2023～2024學年度高三年級第三次模擬數學注意事項：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘。答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知集合A={2，3}，B={x|0<x<5，x∈N}，則滿足的集合C的個數為A.2B.3C.4D.52.已知i為虛數單位，復數z滿足，則z的實部為A.2B.1C.1D.23.已知函數，則圖中的函數圖象所對應的函數解析式為A.B.C.D.4.有一個非常有趣的數列叫做調和數列，此數列的前n項和已經被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當n很大時，，其中稱為歐拉—馬歇羅尼常數，≈0.577215664901…，目前還不確定是有理數還是無理數.由于上式在n很大時才成立，故當n較小時計算出的結果與實際值之間存在一定誤差，已知ln2≈0.693，ln3≈1.099，則用上式估算出的ln6與實際的ln6的誤差絕對值近似為A.0.081B.0.073C.0.657D.0.1225.已知拋物線C：的焦點為F，準線為l，點A在C上，直線AF交y軸于點B，且，則點A到準線l的距離為A.4B.5C.6D.86.袋中裝有標號為1，2，3，4，5且質地、大小相同的5個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩個號碼的和是偶數，則獲獎.若有4人參與摸球，則恰好﹖人獲獎的概率是A.B.C.D.7.已知函數，把的圖象向左平移個單位長度可得到函數的圖象，則A.是偶函數B.的圖象關于直線對稱C.在上的最大值為0D.不等式的解集為，k∈z8.已知雙曲線C：(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1作直線與雙曲線C的左，右兩支分別交于A，B兩點.若，且cos∠F1BF2=，則雙曲線C的離心率為A.C.4B.D.3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在某市初三年級舉行的一次體育考試中(滿分100分)，所有考生成績均在[50，100]內，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成五組，甲、乙兩班考生的成績占比如圖所示，則下列說法錯誤的是A.成績在[70，80)的考生中，甲班人數多于乙班人數B.甲班成績在[80，90)內人數最多C.乙班成績在[70，80)內人數最多D.甲班成績的極差比乙班成績的極差小10.如圖，三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA=2PB=2PC=2，則A.BC⊥PAB.三棱錐P-ABC的體積為C.點P到平面ABC的距離為D.三棱錐P一ABC的外接球的表面積為11.已知函數，則下列結論正確的是A.的圖象在點處的切線在y軸上的截距為B.在上為增函數G.在上的最大值為多eD.若在內恰有11個極值點，則實數m的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.甲、乙兩個家庭共10人周末到某景區游玩，他們在景區門口站成兩排拍照，每排5人且從左到右按從高到矮的順序排列，則有_________種排法.(用數字作答)13.已知圓C：，A(-3，0)，B(-1，0).若C上存在點P，使得∠APB=90°，則r的取值范圍為____________.14在長方體AECD-A1B1C1D1中，AB=AA1=4，AD=2，點Р為側面ABB1A1內一動點P，且滿足C1P//平面ACD1，則C1P的最小值為_________，此時點P到直線A1C1的距離為___________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)已知函數.(1)若，求曲線在點(0，f(0))處的切線方程；(2)若恰有三個零點，求a的取值范圍.16.(15分)為建立健全國家學生體質健康監測評價機制，激勵學生積極參加身體鍛煉，教育部印發了《國家學生體質健康標準》，要求各學校每學年開展覆蓋本校各年級學生的《標準》測試工作.為做好全省的迎檢工作，某市在高三年級開展了一次體質健康模擬測試，并從中隨機抽取了500名學生的數據，根據他們的健康指數繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計這500名學生健康指數的平均數(同一組數據用該組區間的中點值作代表)；(2)由頻率分布直方圖知，該市學生的健康指數X近似服從正態分布N(，)，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差(=84.75).①求P(60.29≤X≤87.92)；②已知該市高三學生約有30000名，記健康指數在區間[60.29，87.92]的人數為，試求E().附：參考數據：，若隨機變量X服從正態分布N(，)，則，，.17.(15分)在如圖所示的多面體MNABCD中，四邊形ABCD是邊長為/2的正方形，其對角線的交點為Q，DM⊥平面ABCD，DM∥BN，DM=2BN=2，點P是棱DM的中點.(1)求證：PQ⊥平面ANC；(2)求直線AN和平面CMN所成角的正弦值.18.(17分)記橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，上頂點為B(0，1)，直線BA1，BA2的斜率滿足.(1)求橢圓C的方程；(2)已知橢圓上點(，)處的切線方程是.若點P為直線l：上的動點，過點P作橢圓C的切線PM，PN，切點分別為M，N，求△PMN面積的最小值.19.(17分)如果n項有窮數列滿足，，…，，即(i=1，2…，n)，則稱有窮數列為“對稱數列”.(1)設數列是項數為7的“對稱數列”，其中b1，b2，b3，b4成等差數列，且b2=3，b5=5，依次寫出數列的每一項；(2)設數列是項數為(且)的“對稱數列”，且滿足，記為數列的前n項和.①若，，…，構成單調遞增數列，且.當k為何值時，取得最大值?②若=2024，且=2024，求k的最小值.2023~2024學年度高三年級第三次模擬·數學參考答案、提示及評分細則1.C由題知B={x|0<x<5，x∈N)={1，2，3，4}.因為，所以根據子集的定義，集合C必須含有元素2，3，且可能含有元素1，4，即求集合{1，4}的子集個數，即有22=4個.2.D令(a，b∈R)，則，，，因為，所以，所以.3.B由圖知，圖中函數圖象的最小正周期T=2，所以排除A，D；對于C，，過(0，-1)，排除；對于B，，滿足條件，正確.4.A依題意，所以，又，所以估算出的ln6與實際的ln6的誤差絕對值近似為1.8728-1.792=0.0808≈0.081.5.D設A(，)，B(0，t)，因為F(2，0)，，所以，所以，所以=6，所以A到l的距離d=6+2=8.6.A從袋子中一次性摸出兩個球，共有=10種情況，其中兩個號碼的和為偶數的有{1，3}，{1，5}，{2，4}，{3，5}共4種情況，所以一個人摸球，能夠獲獎的概率為，所以4人參與摸球，恰好2人獲獎的概率.7.C由題知，由于的定義域為R，且，故為奇函數，A錯誤；又，故的圖象不關于直線對稱，B錯誤；因為時，，所以在上的最大值為0，最小值為-2，故C正確；，則，則，k∈Z，故，k∈Z，D錯誤.8.B由題意結合雙曲線定義可知且，不妨設，則，，.在△ABF2中，cos∠F1BF2=，由余弦定理得，即.解得.在△F1BF2中，由余弦定理得，即，結合，得，故離心率.9.ACD由圖知，每一組中的成績占比都是以各自班級的總人數為基數的，所以每一組中的甲班、乙班人數不能從所占的百分比來判斷，故A錯誤；甲班成績主要集中在[80，90)，乙班成績主要集中在[60，70)，B正確，C錯誤；甲班成績的極差和乙班成績的極差的大小無法確定，故D錯誤.10.AC由已知PA⊥PB，PA⊥PC，PC∩PB=P，PC，PB平面PBC，得PA⊥平面PBC，又BC平面PBC，故BC⊥PA，A正確；因為PA，PB，PC兩兩垂直，則Vp-ABC=VA-PBC=，故B錯誤；設Р到平面ABC的距離為h，因為S△ABC=，所以VP-ABC=，解得.所以點Р到平面ABC的距離為，故C正確；因PA，PB，PC兩兩垂直，故三棱錐P-ABC的外接球即是以2，1，1為棱長的長方體的外接球，故球的半徑為，則球的表面積為，故D錯誤.11.ACD當時，，，所以，，所以函數的圖象在點處的切線方程為，故切線在y軸上的截距為，A正確；當時，，，所以當時，；當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，又函數為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上的最大值為，故B錯誤，C正確；當時，，，令得，(k=0，1，2，3，4，5…)，當時，，，令得，(k=0，-1，-2，-3，-4，-5…)，且以上零點均為變號零點，故均為極值點，而為R上的偶函數，也是的一個極值點，因此，函數在(-m，m)內有11個極值點，則+5，即實數m的取值范圍為，故D正確.12.252由題意，10人選5人為一排，另5人為另一排，且每排排法只有一種，所以共有=252種.13.[4，6]因為點A(-3，0)，B(-1，0)，而點P滿足∠APB=90°，則點P的軌跡是以線段AB為直徑的圓M(除點A，B外)，圓M：(y≠0)，半徑=1，又點Р在圓C：(r>0)上，圓C的圓心C(1，4)，半徑為r，，依題意，圓M與圓C有公共點，因此，即，解得4≤r≤6.14.(2分)(3分)如圖所示，因為AB∥C1D1且AB=C1D1，故四邊形ABC1D1為平行四邊形，則BC1//AD1，因為BC1平面ACD1，AD1∈平面ACD1，所以BC1//平面A1CD1，同理可證A1B//平面ACD1，因為A1B∩BC1=B，A1B，BC1∈平面A1BC1，所以平面A1BC1//平面ACD1，因為P∈平面AA1B1B，要使得C1P//平面ACD1，則C1P平面A1BC1，因為平面AA1B1B∩平面A1BC1=A1B，故點P的軌跡為線段A1B，當C1P取最小值時，C1P⊥A1B，則P為A1B的中點，C1P=.以D為原點，，，的方向分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，易知A1(2，0，4)，C1(0，4，4)，P(2，2，2)，=(-2，4，0)，=(0，2，-2)，取=(0，2，-2)，=(-1，2，0)，則，，所以點Р到直線A1C1的距離為.15.解：(l)時，，所以，所以，，所以曲線在點(0，f(0))處的切線方程為，即.….…4分(2)因為，所以是的一個零點，…....…..……..............................6分因為恰有三個零點，所以方程有兩個不為2實數根，即方程有兩個不為2實數根，...............7分令，所以，令，得，令，得，所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，……9分當時，的值域為；當時，的值域為，…....…10分所以，且，所以，且，所以a的取值范圍是.…............…13分16.解：(1)由題意得，平均數=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5；……4分(2)①由(1)可知=69.5，≈9.21，則P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)則P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)=P(≤X≤)=×0.683+×0.955=0.819；……10分②由①可知1名學生的健康指數位于[60.29，87.92]的概率為0.819，依題意，服從二項分布，即～B(3×104，0.819)，則E()=np=24570.…..........................15分17.(1)證明：連接PN，QN.因為DM⊥平面ABCD，AD，DC，DB平面ABCD，所以DM⊥DB，PD⊥AD，PD⊥DC.因為DM=2BN=2，P是DM中點，所以四邊形PDBN為矩形，PN=BD=2，PD=NB=1.……2分因為Q是正方形ABCD的對角線交點﹐所以Q為AC，DB中點，PQ=NQ=所以PQ2+NQ2=PN2，PQ⊥QN.……................…......................…4分因為PA=PC=，Q為AC中點，所以PQ⊥AC.又AC∩NQ=Q，AC，NQ平面ANC，所以PQ⊥平面ANC.…....6分(2)解：由(1)知，DA，DC，DM兩兩垂直，以D為原點，以DA，DC，DM所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A(，0，0)，C(0，，0)，M(0，0，2)，N(，，1)，則=(，0，1)，=(，，-1)，=(0，，1)，…...........…9分設平面CMN的法向量為=(x，y，z)，所以由得令，可得=(-1，2，2)，….......................….12分設直線AN和平面CMN所成角為θ，則，所以直線AN和平面CMN所成角的正弦值為…………15分18.解：(1)