《13．3．2等邊三角形》課時(shí)練一、選擇題1．如圖，已知和都是等邊三角形，且、、三點(diǎn)共線．與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連結(jié)．以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④是等邊三角形；⑤．其中正確結(jié)論的有（）個(gè)A．5 B．4 C．3 D．22．已知，在△ABC中，，如圖，（1）分別以B，C為圓心，BC長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D；（2）作射線AD，連接BD，CD．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B．△BCD是等邊三角形C．AD垂直平分BC D．3．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有四個(gè)結(jié)論：①AC⊥BD；②BC=DC；③△ABC≌△ADC；④△ABD是等邊三角形．其中正確的是()A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④4．如圖點(diǎn)在同一條直線上，都是等邊三角形，相交于點(diǎn)O，且分別與交于點(diǎn)，連接，有如下結(jié)論：①；②；③為等邊三角形；④．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長為（）A．0．5 B．1 C．0．25 D．26．已知∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，OP=8，在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使△OMN的周長最短，則△PMN周長的最小值為（）A．4 B．8 C．16 D．327．如圖，在等邊△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列結(jié)論中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．48．設(shè)是邊長為的正三角形內(nèi)的一點(diǎn)，到三邊的距離分別為．若以為邊可以組成三角形，則應(yīng)滿足的條件為（）A． B． C． D．9．邊長為a的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)正六邊形，記為第1個(gè)正六邊形，取這個(gè)正六邊形不相鄰的三邊中點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)等邊三角形，記為第2個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形（如圖），…，按此方式依次操作，則第6個(gè)正六邊形的邊長為（）A． B． C． D．10．如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)，且OP＝3．若點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長的最小值是（）A．12 B．9 C．6 D．3二、填空題11．如圖所示，∠AOB＝60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，并且OP＝2，點(diǎn)M、N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長取最小值時(shí)，點(diǎn)O到線段MN的距離為_____．12．已知等邊的邊長為3，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，且，若，則的長為______．13．如圖，過邊長為1的等邊三角形ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于點(diǎn)E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)AP＝CQ時(shí)，PQ交AC于D，則DE的長為______．14．如圖，已知中，，D為上一點(diǎn)，且，則的度數(shù)是_________．15．如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且∠EBD=72°，則∠AEB的度數(shù)是______．三、解答題16．在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E．（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；（2）點(diǎn)M是線段CD上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點(diǎn)G．請(qǐng)你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，點(diǎn)N是線段AD上的一點(diǎn)，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點(diǎn)G．試探究ND，DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系，并說明理由．17．在邊長為9的等邊三角形ABC中，點(diǎn)Q是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，以1個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）如圖1，若BQ=6，PQ//AC求t的值；（2）如圖2，若點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以2個(gè)單位的速度從點(diǎn)B經(jīng)點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，為等邊三角形．（3）如圖3，將邊長為9的等邊三角形ABC變換為AB，AC為腰，BC為底的等腰三角形，且AB=AC=10，BC=8，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)處靜止，點(diǎn)M，N分別為BC，AC上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M以1個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)B向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)N以a個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)C向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)全等時(shí)，求a的值．18．如圖1，已知△ABC和△EFC都是等邊三角形，且點(diǎn)E在線段AB上．（1）求證：BF∥AC；（2）過點(diǎn)E作EG∥BC交AC于點(diǎn)G，試判斷△AEG的形狀并說明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)D在射線CA上，且ED＝EC，求證：AB＝AD＋BF．19．小敏與同桌小穎在課下學(xué)習(xí)中遇到這樣一道數(shù)學(xué)題：“如圖（1），在等邊三角形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，且，試確定線段與的大小關(guān)系，并說明理由”．小敏與小穎討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）取特殊情況，探索討論：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖（2），確定線段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你寫出結(jié)論：_____（填“”，“”或“”），并說明理由．（2）特例啟發(fā)，解答題目：解：題目中，與的大小關(guān)系是：_____（填“”，“”或“”）．理由如下：如圖（3），過點(diǎn)作EF∥BC，交于點(diǎn)．（請(qǐng)你將剩余的解答過程完成）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題：在等邊三角形中，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，且，若△的邊長為，，求的長（請(qǐng)你畫出圖形，并直接寫出結(jié)果）．20．在△ABC中，AB=AC，D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為一條邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上移動(dòng)時(shí)，若∠BAC=40°，則∠ACE=，∠DCE=，BC、DC、CE之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）設(shè)∠BAC=α，∠DCE=β．①當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上移動(dòng)時(shí)，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上（不與B，C兩點(diǎn)重合）移動(dòng)時(shí)，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．（3）當(dāng)CE∥AB時(shí)，若△ABD中最小角為15°，試探究∠ACB的度數(shù)（直接寫出結(jié)果，無需寫出求解過程）．21．如圖，在中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若，為延長線上的一點(diǎn)，且．①求的度數(shù)．②若點(diǎn)在上，且，請(qǐng)判斷、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．③若點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，且為等腰，直接寫出的度數(shù)．22．如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，BD、CE交于點(diǎn)F．（1）求證：BD=CE；（2）求∠EFB的度數(shù)．23．（1）如圖1，和都是等邊三角形，且，，三點(diǎn)在一條直線上，連接，相交于點(diǎn)，求證：．（2）如圖2，在中，若，分別以，和為邊在外部作等邊，等邊，等邊，連接、、恰交于點(diǎn)．①求證：；②如圖2，在（2）的條件下，試猜想，，與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．參考答案1．A2．D3．A4．D5．A6．B7．D8．B9．A10．D11．112．3或913．14．20°15．132°16．（1）證明：如圖1所示：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，BC=AB．∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠DBA=∠A=30°．∴DA=DB．∵DE⊥AB于點(diǎn)E．∴AE=BE=AB．∴BC=BE．∴△EBC是等邊三角形；（2）結(jié)論：AD=DG+DM．證明：如圖2所示：延長ED使得DW=DM，連接MW，∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，又∵DM=DW，∴△WDM是等邊三角形，∴MW=DM，在△NGM和△DBM中，∴△WGM≌△DBM，∴BD=WG=DG+DM，∴AD=DG+DM．（3）結(jié)論：AD=DG﹣DN．證明：如圖延長BD至H，使得DH=DN．由（1）得DA=DB，∠A=30°．∵DE⊥AB于點(diǎn)E．∴∠2=∠3=60°．∴∠4=∠5=60°．∴△NDH是等邊三角形．∴NH=ND，∠H=∠6=60°．∴∠H=∠2．∵∠BNG=60°，∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．即∠DNG=∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG=HB．∵HB=HD+DB=ND+AD，∴DG=ND+AD．∴AD=DG﹣ND．17．解：（1）是等邊三角形，，PQ//AC，，，是等邊三角形，，由題意可知：，則，，解得：，故t的值為3；（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，已知此時(shí)不可能為等邊三角形；②當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，若為等邊三角形，則，由題意可知，，，，，解得：，故當(dāng)時(shí)，為等邊三角形；（3）由題意可知：，，，則，若≌，則，即：，解得：；若≌，則，即：，解得：；綜上所述：當(dāng)全等時(shí)，a的值為1或．18．解：（1）如圖1，

∵△ABC和△EFC都是等邊三角形，

∴∠ACB=∠ECF=∠A=60°，AC=BC，CE=FC，

∴∠1+∠3=∠2+∠3，

∴∠1=∠2，

在△ACE與△FCB中，,∴△ACE≌△FCB，

∴∠CBF=∠A=60°，

∴∠CBF=∠ACB，∴AC∥BF；

（2）△AEG是等邊三角形，理由如下：如圖，過E作EG∥BC交AC于G，∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠AEG=∠AGE=60°，

∴△AEG是等邊三角形．

（3）如圖2，過E作EG∥BC交AC于G，由（2）可知△AEG是等邊三角形，∴AE=EG=AG，∠GAE=∠AGC=60°，

∴∠DAE=∠EGC=120°，

∵DE=CE，∴∠D=∠1，

∴△ADE≌△GCE，

∴AD=CG，

∴AC=AG+CG=AG+AD，由（1）得△ACE≌△FCB，

∴BF=AE，

∴BF=AG，

∴AC=BF+AD，

∴AB=BF+AD．19．解：（1），理由如下：，∵△是等邊三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，；故答案為：；（2），理由如下：如圖3：∵△為等邊三角形，且EF∥BC，，，；；，，，在△與△中，，∴△≌△（AAS），，∴△為等邊三角形，，．（3）①如圖4，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，過點(diǎn)作EF∥BC，交的延長線于點(diǎn)：則，；，；∵△為等邊三角形，，，，；而，，；在△和△中，，∴△≌△（AAS），；∵△為等邊三角形，，，；②如圖5，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，過點(diǎn)作EF∥BC，交的延長線于點(diǎn)：類似上述解法，同理可證：，，．、20．（1）如圖1所示：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B（180°﹣40°）=70°，BD=CE，∴BC+DC=CE．∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=40°，∴∠DCE=40°．故答案為：70°，40°，BC+DC=CE；（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上移動(dòng)時(shí)，α與β之間的數(shù)量關(guān)系是α=β．理由如下：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B=∠ACE．∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；②分三種情況：（Ⅰ）當(dāng)D在線段BC上時(shí)，α+β=180°，如圖2所示．理由如下：同理可證明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE．∵∠ADC+∠ADB=180°，∴∠ADC+∠AEC=180°，∴∠DAE+∠DCE=180°．∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β，∴α+β=180°；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC反向延長線上時(shí)，α=β，如圖3所示．理由如下：同理可證明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖1所示，α=β；綜上所述：當(dāng)點(diǎn)D在BC上移動(dòng)時(shí)，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB=60°．理由如下：∵當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上或在線段BC反向延長線上移動(dòng)時(shí)，α=β，即∠BAC=∠DCE．∵CE∥AB，∴∠ABC=∠DCE，∴∠ABC=∠BAC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°；∵當(dāng)D在線段BC上時(shí)，α+β=180°，即∠BAC+∠DCE=180°．∵CE∥AB，∴∠ABC+∠DCE=180°，∴∠ABC=∠BAC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°；綜上所述：當(dāng)CE∥AB時(shí)，若△ABD中最小角為15°，∠ACB的度數(shù)為60°．21．（1）∵CB=CA，DB=DA，

∴CD垂直平分線段AB，

∴CD⊥AB；

（2）①在△ADC和△BDC中，，

∴△ADC≌△BDC（SSS），

∴∠ACD=∠BCD=∠BCA=45°，∠CAD=∠CBD=15°，

∴∠BDC=180-45°-15°=120°；

②結(jié)論：ME=BD，

理由：連接MC，∵，，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠DBA=∠DAB=30°，∴∠BDE=30°+30°=60°，由①得∠BDC=120°，∴∠CDE=60°，

∵DC=DM，∠CDE=60°，

∴△MCD為等邊三角形，

∴CM=CD，

∵EC=CA=CB，∠DMC=60°，∴∠E=∠CAD=∠CBD=15°，∠EMC=120°，在△BDC和△EMC中，，

∴△BDC≌△EMC（AAS），

∴ME=BD；

③當(dāng)EN=EC時(shí)，∠=7．5°或∠==82．5°；當(dāng)EN=CN時(shí)，∠==150°；當(dāng)CE=CN時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，∠CNE=15°，

所以∠CNE的度數(shù)為7．5°或15°或82．5°或150°．22．（1）證明：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴AE=AD、AB=AC，又∵∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，在△EAC和△DAB中，，∴△E