第10章

模態分析

基本有限元方程模態分析基本有限元方程

[M]和[K]分別為結構系統的質量矩陣和剛度矩陣,{u}和分別為節點位移與加速度解為如下的簡諧運動

其中，為模態形狀，

為圓頻率

等價為特征方程的非0解有限元分析中，矩陣[K]和[M]實的對稱矩陣，它們滿足正交性，即

mi稱為模態質量，ki稱為模態剛度，fi=φiTF(t)稱為模態力

{φi}稱為系統第I階模態,ωi為系統第I階固有頻率。質量質量矩陣

質量矩陣分為：集中質量矩陣（僅存在非零對角元素）耦合質量矩陣（存在非零非對角元素）MSC/NASTRAN中，單元質量矩陣計算方法有兩種：集中質量公式，與耦合質量公式以下圖所示桿單元為例L=長度，A=面積，J=扭轉常數，E=揚氏模量，ρ=質量密度，IP=極慣性矩，1-4=自由度CRQD單元集中質量矩陣為CRQD單元的耦合質量矩陣為

NASTRAN中，單元質量陣類型由用戶選擇（缺省值為集中質量矩陣）。當用戶需采用耦合質量陣時，在模型數據中加入參數卡PARAM，COUPMASS，1質量引入質量數據基本方法：1）通過材料性質卡（如MAT1）中質量密度（RHO）附加給結構單元2）單位長度或單位面積面上非結構質量（如地板載荷和絕熱材料）用單元的性質卡（如PSHELL卡）中的非結構質量項（NSM）引入3）結點質量用CONM1，CONM2和CMASSi數據卡定義4）CONM1定義6×6耦合質量矩陣，CONM2定義結點集中質量，CMASSi定義標量質量質量單位（1）NASTRAN中，不要求確定單位，但各物理量單位要保持一致質量單位可為：

磅-秒2/英寸（在英寸-磅-秒系統）或千克-秒2/米（在米-牛頓-秒系統）(2)以重量單位輸入質量數據（如密度），可用參數PARAM,WTMASS,V1將重量單位變為質量單位，V1為變換系數(3)如用英制單位，以RHO=0.3磅/英寸3輸入重量密度，用參數PARAM，WTMASS，0.002588將重量密度化為質量密度，這里重力加速度g=386.4英寸/秒2特征值解法求解特征方程，MSC/NASTRAN提供三類解法：

跟蹤法（Trackingmethod）

變換法（Tromsformationmethod）蘭索士法（Lamczosmethod）

跟蹤法1）對僅求幾個特征值(或固有頻率)問題有效2）對求解大型稀疏質量和剛度陣的大型特征值問題有效3）MSC/NASTRAN中，提供兩種解法。即為逆冪法（INV）和移位逆冪法（SINV）4）逆冪法和移位逆冪法均用模型數據卡EIGR定義，用情況控制指令METHOD選取。變換法1）對于維數小、元素滿的矩陣，且需求全部或大部分特征值問題有效2）MSC/NASTRAN提供變換法有：吉文斯（Givens）法（GIV），修正吉文斯法（MGIV），郝斯厚德(HOU)法和修正郝斯厚德(MHOU)法3）吉文斯（GIV）法和郝斯厚德(HOU)法要求[M]陣正定。修正吉文斯法（MGIV）與修正郝斯厚德法(MHOU)允許[M]奇異，從而可求解剛體模態。4）變換法用模型數據卡EIGR描述，用情況控制指令METHOD選取蘭索士(Lanczos)法1）蘭索士(Lanczos)法是將跟蹤法和變換組合的新的特征值解法2）對非常大的稀疏矩陣的幾個特征值問題最有效3）蘭索士法用模型數據卡EIGRL描述，用情況控制指令METHOD選取4）蘭索士法是首先推薦的特征值方法比較

變換法跟蹤法蘭索士法最有效應用小的密的矩陣許多特征值大而稀疏的矩陣許多特征值非常大的特征值問題

會丟根嗎？HOUGIVMHOUMGIVINVSINV

不會不會不會會不會允許奇異質量矩陣嗎？否是是是

是

得到的特征值數量一次求解得全部特征值一個，接近移位點幾個，接近移位點計算量級N為剛度矩陣的維數，B為半帶寬，E為特征值個數輸入文件說明執行控制模態分析解法流程有三條：

SOL3SOL63SOL103SOL3為老固定流程；SOL63為老模態超單元分析流程；SOL103，包含敏度分析和自動再起動超單元分析功能的結構模態分析新流程。一般推薦使用SOL103流程。情況控制對模態分析，必不可少的情況控制指令METHOD=SID用于選取特征值解方，SID為模型數據卡EIGR或EIGRL中集識別號模型數據1）定義坐標系統、結構幾何、有限單元、材料特性、約束條件等與靜力分析相同2）特征值問題解法指定卡（EIGR，EIGRL）3）EIGR卡定義跟蹤法和變換法兩類特征值解法，格式名稱內

容SID集標識別號（整數>0）。METHOD選取特征值求解方法（BCD值）METHOD=INV逆冪法SINV移位逆冪法GIV吉文斯變換法MGIV修正吉文斯法HOU郝斯厚德變換法MHOU修正郝斯厚德法AGIV自動選取GIV或MGIV法AHOU自動選取HOU或MHOU法F1，F2指定頻率范圍（實數≥0.0）若METHOD=“INV”或“SINV”時，在F1和F2間求出ND個特征解，若ND為空白，則找出F1和F2間所有特征解；若METHOD=“GIV”、“MGIV”、“HOU”或“MHOU”時，尋求所有的特征值，只計算頻率為F1至F2之間的特征向量，但若指定ND值，只計算ND個頻率最低的特征向量。NE頻率在F1和F2間根的估算個數（整數>0）。ND需求特征解的個數（整數>0）。METMOD=“INV”或“SINV”時，指定求解特征根與特征向量的數目。METMOD=“GIV”、“MGIV”、“HOU”或“MHOU”時，指定求解特征向量的數目。NORM選定正則化向量的方法（BCD值）。MASS對特征向量的最大分量正則化；

POINT對特定自由度正則化。G結點或標量點標識號，只當NORM=ROINT時才需要（整數>0）。C指定特定結點的分量號，只當NORM=ROINT時使用（1≤整數≤6）。注意事項：1）EIGR卡必須由情況控制指令METHOD=SID來選取2）F1和F2的單位為赫茲（HZ）3）繼序卡可以省略，此時特征向量正則化為對質量矩陣正則化4）使用METHOD=“SINV”時，若F2為空白，則只計算出一個大于F1的特征根EIGRL卡是專門定義蘭索士法的模型數據卡，它的格式如下名稱內容SID集標識號（整數>0）。V1，V2設定模態分析時的頻率范圍或屈曲分析時的特征值范圍（實數或空白，V1<V2）。ND所需特征解的數量（整數>0，或空白）。MSGLVL診斷輸出次數選取（0≤整數≤3，缺省值為1）。MAXSET按塊或集設定的向量數（1≤整數≤5，缺省值為7）。SHFSCL第一個模態的頻率預估值（實數或空白）。NORM特征向量正則化的選定（BCD值）。MASS對質量矩陣正則化；MAX對特征向量之最大分量正則化，僅限于屈曲分析時使用。注意事項：1）EIGRL卡必須由情況控制指令METHOD=SID選取2）在模態分析時，V1與V2的單位為HZ；在屈曲分析時，則為特征值。3）所求得的特征根由小至大排列，利用V1、V2和ND三個參數可以控制求解范圍，如下表所示

序號V1V2ND求解特征根的范圍1√√√在V1與V2之間的最低ND個根或全部2√√

在V1與V2之間的全部特征根3√

√在[V1，+∞]區間內的最低ND個根4√

在[V1，+∞]區間之最低特征根5

√在[-∞，+∞]區間內之最低ND個根6

最低一個特征根7

√√小于V2之最低ND個根8

V2

小于V2之全部特征根例子1圖為被約束兩自由度模型，包括兩個彈簧，兩個集中質量。兩集中質量沿y方向移動。使用正則模態分析（SOL103），用自動選擇Householder方法或改進Householder方法（EIGR卡中的METHOD=AHOU）,特征向量用最大法進行正則化（EIGR卡中的NORM=MAX）輸入文件輸出：每個模態特征值，圓頻率(rad/s)，自然頻率（Hz）,廣義質量和廣義剛度，對每個模態顯示特征向量，單點約束力和彈簧力例子2：懸臂梁模型輸入文件：輸出結果例子3：四分之一板模型

注：SS=簡支邊界1,2=對稱和/或反對稱邊界問題：四邊簡支四邊形模型。該模型主要說明處理對稱結構模型各種邊界條件的應用。采用子情況，定義如下四種不同邊界條件：l

對稱-反對稱l

反對稱-對稱l

對稱-對稱l

反對稱-反對稱采用BC情況控制指令識別多各邊界條件。SPCADD模型數據卡定義所有SPC卡的組合。四分之一板輸入文件：例子4：轎車框架模型

圖示該轎車模型部分模態。模態7是整體翹曲模態；模態8是車頂塌陷模態；模態9是局部（前部）車頂模態；模態10是后車身局部模態。第11章

線性屈曲分析

在線性靜力分析中結構通常被認為是處于一個穩定平衡的狀態。當卸完作用的載荷時，結構恢復到其初始狀態。但是，在某些特定的載荷作用下，結構會變得不穩定。在受到這樣的載荷時，結構在載荷不再增加的情況下繼續變形。在這種情況下結構實際上已經屈曲，或變成不穩定的失穩。本指南只涉及線性屈曲或彈性穩定；換句話說，假設結構沒有屈服，而且力的方向沒有變化（即忽略跟隨力的影響）

屈曲分析步驟MSC/NASTRAN，用求解序列105求解線性屈曲問題

載荷1)屈曲分析第一步是進行靜力分析，目的在于確定結構內部應力狀態，形成微分（或幾何）剛度矩陣2)靜力分析載荷只需給出其分布，而載荷的數值大小是不重要的b)

邊界條件在屈曲分析時，因對稱結構最低屈曲模態不一定對稱，故屈曲分析用全結構進行分析特征值解法在MSC/NASTRAN中有七種實特征值抽取方法：l

Givens法,修改的Givens法,Householder法,修改的Householder法l

逆冪法,增強的逆冪法,Lanczos法可用于線性屈曲分析的方法：逆冪法，增強的逆冪法，Lanczos法輸入文件說明執行控制結構的線性屈曲分析流程有兩條：

SOL5SOL105SOL5為老流程；SOL105為包含敏度分析的新流程，推薦使用SOL105新流程。情況控制1）對于屈曲分析，必須要有兩種子情況2）第一子情況定義載荷，進行靜力分析3）第二子情況選取特征值解法，求解屈曲分析的特征值問題。典型屈曲分析情況控制指令集：SUBCASE1$應力分析子情況LOAD=10$選定載荷SPC=10$選定單點約束MPC=10$選定多點約束OUTPUT

SUBCASE2$屈曲分析子情況METHOD=100$選取特征值解法SPC=20$選定單點約束MPC=20$選定多點約束OUTPUT

例1經典歐拉梁屈曲

歐拉梁輸入文件

歐拉柱的特征值表

歐拉梁的特征向量

歐拉柱屈曲模態

前4階屈曲模態都是xz平面的模態，xy平面的第一階屈曲模態是系統的第五階模態。xy平面最低屈曲載荷等于理論解

例2側向屈曲

側屈曲的輸入文件

側向屈曲的特征值表和特征向量

靜力和屈曲形態

最低屈曲載荷是

理論解

9、春去春又回，新桃換舊符。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳的季節，愿你生活像春天一樣陽光，心情像桃花一樣美麗，日子像桃子一樣甜蜜。2月-252月-25Thursday,February27,202510、人的志向通常和他們的能力成正比例。17:02:3417:02:3417:022/27/20255:02:34PM11、夫學須志也，才須學也，非學無以廣才，非志無以成學。2月-2517:02:3417:02Feb-2527-Feb-2512、越是無能的人，越喜歡挑剔別人的錯兒。17