和方差函數均存在，則稱該過程為二階矩過程。

(2)平穩過程

若隨機過程XQ)有

F(X，/，…也"1，J，，，““)=尸(為,左，一。“"1+匯,，2+匯，??"〃+丁)

即XQ)的有限維概率分布與I無關，則稱X⑺為嚴平穩過程，簡稱平穩

過程。

若二階矩過程X(f)有

/?(r1,r2)=/?(r2-r1)=/?(r),r=t2-tx>0

即X⑺的均值為常數，相關函數僅與工有關，則稱X")為寬平穩過程。

平穩過程表示隨機過程的概率分布情況和數字特征與所研究的時間點

無關，因此可以從平穩過程中任取一段來進行研究和分析。

注意：

嚴平穩過程不一定是寬平穩過程，因為二階矩不一定存在；

寬平穩過程不一定是嚴平穩過程，因為其條件僅是嚴平穩過程的必要

條件。

(3)各態遍歷性

隨機過程X⑺的數字特征，可以用〃個樣本函數否(。，為⑺，…,乙⑺去計

算，例如求均值函數和相關函數，即

1n

R(八,)二仇X(Gx4)]k—2以QMS)]

依據大數定律，當〃―8時，就得到了準確的均值函數和相關函數，這

稱為隨機過程的空間均值和空間相關函數。

但有許多隨機過程的樣本函數是無法重復取得的，因此，只能從單個

的樣本函數去試求隨機過程的數字特征。

當隨機過程X(力不是平穩過程時，從單個的樣本函數無法獲得隨機過

程的數字特征。

當隨機過程X(/)是平穩過程時，其均值函數〃2⑺是與t無關的常數m,

相關函數R&W)是只與時間間隔工有關的函數R(r)。如果有如下極限存在：

<X(/)>=lim-l-fX(/W/

ttb2/J-T

<X(r)X(r+r)>=lim—「+r)dt

7->oc27J-T

則稱其為隨機過程X⑺的時間均值和時間相關函數，它們都是隨機變

量。

如果隨機過程X")的時間均值概率為1地等于空間均值，時間相關函

數概率為1地等于空訶相關函數，則稱該隨機過程具有各態遍歷性。即

m=<X(t)>,(as.)7?(r)=<X(t)X(t+r)>(as)

as.的意思是allmostsure,幾乎可以確定。

具有各態遍歷性的隨機過程，隨時間的延續各種取值都可能取到，并

且取值分布也幾乎與單個時間點上的狀態的取值分布一致，因此可以用一

條或者幾條樣本曲線來計算隨機過程的數字特征。

5、隨機過程的譜分解

(1)平穩隨機過程的譜分解

設R5)為平穩隨機序列｛X(Z)X=0,±l,±2,…｝的相關函數,則可表示為:

R(n)=「f(co)ejn°dco

J-/T

稱為R(〃)的譜分解，其中/(。)稱X(用的譜密度函數。

設R⑺為平穩隨機過程｛X()/w7｝的相關函數，則可表示為：

R(T)=1/(⑼入口

J-3C

稱為/??)的譜分解，其中/(。)稱XQ)的譜密度函數。

隨機過程的譜分解是按諧波分量的頻率將隨機過程的功率進行分解發

(傅立葉分解)，因此也稱為功率譜。

譜密度函數的計算方法為

1y

/(⑼=—YR⑺隨機序列

2萬“…

f(⑼=；J：R(i)e-jwdT,隨機過程

(2)白噪聲

若隨機序列X(6滿足

a2,n=0

m=0,R(〃)=〈

0,〃工0

則稱X(Q為白噪聲。

白噪聲是平穩過程，同時具有各態遍歷性，其譜密度函數為：

1-2

f(co)=——yR(n)ejnta=—,-7i<(o<7i

2乃=2幾

因此，白噪聲的功率在各個頻率上是均勻的，類似于“白光”，因此稱

為“白”噪聲。

白噪聲是最理想的純隨機信號，也是考查系統干擾影響的基礎。不符

合白噪聲特點的噪聲稱為有色噪聲，它可以由白噪聲的函數來表達。

三、最小二乘法參數估計的原理

1、離散系統的輸入輸出模型

根據對系統辨識的分析，它是在測量得到的離散的系統輸入輸出數據的基礎

上來進行系統結構和參數辨識的，因此首先要研究離散系統的數學描述。

設單輸入單輸出系統的差分方程為：

)，“)+%y(f—1)+…+4y(t-na)=bQu(t-k)+如(I-1)+…+bnu(t-k-nh)

攵是輸出延時。

設單位后移算子為Z-L即有

zb⑺=y(i)

則可令

l,，a

A(z)=l+a,1z~+???+?"az~

B(z)=bo+biZ”+…-b“z"6

則單愉入單飾出系統的差分方程可表示為：

A(z)y(f)=B(z)〃(i)

也可寫為：

B(z)

W-k)

詞

當系統受噪聲干擾時，假定噪聲源是白噪聲，則可將噪聲引起的輸出

擾動定義為：

則含有單輸入單輸出系統的差分方程可表示為:

y⑺=等-Q+Mr)

A(z)A(z)

也可寫為：

A(z)y(f)=-k)-vC(z)w(0

其中

A(z))，")表示輸出y")的歷史值對當前值的影響，稱為自回歸部分，AR

B(z)〃(f-Z)表示輸入〃⑺對輸出)，⑺當前值的影響，稱為受控部分,C

C(Z)H”)表示干擾對輸出)，(/)的影響，稱為滑動平均部分，MA

因此，上述模型稱為：受控自回歸滑動平均模型，CARMA

其它的單輸入單輸出系統模型還有：

A(z)y(t)=B(z)u(t-k)+y^t),受控自回歸模型，CAR

A(z)y⑺=8(z)四一旬+—!—Mf),動態模型,DA

D(z)

對于多輸入多輸出時變離散系統，可用差分狀態空間模型表示為:

x(t+1)=AQ)x。)+B(/)w(O+DQ)必)

y(r)=C(r)x(r)+w")

2、最小二乘法參數估計的原理

設有一待辨識的系統模型為

y=f(x)+w

x和)，是可測量的輸入輸出數據

卬是白噪聲

待辨識的參數為0

X

若有一系列輸入輸出的測量值JpXj；%，/；%工3；…;yn>n

則稱能使準則函數

J⑹=￡[/一/(幻]2

1=1

取得最小值的參數估計值。為最小二乘法參數估計，簡記為LS估計。

最小二乘法參數估計本質上是求測量點到估計模型的歐氏距離和最小的參

數估計結果。

3、參數估計的評價指標

對于不同的參數估計算法，其估計結果的評價有以下常用指標：

(1)無偏性

設。是參數。的估計值，若

E(0)=0

則稱。為參數。的無偏估計。無偏估計是參數估計的基本要求，即估計

值以真值為中心波動，如果重復多次估計，則依據大數定律，估計值的均

值會趨近于真值。

(2)均方誤差

設。是參數夕的估計值，均方誤差定義為

均方誤差反映了估計值波動的幅度大小。

若。是參數。的無偏估計，則均方誤差就是估計值。的方差；若。不是

參數6的無偏估計，則均方誤差為

MSE(0,0)=E[Ce-0)2]

=E{[4-E(3)+E(4)一例2}

=E[[d-E(0)]2]+2E{[0-E(O)][E^)-0]}+E{lE(0)-O]2]

=E{[3-E@]2}+[E(3)-6]2

=Q(0)+[E(J)—02

(3)收斂性

如f—>8時，有lim@=￡,a.s.

則稱。收斂于夕。

四、基本最小二乘法參數估計

1、系統模型

設系統模型為CAR模型(受控自回歸)，且無輸出延時

A(z)yQ)=B(z)u(r)+W),W)是白噪聲

-1na

A(z)=1+d,*z+???+〃z~

B(z)=bo+"z"+…+"%z〃b

且%>%

也可將模型寫為：

其中

6=lai,a2，…，。&；瓦，4也，…力“J,稱為參數向量

/(，)=[-y("l),-y("2),…，-y(一%);〃⑴,〃("D,〃("2),???,〃(…%)]，稱為信息向量

2、辨識算法

在，時刻，有/個測量結果，表示為：

X=H0+叱

其中

y=[y⑴,y(2),…,yQ)F，=["⑴,/(2),…,，'⑺F,嗎=[例1),以2),…，以

設最小二乘準則函數為

/(。)=%>(。-西)。]2

J=1

則參數估計值。應能使該準則函數取得極小值。

設人。）在。處可微，則

坐「0

do上。

因為

OJ（d）_i=0____________________

1

dee*~~db10”

二8（一-”。（》-必）

d0.

=-2-日一郎）一

所以有

H：（y「H,0）=O

即

H；%=H：H,0

0=（H?y,

條件是“J/非奇異，可以求逆。

可以證明，當輸入信號是是％階持續激勵信號，當，―8時，

/?na+nh+\fH：H,非奇異。

?持續激勵信號

持續激勵信號是指能夠持續激勵待辨識系統的動態特性，以獲得充分的信息

來進行辨識的輸入信號。對于無輸出延時的受控自回歸（CAR）模型，需要辨識的

參數有%+%+1個，因此輸入信號至少要包含殳土產」個線性無關的頻率成份，

才能夠獲得足夠的數據進行辨識。

白噪聲和有色噪聲都是持續激勵信號，因此用白噪聲作為輸入來進行系統辨

識是最理想的，但一般系統對白噪聲都不能做出有效的響應，且白噪聲也難以在

物理上實現。

Os=1H：HTH：y,

就是基本最小二乘法參數估計公式，它是離線估計算法，需要一次采

集足夠多的輸入輸入信號，計算量比較大，并且需要對高階矩陣進行求逆

計算。

3、估計質量評價

（1）無偏性

TT

E(0ls)=E[(HtHyH,yt]

WEKH：乩尸小]

???叫由白噪聲構成，與用之間線性不相關

.?.娟(“見)””』止司(叱)=0

.*.E(9IS)=0

所以，基本最小二乘法參數估計是無偏估計。

(2)均方誤差

基本最小二乘法參數估計的均方誤差為

MSEa、.,，)=。電)

TlT

=DlO+(HlH[YHlwt]

TiT

=D[O]+D[(HlHl)-Htwl]

TlT

=D[(HlHl)-Hlwl]

TiT2

=E{[(HlHiyHlwt]]

=EKH：乩尸乩「叫叫丁乩(H：乩尸1

(3)收斂性

hmMSE(0^)=hmE[(HTHy'HTwwTH(HTHYl]

LS/->X>lrlllrll

=1Hm(H：H#H：H小：

Jfoo

If8

若=Ra.s.存在

sf

則limMSE(^^)=cr2lim-<-H/H,r，=o-2lim-/?_,=0

r-xcv/->?>ffz->xi

則有1心石[(猷-。)2]=()

Too

即limA,=0,a.s.

可以證明，當輸入信號是是〃〃階持續激勵信號，=Ras.

Ifaf

條件滿足。

五、遞推最小二乘法參數估計

1、基本最小二乘法參數估計的問題

?計算量大

?需要求大型矩陣的逆

?不能實現在線參數估計

?不能無法預估所需的數據量

2、最小二乘法參數估計遞推公式

遞推最小二乘法利用逐漸采集到的輸入輸出數據來遞推估計系統參數。時

刻的，即求取f時刻的參數估計值。⑺與/-I時刻的參數估計值"—1)和，時

刻的信息向量/⑺之間的關系。

設Pp)=

1=1

貝IJ尸也)=尸(-1)+9(/)，")

,.?0=(H：H)7H：X

.?.。⑴=PQ)H：y,

二也)聞必+。《)刈]

=尸尸(￡-1)”2y小+*(—

=P(r)[p-,(/-lW-l)+^(r)X/)]

=p⑺{[K(0-叭I)d(ZW-D+-

=0{t-1)+P(/)/(3y⑴-/(rW-1)]

即遞推最小二乘法公式為：

標⑴=3(/—1)+尸⑺飄川丁⑺一/(t)d(t-1)J

其中

朋-1)是上一時刻的參數估計值

)，")-"⑺i(r-l)是利用上一時刻參數估計值得到的輸出偏差

。⑺。⑺為修正因子

為避免矩陣求逆運算，可對以上遞推最小二乘法參數估計進行進一步改進。

???(A+〃c)T=A-1-A^bd+cA^by^cA^

2/)=[2一(-1)+夕(/)“⑺『

=P(—阿[/+(pT(f)P(f-1)/)-/(t)P(t-1)

???一(f)P(f-1)/)是1x1維的標量

T.1

,,[/+^WP(z_1W)r'=__

l+夕(t)P(t-V)(p(t)

⑴二PJD-P「吁加⑺小7）

-----：（/-1）刖_

1+/（，）*1）8。）

同時，有

1+(pr(r)P(/-lW)-阿，([)P"1)

戶⑺*)=P(I)9。)

1+"⑺尸(f-1)0。)

8(。+(p(t)(p'(t)P(t-1)8。)-(p(。/(t)P(t

二尸（—）

l+/(/)P(r-l)^(r)

PQ-DS⑴

i+/a）p（"i）9（f）

設〃”廠次）

則遞推最小二乘法參數估計公式可寫為

加）=加-1）+小心。）-，（川。-1）］

P("1)*Q)

L(t)=

1+，Q)PQ-1泄⑺

P")=[/—〃/)/⑺]P(I)

3、遞推最小二乘法參數估計的算法過程

第一步：選取，（0）和P（O）的初值，一般4（0）取很小的實向量，p（0）取

。為充分大的正數，一般取i（）6~10）勺］

第二步:增加一組測量數據，獲得

第三步:求L(t)；

第四步:求。⑺，若滿足精度要求|，⑺-。"-1）|<￡，則停止遞推;

第五步:計算?⑺，，加1,返回第一步。

課后作業：

設待辨識系統為

（1+3z-'+4z“）刈=（2z-,+3z"）〃⑺+w"）,田。是白噪聲

在Matlab中編程，用偽隨機序列作為持續激勵的輸入〃（/）產生信息向

量，然后用遞推最小二乘法對參數進行估計。

六、其它最小二乘法參數估計

1、遺忘因子遞推最小二乘法參數估計

當采用遞推最小二乘法時，已有的所有信息向量都會在遞推過程中發揮作

用，因此隨著時間的推移，新采集到的信息向量對參數估計值的修正作用會逐漸

減弱，稱為“數據飽和”現象，也就是說遞推算法的計算效率逐漸降低。當被辨

識的系統參數緩慢時變時，遞推最小二乘法參數估計不能很好地實現系統辨識。

遺忘因子遞推最小二乘法參數估計是在遞推公式中加入遺忘因子，逐漸減小

舊信息向量在參數估計中的權重，以加強新信息向量的作用，跟隨系統參數為時

變。

令-7?)=獷Si)+e(M(f),%為遺忘因子，一般取0.95工義＜1。-越

大，遺忘作用越小，參數估計的精度越高；/越小，遺忘作用越大，參數估

計的跟蹤能力越強。

遺忘因子遞推最小二乘法參數估計公式為

加)=加-1)+

尸(1)。⑺

1r

A

2、增廣最小二乘法參數估計

⑴系統模型

增廣最小二乘法針對受控自回歸滑動平均模型(CARMA),

A(z)yQ)=8(z)〃⑺+C(z)wV)

其中

-1，，a

A(z)=1+6Z,1Z4----4-a"aZ~

B(z)=%+4z"+…+%z%

C(z)=l+cH+…+C“-F

令噪聲干擾為e(r)=C(z)K(r)

則待辨識系統模型為

A(z)yQ)=B(z)〃⑺+e⑴

定義參數向量為：

優=［《，4，…，4；瓦，4也，…，%］，4=L，。2,…，，1，

信息向量為:

d⑴=[一)收一1),-2),…，一y"一?);〃(/),〃。一1),u(t-2),一nh)1，

d(D=T)，Mf-2),…,

則系統模型可寫為：

rH

yt=[.4]A+叱

其中

MDd⑴武⑴卬⑴

y⑵d⑵媒⑵例2)

x=，匕=，L=,wt=

?**

_da)_w")

⑵一次完成算法

由最小二乘法參數估計的原理可得，

但該公式是無法直接計算的，因為L無法測量。為解決這一問題，可

采用迭代的方法進行計算。

將參數估計公式寫為：

g=(H：乩尸心「⑺:乩尸乩］。

A.=D'L：My,

其中

TlT

M=I-Hl(H,HfyHl

D=L：ML,

再利用

e,=L,On+wt

就可迭代求取。和。，具體步驟如下:

第一步：設。二(""/,尸耳?，。=0；

第二步：計算殘差：'”/

W,=Lqi

第三步：利用叱，求得4和M,。；

第四步：求從他=3工"</

第五步：求&0=尸”,乜以陽；返回第二步。

⑶遞推算法

定義參數向量為

=回。2,…,4沁由也，…,b/qg,…,CnJ，

定義信息向量為；

9/?)=[—)，?—一y(f—2),…，一)，(/一〃");〃(/),〃(/一1),“?—2),一、〃(，一〃〃)；卬(f一1),漳?_2),

則系統模型可寫為

)1。)=/?)。+鞏”)

由遞推最小二乘法參數估計算法可得遞推公式為

%?)=[(—)+小心⑺-/⑴友一)]

小P(/-1W)

L(t)=---7-------------

l+dQ)PQ-l)次)

P(r)=[7-L(/)^r(r)]P(r-l)

由于信息向量中vi<r)不可測，在遞推過程中用殘差位⑺=y(t)-/任汝”)

代替。

3、廣義最小二乘法參數估計

⑴系統模型

考慮動態(DA)模型

A(z))?)=6(z)〃Q)十二7H⑴

八⑶

其中

A(z)=1+qz"+…+a%z-%

8(z)=d+Az-+…+%z",

_,_rtrf

D(z)=l+f/1z+...+^z

令噪聲干擾為：式r)=—!一以/)

D(z)

即有

D(z)e(t)=3)

其物理意義為待辨識系統中的噪聲可通過一個濾波器變為白噪聲，因

此"z)又稱為“白化濾波器”。因為在廣義最小二乘法中，D(z)的參數在辨

識過程中是動態變化，逐步趨于最優的，因此系統模型稱為“動態”模型。

定義參數向量為:

改=ci%;b(”b也，…,

信息向量為：

?)=[一)'。一1),-y。-2),???，—y(r一%〃。一1),"(f-2),???,〃(r一勺,)],

弁Q)=[-e(t-1),-e(t-2),???,-6*(/-nd)],

則系統模型可寫為：

分=出乙]:+叱

其中

>(1)_卬⑴

y⑵短⑵以2)以(2)

?=，%=?L=,叱=

*?

y(t)H1(0

⑵一次完成算法

由最小二乘法參數估計的原理可得,

A

色H：H,

A

仇

與增廣最小二乘法一樣，L無法測量，需利用殘差通過迭代的方法進行

⑶遞推算法

將DA模型變形為

A(z)D(z)y(r)=B(z)￡)(z>(r)+以，)

設

>>(/)=。⑶y(/),uf(t)=D(z)u(t)

則有

A(z)力。)=B[z}uf(t'\+w(t)

由遞推最小二乘法參數估計可得遞推公式為

。⑺二。(/-1)+力⑺[力⑺—娟⑺。Q—1)]

7,?)_號(I)%⑺

L\t)—7

r1+令⑺4