第二十七章重點突破訓練：相似三角形性質與判定的應用舉例

典例體系（本專題共71題125頁）

第二十七章重點突破訓練：

相似三角形性質與判定的應用舉例

考點1：平行線分線段成比例定理的輔助線添加

典例：（2019?浙江臺州?初三期末）如圖，已知點F在AB上，且AF：BF=1：2,點D是BC延長線上一點,

BC：CD=2：1,連接FD與AC交于點N,求FN：ND的值.

【答案】FN：ND=2：3.

【解析】解：過點F作FE〃BD,交AC于點E,

士

BD

.EF_AF

"AB?

VAF：BF=1：2,

.AF1

??=一，

AB3

,FE1

??___—_，

BC3

即FE=-BC,

3

VBC：CD=2：1,

7.CD=—BC,

2

：FE〃BD,

.FN_FE_3c_2

"~ND~~CD~lBC~3

2

即FN：ND=2：3.

方法或規律點撥

本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，注意：平行線分的線段對應成比例，此題具有一定的代表性,

但是一定比較容易出錯的題目.

鞏固練習

1.(2020?大慶市第五十七中學初二期末)如圖，AD是ABC的中線，E是AD上一點，且AE：ED=1：2,

BE的延長線交AC于F,則AF：FC=()

A.1：2B.1：3C.I：4D.1：5

【答案】C

【解析】解：作DH〃BF交AC于H,

TAD是△ABC的中線,

???FH=HC,

?.?DH〃BF,

*AFAE1

>?——――

FHED2

，AF：FC=1：4,

故選：C.

Af1AP

2.（2020.江蘇蘇州.初二期末）如圖，AD是中線，點E在AC上，BE交AD于前F.若——=一，則——

AD2AC

【解析】解：過點D作BE的平行線交AC于點G,

CDCG

-JDGUBE,/.—=—

CBCE

：AD是中線，；.D是BC中點，.，.G是CE中點,

AF"AEi

FE//DG,==-?E是AG中點,

ADAG2

?AE1

.?=(

AC3

故答案是：

3

A

3.（2020?上海市靜安區實驗中學初三課時練習）如圖，在R2ABC中，ZACB=90°,BA=12cm,AD、BE

是兩條中線，F為其交點，那么CF=—cm.

c

【答案】4

【解析】解：延長CF交AB于點H,連接DH.

???CH是AABC的中線，

ZACB=90°,

1,

CH=—AB=6cm,

2

VBD=CD,BH=AH,

???DH〃AC,AC=2DH,

.FH_DH_1

CF-AC-2?

ACF=2FH,

2

ACF=-CH=4cm.

3

故答案為：4

4.（2020?溫州育英國際實驗學校初二月考）如圖，等邊AABC的邊長為5,D在BC延長線上，CD=3,點

E在線段AD上，且AE=AB,連接BE交AC于F,則CF的長為.

E

B

【答案】1

【解析】解：過點A作AGJ_BD于點G,過點E作EH〃AC,交BD于點H,

VDC=3

.?.DG=CG+DC=2.5+3=5.5

在RMAGD中，

AD=YIAG2+DG2

.?.DE=7-5=2

：EH〃AC,

DEEHDH2EHDH

..==即14rl一==----

ADACDC753

解之：EH=—,DH=-

77

?；CF〃EH,

CF_5

.CF_BC

即訶二Q6

EHBH---o-

77

解之：CF=1

故答案為：1.

5.（2020.江蘇無錫.初三其他）如圖，在Rt^ABC中，NACB=90。，AB=4,點D,E分別在邊AB,AC

上，且DB=2AD,AE=3EC,連接BE,CD,相交于點O,則AABO面積最大值為.

Q

【答案】-

3

【解析】解：如圖，過點D作DF〃AE,

.EC1

,南-3'

；.DF=2EC,

/.DO=2OC,

2

-,.DO=-DC,

3

.22

??SAADO=_SAADC,SABDO=_SABDC?

33

._2

??SAABO=_SAABC，

3

ZACB=90°,

.?.C在以AB為直徑的圓上，設圓心為G,

當CG_LAB時，AABC的面積最大為：—x4x2=4,

2

28

此時^ABO的面積最大為：一X4二一.

33

Q

故答案為：一.

3

6.（2020?江蘇泰興?初三其他）如圖，在RtAABC中，/ACB=90。，AC=6,點G是AABC的重心，GH

則GH的長為

【解析】如圖，連接AG并延長AG交BC于D,

點G是AABC的重心,

GD1

AG=2GD,即un---——

AG2

GD_1

~AD~3

由GH_LBC,ZACB=90°,

GH//BC,

GDGH

~AD~~AC

AC=6,

GD1

GH=AC'-----=6x—=2,

3

7.（2020?桂根廣西師大附屬外國語學校初三月考）如圖，矩形A8CZ）中，AB=4,AZ）=6,點E在邊上,

且BE:EC=2：1,動點P從點C出發，沿CO運動到點D停止，過點E作EFVPE交矩形ABCD的邊于F,

若線段EF的中點為M,則點P從C運動到。的過程中，點M運動的路線長為.

【答案】3

【解析】解：如圖，點F可能在AD邊上，也可能在AB邊上,

(1)點F在AD邊上時，

當P與C重合時，點F與G重合，此時點M在K處，當點P與Q重合時，點F與A重合，點M在H處，

點M的運動軌跡是線段HK.

可求得DG=CE=2,AG=4,

/.HK=—AG=2,

2

(2)點F在AB邊上時，

當P與D重合時，點F與0重合，此時點M在N處，點M的運動軌跡是線段HN.

VAOBE^ACED,

.OBBE

"~CE~~CD'

，OB=2,

.\OA=2,

/.HN=—AO=1,

2

二點M的運動路徑的K=HK+HN=2+1=3.

故答案為3.

8.(2020?上海松江?初一期末)如圖，在等邊AABC中，已知點E在直線AB上(不與點A、8重合)，點。

在直線BC上，且ED=EC.

(1)若點E為線段A8的中點時，試說明O8=AE的理由；

(2)若AABC的邊長為2,AE=\,求CO的長.

D'BB

備用圖

【答案】（1）理由見解析；（2）I或3

【解析】（1）???△ABC是等邊三角形，E為的中點,

AZBCE=30°,BE=AE,

?:ED=EC,

；?NEDB=NBCE=30。,

??ZABD=120°,

：.ZDEB=30°f

:?DB=EB,

：.AE=DB；

（2）如圖1,

'：AB=2,AE=l,

???點E是A8的中點，

由（1）知，BD=AE=\f

；.CD=BC+BD=3；

如圖2,過A作于M,過E作EN-LBC于N,

9

：AB=ACfDE=CE,

：.BM=-BC=3,CD=2CN,

2

VAM±BC,EN1BC,

J.AM//EN,

.ABBM

…而一而‘

21

??一=—，

3BN

3

:?BN=一,

2

：.CN=BC-BN=—，

2

：.CD=\9

綜上所述，CO的長為1或3.

A

Ej

C

口B圖］?/'j\A

MDNC

圖2一

9.（2020?全國初三專題練習）如圖，在RtZkABC中，NA3C=90°，84=3。，點。為8C邊上的中

點，連接AD，過點8作3ELAZ）于點E,延長BE交AC于點F,求一的值.

【答案】2

【解析】解：如解圖，過點A作的平行線，過點C作A5的平行線相交于點M，延長交MCF點

G.

VZABC=90°，BA=BC,

二四邊形ABCM為正方形，

ZABC=/BCG=90°，

：.ZABE+NGBC=90。，

又,:BELAD^

二ZABE+NBAZ>=90°,

/.NGBC=NDAB,

又,:AB=BC,

：.AGBC^AZM5（ASA）,

：.CG=BD.

乂：AB//MC.

AFABAB,

——=——=——=2.

FCCGBD

B

D

M

考點2：動點問題中的相似問題

典例：(2020?無錫市錢橋中學初三月考)如圖，矩形ABCD中，AB=8cm,BC=6cm,點O為對角線的

中點，點P從點A出發，沿折線AD-DO-OC,以每秒2厘米的速度向終點運動，當點P與點A不重合時,

過點P作PQLAB于點Q,以PQ為邊向右作正方形PQMN,點P運動的時間為t(秒).

(1)求點N落在BD上時t的值;

(2)當點O在正方形PQMN內部時，t的取值范圍

(3)當直線DN平分ABCD面積時求出t的值.

【解析】解：(1)如圖，當點N落在BD上時,

:四邊形PQMN是正方形,

APN//QM,PN=PQ=2t,

：.DPNDQB,

DPPN

DQ-QB

VPN=PQ=PA=2t,￡>P=6—2f,QB=AB=8,

.6—2，It

??-------=---，

68

12

.?t=---,

7

12

當，=一時，點N落在BD上；

7

(2)①如圖，當MN過點O時,

QM=QP=2t,MB=S-2t,

?.?四邊形PQMN是正方形，

MN//DQ,

.點。是DB中點，

AQM=BM,

.'.2r=8—2r,解得，=2,

②如圖，當PQ過點。時，

?.?四邊形ABCD是矩形，

...ZA=90。，

；AB=8,AD=6,

.\DB=10,

:點。是DB的中點，

AD0=5,

???2，=AT>+OO=6+5=11,解得/=□,

2

.?.當點0在正方形PQMN內部時，，的范圍是2<5；

(3)設直線DN與BC交于點E,

?.?直線DN平分BCD面積,

/.BE=CE=3,

①如圖，點P在AD匕過點E作EH//PN交AD于點H,

?/DPNDHE，

.DPPN

??=~,

DHEH

,:PN=PA=2t,DP=6—2t,DH=CE=3,EH=AB=8,

6-2t2t24

-----=—.解得，=77

3o11

②如圖，點P在DO匕連接OE,

/.DPNDOE,

DPPN

DO-OE

,:DP=2t—6,￡>O=5,OE=4,

2r-6PNan*,8/公

=N，即PN=”-3),

V整PQBDA,

.BPPQ

"~BD~~DA'

研=6+10-2/=16-2，

里絲絲即PQ=18T),

1065V7

PN=PQ,

-1(/-3)=^(8-/),解得f=竿；

③如圖，點P在OC上，設DE與OC交于點S,連接OE,交PQ于點R,

DC

：.{DSCESO,

.SCDC

"~SO~~OE'

:.SC=2SO,

'：OC=5,

.s°C5

33

；PN//AB//DC//0E,

：.\SPNSOE,

.SPPN

"SO-OEf

?；SP=6+5+--2r=—-2r,

33

3

,/PR//MN//BC，

A\ORPOEC,

OPPR

~OC~~CE

VOP^2t-ll,0C=5,EC=3,

.2r-llPR即PR專告,

,?-----=---

53

?；QR=BE=3,

八nr,八r>633,618

PQ=PR+QR——t----F3=—t-----,

5555

?；PN=PQ,

1522461817

t=-t——，/解nZ得M，=一,

555~~53

17

綜上：/的值為—，—,

117~3

方法或規律點撥

本題考查動點問題，涉及矩形的性質，相似三角形的性質和判定，解題的關鍵是用時間t根據題意表示出對

應的線段長，然后利用相似三角形對應邊成比例列式求出t的值.

鞏固練習

1.（2020?山東安丘?東埠初中初三月考）如圖，在A6C中，ZACB=90°,AB=10,AC=6,點。是

BC上一動點，連接AD,將&W沿4）折疊，點C落在點C,連接CD交A3于點E,連接BC.當

△比Z）是直角三角形時，的長為

【解析】在AABCAABC中，/ACB=90。，AB=10,AC=6,由勾股定理得BC=JAB中AC?=8,

「△BCD是直角三角形時

當/DCB=90。，/AC，D=90。，則C與E重合，如圖，AC=AC'=6,BC（=AB-AC'=4,CD=C'D=x,BD=8-x,

由勾股定理得X2+42=（8-X）2,解得X=3

D

當/CDB=90。，如下圖:

NC=NAC'D=90°,

ZC=ZAC,D=ZCDC,=90°,AC=AC',

四邊形ACDC為正方形,

CA=C'A=CD=6,BD=2,設DE=x,C'E=6-x,由BD〃AC,

AAAC'E^ABDE,

AC'C'E66-x3

---=----即nn—=---解得x=—,

BDDE2x2

3

故答案為：3或一.

2

2.(2019?全國初三單元測試)如圖,在矩形ABCD中，AB=CD=4cm,AD=BC—6cm,AE=DE=3cm,

點P從點E出發，沿EB方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，點Q從點C出發，沿CD方向勻速運動，速

度為2cm/s,連接PQ,設運動時間為t(s)(0<Z<2),解答下列問題：

(1)當t為何值時，PQ//BC?

(2)設四邊形PBCQ的面積為y(cm2),求y與t的函數關系式；

(3)是否存在某一時刻L使四邊形PBCQ的面積是四邊形PQDE的面積的4倍？若存在，求出t的值;

若不存在，說明理由.

(4)連接BD,點O是BD的中點，是否存在某一時刻t,使P,O,Q在同一直線上？若存在，求出t的

值；若不存在，說明理由.

【答案】(1)z=—：(2)y=-t2+-t+\2；(3)存在.t=姮匚(4)不存在，詳見解析.

7552

【解析】解：(1)由題意，得NA=9()°,EP=tcm,QC=2tcm.

在RtAABE中，AB-4cm-AE-3cm.

?*-BE=VAB2+AE2=5cm-

EPDOt4-2/10

則PB=(5-/)c■加.若PQ//8C.則萬^=,即^―j=2f，=

(2)如圖，過點P作用則PF//A3，

:./BPF=/EBA

又：ZBFP=ZEAB=900.

/.|BPFEBA

BFBPPF,BF5-iPt

...---=---=----,即HI----=----=---

EAEBBA354

?BF—3(5-"cmPF_4(5-力

55

3(5+R)

CF=BC-BF=6—3(5T)^Cm.

55

y=SPI1F+S^0QPF=—BF-PF+—(C(2+PF).

型口維⑵+3.迎a"。/.

25525555

33

???y與t的函數關系式為》=《廣+)1+12.

(3)存在.由題意，得

S四邊形BCDE=S矩形ABCD—S槐=4x6-彳x3x4=18.

S四邊形P8CQ=4s四如稱PQ/%，

z.-r+-r+12=-xl8.

555

解得r=土典(舍去)，f=五二1,.?.當t=g3時,四邊形PBCQ的面積是四動形PQDE的

12222

面積的4倍.

(4)不存在.理由：

①當點P在點0上方，點Q在點0下方時，如圖1,延長Q0至點Q'易得AQ'=CQ=2fcm,

過點P作尸于點M,

.PMEFPMt4

PM//AB,即——=-.PM=-tcm.

455

4

但實際PM〉AQ',.?.此時不存在.

②當點P在點O下方，點Q在點0上方時，如圖2,延長Q0交AB于點Q，,作④刀于點G，PH_LA8

于點H.

則BG=LAB=2cm,0G=-AD=3cm.

22

,:PB=(5-t)cm，

3(34/4、

APH=-(5-r)=3--tcm,BH=-(,5-t)=\4一一tcm.

5I5J5I5)

易證8。'=OQ=(4-2f)cm,

At6

HQ=BH-BQ=4---(4-2t)=^tcm,

GQ=BG-8。'=2-(4-2t)=(2r-2)cm,

易證Q'HPQ'GO,

.PHHQ

OGGQ

36

A5?_5Z,即產一3f+5=0，

3-2/-2

=—11<0,...方程無解，，不存在.

綜上所述，不存在某一時刻3使P,O,Q在同一直線上.

3.(2020?河北邯鄲?初三其他)在七AABC中，NACB=90，AC=Scm,BC=6cm,邊BC在AMON

的邊ON上，且NA5C=2NMON.AABC沿射線ON向右平移，速度為每秒1cm，運動時間為f秒，7=0

時，點、B與。重合；當點A落在OM上時停止運動.

(1)如圖1,當點5與。重合時，AC交于點O，于點E,此時線段AD=cm,

DE=cm-

(2)如圖2,在AABC向右平移的過程中，AC交OM于點〃，AB交OM于點G,當點G為A6中

點時，求t的值；

(3)如果AA3C的邊上有一點P,在AA3C向右平移的同時，點尸從點8出發沿8fCfA運動，當

點P在3c邊上運動時，速度為每秒1cm,當點P在C4邊上運動時，速度為每秒4cm,當r>6時，請求

出當MGP為直角三角形時t的值

:V

。

CN0RcNBCN

圖l圖2備用圖

【答案】（1）5.3；（2）。=5；⑶15或78

【解析】解：（I）ZACB=90?AC=8cm,BC=6cm,

/.AB=10cm：

???NABC=2NA/ON,點區與。重合

???ZAON=ZMON

?；DE工AB,ZACB=90

???DE=DC,ZACB=ZOED=90

???ODE=ODC

OE=BC=6cm

.EA=4cm,

設AD=xcm,則DE=DC=(8-x)cm

在RtAD石中，x2=(8-X)2+42

/.x=5,即AD=5cm

:.DE=3cm

(2)在自AABC中，AB=VAC2+BC2=1Ocm

ZABC=ZO+ZOGB,ZABC=2Z0

:.ZO=ZOGB

OB=BG=AG=—AB=5cm2

2

:.t=5

(3)當r>6時，點尸在AC邊上

此時3G=0B=rcm,AG=(\O-t')cm,AP=AC-PC=S-4(t-6')=(32-4t)cm

①當NA[G=90時，如圖1，MG/]~MBC

.AGAP,

"~AB~~AC

10-r32—4，

即Hn-----=-------

108

解得f=15

②當NAGg=90時，如圖2,A4G￡~AACB

AGAP2

-AC-AB

Hnio-r32-4t

810

解得f=78

綜上，/的值為15或78

4

4.（2020?哈爾濱市蕭紅中學初三月考）在平面直角坐標系中，函數y=-§x+4的圖像分別交x軸、y軸

于點AC,函數y=ax+〃的圖象分別交入軸、y軸于點仇C,且(T=4，過點。作射線CR//X軸.

(1)求直線8c的解析式；

(2)點p自點C沿射線CR以每秒1個單位長度運動，同時點。自點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速

度向終點。運動，其中一個點停止運動時，另一個點也停止運動，連接PQ.設APOC的面積為S,點。

的運動時間為f(秒)，求S與，的函數關系式，并直接寫出，的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，過點P作PF//CB,交x軸于點/，連接QE,在P、。運動的過程中，是否存

在f值，使得NPFQ=45°,若存在，求f值：若不存在，請說明理由.

21525

【答案】(I)y=4x+4；(2)S=—q廠+2，(0<?<5)；(3)存在，■或

4

【解析】解：(1)函數y=的圖象分別交x軸、V軸于點A，C,

：.A(3,0),C(0,4),

OA=3,OC—41

OC=4OB,

：.OB=\,

：.B(-1,O),

b—4

設直線3C的解析式為y=H+。，則有4,,八，

—k+b=G

解得L7=4..

b=4

直線BC的解析式為y=4x+4.

(2)如圖1中，

...S=；t(4—+)=—『+2K0</<5)

(3)存在：

情形①如圖2中，取點M(4,3),連接CM，8M，作MG_LCR垂足為G交。4\K,作垂足為

CG=CO=4,NCGM=NCOB=90。,MG=BO=1

:ACGM=Z\COB(ASA),

:.NGCM=4JCB,CB=CM,

:.ZBCM=ZOCG=90°,

「.△BCM的等腰直角一角形，

.\Z1=Z3=45O,

PF//BC,

/.Z2=Z1=45°,N4=45。，

.?.Z2=N4,

:.FQ//BN,

/QFH=/MBK,ZQHF=ZMKB=90°,

:'/\QHFS/\MKB,

43

QHFH-t3-(r-l)--r

，-=,..55

MKBK—=----------------

15

11

丁一3

25

t----,

7

1525

綜上所述1=里或一.

117

5.（2020.陜西交大附中分校初三月考）在冊AABC中，NC=90。,AC=8,=6,P、Q分別為邊

AB、AC的動點.

（1）若AP=a,則當AQ=時，AAPQ與AABC相似（用含a的式子表示）；

（2）若點P從點A處出發，沿線段AB以每秒鐘5個單位的速度向點8運動，同時點。從點C處出發,

沿線段C4以每秒鐘4個單位的速度向點A運動：

①當運動到第幾秒時，BQLCP1

②令線段PQ的中點為M，則運動過程中，△例8C的周長的最小值是多少？

A

AA

457

【答案】(1)二a或；a；(2)①彳；②16.

548

【解析】解：(1)???NC=90°,AC=8,BC=6

?*-AB=4AC?BC?=A/82+62=10

當AAPQAACB時，

可知一AP=—AQ,即a一=A々Q

ABAC108

4

解得AQ=ga

同理，當A4PQAA3C時,

APAQaAQ

可知——,即H11一=—

ACAB810

解得42=?a

45

故答案為：一a或一a

54

(2)①如圖，過點P做PDLAC于點D

設兩點運動時間為t,則AP=5t,CQ=4t

VDP/7CB

.ADDPAP

，AD=4t,DP=3t

:.DC=8-4t

,/ZACB=90°.BQA.CP

：.NDCP=NCBQ

ZACB=NPDC=90。

：.\DCP\CBQ

.CB_CQ64f

DCDP8—4，3t

7

解得t=—,t=0（舍去）

8

②如圖，分別取AC、AB中點E、F,接EF,交EF于點M

過點P做PN_LEF與點N

：EF〃CB,PN〃AC

/.AP7VFAACB

：.PN=4-4t

，PN=QE

NQEM=NPNM=90。

NEMQ=NNMP

：.t^EMQs^NMP

；.M為PQ中點，故在P、Q運動過程中，PQ中點M在EF上運動.

；EF為HA4BC中位線

二點C與點A關于直線EF對稱

當點M與點F重合時，MB+MC最小

此時MB+MC=AB=10

則AMBC的周長的最小值是10+6=16.

6.（2020?吉林長春.初三一模）如圖，在A3c中，AB=AC^5,BC=6,點P從點B出發，沿BC

以每秒2個單位長度的速度向終點C運動，同時點Q從點C出發，沿折線C4-A8以每秒5個單位長度的

速度運動，到達點A時，點Q停止1秒，然后繼續運動.分別連結PQ、BQ.設V8PQ的面積為S,點P

的運動時間為f秒.

(1)求點A與BC之間的距離.

(2)當BP=2AQ時，求f的值.

(3)求S與f之間的函數關系式.

(4)當線段PQ與A6C的某條邊垂直時，直接寫出，的值.

A

P

【答案】(1)4；(2"=9或，=9；(3)當0〈區1時，5=4產；當1〈￡2時，S=4f；當2VK3時，S=-4r+12r；

62

18口375

(4)—或一或r一.

31231

【解析】(1)如圖，作ADLBC于點D.

VAB=AC=5,AD±BC,BC=6,

ABD=—BC=3.

2

...在R2ABD中，AD=^AB2-BD2=752-32=4.

(2)當0<飪1時，由題意可知：BP=2t,AQ=5-5t,

BP=2AQ,

???2，=2(5-5力，

解得g.

6

當2<￡3時，由題意可知:BP=2t,AQ=5(t-2)=5t-10,

BP=2AQ,

：.2—10),

mt=-.

2

綜上所述，當BP=2AQ時，，的值為*或士.

62

(3)當0＜區1時，如圖，點Q在AC上，過點Q作QELBC于點E,

；.AD〃QE,

.,.△QEC^AADC,

..?-Q-E-=-Q--C,

ADAC

?.?-Q-E-=-5-t,

45

QE=4t,

11,

：.S=-BPQE=-x2tx4t=4f,

?*-S=4r；

當l<t<2時，如圖，點Q與點A重合,

4。）

22

???S=4t；

當2V￡3時，如圖，點Q在AB上，過點Q作QE_LBC于點E,

VAD1BC,QE1BC,

???AD〃QE,

/.△QEB^AADB,

.QEBQ

??一?

ADAB

.QE10—5(1)

..---=-----------,

45

：.QE=n-4t,

：.S^-BPQE=-x2tx(}2-4t)^-4r+\2t,

22

：.S=-4t2+\2t.

綜上所述：當0<區1時，S=4/；當1<52時，S=4r：當2<tW3時，S=^r+\2t：

(4)當PQ1AC時，如圖，

VAD1BC,PQ1AC,

.?.ZADC=ZPQC=90°,

又：NC=NC,

.,.△PQC^AADC,

.CPCQ

??=?

ACCD

.6-2t_5t

??—,

53

]Q

解得：/=—,

31

當PQ1BC時，

由題意可知此時點Q與點A重合，且點P與點D重合，如圖,

則BP=BD=3,

???2t=3,

3

m：t=~,

2

當PQ_LAB時，如圖,

VADIBC,PQ1AB,

???NADB=NPQB=90。，

又=

AAPQB^AADB,

.B^_BQ

??一,

ABBD

.2t10-5(r-l)

..—=-----------，

53

75

解得：t=q，

31

綜上所述：當線段PQ與A3C的某條邊垂直時，t的值為一或=或一.

31231

7.(202。長春市新朝陽實驗學校初三月考)如圖，在A3C中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,點尸

從點A出發，沿線段A3以每秒5個單位長度的速度向終點3運動.當點尸不與點A、B重合時，過點P作

PQ上AB,交折線AC—C3于點Q,過點P、。分別平行于8C、84的直線相交于點R.設點P運動

的時間為/秒，PQR與A5c重疊部分的面積為S.

(1)直接寫出線段PQ的長.(用含f的代數式表示)

(2)當點R落在邊AC上時，求，的值.

（3）當PQR與ABC重疊部分圖形為三角形時，求S與f之間的函數關系式.

（4）直接寫出AQ或PC平分PQR面積時f的值.

20

-t

3507575759

【答案】（1）PQ=<(2)t=一：(3)S=-r2——1+一；(4)t=一或

15_|518°412224

——<t<2

T-T25

34

t=一

25

【解析】（1）作CD_LAB交AB于D點,

在用ABC中，AB=yjAC2+BC2=10

??,SvA8c=；ACgBC=；ABgC0

ACD=—,AD7AC?-CD?=史

55

,l,18「18

.?.當P和D重ry合時，，=—+5=一

525

[8

①當0<fW—時，AP=5t,如下圖所小

R

PQ±AB

：.PQ//CD

：.ACD

.APPQ

"~AD~'CD

??.PQ等

1Q

②當—<f<2時，AP=5t,如下圖所示

25

8

自

c\：

\1

R

?；PQ±AB

：.PQ//CD

：.PPQBDC

.BPPQ

"~BD~~CD

<\24

.BPCD^-5r)y1515

O-18一24,

BD

5

'20(0<Z-S

一r

3

綜上所述，PQ=\

15_15f18Q

4125J

20八,18

—t0<r<—

325

故答案為：PQ=<

15_1518.

—<t<2

25

(2)當R落在邊AC上時，得到下圖

VPQ1AB,ZACB=90°，且NPBQ=NC8A,

里PQBCA,

又PQ〃AB,

,NPQR=90°,

.,.△CQR^ACBA,

：PR〃BC,

/.△ARP^AABC,

VAP=5t,

PRMt,

又PQ〃AB,

NPQR=90°,

/.△CQR^ACBA,

12

/.PQ=-r,

5

,1515

又PQ=----------

24

151512

----------1-----

245

解得：t=—

41

故答案為一若

(3)當PQR與A5c重疊部分圖形為三角形時,

由(2)可知，當型W/V2時滿足要求，

41

4

故此時QR=-PQ；

114221515丫7527575

：.S=-xQRxPQ=-x-PQxPQ=-PQ2=-x--------1=-t------1+—

24J222

g”c75,27575

故答案為：S=—I-----1H.

222

(4)直接寫出AQ或PC平分尸。尺面積時，的值

①當AQ平分APQR面積時，令AQ交PR于點M,連接AR,如卜圖所示,

則根據三角形等面積可知此時PM=RM,

，四邊形BQPR為平行四邊形，四邊形ARQP時矩形,

.'.QM=PM=-^-BQ=^x1-x(10-50=-^x^x(10-5/)

:.AQ=BQ=|-BP=-x(10-5r)2525259

---------1CQ—BC-BQ——t，

2442

故根據勾股定理可得

償-笠+6=償—"j

(42)U4)

9

解得」“

②當PC平分4PQR面積時，令PC交QR于點N,此時R在CD上，如下圖所示,

則根據三角形等面積可知此時QN=RN,

四邊形PQRD為矩形，四邊形CQPR為平行四邊形,

；.DR=PQ,CE=PQ,

?15

.?.CD=2PQ=15——t,

_,24

又CD=—,

5

即15——1=—,

25

34

解得：t="^；

25

故答案為：t=乙9或t=3，4.

425

8.（2020?吉林凈月高新技術產業開發區?東北師大附中初三月考）如圖，在RfABC,ZACB=9Q，AC=8,

BC=6,點。是邊AB的中點，動點尸從點3出發以每秒4個單位長度的速度向終點A運動，當尸與點。不

重合時，以為邊構造MPDQ,使NP￡>Q=Z4,NDPQ=90,且點。與點C在直線A3同側，

設點P的運動時間為，秒（r>0）,瞠與A6C重疊部分圖形面積為S.

（1）用含f的代數式表示線段PD的長；

（2）當點。落在邊BC上時，求，的值；

（3）當PDQ與A6C重疊部分圖形為四邊形時，求S與，的函數關系式.

（4）當點。落在A6C內部或邊上時，直接寫出點。與ABC的頂點的連線平分A5C面積時f的值.

c

\Q

/、I、

DPB

55599

【答案】(1)當0<f<一時，PD=5-4r：當一<f4—時，PD=At-5.(2)t=一：(3)0<t<——

4422020

。332/155,_/2.525936517

時，S=---1+6；—<r<一時，S——6/+30r-----；(4)—

382162022820,

【解析】解：(1)由題意得，AB=7AC2+5C2=V62+82=10，AD=BD=^-AB=5

當P在線段BD上且不與D重合時，有PD=5-4t(0<r<-)；

4

當P在線段AD上且不與D重合時，有PD=4t-5(0<Z<-)；

4

則當0</<2時，PD=5-4t；當時，PD=4t-5；

442

(2)如圖1：NPDQ=NA,ZDPQ=ZACB=90°,

/.△DQP^AABC

DQDP5e5/u,、25=

---=----,DQ=—PrlD=—(5—4/)=----5t

ABAC44V'4

又?.,/PDQ=NA

.\DQ//AC,

?.?點。是邊AB的中點

；.DQ為AABC的中位線

二當點Q落在BC上時，DQ=/AC=4

259

???——5f=4,解得t=--:

420

(3)由(1)(2)可知：

9

①如圖2：當OVtV4時，重疊部分為四邊形

S=SABND-SABPM

Rx-X⑷)*

②如圖3：當Q在AC上時，P在AD的中點，即此時t=—

8

當”<t<3時，重疊部分為四邊形

82

S=SAADQ-SAAPM

1531八八/、23

=—x5cx—x--------x(10-4r)x—

2242、74

=-6r+30/--：

16

259

(4)①如圖4,當AQ平分AABC的面積且P在BD上時，有——5f=4,解得t=—；

420

129

②如圖5,當AQ平分AABC的面積且P在AD上時，作MN1ABTN,則MN=y