§6-1二階電路的微分方程同時含有一個電容元件和一個電感元件的二階動態電路有兩種最簡單的結構形式，即RLC并聯電路和RLC串聯電路。二階電路的微分方程以電感電流作為狀態變量:如果——電路的全響應。——二階常系數線性非齊次微分方程X§6-2RLC并聯電路的零輸入響應特征方程：特征根：——電路的阻尼系數(dampingcoefficient)——電路的諧振頻率(resonantfrequency)XRLC并聯電路的零輸入響應XRLC并聯電路的零輸入響應

特征根的4種可能情況：1.過阻尼狀態——非振蕩過渡過程XRLC并聯電路的零輸入響應（1）不相等的負實數根（2）共軛復根（實部不為零）（3）相等的實數根（4）共軛虛根過阻尼狀態欠阻尼狀態臨界阻尼狀態無阻尼狀態例題1

下圖所示為時的RLC并聯電路，已知

L=5H，

R=8Ω，C=0.0125F，

，。試求

時的

和，并繪出其

波形。解：

時電路的微分方程：X特征方程：特征根：，X解（續）

2.欠阻尼狀態方程的解具有如下一般形式：XRLC并聯電路的零輸入響應當

，即

時，——衰減振蕩過渡過程和并繪出其波形。仍以例1為例，將電阻值改為R=16Ω，其他參數保持不變，再求例題2特征方程：特征根：X解：

X解（續）

3.臨界阻尼狀態XRLC并聯電路的零輸入響應當

，即

時，——非振蕩過渡過程例題3和并繪出其波形。仍以例1為例，將電阻值改為R=10Ω，其他參數保持不變，再求特征方程：

特征根：X解：

X解（續）

4.無阻尼狀態電路僅由電容和電感組成。是一對共軛虛根方程的解具有如下形式：——等幅振蕩過渡過程。XRLC并聯電路的零輸入響應例題4特征方程：特征根：X和并繪出其波形。仍以例1為例，將電阻元件的電導值改為G=0S其他參數保持不變，再求解：

X解（續）

§6-3

RLC并聯電路的零狀態響應和全響應內容提要零狀態響應全響應X1零狀態響應，根據初始條件確定兩個待定系數動態元件的初始狀態為零，，引起的響應。

僅由外加激勵X返回2全響應求解微分方程的經典方法：全響應＝通解＋特解動態元件的初始狀態不為零，且有外加激勵作用時電路的響應。求電路全響應的兩種方法：零輸入零狀態方法：全響應＝零輸入響應＋零狀態響應X例題1如圖所示電路，已知，求時的

和

并繪出其波形圖。解：t<0時：

時：

特征根為一對共軛復根，電路處于欠阻尼狀態。X特征方程：特征根：，解（續）初始條件：X解（續）X解（續）X例題2

在如圖所示電路中，假設，，，，動態元件沒有初始儲能，試求時的。時，根據KCL有：解：X特征方程：特征根：，初始條件：解（續）X解（續）X§6-4RLC串聯電路RLC串聯電路的分析方法與RLC并聯電路類似，根據電路中元件參數值的不同，電路仍然具有四種狀態，即過阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和無阻尼，電路狀態的判斷仍然是根據特征方程的特征根的不同情況決定。根據KVL及元件的VCR可列出如下方程：X如果以電容電壓作為狀態變量，則將的方程并整理可得：帶入上面此即為RLC串聯電路的微分方程。其特征方程為：特征根為：通解形式為X電容電壓的全響應為通解加特解，即：1過阻尼狀態2欠阻尼狀態3臨界阻尼狀態

X4無阻尼狀態R=0X如圖所示電路在開關打開前電路已處于穩態，t=0時開關打開，求開關打開后的和并繪出其波形圖。例題1開關打開前：開關打開后，根據KVL和元件的VCR得到以為變量的電路方程為：X解

將元件參數帶入微分方程并整理得：特征方程為：求得特征根為：因為特征根為兩個相等的負實根，所以電路處于臨界阻尼狀態，通解具有如下形式：因為激勵為直流，所以設特解為：X解（續）

帶入微分方程求得：的全響應為：將初始條件和

帶入上式得：解方程求得：X解（續）

仿真波形解（續）

X§6-5一般二階電路和高階動態電路對于二階電路，列出的方程已不是單以或

的二階方程，通常是以和

即是一階方程組，稱其為狀態方程。為變量的兩為變量個一階方程，X內容提要一般二階電路高階動態電路X1一般二階電路如果電路中只含有一個電感元件和一個電容元件，且這兩個元件是并聯或串聯連接，則可利用戴維南定理或諾頓定理將含源電阻網絡等效為電壓源與電阻串聯或電流源與電阻并聯的形式，然后仍按照簡單RLC電路的分析方法求解。X

如果電路中含有兩個電容元件或兩個電感元件，則通常就需要列兩個一階微分方程。

1一般二階電路

X例題1列寫如圖所示電路的狀態方程。對節點a列KCL方程，對右邊網孔列KVL方程得：消去非狀態變量，將

解

（1）（2）X帶入方程（1）、（2）得：（3）（4）由方程（3）得：（5）將方程（5）帶入方程（4）并進行整理得：（6）方程（5）、（6）即為要求的電路狀態方程。X解（續）

返回二高階動態電路列寫電路的狀態方程基本步驟可以總如下：

對含有電容支路的節點列寫KCL方程；對含有電感支路的回路列寫KVL方程；將非狀態變量用狀態變量和已知量表示；消去非狀態變量，將狀態方程整理成標準形式。（1）（2）（3）（4）X例題2列寫如圖所示電路的狀態方程。

對節點1和節點2分別列寫KCL方程，對回路l1列寫KVL方程得：X解

將方程中的非狀態變量、用狀態變量和已知量表示：將此二式代入上面的三個方程中，并進行整理得：X解（續）

寫成矩陣形式為：X解（續）

返回§6-6工程應用——電火花

加工電路

電火花加工是電加工行業中應用最廣泛的一種加工方法。它通過工具電極和工件之間不斷產生脈沖性的火花放電，從而產生局部瞬時高溫，使工件局部熔化，把金屬蝕除下來。電火花加工電路工件工具電極絕緣介質電路的工作原理如下：如果，，S閉合后電容被充電，當電容電壓達到工具電極和金屬工件間絕緣介質的擊穿電壓時，即產生電火花，電容瞬時放電，電容電壓很快降到接近于零，此時工具電極和金屬工件間的絕緣介質迅速恢復絕緣性，把放電電流切斷，電源再次對電容充電，重復上述過程，直至加工結束，開關斷開。則開關電火花加工電路求加工頻率及電容的最高充電電壓。解:電路為欠阻尼狀態特解：X例題1特征根：最大值出現在設選定的電容電壓最大值即為間隙擊穿電壓，且設放電在瞬間完成，則再經歷77ms后