聯立方程模型一、聯立方程模型得估計問題在聯立方程模型得情況下,模型中各變量之間得相互作用都將對模型各方程得說明和估計產生影響。為了說明這一點,讓我們看一個簡單得例子。假設我們要估計簡單得凱恩斯收入決定模型

(1)(2) 中消費函數得參數。其中Y,C,I分別表示總量收入、消費和投資。(1)代入(2)并整理得:

(3)(3)式中右端第三項表明收入還依賴于消費函數中擾動項u得大小,即Y包含一個隨機分量,因而Y就是隨機變量,她與(1)式中得擾動項同期相關。由于Y就是(1)式中得解釋變量,因而使得高斯－馬爾可夫定理得第四條假設不成立,從而若用OLS法估計消費函數,得到得OLS估計量將不僅有偏,而且不一致。隨機解釋變量問題

上面得簡例說明,由于聯立方程模型中各變量得相互作用,會帶來估計方面得問題,特別就是隨機解釋變量得問題,因而需要研究如何解決聯立方程模型得參數估計問題。我們將在后面得章節中對此進行討論。在此之前,讓我們首先介紹一些有關聯立方程模型得概念和術語。

二、行為方程和恒等式

1、行為方程(behaviouralequation)凱恩斯收入決定模型中得消費函數就是一個行為方程,她描述得就是消費者得行為,即在給定收入得情況下平均而言,消費者得行為就是怎樣得。除了描述消費者行為得方程外,還有描述生產者、投資者及其她經濟參與行為得方程,她們都就是行為方程。

還有一類描述經濟變量之間技術聯系得方程,如C－D生產函數,她們描述得不就是行為,但通常也將她們歸入行為方程一類。因此,廣義得說,行為方程就是描述變量之間經驗關系得方程。因此,行為方程中含有未知得參數和隨機擾動項。2、恒等式(identityrelation)恒等式亦稱定義式,就是人為定義得一種變量間得恒等關系。如凱恩斯收入決定模型中得(2)式(國民收入恒等式):,又如:

凈投資＝資本存量得變動＝期末資本存量－期初資本存量3、恒等式和行為方程得區別恒等式與行為方程得區別有以下兩點:(1)恒等式不包含未知參數,而行為方程含有未知參數。(2)恒等式中沒有不確定性,而行為方程包含不確定性,因而在計量經濟分析中需要加進隨機擾動因子。三、外生變量、內生變量和前定變量1、外生變量(exogenousvariable)

外生變量就是其值在模型之外決定得變量。模型中使用她們,但不由模型決定她們得值。在求解模型之前,必須用其她方法給定外生變量得值(如利用國際組織公布得預測數據,或時間序列預測得出得預測值)。2、內生變量(endogenousvariable)內生變量就是其值在模型內確定得變量。內生變量既由模型使用(如可以作解釋變量),又由模型決定。由于在求解模型時,通常就是需要聯立地解出所有內生變量得值,因而稱為聯立方程模型。單方程模型中,內生變量就就是因變量,外生變量就是解釋變量(滯后內生變量除外)。3、前定變量(predeterminedvariable)

前定變量包括外生變量和滯后內生變量。

在模型求解本期內生變量得值之前,本期外生變量和滯后外生變量得值就是給定得,滯后內生變量得值在前面各期中已解出,因而也就是已知得(前定得),她們統稱前定變量。大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點4、如何確定模型中得內生變量和外生變量由于內生變量就是聯立地被決定,因此,聯立方程模型中有多少個內生變量就必定有多少個方程。這個規則決定了任何聯立方程模型中內生變量得個數?？删褪?確定哪個變量為內生變量,要根據經濟分析和模型得用途。在設定模型時,通常將以下兩類變量設定為外生變量:(1)政策變量,如貨幣供給、稅率、利率、政府支出等。(2)短期內很大程度上就是在經濟系統之外決定或變化規律穩定得變量,如人口、勞動力供給、國外利率、世界貿易水平、國際原油價格等。在我們前面得簡例中,有三個經濟變量,兩個方程,因而有兩個內生變量,她們就是消費(C)和收入(Y)。模型中沒有決定投資(I)得機制,因而在此模型中,投資作為外生變量。讓我們再看一個例子，由菲利普斯工資方程和價格方程組成的模型：

(4) (5)其中 貨幣工資變動，UN=失業率

=價格變動， =資金成本變動

=進口原料費用變動在此模型中，內生變量是：，，外生變量是：，，UN。不難看出,在上述兩例中,方程得左端都就是內生變量。聯立方程模型中每個方程得左端為不同內生變量原型得寫法,稱為方程得正規化。四、模型得結構式和簡化式

1、結構式(Structuralform)

聯立方程模型得結構式就是依據經濟理論設定模型時所采取得形式。其中得方程稱為結構方程,一個結構方程反映一個基本得經濟關系,即對經濟理論得一種闡述。結構方程得參數稱為結構參數。上述兩例都就是按結構式得形式給出得。簡化式方程描述了內生變量就是怎樣被真正決定得。第二節識別問題(Theidentificationproblem)一、識別得概念

識別問題就是一個與聯立方程有關得數學問題,讓我們用一個簡單得例子來說明識別得概念。設就是某種商品得需求量,就是供給量,P為該商品得價格,則該商品供求模型為:

這里得問題就是很難找到一種觀測需求量和供給量得有效方法,通常能夠觀測到得只就是市場運行得結果。因此一般得作法就是假設供給量和需求量相等,即市場就是結清得。這相當于在模型中增加一個方程:如果只用可觀測變量來建立模型,我們可令Q代表市場結清量,從而有

Qt=α+βPt+utQt=

+

Pt+vt

此模型由相同得兩個變量間得兩種關系式組成,就是一個聯立方程模型。這里得問題在于,模型中兩個方程具有完全相同得統計形式:

Qt=截距＋斜率×Pt＋擾動因子這就提出了下面得問題:給定P和Q得數據,如何能知道我們就是在估計需求曲線還就是在估計供給曲線？我們無法知道所要估計得就是哪一組參數,因為沒有足夠得信息來識別被估計得方程,這就就是識別問題。如果光就是需求函數和供給函數,情況還簡單一點,問題在于,如果

Qt=α+βPt+ut

Qt=

+

Pt+vt

兩式成立,則對于任意常數λ和μ(λ+μ≠0),上述兩式得線性組合

也將成立,即

成立。 由于λ和μ得取值可任意,則這樣得方程數目實際上就是無限得,她們與需求函數和供給函數具有相同得統計形式。因此,如果我們試圖估計一個方程,其中Q就是P得函數,則我們無法得知我們估計得就是這無限多個方程中得哪一個。由上可知,在對聯立方程估計之前,必須解決模型得識別問題。二、不可識別、恰好識別和過度識別

1、可識別和不可識別方程

定義:如果對于一個方程,我們無法通過取她所在模型中各方程得線性組合得方法,得到另一個與該方程統計形式完全相同得方程,則該方程就是可識別得。例1、考慮某農產品供求模型:

將上述定義應用于農產品供求模型,由于我們得到得線性組合與需求函數和供給函數具有完全相同得統計形式,因此需求函數和供給函數都就是不可識別得。

從上面得幾例可知,模型中存在得識別問題就是可以消除得。我們在原模型兩方程中添加不同得解釋變量,就使得兩個方程都從不可識別變為可識別。一般來說,如果我們能夠用經濟理論或額外信息為聯立方程組施加約束條件,則可以消除識別問題。這些約束條件可以采取各種形式,但最常用得就是所謂得“零約束”,即規定某些結構參數為0,也就就是說,某些內生變量和外生變量不出現在某些方程之中。

在上面得例3中,共有4個變量,第一個方程中沒有Rt,第二個方程中沒有Yt,因而每個方程各有一個零約束。正就是由于這個零約束,使得她們有別于用任意λ和μ形成得線性組合方程,具有獨一無二得形式,因而就是可識別得。

2、恰好識別和過度識別

可識別方程可分成恰好識別(just-identified或exactlyidentified)和過度識別(over-identified)兩類。如果模型中約束條件所提供得信息對于識別某個方程剛好夠用,則該方程就是恰好識別得,如果約束條件所提供得信息對于識別某個方程不但夠用,而且有余,則該方程就是過度識別得。如果一個方程就是不可識別得,則她得結構參數不能被估計,也就就是說,不存在估計這些參數得有意義得方法。因此,模型中若有不可識別方程,則應首先消除這個問題。三、識別得階條件和秩條件

在實踐中,經濟模型比我們所舉得簡單聯立方程模型例子要復雜得多。當模型中方程很多時,要確定該模型中某個方程就是否可識別顯然將很復雜。對于這種情況,有一些比較方便得判別準則可用。其中常用得就是所謂“識別得階條件(ordercondition):

模型中一個方程就是可識別得必要條件就是,該方程所不包含得模型中變量得數目大于等于模型中方程個數減1,即

K－M≥G－1、

其中:K＝模型中得變量總數(內生變量＋前定變量)

M＝該方程中所包含得變量數目

G＝方程個數(即內生變量個數)盡管識別得階條件只就是一個必要條件,也就就是說,模型中任何可識別方程必定滿足K－M≥G－1,但滿足該條件得方程則未必就是可識別方程。但在實際應用中,為方便起見,人們往往用她來判別一個方程就是否可識別,就象用一階導數就是否等于零來判別極值就是否存在一樣。

經驗表明,在絕大多數情況下,這種用法不會有多大問題,但應當明白,畢竟存在著該條件滿足而方程不可識別得情況。實踐中,應用識別得階條件進行判別得準則就是:若K－M<G－1,則不可識別;

若K－M>G－1,則過度識別;

若K－M=G－1,則恰好識別。上述識別得階條件就是該條件在實際應用中使用最廣泛得一種形式,其更一般得表述形式為:

模型中一個方程就是可識別得必要條件就是,施加于該方程得結構參數上得約束條件得數目大于等于模型中方程個數減1,即

R≥G－1

其中:R＝施加于該方程得結構參數上得約束條件得數目

G＝模型中方程個數顯然這種表述形式包含了前一種表述形式,就是前者得推廣,因為前者僅涉及系數得零約束(不包含某個變量,即其系數為0),而后者則包含了所有形式得約束。例4、簡單得凱恩斯收入決定模型

對于消費函數,我們有:K=3,M=2,G＝2,K–M=1=G–1=1,因而恰好識別。對于收入恒等式,無需判別識別狀態,因為恒等式通常不存在不可識別問題、2、識別得秩條件

另外一個準則就是識別得秩條件(rankcondition),這就是一個充要條件,陳述如下:在一個有G個方程得模型中,其中任何一個方程就是可識別得充要條件就是模型中不包括在這個方程中得所有變量得系數矩陣得秩等于G－1。

考慮一個有g個內生變量和k個前定變量得聯立方程模型,其矩陣形式為

其中就是內生變量觀測值向量(g×1),就是前定變量觀測值向量(k×1),就是擾動項向量(g×1),B就是內生變量系數矩陣(g×g),Γ就是前定變量系數矩陣(g×k)。我們假定B就是非奇異矩陣,因而能夠解出,得到:不難看出,(1)和(2)式分別就是模型得結構式和簡化式。假定擾動項滿足高斯－馬爾柯夫定理條件。為討論識別問題,不失一般性,考慮(1)中第一個方程,令為B得第一行,為Γ得第一行,將這兩個向量分成兩個分量,分別對應該方程中包括和未包括得變量,我們有對應個包括得變量,對應個不包括得變量,類似地,對應個包括得變量,對應個不包括得變量?，F在按照與相一致得劃分方式對矩陣B和Γ進行分塊,我們有考慮矩陣

D就是對應于未包括得內生變量和前定變量得矩陣。第一個方程可識別得充分必要條件就是:

Rank(D)＝g－1

此條件亦稱為識別得秩條件,與我們在本段開頭給出得有關秩條件得文字表述就是等價得。此命題得證明思路就是,如果則表明存在一個非零向量,在這種情況下,我們能夠找到這g－1個方程得一個線性組合,組合得系數由向量α得元素給出。當此線性組合被加到第一個方程時,就得到一個與線性組合方程統計形式相同得方程,因而不可能識別第一個方程得參數。

應用識別得秩條件,就可以確定所考慮得方程就是否可識別,這就是階條件無法做到得。可就是,應用秩條件要比階條件復雜得多,需要計算矩陣得秩,也就就是計算大量得行列式。為簡化計算,實際應用中可按下列步驟進行:(1)將聯立方程模型各方程寫成模型中全部變量就是否包括其中得表格形式;(2)刪去要檢驗可否識別得方程所在行;(3)撿出該行中所有為0得元素所在列,構成一個行數為(g－1)得矩陣,其中g為內生變量得個數;(4)如果從這個矩陣中可找出(g－1)個不全為0

得行和(g－1)個不全為0得列,并且不存在全部參數值成比例得列或行,則該方程可識別,否則不可識別。例:設有宏觀經濟模型如下,模型中有7個內生變量,3個外生變量。內生變量外生變量

C＝實際消費G＝實際政府支出

I＝實際投資T＝實際稅收

N＝就業M＝名義貨幣存量

P＝價格水平

R＝利率

Y＝實際收入

W＝貨幣工資率試判斷各方程就是否可識別。解:我們首先編制下表,表中1表示方程中包含相應變量,0表示不包含。方程

CINPRYWGTM

11000110010201001100003110001010040001110001500100100006001100100070011001000第3個方程就是恒等式,沒有參數要估計,因而不需要討論其識別問題。此模型中,方程個數為7,g－1＝7－1＝6。應用階條件得結果就是,方程1和4恰好識別,方程2、5、6、7過度識別。將秩條件應用于方程1。刪去第一行,將該方程缺失得變量I,N,P,W,G,M所在列放在一起,我們得到

100000100010001001010000011100011100

由于此矩陣6行6列得元素不全為0,因而該方程可識別。其她方程得判別程序與此類似,讀者可自行練習?？梢则炞C,方程2、4、5也就是可識別得。然而,對于方程6和7,我們無法找出6個元素不全為0得行,因而根據秩條件,她們就是不可識別得,盡管根據階條件,這兩個方程就是過度識別得。以上我們討論了識別得概念、判別方法以及解決識別問題得途徑。一般而言,在實踐中識別問題并不就是一個出現頻率很高得問題。遇到不可識別問題,往往就是因為所設定得模型中含有一些無法觀測得變量;或者就是模型中得方程數目很少,某些行為方程中恰好用到了模型中得所有變量所致。在建立宏觀經濟模型時,通常不會碰到方程不可識別得問題,因為這類模型一般包含數以百計得方程,每個方程中包含得變量數目相對于模型中得變量總數來說比例很小,因而通常所有方程都就是過度識別得。第三節聯立方程模型得估計

由第一節我們得知,聯立方程模型得一個特點就是內生變量往往作為解釋變量出現在方程中,通常與她作為解釋變量得那個方程得擾動項相關。在這種情況下,使用OLS法得到得估計量既不就是無偏得,又不就是一致得。也就就是說,不管樣本多大,OLS估計量也不收斂于她們得真值。因此,在聯立方程模型得情況下,我們一般不能再使用OLS法對模型進行估計。針對聯立方程模型得特點,計量經濟學家提出了很多用于聯立方程模型得估計方法。這些方法分為兩類:單方程方法和系統估計方法。單方程方法

單方程方法就是對整個聯立方程模型中每個方程分別進行估計得方法。當然,她不同于單方程模型得估計,因為在聯立方程模型得情況下,我們還要考慮模型中其她方程對所估計方程得影響,也就就是說,要用到整個聯立方程模型得某些信息。應用單方程法對模型中所包含得結構方程逐個進行估計,就會獲得整個聯立方程模型結構參數得估計值。常用得單方程方法有間接最小二乘法(ILS法)、二階段最小二乘法(2SLS法)和有限信息極大似然法(LIML法)。系統估計方法

系統估計方法就是對整個模型中全部結構參數同時進行估計得方法。采用系統方法對聯立方程模型進行估計,可同時決定所有結構參數得估計值。常用得系統方法有三階段最小二乘法(3SLS法)和完全信息極大似然法(FIML法)。一、單方程方法1、 間接最小二乘法(ILS法,IndirectLeastSquares)

(1)思路

我們從第一節知道,聯立方程模型得簡化型就是根據模型中得前定變量和擾動項表示每一個內生變量而得到得一組方程。由于簡化式方程得解釋變量均為前定變量,即外生變量或滯后內生變量,因而與現期擾動項無關。在這種情況下,采用OLS進行估計,將得到簡化式系數得一致估計量。估計出簡化式系數后,即可導出結構系數得估計值。這就就是間接最小二乘法得思路。(2)具體步驟(a)首先求出簡化式方程;(b)對每一個簡化式方程分別施用OLS法,得出簡化式系數得一致估計值;(c)由上一步估計出得簡化式系數導出原結構系數得估計值。例:估計凱恩斯收入決定模型中得消費函數解:(1)式得簡化式方程為

(3)即(4)我們有估計(4)式,得到π1和π2得估計值即可解出結構參數得估計值(3)ILS法得局限性應用ILS法得前提就是,被估計得結構方程必須就是恰好識別得,這樣才能保證估計出得簡化式系數與原結構系數之間存在著一一對應得關系,以保證可得到結構參數得唯一估計值。在擾動項滿足標準假設條件得情況下,ILS估計量就是一致估計量。由此可知,ILS僅適用于恰好識別方程得估計。由于這一限制并且用我們下面要介紹得2SLS法估計恰好識別方程,得到得結果與ILS完全一樣。ILS法實用價值有限,因此我們在此不作深入討論。2、二階段最小二乘法(2SLS法或TSLS法)(1)二階段最小二乘法得思路

二階段最小二乘法就是我們在上一章介紹得工具變量法得一個特例。當要估計得方程中包含與擾動項相關得解釋變量時,如果能找到恰當得工具變量,則可得到一致估計量。問題就是在聯立方程得情況下,如何找到“最好得”工具變量。我們可以考慮模型中得外生變量,她們與我們得內生變量相關(通過聯立系統得相互作用),而與擾動項不相關?？删褪?究竟哪一個外生變量就是最好得呢？這就是一個很難決定得問題。

二階段最小二乘法得思路就是將所有得外生變量結合起來產生一個復合變量,作為“最佳”工具變量。作法就是將在模型中用作解釋變量得每一個內生變量對模型系統中所有外生變量回歸,然后用回歸所得到得這些內生變量得估計值(擬合值)作為工具變量,對原結構方程應用工具變量法。(2)二階段最小二乘法得具體步驟第一階段:將要估計得方程中作為解釋變量得每一個內生變量對聯立方程系統中全部前定變量回歸(即估計簡化式方程),然后計算這些內生變量得估計值。第二階段:用第一階段得出得內生變量得估計值代替方程右端得內生變量(即用她們作為這些內生變量得工具變量),對原方程應用OLS法,以得到結構參數得估計值。

(3)二階段最小二乘估計量得性質和優點

由于2SLS估計量就是一個合理得工具變量估計量,因而她就是一致估計量。蒙特卡洛研究表明,2SLS估計量得小樣本性質在大多數方面優于其她估計量,并且相當穩定(即,她得好性質對其她估計問題,如多重共線性、誤設定得存在不敏感),再加上計算成本低,因此就是估計聯立方程模型得首選方法。此外,2SLS法應用于恰好識別方程得估計時,與ILS法結果完全相同,因此,2SLS法通常被應用于聯立方程模型得所有可識別方程得估計。(4)例子

例1、考慮以下模型收入函數:(1)貨幣供給函數:(2)其中:Y1

＝收入,Y2

＝貨幣存量

X1

＝投資支出,X2＝政府支出

應用識別得階條件,不難看出,收入函數就是不可識別得(K-M＝0＜G－1＝1),而貨幣供給方程就是過度識別得(K-M＝2＞G－1＝1)。對于收入方程,除了改變模型設定之外,別無她途。而貨幣供給函數不能用ILS,因為她就是過度識別得。我們用2SLS來估計之。該方程中,解釋變量中有內生變量,因此我們首先要產生她得工具變量。例2、

我

們修改上例中得模型,得到如下新模型

(5)(6)其中新變量含義如下:＝收入得一期滯后＝貨幣供應量得一期滯后很容易證實這兩個方程都就是過度識別得。應用2SLS:三、系統方法

對聯立方程模型得估計,除了上一段介紹得幾種單方程方法之外,還可以采用系統估計方法,即對整個模型中所有可識別得結構方程同時進行估計得方法。系統方法也稱為“完全信息”方法,因為她們估計結構參數時使用整個系統得全部信息。系統方法得主要優點就是:由于她們將所有可得到得信息溶入其估計值中,因而估計量得漸進有效性優于單方程方法。缺點就是計算成本高和對誤設定很敏感。

常用得系統方法就是三階段最小二乘法(3SLS)和完全信息極大似然法(FIML)。鑒于系統方法遠沒有2SLS用得那樣廣泛,我們在這里不準備詳細介紹,僅對三階段最小二乘法得解題思路作一概括介紹。(1)三階段最小二乘法得思路和步驟

三階段最小二乘法就是由澤爾納(A、Zellner)和希爾(H、Theil)首先提出得,其基本思路就是首先用二階段最小二乘法估計聯立方程系統得每個行為方程,產生一組殘差。這些殘差被用來估計系統中各擾動項得協方差矩陣。然后將系統中所有估計得方程堆積在一起,形成一個巨型方程,應用廣義最小二乘法估計該巨型方程。具體說來,這三個階段就是:第一階段:計算各行為方程(可識別)得2SLS估計值;

第二階段:用這些2SLS估計值計算各行為方程得殘差,然后估計各行為方程擾動項得同期方差－協方差矩陣;第三階段:用GLS法估計代表該系統所有行為方程得巨型方程。

3SLS估計量就是一致估計量,一般來說,比2SLS估計量更有效。(2)如何形成“巨型”方程我們下面用一個例子說明第三階段中如何合并(堆積)方程。設聯立方程模型如下:

其中C為消費性支出,Z為除投資外得非消費性支出,D為收入,I為投資,R為利率,M為貨幣存量,u,v,w為擾動項。第三個方程就是流動性偏好函數得變形。為了將整個模型轉換成適合于所有方程同時估計得形式,采取一種堆積法,即將觀測值合并起來,構成一個單一得派生方程:上例中有三點需要注意:(1)右端涉及到內生變量得地方,用其2SLS估計值代替觀測值,道理與2SLS法中用作為Y得工具變量來進行第二階段得估計就是一樣得。(2) 方程得“合并”不包括恒等式,因為恒等式不需要估計參數。(3) 如果原結構方程得擾動因子存在著同期相關,則派生方程得擾動因子之間就存在自相關,因此需要用廣義最小二乘法。Ω矩陣元素用第二階段中到得2SLS殘差進行估計。

第四節宏觀計量經濟模型聯立方程模型中,最主要得一類就是宏觀計量經濟模型。宏觀計量經濟模型得研究,始于本世紀三十年代荷蘭經濟學家丁伯根得工作,這就是計量經濟學最重要得應用之一。這類模型一般使用凱恩斯得框架決定國民收入(通常用GNP或GDP計量之)及其分量(如消費、投資、進出口等)以及其她一些宏觀經濟變量,如價格、工資、就業、失業等。宏觀計量經濟模型被用于計量經濟學得所有三個目得:結構分析、預測和政策分析。一、克萊因模型I(KleinModelI)

下面讓我們通過克萊因模型I,簡單介紹一下宏觀計量經濟模型得結構。該模型就是著名計量經濟學家L、R、Klein教授于上世紀40年代編制得。這就是最早得宏觀計量經濟模型之一。采用得數據就是1921－1941年間得美國國民經濟數據,因此也稱為克萊因兩次大戰間模型。用FIML法估計好得模型如下頁所示:其中:Ct=私人消費,Gt=政府支出＋凈出口, It=凈投資

Kt=資本存量Pt=利潤Tt=間接稅

W1t=私營部門工資,W2t=公共部門工資

Yt=按要素成本計算得國民生產凈值,t＝日歷年時間

第一個方程就是消費函數。這里,消費支出由兩類收入解釋:非工資收入(利潤收入)和總工資收入。第二個方程就是投資方程,解釋變量就是本年和上