考研數(shù)學(xué)一無(wú)窮積數(shù)

設(shè)收斂?則下列級(jí)數(shù)收斂的是（

1.【單項(xiàng)選擇題】

S'（一!）?>三

C.一

D.一

正確答案：B

參考解析：

由收斂?知收斂,根據(jù)收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),知X（“"+"i）收斂?

?■1?■]

取---鼎/哆收效?但苧T尸；,?而』發(fā)散,排除C

取”??上=4?則￡”?收斂?做￡儲(chǔ)一—."發(fā)忙排除D.

99個(gè)*■11*V*1J-'Zlf-IV*ZIWf

2.【單項(xiàng)選擇題】下列結(jié)論正確的是（）.

A若￡u“（u.:?（））收斂.則limOic11

A.L-

D」士”.收斂?則￡,i?〃必條件收斂

D.

,若￡>一】尸“?（”?>0）條件收斂?則￡>.發(fā)散

C.

_若?，」一，:，）收斂.則?.必收斂

正確答案：c

參考解析：

由Z（一1）1-（”?>0）條件收斂.知Z|（-1）一凡|=2%發(fā)散（否則與已知

.<1"I..**I■*I

條件收斂矛折）.

對(duì)于A：由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審效法的條件是充分至必亶的.如俯謨.對(duì)￡%（%>0）.有

B顯然不一定成。統(tǒng)正璞緩教條件）.【）注正項(xiàng)援教條件.

設(shè)福級(jí)數(shù)Z-a-D"在1=-1處條件收斂,則

3.【單項(xiàng)選擇題】■-1

A.發(fā)散

B.條件收斂

C.絕對(duì)收斂

D.無(wú)法確定斂散性

正確答案：C

參考解析：令x—l=t,當(dāng)x=-1時(shí)，有t=-2.

依18意在，=一2處條件收斂,故r=-2是其收斂區(qū)間的端點(diǎn),即?1的收

效區(qū)間為（-A2）.故一2<1—1<2,即一I<上<3.

在工=2時(shí)為￡a..*然I=26（-1?3）.故?明絕對(duì)收斂.

“「的后、出塊方設(shè)〃>°3咚收斂?2小王三2發(fā)散,則（

4.【單項(xiàng)選擇題】一〃一〃

A.a>e

B.a=e

C.

一"1

D.

正確答案：D

id?.=斗.用比值法.

n

if*i.

hm-=lim-----------------?-------lim-a--------

…u.—?(n+1)a>!??八

參考解析：(n

則級(jí)數(shù)、*當(dāng)。Ve時(shí)收斂.當(dāng)”>e時(shí)發(fā)散,當(dāng)a=e時(shí).比值法失效.

又由（】+打Ve,知,〉】,故則”0,從而當(dāng)a=e時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.

，一+2-qn-2_________4__________4

力“-一（一w-i（［7~2~~1~2

即〃"+2二?上“”f8）.而X一一,當(dāng)0Va+時(shí)發(fā)敬?由

0<a+l<1與。<€及4>0（已知），得0<。4：.故口正確.

5.［單項(xiàng)選擇題］設(shè),?=回野，”=上戶?則下列四個(gè)級(jí)數(shù)

<n>Sia.h《皿二叫

的收斂性關(guān)系是（）.

A.若（I）收斂，則（in）和（W）都收斂

B.若（H）收斂,則（I）,（III）和（W）都收斂

C.若(HI)和(W)發(fā)散，則(I)和(II)都發(fā)散

D.(I)(II)(III)(IV)的收斂性無(wú)確定的關(guān)系

正確答案：B

仝士窈小？二士-I收斂”，7

參考解析：J—

A一|%|+*?△，

由比較審效法?知X“?與都收斂.

6.【單項(xiàng)選擇題】*'岫個(gè)數(shù)列M

“i士，.收效士“九收效

AA.一一

]u.收斂時(shí)?收斂

B.

C.1—

為士，，.發(fā)一時(shí)?￡“，.發(fā)散

D.—一

正確答案：B

參考解析：

對(duì)于B：由lim6=0?知人有界?即存在M>0?使得I瓦I&M.故

%l.又因?yàn)椤闡.I收斂,所以由比較審斂法，知X"力J收斂?故2aAi收斂,B正確.

對(duì)于A：若取=b”上/?則￡%收斂.linA=0,但￡*〃“=X上發(fā)散?排除人

yTl尸|>?一"”

對(duì)于C.D：若取4=〃.=工.則可排除C.D.

n

7.【單項(xiàng)選擇題】

HMIIft-------^—+?-----，一+???+"----=上一十…的斂敢住1

VZ-1+iV3-I<34IVH-1vw-h1

正確的結(jié)論是().

A.由萊布尼茨定理，可推得該級(jí)數(shù)收斂

B.由于添加括號(hào)后級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散

C.由于各項(xiàng)取絕對(duì)值后得到的級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散

illlim一=0.可知原級(jí)數(shù)收斂

D.

正確答案：B

參考解析：

對(duì)于%由級(jí)數(shù)的性質(zhì).知X/收斂，添加括號(hào)后仍收斂.其逆否命題成h即添

加括號(hào)后的緩散發(fā)放?原級(jí)數(shù)也發(fā)散,故8正胸.

對(duì)于A：級(jí)數(shù)般項(xiàng)不單調(diào)?不能用菜布尼茨定理?排除A.

的干C：￡Io.I收斂=>￡a.收斂.但￡la.I發(fā)放??.可能條件收斂?不一定”

wx發(fā)散?排除c

OfD,lima.=0是￡%收斂的必要條件,不是充分條件,排除D.

W—1)?—-?1_(

8.【單項(xiàng)選擇題】

A.—(sinI十cos1)

B.2sinl+cosl

C.sinl+2cosl

D.sinl+cosl

正確答案：A

V(-D--?t-1-=ZSTL

J(2n+D!2士(2?+l)!

2L￡(2〃+1)!士(2”+1)

+(sin，+cos

參考解析:=(2^17!§<-!>>康］=70

，油=“權(quán)曲、設(shè)級(jí)數(shù)條件收斂,則

9.【單項(xiàng)選擇題】￡

8B

級(jí)數(shù)￡（〃”+|〃”I）與級(jí)數(shù)￡（〃.一|I）都收斂.

A.

級(jí)數(shù)￡（a+1〃.I）與級(jí)數(shù)I）都發(fā)散.

B.

級(jí)數(shù)X（“”+l*I）收斂而級(jí)數(shù)X（〃“T〃”I）發(fā)散?

C.

級(jí)數(shù)￡（〃“+1〃”I）發(fā)散而級(jí)數(shù)￡（&-1I）收斂.

D.

正確答案：B

參考解析：

級(jí)數(shù)條件收斂即級(jí)數(shù)E%收斂但E??發(fā)散,又

■?1?"!??1

%=另[(%+1?.I)+(??-!w.|)],|?,|=y[(w.+lu?|)-(w.-I%I)],

MW

再按級(jí)數(shù)的運(yùn)算即知,若級(jí)數(shù)2(&+1〃.1)與工(%—1%1)都收斂?則￡|“"收斂，

n*l?*|

若其中一個(gè)收斂,另一個(gè)發(fā)放,則2明發(fā)散,均與已知矛盾.因此它們都發(fā)散.即應(yīng)選(B).

10.【單項(xiàng)選擇題】在關(guān)于級(jí)數(shù)的如下四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論是

若X比和都收斂,則2(/+口)2收斂?

A.

若￡|〃皿,|收斂,則與X琢都收斂.

B.a1M

若正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散?則〃”?2?.

C.

若級(jí)數(shù)收斂?且“”2“(〃=L2,…).則級(jí)數(shù)也收斂.

D.

正確答案：A

參考解析：

方法:由于級(jí)數(shù)X比和X*都收斂?可見級(jí)數(shù)x(比+*)收斂.

?w,

由不等式2|%%|《“：+*及正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知級(jí)數(shù)￡2|“陽(yáng)|收斂,從而

#?|

^2w,v?收斂.

w?l

00

又因("“+q)2=E+4+2“M，即級(jí)數(shù)￡("“+”『收斂,故應(yīng)選(A).

N-)

方去:設(shè)%=1，a=1(4=1,2,…).則可知(B)不正確.

n

設(shè)u“=^(〃=1.2,…)，則可知(C)不正確.

nn',

(一]1

設(shè)u?=-----------,v?-------(〃=1.2,則可知(D)不正確.

nn

故應(yīng)選(A).

11.【單項(xiàng)選擇題】

已知u?>0(〃=1,2,3,“，),且2(-1尸'”.條件收斂,若設(shè)v?=3a2i—u2n

(n=1,2,3,…)，則級(jí)數(shù)￡辦

A.發(fā)散.,

B.條件收斂.

C.絕對(duì)收斂.

D.收斂或發(fā)散取決于｛U0｝的具體形式.

正確答案：A

008

由于條件收斂，即2(—1)1〃”收斂，而

參考解析：wy

88

S?(-1尸乙i=s?-發(fā)散今

11!-1

OO

2(-1)"'Un="1-〃2+“3-“4+…+”2LI-a2n+…

("21—“2川)收斂nX"21，〃2fi均發(fā)散二

的結(jié)口律X-lR-l*9-1

Xa=X[2以1+(”21—“2”)].

冷=1Fl"I

OO

由級(jí)數(shù)的線性運(yùn)算性質(zhì)=>發(fā)散?選(A).

12.【單項(xiàng)選擇題】…

設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)X%收斂也=(-l)"ln(l+aG?則

?-01

A.條件收斂.

B.絕對(duì)收斂.

C.發(fā)散.

D.不能確定是斂散性.

正確答案：B

8QO

正項(xiàng)級(jí)數(shù)X%收斂nlima”=0,2a2”也收斂.

n*,0lt**811aBi

參考解析：I&I=ln(l+“2”)~M(n-*°°)

由?2”收斂=2IbnI收斂.因此選(B).

13."【單項(xiàng)選擇題j'下列說(shuō)法正確的是().

若lim巴匚<1,則￡一定收斂

A.”

OO8

若收斂,則一定收斂

B.■-1?,1

8OO

若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則一定收斂

C.?■1?1■1

COOO

若師優(yōu)=】且絲.收斂,則?一定收斂

D.

正確答案：C

參考解析：

8

（A）不對(duì),例如：=（-3）1?顯然lim3=-3V1,但發(fā)散;

“818?=1

（B）不對(duì),例如：%=匕二,￡%收斂，但，（一1）”〃“發(fā)散；

“H-I

（C）正確加為2%收斂，所以lim%=0,存在N〉0,當(dāng)"〉N時(shí),0&u<1,從而

■**?8n

00

04/4%<1,由比較審斂法得收斂；

n*I

（D）不對(duì),例如:%=（J,q=（」\+=，顯然1而%=1且2〃”收斂,但發(fā)散.

選?

一級(jí)數(shù)￡足收斂，則下述結(jié)論不成立的是（）.

14.【單項(xiàng)選擇題】H

8

—1）%”必收斂

A.

￡公必收斂

B.

y包必收斂

C.OO

Xa/E必收斂

D.

正確答案：A

參考解析:

88OC

例如呢=（-收斂,但=X，發(fā)散,故（A）錯(cuò)誤.

“R?1M?1N?1”

而(BMC),(D)是正是的,因?yàn)槭諗浚詌ima：=0,從而lim%=0,于是當(dāng)n足夠大時(shí),

E218

小《馬=《，所以，絕對(duì)收斂,又因今《匏+力所以工；絕對(duì)收氨又因

I的中I?所以￡的+絕對(duì)收氮

15.1單項(xiàng)選擇題】已知函數(shù)f(x)以2Ji為周期，

If*1f?

%=一/(x)cosnrdj.w==—fix)sinardi.〃=1,2產(chǎn)、

KJ-w7Ta-i

00

則下列選項(xiàng)中可使得/(r)=y+￡(a.co$”+仆inni)在［n.上處處成立的/(J)的圖像

L?-i

正確答案：B

參考解析：此題考查狄利克雷收斂定理.事實(shí)上,

fix)?Six')=.+￡(aRcosnr+6?sinnr)

LR-l

加)，工為連續(xù)點(diǎn)，

/(LO)/+0),工為第一類間斷點(diǎn)，

￡(一,+0]+/.-0)7為端點(diǎn)_“風(fēng)

對(duì)于(A),0二與&二￡2#o,但/(外=(),不成立；

M

對(duì)于(C),/(—$一°)"/("一'"聲。，但/(-X)=0,不成立I

M

對(duì)于①),/(0+0),八°—0)*/⑹環(huán)成立；

W

對(duì)于(B)J(-'十°；+/(”一0)=/(±爪=0,當(dāng)一尸《工(二時(shí),均滿足狄利克雷收斂定理

的條件，故/U)=S(x)在「一以?1上處處成立,選(B).

]6[埴空題]"'?「.入-[1'；'

請(qǐng)查看5案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析："""￡l’?^T^7W《-8.+8”

【解析】

2a9

由e，=1+1+三+三H-------A+…，]￡(-8,+8),知

2!3!n!

/(x)=e/d/=I1一—十工一X*+…+(-1)"5+???id/

JoJo.Z!3!n!J

17.【填空題】

設(shè)/(1)=,cJ、'f(z)以2n為周期的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為

11-x.0<xCx*

S(i).則S(x)=.

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

1.

參考解析："*'

【解析】

根據(jù)收斂定理?得S(x)■；J(n0)+/(x+0>]=

18.【填空題】

設(shè)的收斂半徑為3,則W>.(工+l)i的收斂區(qū)間為.

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：(-4,2)

【解析】

根據(jù)逐項(xiàng)求號(hào)收斂半稅不變?即與X皿“I收斂華樓相同.令

J+】與I收斂半徑相同,故由j+l|<3?《|-4Vi<2,ift

效區(qū)間為(-4.2).

12兀

19.【填空題】

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

a

參考解析：rru：

【解析】

依題意?向咫轉(zhuǎn)化為求級(jí)數(shù)二；二的和.構(gòu)造器級(jí)數(shù)33):X"??則

La

令x].ttjlim(*+二+…+=)=S(工)=-------r~—~~--?-r.

a???on\aaa'\ar1\~V(1-

\aI

20.【填空題】

設(shè)0>發(fā)散，S.=u+…?囑(*—■—)=_

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

1

參考解析：/

【解析】

由正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡M.發(fā)依?知limS.=+。.記S：為所求級(jí)數(shù)的部分和,喇

故limS.

21.【填空題】在級(jí)數(shù)

①（1一十）+信一?+傳—:）+~+（｝—亳）+一，

1-11-U11_L-L_11

②]---+于一虧+"^-----T-----'--------7TT_1---，

22334nn+1

③2-^+5T+1_1+…+山一唱+…,

乙乙J34nn+1

④（2一卷）+（1?一寺）+傳-9）+…+（審一串）+…

中，發(fā)散級(jí)數(shù)的序號(hào)是.

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正確答案：

參考解析：③

【解析】

要分別考察每個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性.

對(duì)級(jí)數(shù)①易求它的部分和

1

s.=1

從而limS?=l,即級(jí)數(shù)Q)收斂,或考察它的一般項(xiàng)a,=L--'=丁二?!,故2%

一nwr1n(n+1)”方

收斂,即級(jí)數(shù)①收航

對(duì)級(jí)數(shù)②的部分和S,有

c11x11x1111

Sin=1-7+7-7+'"+------T7=1-_T7

223nn+1nT1

故lim&“=1,又&e=Sa+&也滿足limS*=1,這表明limS.=1.級(jí)數(shù)②也收斂.

L8WT1尸83

對(duì)級(jí)數(shù)④也有部分和

S=(2--U(---)+???+2-^^=1———-?1

”\2廠123T\n?+1/〃+1n+1

可見級(jí)數(shù)④也收氮或同樣考察它的一般項(xiàng)用=出一號(hào)=7^?2也可知④收氮

n葉1心+1)獷

對(duì)級(jí)數(shù)③的部分和S“有

c93.34..n+1n+2,1,

S-2T「+?“+丁寸一干一

但，+=S2,t+喈=2,即limS,不存在.故級(jí)數(shù)③發(fā)散,或考察它的一般項(xiàng)%，其中X

n+12

=吐工心=一里,故lim%不存在,于是③是發(fā)散的.因此應(yīng)填③.

22.【填空題】2；w?2"數(shù)為

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正確答案：

參考解析：

由lim|紅』=!，得收斂半徑為R=2,當(dāng)1=一2時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)工=2時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,

L8|a?J2

故級(jí)數(shù)X三7的收斂域?yàn)椋?2?2).令S(z)=Z三7?

OO

則S(N)=X

■,1

募級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?/p>

23.【填空題】x

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正確答案：

參考解析：（一3,3]

【解析】

令%=攵?2.則p=1而|%1]=lim=）犬=4■，所以輻級(jí)數(shù)的收

被半徑R=（=3,當(dāng)工=3時(shí).級(jí)數(shù)?片」收斂,當(dāng)工=-3時(shí),級(jí)數(shù)?（發(fā)散.因此,原第

級(jí)數(shù)的收斂城為（一3.31.

24.【解答題】判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：

（I）

(II)

VU；(a>o.p>0)?

ft"

(III)

乙r--_____5

■tV1+x1dr

(IV)

(a二一al)(H'0)i

(V)

(VI)

￡(而一Jl+：卜a>

請(qǐng)查看答案解析篙對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：(I)由

lim---~~-=lim--------*―；=1W0,

*"*d/_.1\I—./1|1\

故級(jí)數(shù)發(fā)散（根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件）.

（H）用比值法，

當(dāng)0Va＜】時(shí).級(jí)數(shù)收斂；為“＞】時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)。=1時(shí)?￡]，為戶級(jí)數(shù).當(dāng)

七力

OVA4】時(shí)?緞故發(fā)故：當(dāng)，＞1時(shí).級(jí)數(shù)收斂.

(Ill)用比較審斂法,

fJ\+.3<lr[\/7dx

J?J*V

而￡；收斂?故級(jí)數(shù)收斂.

(IV)

/—a*■n土(益±-1)*-I]?—)°"?:,

同(F!+I)F1,

而X呼收斂?由比較審斂法?知原級(jí)數(shù)收斂?

i\)由泰勒公式.得

——ln(1-----)=■——F-------1■?!+“！)I=J?-Fo(X),

nynInL"2/'n*J2n1獻(xiàn)，

--ln(l+-)

即lim'--------———=l.由比較審斂法?知原級(jí)數(shù)收斂.

(VI)由泰勒公式，得

n-+」=消-(1+—v

7n\n/

2

=(-—外卜5悖3+撲45).

當(dāng)InU—y=0.即U=6時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；

當(dāng)足4一140.即。工石時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.

25.【解答題】判別下列級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，判斷是條件收斂還是絕對(duì)收

斂：

(I)

設(shè)￡(-I/%<?收斂.判別的散散性?

??1?■1

(ID

y(-\r'___!___.

自Ind+n)1

(III)

(-1尸

7j

■■】vn-InnI

(IV)

y(-1)",(^3-1),

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：(I)

由已知條件?如lim(—1廠u.e"1?即limuj,-0.故當(dāng)”充分大時(shí).

a.e*ICM(M>0).

所以u(píng).4￡而￡"收斂.故?絕對(duì)收斂.

(II)

y|(-1尸;__1—I=y-1—,

JIln(I+n)Iln(1-Fn)

由,而2上發(fā)散.由比較審斂法，知原級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂.

ln(l+n)n￡〃

乂lim17J-；；=0.1r7T單調(diào)減少,由萊布尼茨定理?知原級(jí)數(shù)條件收斂.

lln(1+n)|ln(1+n)|

(III)

由7T」一而Z"發(fā)散，知2；二口二不絕對(duì)收斂.

Un-Innvnivw■=1Jn-Inn

令/(J*)———-----?alim/(x)=lim1-=0.

<r-Inx-?****-Inx

/11\

1

故lim7=0,且r\腦＞4)單■減少,也果布尼茨定理?知原級(jí)數(shù)條件收斂.

?*,VH-Innvn-Inw

(IV)

^3—1=e——1?!(uf8).

n

而￡—發(fā)放,由比較審斂法?知萬(wàn)一D發(fā)散,即班級(jí)數(shù)f絕對(duì)收斂.

又hm(西一1)-0,且再一I的iH跋少?由萊布尼茨定理.知原級(jí)數(shù)條件收斂.

26.【解答題】求下列級(jí)數(shù)的收斂域:

(I)

yX*

21J6??

In)-

—i

與3'一”1

(III)

(IV)

J\nlnnT

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：（I）缺項(xiàng)，用比值法，

iim—；~—Inn?*-hm—-----?

?一i?1"?6I'J*I4

當(dāng)I1IV1時(shí).Iim"0<1.級(jí)數(shù)收斂；

當(dāng)Ijr|>1時(shí).IimL"J---->8,級(jí)數(shù)發(fā)散：

1<】?級(jí)數(shù)收斂?故收斂域?yàn)椤狪

當(dāng)I?r|=1時(shí).Iim

(II)缺項(xiàng)，用比值法，

1.I“I(X)I,i3**H

Iim?■”-一;y.hmrrr;~------TVe二

L-|Mv(x)|??.I3+(聞+1)JT

f1+g,,

..3.+/?g.______3x1x1

?Iimr-rr—；——r-r■二.Ittn------：——r-T?丁―

■■?3+(lf+l/??-(W~r1J3

?1十--...]--

當(dāng)《vi時(shí).即一、序V」v6.圾數(shù)收斂.當(dāng)上一4時(shí).級(jí)數(shù)為￡號(hào)W?由于

3__H3+if

故級(jí)數(shù)發(fā)敢.同理』丫行時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散,所以收斂版為（、行,6）.

(III)

不缺項(xiàng)?用公式?IimvuJ=lim(1+；)=?',收斂華粒R=e.

當(dāng)1■。時(shí)Jtu[為1)??」吧兒(IJI\7~\

T'nI\nII"一—

由于"+<e,故兒>1.即1師6.*0.所以級(jí)散發(fā)放?同理「=一（也是發(fā)散點(diǎn),故收斂

域?yàn)椤兑籩.e>.

(IV)

二+6二

2（焉j+撲”W市In“十金T'

winn

喈念?用公式士mIim—=I,收斂半校R=1.

??(itl)ln(4+1)

當(dāng)l1時(shí)2之發(fā)拓當(dāng)lT時(shí)?￡滯是交特級(jí)姑且他看

ffln〃卜”32）單期M少.故收斂,所以收斂域?yàn)椋踎］.］）

"?可'!了丁-1',收斂半徑凡=2.當(dāng)*=±2時(shí)?奴畋發(fā)散,收斂域?yàn)?lt;_2,

蓋上所述.所求緩數(shù)收斂發(fā)為_1,1）

27.【解答題】求下列黑級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)：

(I)

予￡12

(II)

V'(M-1)’.

工i了*

(III)

(IV)

(2>f+3)!”,

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參考解析：(I)

易求得2q的收斂半徑氏=2.收斂域?yàn)椋邸?,2).

令§(幻=?2,則TS(I)=￡

[.rs(x)y=[si(f),]=S[v(f),]=7S(f)rl=711

?W*?I**n*J—"口■I1-i2—x

2

兩邊同時(shí)積分?得xS(x)-0S(0)=r擋-=-ln(2-x)+ln2.

JoZ—/

當(dāng)/HO時(shí),S(z)=—^111(1一方卜當(dāng)工=0時(shí),5(0)=J.故

-2<x<0.0<J<2,

?r=0.

(II)先求收斂半徑，用公式

■?(Wf1-1)："+1

hmI—=lim■?：—“?：—―77：=1?

??*I力+1+l(it-1)

故收斂半徑K=l?當(dāng)工M士1時(shí)?由于一般式不。于零,所以發(fā)散.故收效域?yàn)?/p>

記Si(x)=(n+DJ-*.S：(x)■?IV.r*?S,-4?，■-"-十—：’.

§⑺-￡(L，=(￡尸)=(r^)°(jJ；)：*ix；<i.

S：(x)=r*=i-z—?Ix|<1.x5,(x)-?

則二/Si(JT>[.4'r".y—?枳分得xSj(x)-0=-4ln(1-x)(-1<x<1)?

_l-x

故S(x)=S(z)-S：(x)+Sj(x)=—■---r?―-------—ln(1-x)

t(i-xr1-xx

—*~~——ln(l—x)(|x|<1Hx#0).

(I—X)X

當(dāng)J=0時(shí).S(0)=].

(Ill)

由lim—=o.如收斂華檢R=+.故收斂域?yàn)?一8.，?二).

-Ia9

令S(1)=￡上甘？?剜

〃*

Y對(duì)…=?聲+￡盤/

■/￡+*5？;^+e，?3,+"+〃/w。8?+8).

(IV)

級(jí)數(shù)''?.跳項(xiàng)?用比值法.

lim|、I-liinIFc,----,.、■—:""r'yz—?3—?、■,；

??“?(])?-12(n+1)+3」(-1)(w4-I)x

=lim演-----7775~~~=r=0(對(duì)任意_r)?

故收斂域?yàn)?一,.+,)?號(hào)慮到分母為(2〃十3)!.用\in1的展開式.

y(一】——V'(-1-u

~(2>i+l>！*(2〃+3)!

上式兩邊同時(shí)對(duì)，求導(dǎo)?電￡2’?：/I=—^(xcos.1、in，).故

J*(Zfi3/：x

28.【解答題】將下列函數(shù)展開為x的基級(jí)數(shù)，并確定收斂域:

(I)

([I)f(r)~ln(1J2r)i

(III)

/、(4)=In(x-r，1+F)i

(IV)

/4(jr)rarctanJIn、1，x*

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參考解析：(I)

,/、I]]]]

r—3ar+2(1—*)(2—x)1—jr2-x

由于,L-=Z/?，Iv1?則

1-XfTn

-2_=1._J_=ly/ifyE,Ixi<2.

2-x2X2^\2JJ21m'

12

所以力(工)一士一士=2(1一占,"，工6(一1，1)?

(II)

由ln(1一i一2]>=ln[(1—2x)(1-Fx)J-ln(14JT)4-ln(I-21)?且

怙「2G?2《T尸中一2/(-9。〈外

■?Jw<?f

故/?(x)ain(1-x-2x:>-X'—------—J**J6-).

(Ill)

1H------:工,,2

z

由/3(x)=ln(z+，1+z1).得/3(x)=-----",1+"V~=/].而

x4-xl/I+3

1X3X5.

=+也，J(―141(1),

2'2X42X4X6

故ln(j+，1+工？)7/(r)dz+/j(0)

11,1X31X3X5i

r+------------T5------------------------------TT+

2X32X4X52X4X6X7

S/I、”(2n—1)!!一

工+2I)正手通/石力工x|<1.

(IV)

rg

=xarctani—In力+r=arctanfd/?

而arctan/■f—!，'++,,,+)—^*/***1+…?IfI41?

357Z”十I

29.【解答題】求下列級(jí)數(shù)的和:

(I)

(II)

V*2n+I

J?!

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參考解析：(I)

所求級(jí)數(shù)的和為庠級(jí)數(shù)￡匚7的和雨散S(x)在1J處的值.

FT-1L

、=2毋】).則

(II)

構(gòu)造M級(jí)數(shù)?令SG)"W'產(chǎn)工”,易求得其收斂域?yàn)?-8.+S).則

、二,,「(二,,叩二二曰二.......

=(1+2xl)ef.工￡(-oo.+8).

故2的￥=S(l)=3e.

y?!

30.【解答題】(I)

證明Wl+1+尹言+…+磊.…―8V”V+8)H足供

分方程v*v*4v■e：

(n)WI)的結(jié)果求；搞P

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參考解析：(I)

一1—?—

()=1+二+三+三+...+*.+

VX3!6!9!(3n)J

=星+=+《+?..+—￡12—十…

?2!5!8!(3n-1)!

v*(t)—1+工+<+…+-*****+….

y4!7!(3n-2)!

故y"+y'-y==c'.

(H)由(I),解初值問(wèn)題:

1y"+y'+y工?

l>(0)=1.yf(0)=0?

9同i

可傅y(x)=je+cos+71為所求和函數(shù).

”,[1，

展開為以2為周期的傅里葉級(jí)數(shù).

31.【解答題】324力43

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參考解析：

1r*nr>q

-x)cLr=-?

1p〃VW￡￡.「ri

aR——J/(x)cos-j-ctrJcomcLr+J(3-x)cosn^xdj

”為偶數(shù).:

1r,(0.

■~""F「1—(-1)■1-W2

nK!HJ?力為奇數(shù).

?nK

6.=4-ff(x)sin^?^cLr=Isinp(一］)?

FIKXCLTf|(3-x)sinnnxd-r---.

Jinn

故/(x)?矍+￡3cos詈+6.sin詈)

cos(2w-1)KX?1V'?i\1.

—75------rr?-------1----X<-1)n—sin〃穴/,

(2n—lrKfrfw

由收斂定理.其和函數(shù)為=3-

2

32.【解答題】人一「……證明：級(jí)數(shù)?〃”收斂.

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參考解析：先利用分部積分法求為,

故：U.收斂.

33.【解答題】將/「“住.，二2處展開為募級(jí)數(shù).并求廣

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!<_,

f（jr）=xc*=?（x-2+2）/卜1=e[（x—2）+2]e

參考解析：-'■萬(wàn)

%_e*(w-+-3)/(”+2)1

由"二1(-九-一-IT)T!T，可知a.=---力!;--?故

34.【解答題】

將/（x）=sinx+.rcosz展開為工的募級(jí)數(shù).并求X（-1）"（。：J）,的和.

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了"“,

/（上）-sinx+jrcosx

參考解析：-‘（2”?】）！

令l=1.則1尸⑴=y（sin1+cos1）.

35.【解答題】將/⑺=—以展開為”的每級(jí)數(shù)?并求與的機(jī)

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參考解析：直接展開較為復(fù)雜，考慮到

36.【解答題】

9

設(shè)u3.a■5.且㈤.=彳％.—（“-】）%（">1）?證明1當(dāng)J?1時(shí),

Vu..r-收斂,并求其和函數(shù).

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2y9L

參考解析：由鏟?可知”

因?yàn)閘iml之士=I-lim；(彳一")%;

1.

0.

所以當(dāng)iIV1時(shí).？U口?絕對(duì)收斂.故>U.J”收斂.

令》")=?aj"?則

解一階級(jí)性X分方程,得y=Ca+】H一言,由y<0)=%=3.得C=學(xué)?故

GG

—.1ciq

y(z)=士3。=+l)i—y.

37.【解答題】

設(shè)/(工)=52=?證明：/(?r)+/(1x)+Inxln(I—x)n5

777Ftrz

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因?yàn)?1的收斂域?yàn)閇-1.1],所以/(I一工)的定義域?yàn)閇0,2].

參考解析:■=I〃

令F(K)=/(JT)+/(1-.r)+lnzln(1—JT)?定義域?yàn)?0.1),由于

=x￡(§^)dz=j￡i^d/

=——ln(1-x)9

x

/'(I-工)=-rlnR,

X-1

/11

Finxln(l—x)]=-ln(l-n)-；----Inz,

X