3．能運用正切、坡度解決問題．(難點)一、情境導入某體育館為了方便不同需求的觀眾，設計了不同坡度的臺階．問題2：如何描述圖②中臺階的傾斜程度？除了用∠A的大小來描述，還可以用什么方方法一：通過測量BC與AC的長度算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度；方法二：在臺階斜坡上另找一點B，測出BC明臺階的傾斜程度．二、合作探究探究點一：正切【類型一】根據正切的概念求正切值由上面的例子可以得出結論：直角三角形的兩個銳角的正切值互為________．解析：根據勾股定理求出需要的邊長，然后利用正切的定義解答即可．EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(16),12)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(4),3)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(12),16)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(3),4)48484848因而直角三角形的兩個銳角的正切值互為倒數．方法總結：求銳角的三角函數值的方法：利用勾股定理求出需要的邊長，根據銳角三角函數的定義求出對應三角函數值即可．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第1題【類型二】在網格中求正切值已知：如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格中，點A、B、C、D、E都正方形的頂點上，求tan∠ADC的值．EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),3)方法總結：三角函數值的大小是由角度的大小確定的，因此可以把求一個角的三角函數值的問題轉化為另一個與其相等的角的三角函數值．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第3題【類型三】構造直角三角形求三角函數值質，可得DE與AE的長，根據線段的和差，可得BE的長，根據正切三角函數的定義，可AC中點，得AD＝a.由∠A=∠ABC＝45°,又DE⊥AB，得△ADE是等腰直角三角形，∴方法總結：求三角函數值必須在直角三角形中解答，當所求的角不在直角三角形內時，可作輔助線構造直角三角形進行解答．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第7題探究點二：坡度【類型一】利用坡度的概念求斜坡的坡度(坡比)堤的橫斷面如圖．堤高BC是5米，迎水斜坡AB坡度是()方法總結：坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第9題【類型二】利用坡度解決實際問題645°,∴∠DCF＝45°,∴∠CDF＝45645°,∴∠DCF＝45°,∴∠CDF＝45°.∵CD＝44=43(m)，∴AE23.1(m)．所以，它的上底的長約為3.1m.構造直角三角形．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第8題三、板書設計正切與坡度在直角三角形ABC中坡度是坡面的鉛直高度與水平寬度的比，也就是坡角的正切值．在教學中，要注重對學生進行數學學習方法的指導．在數學學習中，有一些學生往往不注重基本概念、基礎知識，認為只要會做題就可以了，結果往往失分于選擇題、填空題等一些概念性較強的題目．通過引導學生進行知識梳理，教會學生如何進行知識的歸納、總結，進一步幫助學生理解和掌握基本概念、基礎知識教學目標:1、理解并掌握正切的含義，會在直角三角形中求出某個銳角的正切值。2、了解計算一個銳角的正切值的方法。理解并掌握正切的含義，會在直角三角形中求出某個銳角的正切值。計算一個銳角的正切值的方法。一、觀察回答：如圖某體育館，為了方便不同需求的觀眾設計了多種形式的臺階。下列圖中[點撥]可將這兩個臺階抽象地看成兩個三角形答：圖——的臺階更陡，理由二、探索活動1、思考與探索一：除了用臺階的傾斜角度大小外，還可以如何描述②再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。（思考：BC與AC長度的比與臺？）（1）如圖，一般地，如果銳角A的大小已確定，我們可以作出無數個相似的RtAB1C1，RtAB2C2，RtAB3C3……，那么有：Rt△AB1C1∽_____∽____……得：_________＝_________=……BAA（2）由上可知：如果直角三角形的一個銳角的大小已確定，那么這個銳角的對邊與這個角的鄰邊的比值也_________。3、正切的定義ABC鄰邊b的比叫做∠A_______，記作______。（你能寫出∠B的正切表達式嗎？）試試看.4、牛刀小試根據下列圖中所給條件分別求出下列圖中∠A、∠B的正切值。AAB1BC33（1）例如，根據書本P39圖7—5，我們可以這樣來確定tan65°的近似值：當一個點從點O出發沿著65°線移動到點P時，這個點向右水平方向前進了1個單位，那么在垂直方向上升了約2.14個單位。于是可知，tan65°的近似值為2.14。（2）請用同樣的方法，寫出下表中各角正切的近似值。θθ2.14（3）利用計算器我們可以更快、更精確地求得各個銳角的正切值。三、隨堂練習2、如圖，在正方形ABCD中，點E為AD的中點,連結EB，設∠EBA=α,則tanα=_________。六、拓寬與提高根據圖中的尺寸，請你通過計算判斷2、在直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A4,1B1，3C4,31．理解正弦與余弦的概念；(重點)2．能用正弦、余弦的知識，根據三角形中已知的邊和角求出未知的邊和角．(難點)一、情境導入如圖，小明沿著某斜坡向上行走了13m，他的相對位置升高了5m.如果他沿著該斜坡行走了20m，那么他的相對位置升高了多少？行走了am呢？在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分別移動了多少？根據相似三角形的性質可知，當直角三角形的一個銳角的大小確定時，它的對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也就確定了．二、合作探究探究點：正弦和余弦【類型一】直接利用定義求正弦和余弦值解析：利用勾股定理求出AC，然后根據正弦和余弦的定義計算即可．EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(BC),AB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(5),13)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(AC),AB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(12),13)方法總結：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，熟記三角函數的定義是解決問題的關鍵．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第1題【類型二】已知一個三角函數值求另一個三角函數值5如圖，在△ABC中，∠C＝90°,點D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝3，求53535函數的定義解答．EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(3),5)＋52方法總結：在不同的直角三角形中，要根據三角函數的定義，分清它們的邊角關系，結合勾股定理是解答此類問題的關鍵．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第8題【類型三】比較三角函數的大小A．tan70°<cos70°<sin70°B．cos70°<tan70°<sin70°C．sin70°<cos70°<tan70°D．cos70°<sin70°<tan70°銳角的正弦值隨著角的增大而增大，∴sin70°>sin20°=cos70°.故選D.90°間變化時，tanA＞1.變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第10題【類型四】與三角函數有關的探究性問題在Rt△ABC中，∠C＝90°,D為BC邊(除端點外)上的一點，設∠ADC=α,∠B=β.(2)試證明你的結論．sinβ；(2)利用三角函數的定義可求出sinα,si解：(1)猜想：sinα>sinβ;ACACACACACACACAC方法總結：利用三角函數的定義把兩角的正弦值表示成線段的比，然后進行比較是解題【類型五】三角函數的綜合應用解析：(1)根據高的定義得到∠ADB=∠ADC＝90°,再分別利用正切和余弦的定義得到ADADADADEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(AD),AC)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(12),13)所以AD＝24.AD(1)證明：∵AD是BC上的高，∴∠ADB=∠ADC＝90°.ADADAD變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第10題三、板書設計正弦與余弦3．利用正、余弦解決問題本節課的教學設計以直角三角形為主線，力求體現生活化課堂的理念，讓學生在經歷“問題情境——形成概念——應用拓展——反思提高”的基本過程中，體驗知識間的內在聯系，讓學生感受探究的樂趣，使學生在學中思，在思中學．在教學過程中，重視過程，深化理解，通過學生的主動探究來體現他們的主體地位，教師是通過對學生參與學習的啟發、調勵來體現自己的引導作用，對學生的主體意識和合作交流的能力起著積極作用.［教學目標］1、理解并掌握正弦、余弦的含義，會在直角三角形中求出某個銳角的正弦和余弦值。2、能用函數的觀點理解正弦、余弦和正切。［教學重點與難點］在直角三角形中求出某個銳角的正弦和余弦值。［教學過程］一、情景創設1、問題1：如圖，小明沿著某斜坡向上行走了13m后，他的相對位置升高了5m，如果他沿著該斜坡行走了20m，那么他的相對位置升高了多少？行走了am呢？20m20m2、問題2：在上述問題中，他在水平方向又分別前進了多遠？二、探索活動1、思考：從上面的兩個問題可以看出：當直角三角形的一個銳角的大小已確定時，它的對我們把銳角∠A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的______，記作________，即：sinA＝________=________.3、余弦的定義如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我們把銳角∠A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的______，記作=_________，？）4、牛刀小試根據如圖中條件，分別求出下列直角三角形中銳角的正弦、余弦值。5、思考與探索（1）如圖，當小明沿著15°的斜坡行走了1個單位長度時，他的位置升高了約0.26個單位長度，在水平方向前進了約0.97個單位長度。根據正弦、余弦的定義，可以知道：sin15°=0.26，cos15°=0.97sin30°=_____，cos30°=_____.sin75°=_____，cos75°=_____.（3）利用計算器我們可以更快、更精確地求得各個銳角的正弦值和余弦值。_____________________________________________________________。_____________________________________________________________。當銳角α越來越大時，它的正弦值是怎樣變化的？余弦值又是怎樣變化的？_____________________________________________________________。6、銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的________三、隨堂練習cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.cosB=______,sinB=_______五、拓寬和提高試求最小角的三角函數值。(重點)一、情境導入在直角三角形中(利用一副三角板進行演示)，如果有一個銳角是30°(如圖①)，那么另一個銳角是多少度？三條邊之間有什么關系？如果有一個銳角是45°呢(如圖②)？由此你二、合作探究【類型一】利用特殊角的三角函數值進行計算解析：將特殊角的三角函數值代入求解．2223-6×=-=-1；(2)2223-6×=-=-1；(2)原式==22－3.22222222EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(1),2)+22222方法總結：解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數值．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第5題【類型二】已知三角函數值求角的取值范圍若cosα=,則銳角α的大致范圍是()A．0°<α<30°B．30°<α<45°C．45°<α<60°D．0°<α<30°322232222222,∴cos60°<cosα<cos45°,∴銳角α的范圍是45°<α<60°.故選C.方法總結：解決此類問題要熟記特殊角的三角函數值和三角函數的增減性．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第9題【類型三】已知三角函數值，求角度3(1)cos(α+10°)－2＝0；3(2)tan2α-(33＋1)tanα+33解析：(1)根據特殊角的三角函數值來求α的值；(2)用因式分解法解關于tanα的一元二次方程即可．解：(1)cos(α+10°)＝23，α+10°=30°,∴α=20°；(2)tan2α-(33＋1)tanα+33=0，(tanα-1)(tanα-33)＝0，tanα=1或tanα=33，∴α=45°或α=30°.方法總結：熟記特殊角的三角函數值以及將“tanα”看作一個未知數解方程是解決問題變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第8題探究點二：特殊角的三角函數值的應用【類型一】特殊角的三角函數值與其他知識的綜合解析：根據非負性的性質求出tanA及sinB的值，再根據特殊角的三角函數值求出∠A及∠B的度數，進而可得出結論．∠C＝180°-45°-60°=75°,∴△ABC是銳角三角形．方法總結：一個數的絕對值和偶次方都是非負數，當幾個數或式的絕對值或偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0.變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第4題【類型二】利用特殊角的三角函數值求三角形的邊長如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°,∠B＝30°,AD是△ABC的角平分線，若解析：首先根據直角三角形的性質推出∠BAC的度數，再求出∠CAD＝30°,最后根據特殊角的三角函數值求出AD的長度．解：∵△ABC中，∠C＝90°,∠B＝30°,∴∠BAC＝60°.∵AD是△ABC的角平分方法總結：解決此題的關鍵是利用轉化的思想，將已知和未知元素化歸到一個直角三角形中，進行解答．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第9題【類型三】構造三角函數模型解決問題要求tan30°的值，可構造如圖所示的直角三角形進行計算．作Rt△ABC，使∠C=90°,斜邊AB＝2，直角邊AC＝1，那么3=3.在此圖的基礎上，通過添加適當的輔助線，探究tan15°與tan75°的值．3解析：根據角平分線的性質以及勾股定理首先求出CD的長，進而得出tan15°23－3中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－3)2＝(1－x)2，解得x＝23－3，∴tan15°==2-33，tan75°=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(BC),CD)＝23EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(3),－)3＝2＋3.方法總結：解決問題的關鍵是添加輔助線構造含有15°和75°的直角三角形，再根據三角函數的定義求出15°和75°的三角函數值．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第6題三、板書設計1232332222132123tan2.應用特殊角的三角函數值解決問題課程設計中引入非常直接，由三角板引入，直擊課題，同時也對前兩節學習的知識進行了整體的復習，效果很好．設計引題開門見山，節省了時間，為后面的教學提供了方便．在講解特殊角三角函數值時也很細，可以說前部分的教學很成功，學生理解的很好.教學目標：1.能利用三角函數概念推導出特殊角的三角函數值.2.在探索特殊角的三角函數值的過程中體會數形結合思想.教學重點：特殊角30°、60°、45°的三角函數值.教學難點：靈活應用特殊角的三角函數值進行計算.一、鏈接：1.如圖，用小寫字母表示下列三角函數：仔細閱讀課本內容后完成下面填空：三角函數值三角函數tana1.求下列各式的值（1）2sin300－cos450（2）sin600cos600（3）sin2300+cos23002.求滿足下列條件的銳角α:3.已知：如圖，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,AC=2,AD=3.分別求出△ABC、△ACD、△BCD中各銳角的度數.,則銳角α=________.若2cosα=1,則銳角α=_________.2．若∠A是銳角，且則cosA=_________3．若∠A=41°,則cosA的大致范圍是()A．0＜cosA＜1B.＜cosA＜C.4.計算1）tan30°sin60°+cos230°-sin245°tan45°02．初步理解仰角和俯角的概念及應用．(難點)一、情境導入如圖①和圖②,將一個Rt△ABC形狀的楔子從木樁的底端點P沿水平方向打入木樁底下，可以使木樁向上運動．如果楔子斜面的傾斜角為10°,楔子沿水平方向前進5cm(如箭觀察圖②易知，當楔子沿水平方向前進5cm，即BN＝5cm時，木樁上升的距離為PN.PN在Rt△PBN中，∵tan10°=BN，∴PN＝BNtan10°=5tan10°(cm)．對于不是30°,45°,60°這些特殊角的三角函數值，可以利用科學計算器來求．二、合作探究探究點一：利用科學計算器解決含三角函數的計算問題【類型一】已知角度，用計算器求三角函數值用計算器求下列各式的值(精確到0.0001)：(3)cos25°18′；(4)sin18°+cos55°-tan59°.解析：熟練使用計算器，對計算器給出的結果，根據題目要求用四舍五入法取近似值．解：根據題意用計算器求出：(1)sin47°≈0.7314；(2)sin12°30′≈0.2164；(3)cos25°18′≈0.9041；(4)sin18°+cos55°-tan59°≈-0.7817.方法總結：解決此類問題關鍵是熟練使用計算器，使用計算器時要注意按鍵順序．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第3題【類型二】已知三角函數值，用計算器求銳角的度數已知下列銳角三角函數值，用計算器求銳角∠A，∠B的度數(結果精確到0.1°)：解析：熟練應用計算器，對計算器給出的結果，根據題目要求用四舍五入取近似值．方法總結：解決此類問題關鍵是熟練使用計算器，在使用計算器時要注意按鍵順序．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第7題【類型三】利用計算器比較三角函數值的大小(1)通過計算(可用計算器)，比較下列各對數的大小，并提出你的猜想：②sin36°________2sin18°cos18°;③sin45°________2sin22.5°cos22.5°; 2sin30°cos30°; 2sin40°cos40°.猜想：已知0°<α<45°,則sin2α (2)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α,請根據提示，利用面積方法驗證(1)解析：(1)利用計算器分別計算①至⑤各式中左邊與右邊的值，比較大小；(2)通過計算解：(1)①=②=③=④=⑤=猜想：=(2)已知0°<α<45°,則sin2α=2sinαcosα.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)方法總結：本題主要運用了面積法，通過用不同的方法表示同一個三角形的面積，來得到三角函數的關系，此種方法在后面的學習中會經常用到．探究點二：利用三角函數解決實際問題【類型一】非特殊角三角函數的實際應用如圖，從A地到B地的公路需經過C地，圖中AC＝10千米，∠CAB＝25°,∠CBA＝45°.因城市規劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．(1)求改直后的公路AB的長；(2)問公路改直后該段路程比原來縮短了多少千米(精確到0.1)?BC的長度，即可得出公路改直后該段路程比原來縮短的路程．=AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)．所以，改直后的公路AB的長約為13.3千米；公路改直后該段路程比原來縮短了約2.6千米．方法總結：解決問題的關鍵是作出輔助線，構造直角三角形，利用三角函數關系求出有關線段的長．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第9題【類型二】仰角、俯角問題團面如圖，課外數學小組要測量小山坡上塔的高度DE，DE所在直線與水平線AN垂直．他們在A處測得塔尖D的仰角為45°,再沿著射線AN方向前進50米到達B處，此時測得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°,小山坡坡頂E的仰角∠EBN＝25.6°活動小組算一算塔高DE大約是多少米(結果精確到個位)．解析：根據銳角三角函數關系表示出BF的長，進而求出EF的長，得出答案．解：延長DE交AB延長線于點F，則∠DFA＝90°.∵∠A＝45°,∴AF＝DF.設EF=1.8，解得x≈31.故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．所以，塔高DE大約是81米．當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第7題三、板書設計三角函數的計算1．已知角度，用計算器求三角函數值2．已知三角函數值，用計算器求銳角的度數3．仰角、俯角的意義本節課盡可能站在學生的角度上思考問題，設計好教學的每一個細節，讓學生更多地參與到課堂的教學過程中，讓學生體驗思考的過程，體驗成功的喜悅和失敗的挫折，舍得把課堂讓給學生，盡最大可能在課堂上投入更多的情感因素，豐富課堂語言，使課堂更加鮮活，充滿人性魅力，下課后多反思，做好反饋工作，不斷總結得失，不斷進步．只有這樣，才能真正提高課堂教學效率，提高成績.對應的銳角.顯示解在角度單位狀態為“度”的情況下（屏解在角度單位狀態為“度”的情況下（屏2．選擇適當的關系式解直角三角形．(難點)一、情境導入如圖，美麗的徒駭河宛如一條玉帶穿城而過，沿河兩岸的濱河大道和風景帶成為該市的一道新景觀．在數學課外實踐活動中，小亮在河西岸濱河大道一段AC上的A，B兩點處，利用測角儀分別對東岸的觀景臺D進行了測量，分別測得∠DAC＝60°,∠DBC＝75°.又已知AB＝100米，根據以上條件你能求出觀景臺D到徒駭河西岸AC的距離嗎？二、合作探究探究點：解直角三角形【類型一】利用解直角三角形求邊或角列條件解直角三角形．a2方法總結：解直角三角形時應求出所有未知元素，盡可能地選擇包含所求元素與兩個已知元素的關系式求解．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第6題【類型二】構造直角三角形解決長度問題∠EDF＝60°,利用解直角三角形解答即可． 在△EFD方法總結：解答此類題目的關鍵是根據題意構造直角三角形，然后利用所學的三角函數的關系進行解答．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第7題【類型三】構造直角三角形解決面積問題形求出CD的長，最后根據三角形的面積公式解答即可．2解：過點A作AD⊥BC于點D，∵∠B＝45°,∴∠BAD＝45°,∴AD＝BD＝2AB=23方法總結：解答此類題目的關鍵是根據題意構造直角三角形，然后利用所學的三角函數的關系進行解答．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第7題三、板書設計解直角三角形2．解直角三角形的基本類型及其解法3．解直角三角形的簡單應用本節課的設計，力求體現新課程理念．給學生自主探索的時間，給學生寬松和諧的氛圍，讓激發學生學習數學的積極性、主動性.課題教學目標教學重點教學難點教學用具執教者教學內容解直角三角形1、使學生綜合運用有關直角三角形知識解決實際問題．2、培養學生分析問題、解決問題的能力，滲透數形結合的數學思想方法．歸納直角三角形的邊、角之間的關系，利用這些關系式解直角三角形，并利用解直角三角形的有關知識解決實際問題．利用解直角三角形的有關知識解決實際問題．案請學生回答以上二小題，因為本節課主要是運用以上關系解直角三角形，從而解決一些實際問題．第二大節“解直角三角形”，安排在銳角三角函數之后，通過計算題、證明題、應用題和實習作業等多種形式，對概念進行加深認識，起到鞏固作用．同時，解直角三角形的知識可以廣泛地應用于測量、工程技術和物理之中，主要是用來計算距離、高度和角度．其中的應用題，內容比較廣泛，具有綜合技術教育價值．解決這類問題需要進行運算，但三角的運算與邏輯思維是密不可分的；為了便于運算，常常先選擇公式并進行變換．同時，解直角三角形的應用題和實習作業也有利于培養學生空間想象能力，要求學生通過觀察，或結合文字畫出圖形，總之，解直角三角形的應用題和實習作業可以培養學生的三大數學能力和分析問題、解決問題的能力．解直角三角形還有利于數形結合．通過這一章學習，學生才能對直角三角形概念有較完整認識，才能把直角三角形的判定、性質、作圖與直角三角形中邊、角之間的數量關系統一起來．另外，有些簡單的幾何圖形可分解為一些直角三角形的組合，從而也能用本章知識加以處理．基于以上分析，本節課復習解直角三角形知識主要通過幾個典型例題的教學，達到教學目標．1、首先出示，通過一道簡單的解直角三角形問題，為以下實際應用奠定基礎．根據下列條件，解直角三角形．教師分別請兩名同學上黑板板演，同時巡視檢查其余同學解題過程，對有問題的同學可單獨指導．待全體學生完成之后，大家共同檢查黑板上兩題的解題過程，通過學生互評，達到查漏補缺的目的，使全體學生掌握解直角三角形．如果班級學生對解直角三角形掌握較好，這兩個題還可以這樣處理：請二名同學板演的同時，把下面同學分為兩部分，一部分做①,另一部分做②,然后學生互評．這樣可以節約時間．在平地上一點C，測得山頂A的仰角為30°,向山沿直線前進20米到D處，再測得山頂A的仰角為45°,求山高AB．此題一方面可引導學生復習仰角、俯角的概念，如圖6-39，根據題意可得AB⊥BC，得∠ABC=90°,△ABD和△ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直線上，由∠ADB=45°,AB=BD，CD=20米，可得BC=20+AB，在Rt△ABC中，∠C=30°,可得AB與BC之間的關系，因此山高AB可求．學生在分析此題時遇到的困難是：在Rt△ABC中和Rt△ABD中，都找不出一條已知邊，而題目中的已知條件CD=20米又不會用．教學時，在這里教師應著重引②,通過①,②兩式，可得AB長．∵∠ADB=45°,∴AB=BD，通過此題可引導學生總結：有些直角三角形的已知條件中沒有一條已知邊，但已知二邊的關系，結合另一條件，運用方程思想，也可以解決．3．例題3(出示投影片)如圖6-40，水庫的橫截面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB壩底寬AD(精確到0.1m)．坡度問題是解直角三角形的一個重要應用，學生在解坡度問題時常遇到以下問1．對坡度概念不理解導致不會運用題目中的坡度條件；2．坡度問題計算量較大，學生易出錯；3．常需添加輔助線將圖形分割成直角三角形和矩形．因此，設計本題要求教師在教學中著重針對以上三點來考查學生的掌握情況．首先請學生分析：過B、C作梯形ABCD的高，將梯形分割成兩個直角三角形和一個矩形來解．教師可請一名同學上黑板板書，其他學生筆答此題．教師在巡視中為個別學生解開疑點，查漏補缺．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E、F，則BE=23m．答：斜坡AB長46m，坡角α等于30°,壩底寬AD約為68.8m．引導全體同學通過評價黑板上的板演，總結解坡度問題需要注意的問題：①適當添加輔助線，將梯形分割為直角三角形和矩形．③計算中盡量選擇較簡便、直接的關系式加以計算．請學生總結：解直角三角形時，運用直角三角形有關知識，通過數值計算，去求出圖形中的某些邊的長度或角的大小．在分析問題時，最好畫出幾何圖形，按照圖中的邊角之間的關系進行計算．這樣可以幫助思考、防止出錯．板書設計教學反思小結與復習(二)二、新課講解三、課堂小結2．能夠建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題．(難點)一、情境導入為倡導“低碳生活”，人們常選擇自行車作為代步工具，圖①所示的是一輛自行車的實物圖．圖②是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔AC與CD的長分別為45cm和60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm.點A、C、E在同一條直線上，且∠CAB=二、合作探究探究點：三角函數的應用【類型一】利用方向角解決問題某船以每小時36海里的速度向正東方向航行，在點A測得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時后到達點B，測得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍16海里內有暗礁．(2)若繼續向東航行有無觸礁危險？請說明理由．CD是Rt△ACD和Rt△CBD的公共直角邊，可先求出CD在第(1)問已經求出，只要進行比較即可．EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)(2)∵CD＝3x＝93，93＜方法總結：解決本題的關鍵是將實際問題轉化為直角三角形的問題，通過作輔助線構造直角三角形，再把條件和問題轉化到這個直角三角形中解決．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第4題【類型二】利用仰角和俯角解決問題某中學九年級學生在學習“直角三角形的邊角關系”時，組織開展測量物體高度的實踐活動．在活動中，某小組為了測量校園內①號樓AB的高度(如圖)，站在②號樓的C處，測得①號樓頂部A處的仰角α=30°,底部B處的俯角β=45°.已知兩幢樓的水平距離BD為18米，求①號樓AB的高度(結果保留根號)．AE＝CE·tan∠ACE＝18×tan30°=63(米)，∴AB所以，①號樓AB的高為(18＋63)米．方法總結：解決本題的關鍵是結合仰角、俯角構造直角三角形，然后再解直角三角形．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第1題【類型三】求河的寬度根據網上消息，益陽市為了改善市區交通狀況，計劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點，小張為了測量A、B之間的河寬，≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．410410410410方法總結：解題的關鍵在于構造出直角三角形，通過測量角的度數和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或寬度．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第5題【類型四】仰角、俯角和坡度的綜合應用如圖，小麗假期在娛樂場游玩時，想要利用所學的數學知識測量某個娛樂場地所在山坡AE的長度．她先在山腳下點E處測得山頂A的仰角是30°,然后，她沿著坡度是i小麗的步行速度是18米/分，圖中點A、B、E、D、C在同一平面內，且點D、E、B在同一水平直線上．求出娛樂場地所在山坡AE的長度(參考數據：2≈1.41，結果精確到0.1米)．∠ECF＝30°,通過平角減去其他角從而得到∠AEF＝45°,即可求出AE的長度．∵tan∠CED＝1，∴∠CED=∠DCE＝45°.∵∠ECF＝90°-45°-15°=30°,∴EF2=1CE＝135米．∵∠CEF＝60°,∠AEB＝30°,∴∠AEF＝180°-45°-60°-30°=245°,∴AE＝2EF＝1352≈190.4(米)．所以，娛樂場地所在山坡AE的長度約為190.4米．方法總結：解決本題的關鍵是能借助仰角、俯角和坡度構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數解直角三角形．三、板書設計三角函數的應用2．三角函數的實際應用本節課盡可能站在學生的角度上思考問題，設計好教學的每一個細節，上課前多揣摩．讓學把課堂讓給學生，讓學生做課堂這個小小舞臺的主角．教師盡最大可能在課堂上投入更多的不斷總結得失，不斷進步．只有這樣，才能真正提高課堂教學效率.教學目標1.經歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數在解決問題過程中的應用.2.能夠把實際問題轉化為數學問題，能夠借助于計算器進行有關三角函數的計算，并能對結果的意義進行說明.發展學生的數學應用意識和解決問題的能力.1.在經歷弄清實際問題題意的過程中，畫出示意圖，培養獨立思考問題的習慣和克服困難的勇氣.2.選擇生活中學生感興趣的題材，使學生能積極參與數學活動，提高學習數學、學好數學的欲望.教具重點1.經歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數在解決問題過程中的作用.2.發展學生數學應用意識和解決問題的能力.教學難點根據題意，了解有關術語，準確地畫出示意圖.教學方法探索——發現法教具準備多媒體演示教學過程[師]直角三角形就像一個萬花筒，為我們展現出了一個色彩斑瀾的世界.我們在欣賞了它使我們現實生活中不可能實現的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等.下面我們就來看一個問題(多媒體演示).海中有一個小島A，該島四周10海里內有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續往東航行，你認為貨輪繼續向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進行交流.下面就請同學們用銳角三角函數知識解決此問題.(板書：船有觸礁的危險嗎)[師]我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規定的?[生]應該是“上北下南，左西右東”.[師]請同學們根據題意在練習本上畫出示意圖，然后說明你是怎樣畫出來的.方，且在A南偏東25°處.示意圖如下.[師]貨輪要向正東方向繼續行駛，有沒有觸礁的危險，由誰來決定?[生]根據題意，小島四周10海里內有暗礁，那么貨輪繼續向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里，則無觸礁的危險，如果小于10海里則有觸礁的危險.A到BC所在直線的最短距離為過A作AD⊥BC，D為垂足，即AD的長度.我們需根據題意，計算出AD的長度，然后與10海里比較.[師]這位同學分析得很好，能將實際問題清晰條理地轉化成數學問題.下面我們就來看AD如何求.根據題意，有哪些已知條件呢?[生]已知BC°=20海里，∠BAD＝55°,∠CAD＝25°.[師]在示意圖中，有兩個直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一個三角形中求出[生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°,不能求AD.也不能求出AD.[師]那該如何是好?是不是可以將它們結合起來，站在一個更高的角度考慮?[生]我發現這兩個三角形有聯系，AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個直角三角形BD與CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的對角是已知的，BD、CD和邊AD都有聯系.CD＝ADtan25°.[生]利用BC＝BD-CD就可以列出關于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°=[師]太棒了!沒想到方程在這個地方幫了我們的忙.其實，在解決數學問題時，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數學中最重要的數學思想之一下面我們一起完整地將這個題做完.[師生共析]解：過A作BC的垂線，交BC于點D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，從而BD=ADtan55°,CD＝ADtan25°,由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得ADtan55°-ADtan25°=20.AD(tan55°-tan25°)＝20，這樣AD≈20.79海里>10海里，所以貨輪沒有觸礁的危險.[師]接下來，我們再來研究一個問題.還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現在我們來看他是怎樣測的，并根據他得到的數據幫他求出塔的高度.多媒體演示如圖，小明想測量塔仰望塔頂，測得仰角為30°,再往塔的方向前進50m至B處.測得仰角為60°.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計，結果精確到[師]我想請一位同學告訴我什么是仰角?在這個圖中，30°的仰角、60°的仰角分別指哪兩個角?[生]當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.[師]很好!請同學們獨立思考解決這個問題的思路，然后回答.(教師留給學生充分的思考時間，感覺有困難的學生可給以指導)[生]首先，我們可以注意到CD是兩個直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共邊，在Rt即在Rt△BDC中即又∵AB=AC-BC＝50m，得 解得CD≈43(m)，[生]我有一個問題，小明在測角時，小明本身有一個高度，因此在測量CD的高度時應考慮小明的身高.[師]這位同學能根據實際大膽地提出質疑，很值得贊賞.在實際測量時.的確應該考慮小明的身高，更準確一點應考慮小明在測量時，眼睛離地面的距離.你能畫出示意圖嗎?右圖所示，由前面的解答過程可知CC′≈1.6＝44.6m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6m.[師]同學們的表現太棒了.現在我手里有一個樓梯改造工程問題，想請同學們幫忙解決一下.某商場準備改善原來樓梯的安全性能，把已知原樓梯長為4m，調整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面?(結果精確到0.0lm)后相互交流，討論各自的想法)中，要注意調整前后的梯樓的高度是一個不變量.根據題意可畫㈩示意圖(如右圖).其中AB表示樓梯的高度.AC是原樓梯的長，BC是原樓梯的占地長度；AD是調整后的樓梯的長度，DB是調整后的樓梯的占地長度.∠ACB是原樓梯的傾角，∠ADB是調整后的樓梯的傾角.轉化為數學問題即為：如圖，AB⊥DB，∠ACB＝40°,∠ADB＝35°,AC＝4m.求AD-AC及DC的長度.[師]這位同學把這個實際樓梯調整問題轉化成了數學問題.大家從示意圖中不難看出這個問題是前面問題的變式.我相信同學們一定能用計算器輔助很快地解決它，開始吧![生]解：由條件可知，在Rt△ABC中即AB＝4sin40°m，原樓梯占地長BC＝4cos40°m.調整后,在Rt△ADB中則樓梯占地長∴調整后樓梯加長樓梯比原來多占DC＝DB-BC=Ⅲ.隨堂練習1.如圖，一燈柱AB被成40°夾角，且DB＝5m，另一條鋼纜ED，那么鋼纜ED的長度為多少?BE=BC+EC＝2+5sin40°(m).所以鋼纜ED的長度為7.96m.2.如圖，水庫大壩的截面是梯形ABCD，壩頂AD=6m，坡長CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°.(2)如果壩長100m.那么建筑這個大壩共需多少土石料?(結果精確到0.01m3)解：過A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F為垂足.1壩長為100m，那么建筑這個大壩共需土石料100×722≈10182.34(m3).綜上所述，∠ABC＝17°8′21″，建筑大壩共需10182.34m3土石料.Ⅳ.課時小結1．經歷運用儀器進行實地測量以及撰寫活動報告的過程，能夠對所得到的數據進行分析；(重點)2．能綜合應用直角三角形的邊角關系的知識解決實際問題．(難點)一、情境導入如圖所示，站在離旗桿BE底部10米處的D點，目測旗桿的頂部，視線AB與水平線的夾角∠BAC為34°,并已知目高AD為1.5米．現在若按1∶500的比例將△ABC畫在紙上，并記為△A′B′C′，用刻度直尺量出紙上B′C′的長度，便可以算出旗桿的實際高度．你知實際上，我們利用圖①中已知的數據就可以直接計算旗桿的高度，而這一問題涉及直角三角形中的邊角關系．我們已經知道直角三角形的三條邊所滿足的關系(即勾股定理)，那么它的邊與角又有什么關系？這就是本節要探究的內容．二、合作探究探究點：利用三角函數測高【類型一】測量底部可以到達的物體的高度如圖，在一次測量活動中，小華站在離旗桿底部B處6米的D處，仰望旗桿頂端A，測得仰角為60°,眼睛離地面的距離ED為1.5米．試幫助小華求出旗桿AB的高度(結果精確到0.1米，3≈1.732)．AC所以，旗桿AB的高度約為11.9米．方法總結：本題借助仰角構造直角三角形，并結合