《理論力學》教案

山東大學土建與水利學院

工程力學系

第1篇靜力學

第1章靜力學基本知識與物體的受力分析

一、目的要求

1.深入地理解力、剛體、平衡和約束等基本概念。

2.深入地理解靜力學公理（或力的基本性質）。

3.明確和掌握約束的基本特征及約束反力的畫法。

4.熟練而正確地對單個物體與物體系統進行受力分析，畫出受力圖。

二、基本內容

1.重要概念

1）平衡：物體機械運動的一種特殊狀態。在靜力學中，若物體相對于地面

保持靜止或作勻速直線平動，則稱物體處于平衡。

2）剛體：在力作用下不變形的物體。剛體是靜力學中的理想化力學模型。

3）約束：對非自由體的運動所加的限制條件。在剛體靜力學中指限制研究

對象運動的物體。約束對非自由體施加的力稱為約束反力。約束反力的方向總是

與約束所能阻礙的物體的運動或運動趨勢的方向相反。

4）力：物體之間的相互機械作用。其作用效果可使物體的運動狀態發生改

變和使物體產生變形。前者稱為力的運動效應或外效應，后者稱為力的變形效應

或內效應，理論力學只研究力的外效應。力對物體作用的效應取決于力的大小、

方向、作用點這三個要素，且滿足平行四邊形法則，故力是定位矢量。

5）力的分類：集中力、分布力；主動力、約束反力

6）力系：同時作用于物體上的一群力稱為力系。按其作用線所在的位置，

力系可以分為平面力系和空間力系，按其作用線的相互關系，力系分為共線力系、

平行力系、匯交力系和任意力系等等。

7）等效力系：分別作用于同一剛體上的兩組力系，如果它們對該剛體的作

用效果完全相同，則此兩組力系互為等效力系。

8）平衡力系：若物體在某力系作用下保持平衡，則稱此力系為平衡力系。

9）力的合成與分解：若力系與一個力取等效，則力尸R稱為力系的合力，而

力系中的各力稱為合力取的分力。力系用其合力幾代替，稱為力的合成；反之,

一個力取用其分力代替，稱為力的分解。

2.靜力學公理及其推論

公理一力的平行四邊形法則

與一個力系相等效的力稱為該力系的合力。作用在剛體上同一點的兩個力的

合力仍作用在該點，合力的大小與方向由這兩個力為鄰邊構成的平行四邊形對角

線確定，即合力矢等于這兩個力矢的矢量和(圖5-5/)。以數學公式表示為

如果取該平行四邊形的一半作為二力合成法則，則稱為力的三角形法則(圖

5-5b,c)0

(a)(b)(c)

圖5-5

這一公理提供了一種最簡力系合成或分解的方法。指出了作用于剛體上最簡

單力系的平衡條件。對剛體而言，這個條件既必要又充分，但對非剛體而言，這

個條件并不充分。

公理二二力平衡公理

作用在剛體上的兩個力平衡的必要與充分條件是：二力沿著同一作用線、大

小相等、方向相反，如圖5-6a、b所示。此公理揭示了最簡單的力系平衡。

只受二力且平衡的剛體稱為二力構件或二力桿。

公理三加減平衡力系公理

在作用于剛體上的已知力系中，加上或減去任意的平衡力系，不改變原力系

對剛體的作用效應。

此公理是研究力系等效替換的重要依據和主要手段。

依據上述公理，可以導出下述推理。

推理一力的可傳性原理

作用與剛休上某點的力，可以沿其作用線移動到剛體內任意點，而不改變該

力對剛體的作用。

推論表明，對剛體而言，力的作用點已不是決定力的作用效應的一個要素，

它應由力的作用線所取代。由此可見，對剛體而言，力的三要素已變為：力的大

(a)(b)(c)

圖5-7

小、方向和作用線。作用于剛體上的力矢可以沿著作用線移動，這種矢量稱為滑

動矢量。

推理二三力平衡匯交定理

如果剛體在三個力作用下平衡，其中兩個力的作用線匯交于一點，則第三個

力的作用線必通過此匯交點，且三個力共面。

給出了三個不平行的共面力構成平衡力系的必要條件。當剛體受不平行的三

力作用處于平衡時，常利用這個關系確定未知力的作用線方位

公理四作用與反作用公理(定律)

作用力與反作用力總是同時出現、同時消失，兩力等值、反向、共線，分別

作用在兩個相互作用的物體上。

此公理概括了任何兩個物體間相互作用力之間的關系。

公理五剛化公理

變形體在某一力系作用下處于平衡，如將此變形體看作(硬化)為剛體，其

平衡狀態不變。此公理說明了變形體平衡時，作用于其上的力系必須滿足變形體

剛化后剛體的平衡條件。從而建立了剛體的平衡條件和變形體平衡條件之間的聯

系，即剛體的平衡條件是變形體平衡的必要條件。這樣，人們就能把剛體的平衡

條件應用到變形體的平衡問題，擴大了剛體靜力學的應用范圍。

3.工程中常見的約束類型及其反力的畫法。

1）光滑接觸面：其約束反力沿接觸點的公法線，指向被約束物體。

圖5-17

2）光滑圓柱較鏈和徑向軸承：其約束反力位于垂直于銷釘軸線的平面內，

經過軸心，通常用過軸心的兩個大小未知的正交分力表示。

3）固定較支座：其約束反力與光滑圓柱較鏈相同。

4）活動較支座：與光滑接觸面類似。其約束反力垂直于光滑支承面。

5）光滑球錢鏈：其約束反力過球心，通常用空間的三個正交分力表示。

6）止推軸承：其約束反力常用空間的三個正交分力表示。

7）二力體：所受兩個約束反力必沿兩力作用點連線且等值、反向。

8）柔軟不可伸長的繩索：其約束反力為沿柔索方向的一個拉力，該力背離

(a)b)

圖5-16

被約束物體。

9）固定端約束：其約束反力在平面情況下，通常用兩正交分力和一個力偶

表示；在空間情況下，通常用空間的三個正交分力和空間的三個正交分力偶表示。

4.受力分析及畫受力圖

正確地進行物體的受力分析并畫其受力圖，是分析、解決力學問題的基礎。

畫受力圖時必須注意以下幾點：

①明確研究對象。根據求解需要，可以取單個物體為訐究對象，也可以取

4

(b)

圖5-22

由幾個物體組成的系統為研究對象。不同的研究對象的受力圖是不同的。

圖5-20

②正確確定研究對象受力的數目。由于力是物體間相互的機械作用，因此,

對每一個力都應明確它是哪一個施力物體施加給研究對象的，決不能憑空產生。

同時，也不可漏掉某個力。一般可先畫主動力，再畫約束反力。凡是研究對象與

外界接觸的地方，都一定存在約束反力。

③正確畫出約束反力。一個物體往往同時受到幾個約束的作用，這時應分

別根據每個約束本身的特性來確定其約束反力的方向，而不能憑主觀臆測。

④當分析兩物體間相互作用時，應遵循作用、反作用關系。若作用力的方

向一經假定，則反作用力的方向應與之相反。當畫整個系統的受力圖時，由于內

力成對出現，組成平衡力系。因此不必畫出，只需畫出全部外力。

三、重點和難點

重點：1.力、剛體、平衡和約束等概念。

2.靜力學公理及其推論。

3.柔性約束、光滑支承面約束、光滑較鏈約束的特征及其反力的畫法。

4.單個物體及物體系統的受力分析。

難點：光滑較鏈的約束特征(尤其是銷釘連接二個以上的構件即復合校)，

物體系統的受力分析，平面匯交力系(多個力)合成與平衡的幾何法。

四、教學建議

1.教學提示

①本章講述概念較多，要講清這些概念的定義，并理解其意義。例如：

屬于力的：力系、等效力系、合力、分力、平衡力系、主動力、約束反力、

作用力、反作用力、內力、外力等。

屬于物體的：變形體、彈性體、剛體、自由體、非自由體等。

屬于數學的：代數量、矢量(向量)、單位矢量、定位矢量、滑動矢量等。

②靜力學公理是最普遍、最基本的客觀規律，是靜力學基礎，要講透。并

使學生深入理解和熟記這5個公理與2個推論。

③多舉例題講清楚約束反力的確定方法和受力圖的正確畫法。

④鼓勵使用多媒體教學，學生可以在理論力學精品課程網上觀看電教片及

相關課件。如《力學在機械工程中的應用》《力學在土木工程中的應用》《約束及

物體的受力分析》等。

2.建議學時

課內(5學時)課外(7.5學時)

3.作業布置

習題：1/(b)(f)(g)1-2(a)(c)(e)l-3(a)(e)(D

1-4(a)(b)(c)(d)(e)(f)1-5(a)(b)(d)

第2章平面匯交力系與平面力偶系

一、目的要求

1.平面匯交力系（多個力）合成與平衡的幾何法，并能應用平衡的幾何條

件求解平面匯交力系的平衡問題。

2.能正確地將力沿坐標軸分解和求力在坐標軸上的投影,對合力投影定理有

清晰的理解，掌握匯交力系合成的解析法和平衡方程，并能熟練的應用平衡方程

求解匯交力系的平衡問題。

3.理解力對點之矩的概念，并能熟練地計算。

4.深入理解力偶和力偶矩的概念，明確平面力偶的性質和平面力偶的等效

條件。

二、基本內容

1.平面匯交力系合成的幾何法?力多邊形法則

平面匯交力系可合成為通過匯交點的合力，其大小和方向等于各分力的矢量

和。即

產小居+B+…+尸"=為耳或FR=￡F

J=1

合力耳的大小和方向可用力三角形法則或力多邊形法則得到。作出圖示首

尾相接的開口的力多邊形，封閉邊矢量即所求的合力。

2.平面匯交力系平衡的幾何條件

平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：力系的合力等于零。其矢量表達式

為

FR=￡F=O(2-2)

力系平衡的幾何條件是：力系的力多邊形自行封閉。如圖2-4所示。

3.力在正交坐標軸系的投影與力的解析表達式

力W在軸上的投影分別為

F=Feosa

x>

FY=Feos/?=Fsinct

力的投影是代數量。

4.平面匯交力系合成的解析法

合力投影定理：合力在某軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數和。

平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在兩個坐標軸上的投影的代數

和分別為零。即

兩個獨立的平衡方程，可解兩個未知量。

5.平面內的力對點O之矩是代數量，記為(尸)

M/F)=±F/?=±2MBO

其中尸為力的大小，h為力臂，AABO為力矢A3與矩心。組成三角形的面積。

一般以逆時針轉向為正，反之為負。

力矩的解析表達式為：(弓=xFy-yFx

合力矩定理：%(凡)=W>°(E)

6.力偶和力偶矩：

.大小相等，方向相反，作用線平行的兩個力稱為力偶。

?力偶對物體的轉動效應用力偶矩度量

M=±Fd

力偶矩是代數量。取逆時針轉向為正，反之為負。

力偶的性質

(1)力偶在任一軸上的投影等于零，力偶與一個力不等效，它既不能合成一

個力，也不能與一個力平衡，

(2)力偶對任一點的矩等于力偶矩，力偶矩與矩心的位置無關。

(3)力偶的等效條件：若兩個力偶的力偶矩矢相等，則它們彼此等效。

兩個推論：

(a)力偶可在其作用面內任意移轉，而不改變它對物體的作用。

(b)只要力偶矩不變，可任意改變力的大小和力偶臂的長短，而不改變力偶

對物體的作用。

7.平面力偶系的合成與平衡條件

(1)平面力偶系的合成

平面力偶系合成為一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代數和，即

平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數和等于零，

即

xA/=0

一個獨立的平衡方程，可解一個未知量。

三、重點和難點

重點：1.力在坐標軸上的投影、合力投影定理、平面匯交力系的平衡條件及

求解平衡問題的解析法。

2.力對點之矩的計算、力偶矩的概念、平面力偶性質和力偶等效條

件。

難點：力偶系的合成與平衡問題

四、學習建議

①力在坐標軸上的投影與力沿坐標軸分解是兩個不同概念，對比其聯系與區

別。

②力偶是力學的基本元素之一，將力和力偶從要素、定量描述、在軸上的投

影、對點的矩、等效條件、性質等方面進行比較，清楚力偶矩與力矩的異同點。

③對力偶系的簡化方法及簡化結果應了解透徹。對力偶系的平衡問題通過典型例

題進行練習。

第1節匯交力系

一、目的要求

1.理解匯交力系合成的幾何法，力多邊形法則和三角形法則。

2.能正確地將力沿坐標軸分解和求力在坐標軸上的投影。

3.掌握匯交力系合成的解析法，對合力投影定理有清晰的理解，并能熟練

地計算。

4.深入理解平面匯交力系的平衡條件及平衡方程的應用。

二、基本內容

1.基本概念

1）力多邊形法則

2）力在軸上的投影為

N=Fcosa

式中a為力戶與〃軸間的夾角，投影值為代數量。

3）力在空間直角坐標軸的投影

（a）直接投影法：己知力尸和直角坐標軸夾角a、小y,則力尸在三個軸上的投

影分別為

X=Fcosa

Y=Fcosj3

Z=Fcosy

（b）間接投影法（即二次投影法）：已知力尸和夾角丫、⑺則力尸在三個軸上的

投影分別為

X=Fsin/cos^?

Y=Fsinysin^J

Z=Feos/

力沿坐標軸分解滿足力的平行四邊形法則.

在直角坐標系下有

X=Fx,Y=Fy,Z=Fz

4）力的解析表達式為

F=Xi+Yj+Zk

5）合力投影定理：合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代

數和。FRFZX

FR產ZY

FRZ=ZZ

2.匯交力系的平衡條件和平衡方程

匯交力系平衡的充分必要條件是該力系的合力為零。其解析表達式稱為平衡

方程。

zx=o

Z片0

於0

3.匯交力系平衡方程的應用

應用平衡方程式求解平衡問題的方法稱為解析法。它是求解平衡問題的主要

方法。這種解題方法包含以下步驟：

①根據求解的問題，恰當的選取研究對象：所謂研究對象，是指為了解決問

題而選擇的分析主體。選取研究對象的原則是，要使所取物體上既包含已知條件,

又包含待求的未知量。

②對選取的研究對象進行受力分析，正確地畫出受力圖：在正確畫出研究對

象受力圖的基礎上，應注意適當地運用簡單力系的平衡條件如二力平衡、三力平

衡匯交定理等確定未知反力的方位，以簡化求解過程。

③建立平衡方程式，求解未知量。

為順利地建立平衡方程式求解未知量，應注意如下幾點：

（a）根據所研究的力系選擇平衡方程式的類別（如匯交力系、平行力系、任意

力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。

（b）建立投影方程時，投影軸的選取原則上是任意的，并非一定取水平或鉛

垂方向，應根據具體問題從解題方便入手去考慮。

c）建立力矩方程時，矩心的選取也應從解題方便的角度加以考慮。

d）求解未知量。由于所列平衡方程一般是一組線性方程組，這說明一個靜力

學題經過上述力學分析后將歸結于一個線性方程組的求解問題。從理論上講，只

要所建立的平衡方程組具有完整的定解條件（獨立方程個數和未知量個數相等）,

則求解并不困難，若要解的方程組相互聯立，則計算（指手算）耗時費力。為免

去這種麻煩，就要求在列平衡方程式時要運用一些技巧，盡可能做到每個方程只

含有一個（或較少）的未知量，以便手算求解。

三、重點和難點

重點：力在坐標軸上的投影、合力投影定理、匯交力系的平衡條件及求解平

衡問題的解析法。

難點：物體系平衡問題中正確選取研究對象。

四、教學建議

1.教學提示

①講清用三力平衡匯交定理確定未知約束反力方向應注意的問題。

②講清力在坐標軸上的投影與力沿坐標軸分解是兩個不同概念，對比其聯系

與區別。

③對物體系統平衡問題中如何選取恰當的研究對象，應通過典型例題著重講

解，并引導學生進行歸納總結

2.觀看精品課程網上名師教學錄象及教學模型。

3.建議學時

課內（3學時）課外（4.5學時）

4.作業布置

習題2-12、2-14、2-17、2-19、2-20。

第2節力偶理論

一、目的要求

1.、熟練掌握力對點之矩與力對軸之矩的計算。

2.深入理解力偶和力偶矩的概念，明確力偶的性質和力偶的等效條件。

3.熟練掌握力偶系的合成與平衡的求解。

4.理解力的平移定理及其意義。

二、基本內容

1.基本概念

1)平面內的力對點0之矩是代數量，記為

Mo(F)=±Fh=±2SAB0

其中尸為力的大小，h為力臂，AABO為力矢A8與矩心O組成三角形的面積。

一般以逆時針轉向為正，反之為負。

2)空間中力對點之矩

在空間情況下力對點之矩為一個定位矢量，其定義為

iJk

M0(F)=rxF=xyz=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k

XYZ

r=xi+yf+zkF=Xi+Yj+Zk

其中r為力尸作用點相對于矩心。的位置矢徑

3)力對軸之矩

在空間情況下力對軸之矩為一代數量，其大小等于此力在垂直于該軸的平面

上的投影對該軸與此平面的交點之矩，其正負號按右手螺旋法則來確定，即

Mz(F)=±Fxyh=±2AOAB

在直角坐標條下有

Mx(F)=yZ-zYMy(用=zX-xZMAF)-xY-yX

4)力矩關系定理

力對已知點之矩在通過該點的任意軸上的投影等于同一力對該軸之矩。

在直角坐標系下有

5)力偶和力偶矩：

(a)力偶是由等值、反向、不共線的兩個平行力組成的特殊力系。力偶沒有

合力，也不能用一個力來平衡。

(b)力偶矩

平面力偶對物體的作用效應決定于力偶矩M的大小和轉向，即

M=±Fd

式中正負號表示力偶的轉向，一般以逆時針轉向為正，反之為負。

空間力偶對剛體的作用效果決定于三個要素(力偶矩大小、力偶作用面方

位及力偶的轉向)，它可用力偶矩矢M表示。力偶矩矢M是個自由矢量，其大小

等于力與力偶臂的乘積，方向與力偶作用面垂直，指向與力偶轉向的關系服從右

手螺旋法則。

6)力偶的性質

(a)力偶在任一軸上的投影等于零，它對任一點的矩等于力偶矩，力偶矩與

矩心的位置無關。

(b)力偶的等效條件：若兩個力偶的力偶矩矢相等，則它們彼此等效。

力偶矩(矢)是力偶作用效果的唯一度量。

2.力偶系的合成與平衡

(a)力偶系的合成

(b)力偶系的平衡

ZMx<F)=O

ZMy(F)=O

(r)=0

3.力偶系的平衡應用

三、重點和難點

重點：力對點之矩和對軸之矩的計算、力偶矩的概念、力偶性質和力偶等效

條件；力的平移定理。

難點：1、空間力偶的矢量表示。

2、力偶系的合成與平衡問題

四、教學建議

1.教學提示

①強調力偶是力學的基本元素之一，并將力和力偶從要素、定量描述、在軸

上的投影、對點的矩、等效條件、性質等方面進行比較，加深理解，講清力偶矩

與力矩的異同點。

②對力偶系的簡化方法及簡化結果應闡述透徹。

③對力偶系的平衡問題應通過典型例題著重講解，并引導學生進行歸納總

結。

2.觀看精品課程網上名師教學錄象及教學模型。

3.建議學時

課內（4學時）課外（6學時）

4.作業布置

習題3?3、3-7、2?10、3-12>3?14。

第3章空間力系

一、目的和要求

1、能熟練地計算力在空間直角坐標軸上的投影。

2、熟練掌握力對點之矩與力對軸之矩的計算。

3、對空間力偶的性質及其作用效應有清晰的理解。

4、了解空間力系向一點簡化的方法，明確空間力系合成的四種結果。

5、能正確地畫出各種常見空間的約束反力。

6、會應用各種形式的空間力系平衡方程求解簡單空間平衡問題。

7、對平行力系中心和重心應有清晰的概念，能熟練地應用坐標公式求物體

的重心。

二、基本內容

1.基本概念

1)力在空間直角坐標軸的投影

(a)直接投影法：已知力尸和直角坐標軸夾角G依則力尸在三個軸上的投

影分別為

X=Fcosa

r=Fcos/7

Z=Feos/

(b)間接投影法(即二次投影法)：已知力尸和夾角丫、仍則力尸在三個軸上的

投影分別為

X=Fsin/cos^

Y=Fsinysine

Z=Feos/

2)力矩的計算

(a)力對點之矩

在空間情況下力對點之矩為一個定位矢量，其定義為

ijk

A/0(F)=rxF=xyz=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k

XYZ

r=xi+yf+zkF=Xi+Yj+Zk

其中，為力尸作用點的位置矢徑

(b)力對軸之矩

在空間情況下力對軸之矩為一代數量，其大小等于此力在垂直于該軸的平面

上的投影對該軸與此平面的交點之矩，其正負號按右手螺旋法則來確定，即

Mz(F)=±Fxvh=±2/^OAB

在直角坐標條下有

MCA二yZ-zYMy(/)-zX-xZMz㈤=xY-yX

(c)力矩關系定理

力對已知點之矩在通過該點的任意軸上的投影等于同一力對該軸之矩。

在直角坐標系下有

M,(F)=MJPV+MY(尸)/+%(尸)〃

(d)合力矩定理

空間力系的合力對任一點之矩等于力系中各力對同一點之矩的矢量和，即

空間力系的合力對任一軸(例如z軸)之矩等于力系中各力對同一軸之矩的

代數和，即

M:(FR)=lM：(F)=X(xY-yX)

3)空間力偶及其等效條件

(a)力偶矩矢

空間力偶對剛體的作用效果決定于三個要素(力偶矩大小、力偶作用面方位

及力偶的轉向)，它可用力偶矩矢M表示。力偶矩矢M是個自由矢量，其大小等

于力與力偶臂的乘積，方向與力偶作用而垂直，指向與力偶轉向的關系服從右手

螺旋法則。

(b)力偶的等效條件：若兩個力偶的力偶矩矢相等，則它們彼此等效。

2.空間力系的簡化與合成的最終結果

1)空間力系向已知點。簡化

空間力系向已知點O簡化的一般結果為一個作用在O點的力和一個力偶，該

力矢量等于此力系的主矢。該力偶的力偶矩矢量等于力系對簡化中心。的主矩。

主矢與簡化中心的選取無關。一般情況下，主矩與簡化中心的選取有關。

2)空間力系合成的最終結果

空間力系的最終合成結果有四種可能：一個合力、一個合力偶、一個力螺旋

和平衡，這四種結果可由力系的主矢和力系對任意一點的主矩來判斷。具體歸納

如下：

主矢主矩最后結果說明

平衡

Mo=0

合力偶此時主矩與簡化中心的位置無關

M>=0合力合力作用線通過簡化中心

合力作用線離簡化中心O的距離為

M#0FR^MO合力

FR

外俁0

力螺旋力系的中心軸通過簡化中心

FR7/M0

力系的中心軸離簡化中心O的距離為

M>WOFR與M.

力螺旋Msina

成a角cl_0

然’

3.空間力系的平衡條件和平衡方程

空間力系平衡的充分與必要條件為：該力系的主矢和對任意點的主矩同時為

零。其基本形式的平衡方程為：

ZX=OZMv(F)=O

zy=olMy{F}=O

ZZ=OZMz(F)=O

須指出，空間一般力系有六個獨立的平衡方程可以求解六個未知量。具體應

用時，不一定使3個投影軸或矩軸互相垂直，也沒有必要使矩軸和投影軸重合，

而可以選取適宜軸線為投影軸或矩軸，使每一個平衡方程中所含未知量最少，以

簡化計算。此外，還可以將投影方程用適當的力矩方程取代，得到四矩式、五矩

式以至六矩式的平衡方程。使計算更為簡便。

幾種特殊力系的平衡方程

(a)空間匯交力系

ZX=()

Z片0

Z/0

(b)空間力偶系

ZMv(F)=O

ZMy(戶)=0

ZMz(F)=0

(c)空間平行力系(若各力〃z軸)

ZZ=()

ZMx(F)=0

EMv(F)=0

4.空間力系平衡方程的應用

求解空間力系平衡問題的要點歸納如下：

(1)求解空間力系的平衡問題，其解題步驟與平面力系相同，即先確定研

究對象，再進行受力分析，畫出受力圖，最后列出平衡方程求解。但是，由于力

系中各力在空間任意分布，故某些約束的類型及其反力的畫法與平面力系有所不

同。

(2)為簡化計算，在選擇投影軸與力矩軸時，注意使軸與各力的有關角度

及尺寸為已知或較易求出，并盡可能使軸與大多數的未知力平行或相交，這樣在

計算力在坐標軸上的投影或力對軸之矩就較為方便，且使平衡方程中所含未知量

較少。同時注意，空間力偶對軸之矩等于力偶矩矢在該軸上的投影。

(3)根據題目特點，可選用不同形式的平衡方程。所選投影軸不必相互垂

直，也不必與矩軸重合。當用力矩方程取代投影方程時，必須附加相應條件以確

保方程的獨立性。但由于這些附加條件比較復雜，故具體應用時，只要所建立的

一組平衡方程，能解出全部未知量，則說明這組平衡方程是彼此獨立的，已滿足

了附加條件。

（4）求解空間力系平衡問題，有時采用將該力系向三個正交的坐標平面投

影的方法，把空間力系的平衡問題轉化為平面問題求解。這時必須注意正確確定

各力在投影面中投影的大小、方向及作用點的位置。

5,平行力系中心及物體的重心

1）平行力系中心

只要平行力系中各力的大小及作用點的位置確定，無論平衡力系中力的方向

如何，其合力作用線必定通過確定的一點，該點稱為平行力系中心。其坐標公式

為

EF內“二ZF,

EH

2）物體的重心

物體的重心是該重力的合力始終通過的一點。均質物體的重心與中心重合。

物體的重心在物體內占有確定的位置，與物體在空間的位置無關。物體重心的坐

標公式為

藥二￡P?”4

三、重點和難點

重點：1.力在空間直角坐標軸上的兩種投影法；

2.力對軸之矩和力對點之矩的計算及力矩關系定理；

3.空間匯交力系、空間任意力系、空間平行力系的平衡方程及其應

用；

4.各種常見的空間約束及約束反力畫法；

5.重心的坐標公式。

難點：1.力在坐標軸上的二次投影；

2.空間力偶矩矢在坐標軸上的投影；

3.空間結構的幾何關系與立體圖；

4.解空間力系平衡問題時力矩軸的選取；

5.求組合體的形心坐標。

四、學習建議

①計算空間力在坐標軸上的投影有兩種方法，講清各自的適用條件，區分力

的軸上，平面上的投影。

②明確空間力偶矩矢的性質，為什么規定它為自由矢量、如何表示其等效條

件，熟悉空間力偶系合成的解析法。

③力對點之矩是理解空間力系簡化與合成的關鍵，而力對軸之矩是正確列出

力矩式平衡方程的基礎，故要充分重視力對軸之矩的計算。計算的方法有4種:

（a）當力臂便于確定時，可直接由定義計算；（b）一般情況下，常將力沿坐標

軸分解，應用合力矩定理計算；（c）將力沿坐標軸分解之后代入力對軸之矩的分

析表達式計算；（d）利用力矩關系定理計算。在計算力對軸之矩時準確地分析一

個力對某軸之矩的正、負或為零也很重要（若一力與某軸共面，則此力對該軸之

矩為零）。

④通過與平面任意力系對照和比較的方法，來理解空間任意力系向一點簡化

的方法、主矢和主矩的概念，簡化結果、平衡條件及平衡方程，重點介紹力矩軸

與投影軸選取原則與方法，簡單系統的空間平衡問題。

⑤在計算重心坐標時要講清坐標選取原則，利用對稱均質物體的對稱性求重

心，對組合法求重心要求熟練應用，積分法、查表法、實驗法等只作一般介紹。

第4章平面任意力系與一般力系

第1節平面任意力系

一、目的要求

1.掌握平面任意力系向一點簡化的方法，會應用解析法求主矢和主矩，熟

知平面任意力系簡化的結果。

2.深入理解平面力系的平衡條件及平衡方程的三種形式。

3.能熟練地計算在平面任意力系作用下單個剛體和物體系統平衡問題。

4.正確理解靜定與靜不定的概念，會判斷物體系統是否靜定。

5.理解簡單桁架的簡化假設，掌握計算其桿件內力的節點法和截面法及其綜

合作用。

二、基本內容

1?力的平移定理：可以把作用在剛體上點A的力F平行移到任一點B,但必須

同時附加一個力偶，這個附加力偶矩等于原來的力F對新作年點B的矩。

2.平面力系的簡化

步驟如下：

①選取簡化中心。：題目指定點或自選點（一般選在多個力交點上）

②建立直角坐標系。孫

③主矢：平面力系各力的矢量和，即

入'=￡尸廣才修+￡修

i=\r=li=l

其中

22

貝大小:FR=7（sx）+（zr）

xy

尸…丫方向：tana=——

EX

其中a為尸R與x軸所夾銳角，所在象限由EX、2y符號確定，并畫在簡化中

心。上。

主矩：平面力系中各力對于任選簡化中心之矩的代數和，即

“〃=為—（耳）=?（噌-"）

i=lr=l

一個力系的主矢與簡化中心的選取無關；一般情況下，主矩與簡化中心的選

取有關.

④簡化結果討論

a.若氏平面力系與一力偶等效，此力偶為平面力系的合力

偶，其力偶矩用主矩M〃度量，這時主矩與簡化中心的選擇無關。

b若耳,0,M°=0：平面力系等效于作用線過簡化中心的一個合力尸R,

且有尸產尸泉

c.若凡,°，加。工0：平面力系簡化結果為一合力五垢其大小、方向與主

書

矢相同，作用線在距簡化中心o為W3處。

d.FR=。，M〃=0,則該力系為平衡力系。

3.平面力系的平衡條件和平衡方程

平面力系平衡的充分必要條件是該力系的主矢和對作用面內任意一點的主

矩同時為零。其解析表達式有三種形式，稱為平衡方程。

1）基本形式

ZX=0

<zr=o

EM。（尸）=0

2）二矩式

SX=0

SMA（F）=0

2MA尸）二°附加條件為：A、B兩點連線不垂直于x軸

3）三矩式

ZMA（F）=0

?閑（尸）=0

EM。（尸）=0附加條件為:A0C三點不共線

特殊力系的平衡方程

1）共線力系：*e二°

LX=O

2）平面匯交力系:sr=0

XV=0

（尸軸）

EM〃(F)=0

4）平面平行力系:

4.平面力系平衡方程的應用

應用平衡方程式求解平衡問題的方法稱為解析法。它是求解平衡問題的主要

方法。這種解題方法包含以下步驟：

①根據求解的問題，恰當的選取研究對象：所謂研究對象，是指為了解決問

題而選擇的分析主體。選取研究對象的原則是，要使所取物體上既包含已知條件,

又包含待求的未知量。

②對選取的研究對象進行受力分析，正確地畫出受力圖：在正確畫出研究對

象受力圖的基礎上，應注意適當地運用簡單力系的平衡條件如二力平衡、三力平

衡匯交定理、力偶等效定理等確定未知反力的方位，以簡化求解過程。

③建立平衡方程式，求解未知量：為順利地建立平衡方程式求解未知量，應

注意如下幾點:

（a）根據所研究的力系選擇平衡方程式的類別（如匯交力系、平行力系、任意

力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。

（b）建立投影方程時，投影軸的選取原則上是任意的，并非一定取水平或鉛

垂方向，應根據具體問題從解題方便入手去考慮。

c）建立力矩方程時，矩心的選取也應從解題方便的角度加以考慮。

d）求解未知量。由于所列平衡方程一般是一組線性方程組，這說明一個靜力

學題經過上述力學分析后將歸結于一個線性方程組的求解問題。從理論上講，只

要所建立的平衡方程組具有完整的定解條件（獨立方程個數和未知量個數相等）,

則求解并不困難，若要解的方程組相互聯立，則計算（指手算）耗時費力。為免

去這種麻煩，就要求在列平衡方程式時要運用一些技巧，盡可能做到每個方程只

含有一個（或較少）的未知量，以便手算求解。

5.平面簡單桁架內力的計算

1）桁架：是由若干直桿在端點用錢連接而成的幾何形狀不變的結構。若所

有桿件都在同一平面內稱其為平面桁架。

2）在工程中的桁架滿足四點假設。稱其為理想桁架，這樣桁架的各桿都可

以稱為兩端受力作用的二力桿件.

3）桁架的堅固性條件利靜定條件：2〃=加+3

4）求平面靜定桁架各桿內力的兩種方法。

①節點法：逐個考慮桁架中所有節點的平衡，應用平面匯交力系的平衡方程

求出各桿的內力。

②截面法：截斷待求內力的桿件，將桁架截斷為兩部分，取其中的一部分為

研究對象，應用平面任意力系的平衡方程求出被截斷各桿件的內力。

三、重點和難點

重點：1.平面任意力系向作用面內任一點的簡化及力系的簡化結果。

2.平面任意力系平衡的解析條件及平衡方程的各種形式。

3.物體及物體系平衡問題的解法。

難點：1、主矢與主矩的概念。

2、利用特殊力系的特點畫出某些約束反力，選擇恰當的平衡方程求

解未知量。

3、物體系平衡問題中正確選取研究對象及平衡方程。

4.會用節點法，截面法求解平面靜定桁架的內力

四、學習建議

①對平面力系的簡化方法及簡化結果應闡述透徹。特別指出：主矢和主矩是

在對一個力系進行簡化時，為了準確描述力系的特征而引入的重要概念。主矢不

是合力，合力有大小，方向與作用點三個要素，而主矢只具有大小和方向兩個特

征，力系的主矢與簡化中心無關。一般而言，主矩的大小、轉向與簡化中心的選

取有關，但是在主矢為零的情況下，主矩與簡化中心無關。注意對不同的簡化中

心的簡化結果表面上看互不相同，但它們互為等效力系。

②對物體系統平衡問題中如何選取恰當的研究對象和平衡方程，通過典型例

題著重了解，并進行歸納總結。特別指出如下要點：

其一，求解物系的平衡問題的關鍵在于選取研究對象，它需要一定的分析判

斷能力，也需要經驗的積累。在選取研究對象時，有兩種極端情況：（a）只選取

整體為研究對象，在此要注意受力圖中只畫外力，不畫內力，本質問題是由外力

構成的力系平衡問題，因此，無法求解系統內力，且當未知數多于三個時，也無

法求解全部未知量；（b）將系統中所有剛體相互隔離，取每個剛體單獨作為研究

對象，由于是靜定問題，則全部內外反力借助全部的平衡方程均可解出，雖思路

簡單，但由于求出多個不需求的未知力，使求解工作量增加，且過程繁瑣。因此,

一般而言，應根據題目的具體要求，靈活選取研究對象，盡量以最少的研究對象

求解系統的平衡問題。

其二：在開始求解平衡方程時，如果獨立平衡方程式的個數少于未知量的個

數，可能出現兩種情況：（a）該問題是靜不定問題；（b）該問題為剛體系統的平衡

問題，需再次選擇研究對象。應注意的是，此種情形下，雖然不能依據這些平衡

方程式求出全部未知量，但有可能求出其中的一個或兩個未知量。

③簡單桁架的內力計算實際上是平衡方程的工程應用，當桁架結構比較復

雜，桿件總數和節點數都比較大的情形下，則無論采用節點法或截面法，計算量

都可能較大。若采用計算機分析方法，則會簡單得多。目前一些工程力學應用軟

件中，都包含有分析靜定和超靜定桁架內力的程序。

第2節一般力系

一、目的和要求

1、掌握空間力系向一點簡化的方法，會應用解析法求主矢和主矩，明確空

間力系合成的四種結果。

2.能正確地畫出各種常見空間的約束反力。

3、會應用各種形式的空間力系平衡方程求解簡單空間平衡問題。

4.深入理解平面力系的平衡條件及平衡方程的三種形式。

5.能熟練地計算在平面任意力系作用下物體和物體系統的平衡問題。

6、對平行力系中心和重心應有清晰的概念，能熟練地應用坐標公式求物體

的重心。

7.正確理解靜定與靜不定的概念，會判斷物體系統是否靜定。

二、基本內容

1.基本概念

1）空間力系向已知點。簡化

空間力系向已知點。簡化的一般結果為一個作用在。點的力和一個力偶，該

力矢量等于此力系的主矢。該力偶的力偶矩矢量等于力系對簡化中心。的主矩。

主矢與簡化中心的選取無關。一般情況下，主矩與簡化中心的選取有關。

2）主矢和主矩

主矢：力系各力的矢量和，即

/心西

2-1

主矩：力系中各力對于任選簡化中心O之矩的矢量和，即

此=之死（耳）

3）靜定和靜不定問題

4）合力矩定理

空間力系的合力對任一點之矩等于力系中各力對同一點之矩的矢量和，即

MO（FR）=ZM0（F）

空間力系的合力對任一軸（例如z軸）之矩等于力系中各力對同一軸之矩的

代數和，即

M:(FR)=XM:(F)=X(xY-yX)

2.空間力系合成的最終結果

1）空間力系合成的最終結果

空間力系的最終合成結果有四種可能：一個合力、一個合力偶、一個力螺旋

和平衡，這四種結果可由力系的主矢和力系對任意一點的主矩來判斷。具體歸納

如下：

主矢主矩最后結果說明

M0=0平衡

FRH)

合力偶此時主矩與簡化中心的位置無關

合力合力作用線通過簡化中心

Mo=0

合力作用線離簡化中心0的距離為

F^.LMo合力公處

FR

FR學0

FR7/MO力螺旋力系的中心軸通過簡化中心

力系的中心軸離簡化中心O的距離為

FR與

力螺旋Msina

成a角ci_o

2）平面力系的簡化

步驟如下：

①選取簡化中心0：題目指定點或自選點（一般選在多個力交點上）

②建立直角坐標系

③求主矢：

元=xxl［大小：冗=J（2X）2+Qy）2

>yy

FR=ZY方向：tana=

EX

其中a為正R與%軸所夾銳角，所在象限由zx、2y符號確定，并畫在簡化中心。

上。

④求主矩：（尸）逆正順負，畫在圖中

⑤簡化結果討論

a.若兄=。，平面力系與一力偶等效，此力偶為平面力系的合力

偶，其力偶矩用主矩度量，這時主矩與簡化中心的選擇無關。

b.若凡。0,M〃=0：平面力系等效于作用線過簡化中心的一個合力尸R,

且有尸片尸公。

C.若F#0,M,,wO：平面力系簡化結果為一合力股，其大小、方向與主

矢相同，作用線在距簡化中心。為"=卜1處。

d瑪；=0,”。二°,則該力系為平衡力系。

3.空間力系的平衡條件和平衡方程

空間力系平衡的充分與必要條件為：該力系的主矢和對任意點的主矩同時為

零。其基本形式的平衡方程為：

ZX=OZMv(F)=O

zr=oZMy<F)=O

ZZ=OZMz(F)=O

須指出，空間一般力系有六個獨立的平衡方程可以求解六個未知量。具體應

用時，不一定使3個投影軸或矩軸互相垂直，也沒有必要使矩軸和投影軸重合，

而可以選取適宜軸線為投影軸或矩軸，使每一個平衡方程中所含未知量最少，以

簡化計算。此外，還可以將投影方程用適當的力矩方程取代，得到四矩式、五矩

式以至六矩式的平衡方程。使計算更為簡便。

4.平面力系的平衡條件和平衡方程

平面力系平衡的充分必要條件是該力系的主矢和對作用面內任意一點的主

矩同時為零。其解析表達式有三種形式，稱為平衡方程。

1)基本形式

ZX=0

R=0

XMo(F)=0

2)二矩式rzx=o

NM八(F)=0附加條件為：A、B兩點連線不垂直于x軸

XMB(F)=0

3)三矩式

2MA(戶)=0

?2MB(廣)=0附加條件為：A、3、。三點不共線

SA/c(F)=0

特殊力系的平衡方程

1)共線力系：工耳二°

zx=o

zr=o

2）平面匯交力系:

3）平面力偶系：2仍=0

zr=0-

（E〃y軸）

鞏⑺=0'

4）平面平行力系:

5.空間力系平衡方程的應用

求解空間力系平衡問題的要點歸納如下：

（1）求解空間力系的平衡問題，其解題步驟與平面力系相同，即先確定研

究對象，再進行受力分析，畫出受力圖，最后列出平衡方程求解。但是，由于力

系中各力在空間任意分布，故某些約束的類型及其反力的畫法與平面力系有所不

同。

（2）為簡化計算，在選擇投影軸與力矩軸時，注意使軸與各力的有關角度

及尺寸為已知或較易求出，并盡可能使軸與大多數的未知力平行或相交，這樣在

計算力在坐標軸上的投影或力對軸之矩就較為方便，且使平衡方程中所含未知量

較少。同時注意，空間力偶對軸之矩等于力偶矩矢在該軸上的投影。

（3）根據題目特點，可選用不同形式的平衡方程。所選投影軸不必相互垂

直，也不必與矩軸重合。當用力矩方程取代投影方程時，必須附加相應條件以確

保方程的獨立性。但由于這些附加條件比較復雜，故具體應用時，只要所建立的

一組平衡方程，能解出全部未知量，則說明這組平衡方程是彼此獨立的，已滿足

了附加條件。

（4）求解空間力系平衡問題，有時采用將該力系向三個正交的坐標平面投

影的方法，把空間力系的平衡問題轉化為平面問題求解。這時必須注意正確確定

各力在投影面中投影的大小、方向及作用點的位置。

6,平行力系中心及物體的重心

1）平行力系中心

只要平行力系中各力的大小及作用點的位置確定，無論平行力系中力的方向

如何，其合力作用線必定通過確定的一點，該點稱為平行力系中心。其坐標公式

為

2）物體的重心

物體的重心是該重力的合力始終通過的一點。均質物體的重心與中心重合。

物體的重心在物體內占有確定的位置，與物體在空間的位置無關。物體重心的坐

標公式為

鈦/__軌一

C-EPjy，_M，'，一軌

三、重點和難點

重點：1.平面力系、空間匯交力系、空間任意力系、空間平行力系的平衡

方程及其應用；

2.各種常見的空間約束，平面固定端約束及約束反力畫法

3.重心的坐標公式。

難點：1、利用特殊力系的特點畫出某些約束反力，選擇恰當的平衡方程求

解未知量。

2、物體系平衡問題中正確選取研究對象及平衡方程。

3.空間結構的幾何關系與立體圖。

4.解空間力系平衡問題時力矩軸的選取；

四、教學建議

1.教學提示

①對平面力系的簡化方法及簡化結果應闡述透徹。特別指出：主矢和主矩是

在對一個力系進行簡化時，為了準確描述力系的特征而引入的重要概念。主矢不

是合力，合力有大小，方向與作用點三個要素，而主矢只具有大小和方向兩個特

征，力系的主矢與簡化中心無關。一般而言，主矩的大小、轉向與簡化中心的選

取有關，但是在主矢為零的情況下，主矩與簡化中心無關。注意對不同的簡化中

心的簡化結果表面上看互不相同，但它們互為等效力系。

②對物體系統平衡問題中如何選取恰當的研究對象和平衡方程，應通過典型

例題著重講解，并引導學生進行歸納總結。特別指出如下要點：

其一，求解物系的平衡問題的關鍵在于選取研究對象，它需要一定的分析判

斷能力，也需要經驗的積累。在選取研究對象時，有兩種極端情況：（a）只選取

整體為研究對象，在此要注意受力圖中只畫外力，不畫內力，本質問題是由外力

構成的力系平衡問題，因此，無法求解系統內力，且當未知數多于三個時，也無

法求解全部未知量；（b）將系統中所有剛體相互隔離，取每個剛體單獨作為研究

對象，由于是靜定問題，則全部內外反力借助全部的平衡方程均可解出，雖思路

簡單，但由于求出多個不需求的未知力，使求解工作量增加，且過程繁瑣。因此,

一般而言，應根據題目的具體要求，靈活選取研究對象，盡量以最少的研究對象

求解系統的平衡問題。

其二：在開始求解平衡方程時，如果獨立平衡方程式的個數少于未知量的個

數，可能出現兩種情況：(a)該問題是靜不定問題；(b)該問題為剛體系統的平衡

問題，需再次選擇研究對象。應注意的是，此種情形下，雖然不能依據這些平衡

方程式求出全部未知量，但有可能求出其中的一個或兩個未知量。

③適當介紹有關結構分析軟件，初步培養學生力學建模和解決復雜物系平衡

問題的能力。

④采用模型或多媒體課件講解建立空間概念。

⑤通過與平面任意力系對照和比較的方法，來理解空間任意力系向一點簡化

的方法、主矢和主矩的概念，簡化結果、平衡條件及平衡方程，重點介紹力矩軸

與投影軸選取原則與方法，簡單系統的空間平衡問題。

⑥在計算重心坐標時要講清坐標選取原則，利用對稱均質物體的對稱性求重

心，對組合法求重心要求熟練應