福建省龍巖市2024-2025學年高一上學期10月月考數學檢測試題第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共有8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.對于任意實數a、b、c、d，下列命題中，真命題為（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則3.已知，則集合M的真子集的個數是（）A.7 B.8 C.15 D.164.已知集合，若，則由實數a的所有可能的取值組成的集合為（）A B.C. D.5.若實數a，b滿足，則的最小值為（）A B. C.10 D.146.不等式的解集為，則函數的圖象大致為（）A. B.C D.7.關于x的不等式的解集為的一個必要不充分條件是（）A B.C. D.8.無字證明即無需語言的證明（proofwithoutwords），本質上是一種數學語言，形式上是隱含數學命題或定理的證明的圖象或圖形，可能包含數學符號、記號、方程，但不附帶文字．如圖，C為線段AB上的點，且，，O為AB的中點，以AB為直徑做半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D．連結OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E．則下面可由進行無字證明的不等式為（）A. B.C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.圖中陰影部分用集合表示正確的是（）A. B.C. D.10.下列說法正確的有（）A.命題p：，則B.“粗繒大布裹生涯，腹有詩書氣自華．”其中“腹有詩書”是“氣自華”的充分條件C.“”是“且”的必要條件D.“x，y為無理數”是“為無理數”的既不充分也不必要條件11.已知，則下列結論正確的有（）A.ab的最大值 B.的最小值為1C.的最小值 D.的最小值第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，且，則實數m的值為______．13.已知命題：“”為真命題，則實數a的取值范圍是______．14.關于不等式組的整數解的集合為，則實數k的取值范圍是__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，集合．（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍．16.已知命題p：“”為假命題，設實數a的所有取值構成的集合為．（1）求集合A；（2）設集合，若是的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．17.“金山銀山不如綠水青山．”實行垃圾分類、保護生態環境人人有責．某企業新建了一座垃圾回收利用工廠，于今年年初用萬元購進一臺垃圾回收分類生產設備，并立即投入生產使用．該設備使用后，每年的總收入為50萬元．若該設備使用年，則其所需維修保養費用年來的總和為萬元，設該設備產生的盈利總額（純利潤）為萬元．（1）寫出與之間的函數關系式；并求該設備使用幾年后，其盈利總額開始達到萬元以上；（2）該設備使用幾年后，其年平均盈利額達到最大?最大值多少?（）18.設．（1）當a=2時，解關于x的不等式；（2）當時，解關于x的不等式；（3）若關于x的不等式在時有解，求實數a的取值范圍．19.若一個集合含有個元素，且這個元素之和等于這個元素之積，則稱該集合為元“復活集”.（1）直接寫出一個2元“復活集”（無需寫出求解過程）；（2）求證：對任意一個2元“復活集”，若其元素均為正數，則其元素之積一定大于4；（3）是否存在某個3元“復活集”，其元素均為正整數?若存在，求出所有符合條件的3元“復活集”；若不存在，說明理由.福建省龍巖市2024-2025學年高一上學期10月月考數學檢測試題第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共有8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據并集的知識求得正確答案.【詳解】依題意.故選：D2.對于任意實數a、b、c、d，下列命題中，真命題為（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】C【分析】利用特殊值以及不等式的性質確定正確答案.【詳解】A選項，若，如，則，所以A選項錯誤.B選項，若，如，則，所以B選項錯誤.C選項，若，根據不等式的性質可知，所以C選項正確.D選項，若，如，則，所以D選項錯誤.故選：C3.已知，則集合M的真子集的個數是（）A.7 B.8 C.15 D.16【正確答案】C【分析】先求得集合，然后求得集合的真子集.【詳解】依題意，，所以集合有個元素，真子集的個數為個.故選：C4.已知集合，若，則由實數a的所有可能的取值組成的集合為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】對進行分類討論，根據來求得的所有可能的取值.【詳解】當時，，滿足.當時，，要使，則需或，解得或，綜上所述，的所有可能的取值組成的集合為.故選：C5.若實數a，b滿足，則的最小值為（）A. B. C.10 D.14【正確答案】B【分析】根據不等式的性質來求得的最小值.【詳解】設，則，解得，所以，由于，所以，所以，最小值為.故選：B6.不等式的解集為，則函數的圖象大致為（）A B.C. D.【正確答案】B【分析】根據不等式的解集得到，為的兩個根，由韋達定理得到，從而根據二次函數的對稱軸，開口方向及與軸交點縱坐標的正負得到答案.【詳解】由題意得，為的兩個根，故，即，開口向下，對稱軸為，與軸交點縱坐標為故選：B7.關于x的不等式的解集為的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】對進行分類討論，根據不等式的解集為以及必要不充分條件等知識來確定正確答案.【詳解】對于不等式，當時，恒成立，符合題意.當時，不恒成立，不符合題意.當時，要使不等式的解集為，則需，解得.綜上所述，的取值范圍是，所以一個必要不充分條件是.故選：D8.無字證明即無需語言的證明（proofwithoutwords），本質上是一種數學語言，形式上是隱含數學命題或定理的證明的圖象或圖形，可能包含數學符號、記號、方程，但不附帶文字．如圖，C為線段AB上的點，且，，O為AB的中點，以AB為直徑做半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D．連結OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E．則下面可由進行無字證明的不等式為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】利用射影定理求得，結合整理得出正確答案.【詳解】由于是圓的直徑，所以，圓的半徑為，而，由射影定理得.在直角三角形中，，由射影定理得，由，所以.故選：A這道題的設計較為經典，結合了幾何和代數的知識點，對考生的基礎知識要求較高,有助于考查學生的綜合能力.題目的解題過程按照邏輯順序展開，先利用射影定理，再結合圓和直角三角形的性質，這樣的分析過程符合數學解題的思路.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.圖中陰影部分用集合表示正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AB分析】根據交集、補集以及圖象等知識來確定正確答案.【詳解】根據圖象可知，陰影部分表示的集合是，所以AB選項正確、C選項錯誤而，不符合題意，D選項錯誤.故選：AB10.下列說法正確的有（）A.命題p：，則B.“粗繒大布裹生涯，腹有詩書氣自華．”其中“腹有詩書”是“氣自華”的充分條件C.“”是“且”的必要條件D.“x，y為無理數”是“為無理數”的既不充分也不必要條件【正確答案】BCD【分析】由全稱命題的否定可得A錯誤；由詩句的意思和充分條件的性質可得B正確；舉例可得CD正確；【詳解】對于A，命題p：，則，故A錯誤；對于B，詩句大概意思是雖然衣服簡陋，但學識淵博，氣質自然會高雅，所以“腹有詩書”是“氣自華”的充分條件，故B正確；對于C，可以為，但“且”一定有，所以“”是“且”的必要條件，故C正確；對于D，x，y為無理數，如，此時為有理數，充分性不成立；若為無理數，如，此時為無理數，為有理數，必要性不成立，故D正確；故選：BCD.11.已知，則下列結論正確的有（）A.ab的最大值 B.的最小值為1C.的最小值 D.的最小值【正確答案】ACD【分析】根據基本不等式、二次函數的性質等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，當且僅當時等號成立，所以A選項正確.B選項，由，得，則，所以，對稱軸為，所以當時，取得最小值為，所以B選項錯誤.C選項，，當且僅當時等號成立，所以C選項正確.D選項，設，則，解得，所以，則，所以，當且僅當時等號成立，所以D選項正確.故選：ACD方法點睛：用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：“一正，二定，三相等”.（1）“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方，注意多次運用不等式，等號成立條件是否一致.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，且，則實數m的值為______．【正確答案】【分析】根據已知條件列方程，結合集合的知識求得的值.【詳解】由于，所以，結合或（舍去）.故13.已知命題：“”為真命題，則實數a的取值范圍是______．【正確答案】【分析】利用分離常數法，結合基本不等式來求得的取值范圍.【詳解】依題意，命題：“”為真命題，所以在區間1,+∞上恒成立.，當且僅當，即時等號成立.所以，所以的取值范圍是.故14.關于不等式組的整數解的集合為，則實數k的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】結合已知條件，對參數進行分類討論，并結合不等式組的整數解的集合即可求解.【詳解】由或，由可知，當時，，因為不等式組整數解的集合為，所以；當時，的解為，則此時不等式組的整數解的集合為，不滿足題意；當時，的解為，則此時不等式組的整數解的集合為空集，不滿足題意，綜上所述，實數k的取值范圍為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，集合．（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據交集的知識求得正確答案.（2）根據列不等式，由此求得的取值范圍.小問1詳解】當時，，所以.【小問2詳解】由于恒成立，所以集合不是空集，由得或，解得或，所以的取值范圍是.16.已知命題p：“”為假命題，設實數a的所有取值構成的集合為．（1）求集合A；（2）設集合，若是的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據存在量詞命題的真假性列不等式來求得的取值范圍，從而求得集合.（2）根據充分不必要條件、對進行分類討論來求得的取值范圍.【小問1詳解】依題意，命題p：“”為假命題，所以，解得，所以.【小問2詳解】由于是的充分不必要條件，所以，當，即時，，滿足.當，即時，要使，則需且兩個等號不能同時成立，解得，所以的取值范圍是.17.“金山銀山不如綠水青山．”實行垃圾分類、保護生態環境人人有責．某企業新建了一座垃圾回收利用工廠，于今年年初用萬元購進一臺垃圾回收分類生產設備，并立即投入生產使用．該設備使用后，每年的總收入為50萬元．若該設備使用年，則其所需維修保養費用年來的總和為萬元，設該設備產生的盈利總額（純利潤）為萬元．（1）寫出與之間的函數關系式；并求該設備使用幾年后，其盈利總額開始達到萬元以上；（2）該設備使用幾年后，其年平均盈利額達到最大?最大值是多少?（）【正確答案】（1）y=?2x2+40x?98x>0，使用年后，盈利總額開始達到（2）使用年后，其年平均盈利額達到最大，最大值為萬元.【分析】（1）先求得與之間的函數關系式，由此列不等式來求得正確答案.（2）先求得平均盈利額的表達式，然后利用基本不等式來求得最大值以及此時對應的的值.【小問1詳解】依題意，y=50x?2由，得，即，解得，所以使用年后，盈利總額開始達到萬元以上.【小問2詳解】平均盈利額，當且僅當時等號成立，所以使用年后，其年平均盈利額達到最大，最大值為萬元.18.設．（1）當a=2時，解關于x的不等式；（2）當時，解關于x的不等式；（3）若關于x的不等式在時有解，求實數a的取值范圍．【正確答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）通過解一元二次不等式來求得正確答案.（2）對進行分類討論，結合一元二次不等式的解法來求得正確答案.（3）利用分離參數法，結合函數的單調性、最值等知識來求得的取值范圍.【小問1詳解】當a=2時，由，得，解得，所以不等式的解集為.【小問2詳解】當時，由整理得，即，令，解得或，令，解得，當，即時，原不等式的解集為或x>?1a；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為或.【小問3詳解】依題意，關于x的不等式在時有解，即在時有解，由于，所以區間上能成立，由于在區間上單調遞增，最小值為，所以，所以的取值范圍是.關鍵點點睛：求解含參數的不等式恒成立、能成立問題，可以考慮利用分離參數法來進行求解，分離參數后，可以利用函數的最值來求得參數的取值范圍，在求解的過程中，要注意恒成立問題和能成立問題的區別.19.若一個集合含有個元素，且這個元素之和等于這個元素之積，則稱該集合為元“復活集”.（1）直接寫出一個2元“復活集”（無需寫出求解過程）；（2）求證：對任意一個2元“復活集”，若其元素均為正數，則其元素之積一定大于4；（3）是否存在某個3元“復活集”，其元素均為正整數?若存在，求出所有