剛體的定軸轉動TranslationandRotationofaRigidBody第1節剛體的平動和轉動1.剛體大小和形狀都保持不變的物體。是一種理想化的模型，但有重要的實際意義。剛體可看成是各質點間相對位置保持不變的特殊的質點系。關于質點系的力學規律都可用于剛體。1質心ABA'B'A"B"選哪個點來代表？2.剛體的平動質心

連接剛體內任意兩點的一條直線在運動的各個時刻的位置都彼此平行。剛體的這種運動稱為平動。

剛體作平動時，其上各個質點的運動狀態完全相同，故可用任意一點的運動代表剛體整體的運動。

通常用質心的運動來代表整體的運動。2設N個質點m1,m2,

,mN，對應的位矢定義：質心的位矢質心

幾何對稱中心質量均勻分布體：3質心運動定理質心的速度質心的加速度設mi受力則對所有質點求和0——質心運動定理43.剛體的轉動剛體定軸轉動的描述轉軸剛體轉軸上各點都保持靜止轉動：剛體各點都繞同一直線

(轉軸)

作圓周運動。最簡單的情況是轉軸的位置和方向都固定不變的轉動，稱為剛體的定軸轉動。在同一時間內,各點對軸的轉角相等，但線速度不同。用角量來描述轉動規律較為方便。5(1)

角位置定軸轉動的運動方程(3)

角速度(4)

角加速度單位：

弧度(rad)(2)

角位移描述剛體的定軸轉動的物理量22dtddtdqwb==6轉軸剛體q參考方向xp注意:

這里的角量單位都用弧度(rad)定軸轉動中角量與線量的基本關系類似一維運動,各角量的方向由“+”,“–”號表示。矢量式71.力矩（1）在垂直o

o

的平面內（2）不在垂直o

o

的平面內o

o

.P對剛體繞o

o

軸的轉動無貢獻

總可分解成兩個分量：

計算時,只需考慮的力矩,即Mz.第2節剛體定軸轉動定律PrincipleofRotationofaRigidBodyAboutaFixedAxis(參考點在轉軸上)o

o

.P8在軸上任選參考點O,則任一質元A對O的角動量為:質點系的角動量定理:2.定軸轉動定律

只有力矩的z向分量對定軸轉動有作用!故求此分量Mz的表達式:

9(Z軸)轉軸剛體——轉動慣量將Mz改寫為M，則——定軸轉動定律將Lz改寫為L,則——對定軸的角動量10(Z軸)轉軸剛體——剛體對定軸(z軸)的轉動慣量

由剛體上各質元相對于固定轉軸的分布決定，與外力無關，是表征剛體轉動慣性的特征量。與牛頓第二定律比較：Jmm——反映質點的平動慣性定軸轉動定律:J——反映剛體的轉動慣性113.轉動慣量的計算（1）分立的質量元構成的系統（2）質量連續分布的系統(如:剛體)Mrdm單位：kgm2質量元dm

的計算方法如下：質量為線分布質量為面分布質量為體分布線密度面密度體密度12例1.

求質量為m、半徑為R的均勻圓環的轉動

慣量。軸與圓環平面垂直并通過環心。解：若是半徑為R的薄圓筒（不計厚度）結果如何？OdmOR在圓環上取質量元dm

結果形式不變！13例2.

求質量為m,

半徑為R,厚為l

的均勻圓盤的

轉動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：lr取半徑為r寬為dr的薄圓環,其質量為顯然：轉動慣量與l無關。所以，實心圓柱對其

軸的轉動慣量也是mR2/2。14例3.如圖所示,一個均勻半圓薄板的質量為m,半徑為R.以其直徑邊為轉軸,它的轉動慣量多大？解:取窄條狀面元dS.設面密度為.dShdhd

對應的弧長為Rd

?15X例4.求長為L、質量為m的均勻細棒

對圖中不同軸的轉動慣量。ABLo解：取如圖坐標dm=

dx繞過質心的轉軸的J可見：同一物體繞不同的轉軸的轉動慣量不同。ABL/2L/2CXo16（3）平行軸定理

JC是通過質心的軸的轉動慣量，

JA是通過棒端的軸的轉動慣量

兩軸平行，相距L/2。上述結論可以推廣：——平行軸定理

若有任一軸與過質心的軸平行,相距為d,剛體對其轉動慣量為J，則有：ABLC231mLJA=2121mLJC=17LRmm勻質薄圓盤勻質細直棒轉軸通過中心垂直盤面22J=mR123J=mL1轉軸通過端點與棒垂直兩個常用的結果184.剛體定軸轉動定律的應用19例5.一根長為L、質量為m的均勻細直棒,其一端

有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平

面內轉動。

最初棒靜止在水平位置，

求它由此下擺

角時的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O

的力矩。

XOgdmdmxmmmgC合力矩棒上取質元dm,當棒處在下擺

角時,重力矩為：20重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質心所產生的力矩一樣。

XOgdmdmxmgC21又即mgC

XOxc22例6.質量為m、長為L的勻質細桿水平放置,一端為鉸鏈，另一端用繩懸掛。求剪斷繩子瞬時,桿的角加速度以及鉸鏈的支撐力。.解：剪斷時細桿繞O點的力矩為o根據定軸轉動定律質心平動問：若桿從上方轉下來到水平位置時此時23..o水平位置時力矩仍為此時質心的加速度為此時24例7.

在半徑為R,質量為m，J=mR2的圓輪上掛一細繩細繩兩端各掛兩物m1>m2。求:兩物的加速度

a及輪子的角加速度

.m2m1解：m1、m2作為質點處理輪子作剛體處理,m1gT1m2gT2T1T2根據牛頓定律y由定軸轉動定律：解得25.Ro解：因摩擦力產生的力矩是恒定的，故角速度均勻減小。考慮面元dS對軸的摩擦力矩dM

：例8.一質量均勻分布的薄圓盤,半徑為R,盤面與粗糙

的水平桌面緊密接觸,圓盤與桌面間摩擦系數為

0。圓盤繞通過其中心的豎直軸線轉動,開始時角速度為

0,經過多少時間后圓盤靜止不動?26r此力矩與面元在環上的位置無關,故環的力矩:

力矩的方向與環的位置無關,故圓盤受到的摩擦力矩為:代入(1)式得27Ror例9.一飛輪其軸成水平方向,軸之半徑r=2.00cm，其上繞有一根細長的繩。在其自由端先系以一質量m=20.0g的輕物，此物恰能勻速下降,然后改系以一質量M＝5.00kg的重物,則此物從靜止開始,

經過t＝10.0s時間,共下降了h＝40.0cm。忽略繩的質量和空氣阻力,并設重力加速度g＝980cm／s2。求:(1)飛輪主軸與軸承之間的摩擦力矩的大小；(2)飛輪轉動慣量的大小；(3)繩上張力的大小。解：(1)掛輕物時，物勻速下降，即力矩28解:(1)掛輕物時,物勻速下降,即(2)

(3)掛重物M

時:其中r=2.00cm,m=20gM=5kgh=40cmt=10s29第3節剛體轉動的功和能WorkandEnergyofaRotatingRigidBody1.剛體的轉動動能多個質點組成的質點系的動能定義為所以，轉動的剛體的動能為:302.力矩的功力在這段元位移中所做的功是即:力對轉動剛體所做的功用力矩的功來計算!所以313.剛體繞固定軸轉動的動能定理在剛體的轉動過程中,合外力矩M對剛體所做的功為:即

合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉動動能的增量——剛體繞固定軸轉動的動能定理324.剛體的重力勢能yhihcxOMC

mi質元

mi的勢能整個剛體的勢能剛體的重力勢能

5.機械能守恒定律

對于含有剛體的系統,如果在運動過程中只有保守內力做功,則此系統的機械能守恒。它的全部質量都集中

在質心時所具有的勢能33

xOmgC例10.一根長為L,質量為m的均勻細直棒,一端有一

固定的光滑水平軸,因而可以在豎直平面內轉

動。

最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺

角時的角加速度和角速度。解：（用機械能守恒定律重解例5.)在棒擺動過程中系統的機械能守恒。設棒在水平位置時重力勢能為零，由機械能守恒知:與前面解得的結果一致!341.剛體的角動量剛體上的任一質元繞固定軸做圓周運動時相對于轉軸上任意一點O的角動量在軸上的分量的大小均為故剛體對此軸的角動量為即：剛體對定軸的角動量L,

等于它對該軸的轉動

慣量J和角速度

的乘積。

簡寫為第4節剛體的角動量定理和角動量守恒定律PrincipleofAngularMomentum&LawofConservationofAngularMomentumofaRigidBodyRotatingAboutaFixedAxis35質點的角動量定理為對質點系任意一質點定軸方向0對質點系由上可得定軸轉動定律——剛體繞定軸的角動量定理2.

剛體繞定軸的角動量定理內外Jz不變Jz變化36合外力矩M

對剛體繞定軸的沖量矩為與動量定理比較即:對某一定軸的外力矩的作用在某段時間內

的累積效果為剛體對同一轉動軸的角動量

的增量。(微分形式)剛體繞定軸的角動量定理(積分形式)簡寫為37當合外力矩則——角動量守恒（1）當L=常量，若J=常量，則

=常量。即：剛體保持恒定的角速度

轉動。當L=常量，若J

常量，J

=常量，則

常量。或J（2）此定律可推廣到含多個質點、多個剛體的系統3.

角動量守恒定律38討論

0r解：外力矩為零,系統對軸的角動量守恒,則角速度減到

0/2時例11.轉臺繞中心鉛直軸原來以

0角速度勻速轉動，轉臺對該軸的轉動慣量為J0=510-5kgm2。今有沙粒以1g/s速度落入轉臺,沙粒粘附在轉臺面上并形成一圓形,且沙粒距軸的半徑r=0.1m，當沙粒落到轉臺時,轉臺的角速度要變慢。試求當角速度減到

0/2時所需的時間。39oouvm

m

碰前碰后例12.勻質細棒質量為m,長為2L,可在鉛直平面內繞通過其中心的水平軸O自由轉動.開始時棒靜止于水平位置,一質量為m'的小球,以速度u垂直落到棒的端點,且與棒作彈性碰撞.

求:碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度.解:

以棒和小球為系統.在碰撞過程中,對軸O的外力矩只有小球的重力矩m

gL.因碰撞時間極短,此重力矩對時間的累積可忽略不計.

于是,系統對轉軸o的角動量守恒:40以順時針轉動時的角動量方向為正,則因作彈性碰撞,故在碰撞過程中機械能守恒

于是,系統對轉軸o的角動量守恒由(1)(2)解得41oouvm

m

碰前碰后例13.如圖所示,一質量為m的子彈以水平速度v0

射入一靜止懸于頂端的長棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度

。

(已知棒長為L,質量為M。)v0vmM解:碰撞過程中系統對轉軸的總角動量守恒,L所以42m(黏土塊)yxhPθOM光滑軸勻質圓盤（水平）R例14.如圖示，已知：h，R，M=2m，

=60.求:碰撞的瞬間盤的

P