第九節等效重力場以及外力場疊加應用需要掌握的內容1.什么是等效重力場，具體做法是什么？當物體受到重力以及恒定勻強電場時，可以把電場以及重力場合成一個新的場原來的重力加速度會變成一個新的重力加速度。此方法屬于一種簡便算法，通常用于圓周運動當中，可以找到軌跡新的最高點以及最低點，通過新的重力加速度重新計算臨界速度。當物體運動為拋體運動時，通常使用水平豎直獨立分析的方式比較簡單。用等效重力法反而使運動過程分析更加復雜。電場力只是一個恒定的外力，運動分析時考慮受到恒力就可以，這部分應用比較綜合。經典習題單選題1．如圖所示，在地面上方的水平勻強電場中，一個質量為m、電荷量為+q的小球，系在一根長為L的絕緣細線一端，可以在豎直平面內繞O點做圓周運動。AB為圓周的n水平直徑，CD為豎直直徑。已知重力加速度為g，電場強度E=mg/q，下列說法不正確的是（）

A．若小球在豎直平面內繞O點做圓周運動，則它運動的最小速度為B．若小球在豎直平面內繞O點做圓周運動，則小球運動到B點時的機械能最大C．若將小球在A點由靜止開始釋放，它將在ACBD圓弧上往復運動D．若將小球在A點以大小為的速度豎直向上拋出，它將能夠到達B點2．如圖，整個空間存在水平向左的勻強電場，豎直面內有一直角坐標系xOy，以y軸為對稱軸的光滑圓弧形絕緣軌道ABC放置在x軸下方，軌道與y軸交于B點，與x軸交于A（-0.4，0）、C（0.4，0）兩點。現有一個可視為質點的帶電絕緣小球沿PA所在直線向A點勻加速運動，從A點沿切線方向進入軌道，一段時間后從C點離開。若小球在軌道內運動過程中恰好不脫離軌道，已知小球質量m=0.3kg，電荷量q=0.4C，P點的坐標為（0，0.3），重力加速度為g=10m/s2，不考慮空氣阻力的影響。求：（1）勻強電場電場強度的大小；（2）小球對軌道壓力的最大值；（3）小球經過P點時的速度大小；（4）當小球從C點飛出時，小球落在x軸上的位置坐標。3．如圖所示，在一光滑絕緣平臺上放置一可視為質點的帶正電小球，電量為q，質量為，平臺右側空間存在沿水平方向的勻強電場，場強大小，方向可以調控，電場中某位置有一光滑絕緣圓弧軌道，軌道半徑，通過調節電場方向和軌道位置，可以使帶電小球從B點沿圓弧切線無能量損失地進入軌道，并且在到達最高點C前不脫離軌道。某時刻用一質量為的絕緣小球以速度向右與帶電小球發生彈性正碰。小球剛到平臺邊緣A點時電場方向水平向左，經過時間t（未知），電場方向變為水平向右，小球剛好能沿直線運動，經過一段距離運動到B后進入圓弧軌道。重力加速度，小球帶電量不變，不考慮電場邊界效應，電場變化帶來的電磁效應，結果中可保留根式和分數。求：（1）帶電小球剛進入電場時的速度大小；（2）從小球進入電場開始計時，電場方向水平向左持續的時間t；（3）若小球剛好能夠沿圓弧軌道到達C，求小球在軌道上的最大動能是多少？這種情況下，帶電小球在進入圓弧軌道前沿直線運動的距離s為多大？4．如圖所示，豎直固定的光滑絕緣圓軌道處于水平向右的勻強電場中，軌道半徑為R。一質量為m、電荷量為（）的帶電小球（可視為質點）在軌道內側的P點處于靜止，過P點的軌道半徑與豎直方向的夾角，，，重力加速度為g。某時刻，沿軌道切線方向給小球一大小為v的速度，使小球能沿軌道做完整的圓周運動。（1）求電場強度的大小；（2）求小球做圓周運動通過P點時對軌道的壓力大小；（3）設P點的電勢為零，求小球在運動過程中的最大電勢能。

5．如圖所示，一質量為m1＝1kg，帶電荷量為q＝＋0.5C的小球以速度v0＝3m/s，沿兩正對帶電平行金屬板(板間電場可看成勻強電場)左側某位置水平向右飛入，極板長L=6m，兩極板間距d=0.5m，不計空氣阻力，小球飛離極板后恰好由A點沿切線落入豎直光滑圓弧軌道ABC，圓弧軌道ABC的形狀為半徑為R的圓截去了左上角127°的圓弧，CB為其豎直直徑，在過A點豎直線OO′的右邊界空間存在豎直向下的勻強電場，電場強度為E＝5V/m.(取g＝10m/s2)求：(1)兩極板間的電勢差大小U；(2)欲使小球在圓弧軌道運動時不脫離圓弧軌道，求半徑R的取值應滿足的條件．6．如圖所示，一半徑的絕緣光滑圓軌道，豎直固定在方向水平向右的勻強電場中。在軌道的最低點，由靜止釋放一質量的帶電小球，小球沿軌道運動所到達的最高點為。已知運動軌跡所對圓心角，電場強度，重力加速度取。試求：(1)小球的帶電量；(2)小球由運動到的過程中的最大速度；(3)若欲使小球能沿軌道做完整的圓周運動，則由點沿水平向右的方向至少需給小球多大的初速度。單選題7．如圖，空間有一范圍足夠大、水平向右的勻強電場，在電場中用絕緣細線懸掛一質量為m、電荷量為+q的小球，靜止時細線與豎直方向的夾角為37°。若小球獲得垂直于細線、方向斜向右上的速度v0，小球恰好可在豎直平面內做圓周運動。A點為圓軌跡上的最高點，已知細線長為l取v，，則（）A．電場強度大小為B．球運動到A點時速度最小C．球運動過程中的最小速度為D．球運動的初速度8．如圖所示，長l＝1m的輕質細繩上端固定，下端連接一個可視為質點的帶電小球，小球靜止在水平向右的勻強電場中，繩與豎直方向的夾角θ＝37°。已知小球所帶電荷量q＝1.0×10﹣6C，勻強電場的場強E＝3.0×103N/C，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：（1）小球所受電場力F的大小；（2）小球的質量m；（3）若將電場瞬間反向，場強大小不變，求小球到最低點時速度v的大小（結果可以帶根號）；（4）若將圖示電場瞬間撤掉。小球從靜止開始運動，經過時間t=0.2s運動到最低點。求此過程中繩子拉力的沖量大小（可以帶根號）

9．絕緣的水平面上有一質量為0.1kg的帶電物體，物體與水平面間，恰能在水平向左的勻強電場中向右勻速運動，電場強度，g取10m/s2.求（1）物體帶電量大小；（2）若只將物體帶電量改變為原來的2倍，使物體以初速度向右加速，經過的物體的速度；（3）若只將物體帶電量改變為原來的2倍，使物體以初速度向右加速，經過位移的速度。

10．如圖所示，光滑絕緣直桿水平放置并固定不動，其中、、的長度均為，桿上套有一質量為、電荷量為的小球（可視為質點），小球通過絕緣輕質彈簧與固定點連接，直桿處固定電荷量為的點電荷，小球從點由靜止開始釋放，運動到點時速度恰好達到最大值。垂直于直桿，且的長度為彈簧原長，靜電力常量為。（1）求、兩點間的電勢差。（2）求小球剛釋放時的加速度大小。（3）求小球運動到點時，點的電場強度大小。多選題11．如圖所示，A、B為水平放置的平行金屬板，兩板相距為，帶有等量異種電荷且電荷量始終保持不變，兩板中央各有一小孔M和N。今有一帶正電的油滴，自A板上方相距為的P點自由下落（P、M、N在同一豎直線上），空氣阻力忽略不計，到達N孔時速度恰好為0。下列說法中正確的是（

）A．A板帶負電B．油滴克服電場力做功等于從P點到N點過程油滴電勢能的減少量C．油滴克服電場力做功等于從P點到N點過程油滴重力勢能的減少量D．若將A板下移少許，其余條件不變，油滴自P點自由下落后將從N孔穿出單選題12．如圖所示，在豎直平面xOy內存在一未知勻強電場。一質量為m的帶電小球從y軸上P點以與y軸正方向成60°的速度v進入第一象限；經過x軸上Q點（圖中未畫出）時的速度大小也為v，方向豎直向下。重力加速度大小為g，忽略空氣阻力。小球從P點運動到Q點的過程中（）A．機械能先減小后增加B．速度不小于C．所受電場力不小于D．豎直位移與水平位移大小的比值為13．如圖所示，粗糙、絕緣的直軌道OB固定在水平桌面上，B端與桌面邊緣對齊，A是軌道上一點，過A點并垂直于軌道的豎直面右側有大小E＝1.5×106N/C，方向水平向右的勻強電場．帶負電的小物體P電荷量是2.0×10－6C，質量m＝0.25kg，與軌道間動摩擦因數μ＝0.4，P從O點由靜止開始向右運動，經過0.55s到達A點，到達B點時速度是5m/s，到達空間D點時速度與豎直方向的夾角為α，且tanα＝1.2。P在整個運動過程中始終受到水平向右的某外力F作用，F大小與P的速率v的關系如表所示．P視為質點，電荷量保持不變，忽略空氣阻力，取g＝10m/s2，求：（1）小物體P從開始運動至速率為2m/s所用的時間；（2）小物體P從A運動至D的過程，電場力做的功。14．如圖所示為一個模擬貨物傳送的裝置，A是一個表面絕緣、質量、電量的傳送小車，小車置于光滑的水平地面上。在傳送途中，有一個水平電場，電場強度為，可以通過開關控制其有無。現將質量，的貨物B放置在小車左端，讓它們以的共同速度向右滑行，在貨物和小車快到終點時，閉合開關產生一個水平向左的勻強電場，經過一段時間后關閉電場，當貨物到達目的地時，小車和貨物的速度恰好都為零。已知貨物與小車之間的動摩擦因數，貨物不帶電且體積大小不計，g取，求為了使貨物不滑離小車的另一端，小車至少多長？

15．空間中有場強大小為E的勻強電場，方向水平向右，如圖所示。一質量為m、可視為質點的帶電小球，從O點豎直向上拋出，此時動能為Ek0，經過一段時間小球再次與O點高度相同時動能5Ek0，不計空氣阻力，已知重力加速度大小為g。求：（1）小球到達最高點時，所上升的高度；（2）小球的電荷量；（3）此過程中小球動能的最小值。16．如圖所示的平面直角坐標系xOy，在第二象限內有一正對平行板電容器ABCD，B點坐標為（0，12L）、D點坐標為（-9L，0）、極板長為20L。一質量為m電荷量為q的帶正電小球從C點由靜止釋放，恰能沿水平方向運動到B點離開電容器。不計空氣阻力，重力加速度取g，試計算：（1）電容器兩端電勢差的絕對值為多少；（2）小球離開電容器后運動到x軸時的水平位移為多少；（3）若在一、四象限內添加一勻強電場使得小球再次經過y軸時的速度方向與y軸負方向的夾角為45°，則可添加的勻強電場場強的最小值為多少。

答案第九節1．C【詳解】A．由于電場強度，故物體的加速度大小為故若小球在豎直平面內繞O點做圓周運動，則它運動的最小速度為，則有，解得A正確；B．除重力和彈力外其它力做功等于機械能的增加值，若小球在豎直平面內繞O點做圓周運動，則小球運行到B點時，電場力做功最多，故到B點時的機械能最大，B正確；C．小球受合力方向與電場方向夾角斜向下，故若將小球在A點由靜止開始釋放，它將沿合力方向做勻加速直線運動，C錯誤；Ｄ．將小球在A點以大小為的速度豎直向上拋出，小球在豎直方向做豎直上拋，水平方向做勻加速，當豎直上拋合位移為0時，小球剛好運動到B點，D正確。本題要求選擇不正確的，故選C。2．（1）10N/C；（2）30N；（3）；（4）-1.904m【詳解】（1）小球釋放后在重力和電場力的作用下做勻加速直線運動，小球從A點沿切線方向進入，則此時速度方向與水平方向的夾角為解得則加速度方向與水平方向的夾角為37°，則解得（2）根據幾何關系可知解得圓軌道的半徑小球在軌道內運動過程中恰好不脫離軌道，則在等效最高點M，恰好由重力和電場力的合力提供向心力，如圖

有解得在等效最低點N，小球對軌道壓力的最大，此時對小球有又從N到M點的過程中，根據動能定理得聯立解得根據牛頓第三定律可知小球對軌道壓力的最大值（3）從P到M點的過程中，根據動能定理得解得（4）從M到C的過程中，根據動能定理得解得小球從C點拋出后在y軸方向做豎直上拋運動，再次回到x軸上的時間為t，則有在x軸方向做勻加速直線運動，有解得沿x軸方向運動的位移則小球從C點飛出后落在x軸上的位置坐標為3．（1）2m/s；（2）0.1s；（3），【詳解】（1）兩球發生彈性正碰，根據動量守恒和機械能守恒可得解得帶電小球剛進入電場時的速度大小為（2）帶電小球剛進入電場時，受到的合力大小為方向與豎直方向成偏左下；當電場反向時，合力大小為方向與豎直方向成偏右下；由于電場方向變為水平向右，小球剛好能沿直線運動，則電場反向前的過程，小球速度方向偏轉，則有電場方向水平向左持續的時間為解得（3）若小球剛好能夠沿圓弧軌道到達C，則有解得根據電場力和重力的合力方向，可知小球在圓弧軌道的最低點和圓心連線與豎直方向的夾角為，根據動能定理可得解得小球在軌道上的最大動能為電場方向改變時時小球的速度大小為根據動能定理可得解得4．（1）；（2）；（3）【詳解】（1）在P點對小球進行受力分析如圖所示

則有解得（2）根據題意可知，在P點有根據牛頓第三定律有解得小球做圓周運動通過P點時對軌道的壓力大小（3）根據電場力做功與電勢能的關系，若電勢能最大，則小球克服電場力做功最多，由于電場方向水平向右，小球帶正電，可知小球在運動過程中的最大電勢能位置位于圓周水平直徑的左端點，根據解得5．(1)8V；(2)或【詳解】(1)在A點，速度分解如圖所示則豎直分速度vy=v0tan53°=4m/s帶電粒子在平行板中運動時間t==2svy=at得a=2m/s2又mg-E′q=maE′=得U=8V(2)在A點速度①若小球不超過圓心等高處，則有≤(mg＋qE)Rcos53°

得②若小球能到達最高點C，則有=(mg＋qE)R·(1＋cos53°)＋在C點mg＋Eq≤聯立解得故圓弧軌道半徑R的取值條件為或6．(1)；(2)；(3)。【詳解】(1)小球由至，由動能定理得解得所以(2)設小球由運動至的過程中某一時刻，小球與圓心連線與豎直方向成角，由動能定理可得小球沿圓軌道運動，受到三個力的作用，分別為重力、電場力及軌道對小球的彈力，其中，均為恒力，將其合成等效為恒力，則方向與豎直方向成角，斜向右下方，所以當時，小球速度最大(3)小球沿圓軌道運動，不脫離軌道的臨界狀態是，恰好通過“最高點”，如圖所示此時軌道對小球的彈力為零，所以即此時對應的在點的初速度最小，由動能定理得聯立解得因此，欲使小球能沿軌道做圓周運動，則在點需給小球沿水平向右的初速度至少7．D【詳解】A．靜止時受力分析則有聯立解得故A錯誤；B．根據等效重力的方法，小球運動到等效最高點的速度最小，即在圖示位置細線的反向延長線與圓交點的位置，故B錯誤；C．因為恰好能做圓周運動，所以故C錯誤；D．由能量守恒定律則有聯立解得，故D正確。故選D。8．（1）；（2）；（3）；（4）【詳解】（1）根據電場強度定義式可知，小球所受電場力大小為（2）小球受重力mg、繩的拉力T和電場力F的作用處于平衡狀態，根據幾何關系有代入數據得（3）電場方向，重力與電場力對小球做功，根據動能定理有解得（4）電場撤去后小球運動過程中機械能守恒，則有解得根據動量定理，合外力的沖量等于動量變化重力沖量畫出沖量矢量合成圖，合力沖量水平，重力沖量為豎直向下，則拉力沖量為9．（1）；（2）；（3）【詳解】（1）根據水平方向合力為0，則解得（2）水平方向由動量定理解得（3）對物體運用動能定理解得10．（1）；（2）；（3）【詳解】（1）小球從點運動到點的過程中彈簧彈力做功為零，由動能定理有解得（2）小球在點時，設彈簧與水平方向的夾角為，則在點時有解得（3）設處點電荷在點產生的電場強度大小為，方向向右；帶電小球運動到點時在點產生的電場強度大小為，方向向左，則解得點的電場強度大小11．ACD【詳解】A．從P點到N點，由動能定理解得可知為負，則點的電勢低于點的電勢，可知B板帶正電，A板帶負電，故A正確；B．油滴從P點到N點過程電場力做負功，則油滴克服電場力做功等于從P點到N點過程油滴電勢能的增加量，故B錯誤；C．由A選項可得可得油滴克服電場力做功等于從P點到N點過程油滴重力勢能的減少量，故C正確；D．極板間電荷量不變，根據可知若將A板下移少許，則電容變大，根據可知極板間的電壓變小，則此時可知油滴自P點自由下落后將從N孔穿出，故D正確。故選ACD。12．C【詳解】B．小球做類斜上拋運動，經過x軸上Q點時速度大小為v，速度方向豎直向下，則速度方向偏轉了120°，速度方向偏轉60°時，小球的速度最小，此時小球的速度與PQ平行，所以PQ與豎直方向成60°角，初速度與PQ成60°角；當速度方向與PQ平行時，小球的速度最小，最小值為所以，小球的速度可以小于，B錯誤；A．PQ與豎直方向成60°角，電場力與重力的合力的方向與PQ垂直向左下方，與豎直方向成30°角；電場力的方向不確定，若電場力的方向沿著QP方向，小球從P到Q的過程中，電場力始終做負功，小球的機械能一直減小，A錯誤；C．電場力與重力的合力的方向與PQ垂直向左下方，與豎直方向成30°角，當小球所受的電場力沿著QP方向時，電場力最小，最小值為所以，小球所受電場力不小于，C正確；D．PQ與豎直方向成60°角，與水平成30°角，豎直位移與水平位移大小的比值為D錯誤。故選C。13．（1）小物體P從開始運動至速率為2m/s所用的時間為0.5s；（2）小物體P從A運動至D的過程，電場力做的功為﹣9.25J【詳解】（1）小物體P的速率從0只2m/s，受外力F1=2N，設其做勻變速直線運動的加速度為a1，經過時間△t1，則F1﹣μmg=ma1①v1=a1△t②由式代入數據得△t1=0.5s③（2）小物體P從2m/s運動至A點，受外力F2=6N，設其做勻變速直線運動的加速度為a2，則F2﹣μmg=ma2④設小物體P從速度v1經過△t2時間，在A點的速度為v2，則△t2=0.55s﹣△t1⑤v2=v1+a2△t2⑥P從A點至B點，受外力