測試題

——數(shù)值分析

一、選擇題

1.設(shè)近似值X*=±0嗎％…*xl()m有〃位有效數(shù)字，6力0,則其相對誤差限為

A.—xlOn+lB.—xlO-n+lC.—xlO-rt+1

2。]2/ax

2.要使畫的近似值的相對誤差限小于0.1%,則要取的有效數(shù)字有一位。

A.4B.3C.5

3.插值多項式的一個顯著缺點是

A.不是線性組合B.不具備承襲性C.計算結(jié)果誤差大

4.對于定理：設(shè)以幻在x=g(x)的根X*及鄰近有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，且帆(x)|<l,則迭代

過程4+1=夕(4)具有局部收斂性。此定理的條件是。

A.必要條件B.充分條件C.充要條件

5.若/(x)是”次多項式，則/[%,%,內(nèi),…,七』是x的。

A.〃次多項式B.〃+1次多項式C.0

6,牛頓下山法：/+1=4-尤&^中，幾的取值范是____。

f(xk)

A.A<0B.0<2<1C.0</I<1D.1</1

7.分段插值方法的提出是要避免o

A.Rtmge現(xiàn)象發(fā)生B.不能高次插值C.收斂速度太慢D.不收斂

8.一個數(shù)值計算方法是穩(wěn)定的是指：若該方法在節(jié)點X,,處的數(shù)值解打有6“擾動，而在

以后各節(jié)點的近似值記為y,“(加>〃)上產(chǎn)生的擾動8,?有下面的關(guān)系

A.B.腐|<團(tuán)C.四<同D.阿|>%|

9.在線性方程組AX=b中，若,則雅可比迭代收斂。

A.A對角占優(yōu)B.A嚴(yán)格對角占優(yōu)C.A為任意n階方陣

10.設(shè)A為〃階非奇異矩陣，Co"/(A)為條件數(shù)，則判別方程組Ax=8是病態(tài)的依據(jù)

A.Com/（A）相當(dāng)小B.Co〃或A）相當(dāng)大C.Cond(A)=0

11.數(shù)值x*的近似值x=0.1215X10?若滿足卜_￡卜（），則稱x有4位有效數(shù)字.

A.-X10-3B.-X10'4C.-X10-5D.-X106

2222

10-2-1

12.設(shè)矩陣A=-210-1，那么以A為系數(shù)矩陣的線性方程組AX=b的雅可比迭

-1-25

代矩陣為(

-00.20.110.20.1

A.0.200.1B.0.210.1

0.20.400.20.41

■0-0.2-0.T-o2r

C.-0.20-0.1D.201

-0.2-0.40120

13.已知y=f(x)的均差f(Xo,Xi,X2)=匕，f(Xi,X2,X3)=—,f(X2,X3,X4)=—,f(Xo,X2,X3)=—,

33153

那么均差f(X4,X2,X3)=()

A.”BI'c9114

33153

時牛頓—科茨求積公式的科茨系數(shù)Cf）=京,C；4）=工?4）=得,那么（4）

14.已知n=4c

=（）

7八16八2>39

A.—B.—C.—D.—

90451590

15.用簡單迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收斂的是（)

A.ex—X—1=0,[1,1.5],令Xk+ke以-l

32

B.X—X—1=0,[1.4,1.5],xM=1+—

Xk

C.x3—x2—1=0,[14,1.5],令x&+1=削+城

D.4—2*=x,[1,2],令x*+]=Iog2(4-x)

16.若誤差限為0.5X10-5,那么近似數(shù)0.003400有()位有效數(shù)字.

A.2B.3C.4D.6

17.當(dāng)線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣人是（）時，用列主元消去法解AX=b,A的主對

角線的元素一定是主元.

A.上三角形矩陣B.主對角線元素不為0的矩陣

C.對稱且嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣D.正定對稱矩陣

18.下列條件中，不是分段線性插值函數(shù)P(x)必須滿足的條件為()

A.P(Xk)=yk,(k=O,1,n)B.P(x)在［a,b］上連續(xù)

C.P(x)在各子區(qū)間上是線性函數(shù)D.P(x)在各節(jié)點處可導(dǎo)

19.有3個不同節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)精度是()次的.

A.5B.6C.7D.3

20.解微分方程初值問題的方法，()的局部截斷誤差為0(1?).

A.歐拉法B.改進(jìn)歐拉法C.三階龍格一庫塔法D.四階龍格一庫塔法

10%,—x2—3X3=7.2

21.當(dāng)時()時，線性方程組?-X,+7X2+3七=8.3的迭代解一定收斂。

2xl-4X2+仁=9.2

A.>6B.=6C.<6D.>|6|

22.通過四個互異節(jié)點的插值多項式P(x),只要滿足()，則P(x)是不超過一次的多項

式。

A.初始值y°=0B.一階均差為0C.二階均差為0D.三階均差為0

23.拉格朗日插值多項式的余項是()，牛頓插值多項式的余項是()

/5+1)(9

A.R.(x)=-------------6Jn+l(X)B.f(X,Xo,Xi,X2,…，Xn)(X—Xi)(X—X2)…(X—Xn-

(//+1)!

1）（X—x?）

川⑹

c.R”（x）=D.f（x,Xo,X1,X2,…，Xn）（X—Xo）（X—X1）（X—X2）…（x

（〃+1）!

—Xn-1)(X-Xn)

24.如果用復(fù)化梯形公式計算定積分［eTclr,要求截斷誤差不超過0.5X10,試問n2

()

A.41B.42C.431).40

25.為求方程x，一六一1=0在區(qū)間［1.3,1.6］內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立

相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是()

A./=L,迭代公式4MB.x=l+二?，迭代公式x*+|=l+-y

x-l廠xl

C.—=1+爐,迭代公式加］=(1+0)”3D.x3-\=x2迭代公式x-1+X；

Xk+X?+1

26.()的3位有效數(shù)字是0.236X102。

A.235.54X10?B.235.418C.2354.82X102D.0.0023549X103

27.設(shè)a*=2.718181828…，取a=2.718,則有()，稱a有四位有效數(shù)字。

A.|fl-<z*|^O.SxlO-4B.|a-?*|<0.5xl01-4

cja-a*tKT4D.|<z-c7*|<0.0003

28.設(shè)某數(shù)x*,對其進(jìn)行四舍五入的近似值是(),則它有3位有效數(shù)字，絕對誤差限是

-xl0-\

2

A.0.315B.0.03150C.0.0315D.0.00315

29.以下近似值中(),保留四位有效數(shù)字,相對誤差限為0.25x10候

A.0.01234B.-12.34C.-2.20D.0.2200

30.用選主元的方法解線性方程組AX=b,是為了()

A.提高計算速度B.減少舍入誤差C.減少相對誤差D.方便計算

3x,-x2+4X3=1

31.用列主元消去法解線性方程組(一玉+2%-9匕=。，第1次消元，選擇主元為

—4xj—3^2+Xy=-1

).

A.3B.4C.-4D.-9

32.數(shù)據(jù)擬合的直線方程為廣ao+ax,如果記

〃_2〃__

%=—Zz"=一￡力，晨一〃x，/?，=以為-〃個

〃k=lnk=\k=\k=\

那么系數(shù)a0,a.滿足的方程組是()

r__[/rv

naQ+xa[=y=—

A.B.《lxx

4=y-a}x

a+ax=y“o+a1x=y

C.01D.<

nxaQ+lxxa,=/JGa0+Z?a,=lxy

33.已知多項式P(x),過點(0,0),多,8),(4,64),(11,1331),(15,3375),它的3階均差為

常數(shù)1,一階，二階均差均不為0,那么P(x)是()

A.二次多項式B.不超過二次的多項式C3次多項式D.四次多項式

34.當(dāng)n=6時，C黑)=()

A.C<6)=—B.Cf)=2ZZc.C*6)=—D,C*)=生

°840384048402840

35.用簡單迭代法求方程f(x)=O的實根，把方程(x)=0表成x=<p(x),則f(x)=O的根是

)

A.y=x與y=(p(x)的交點B.y=x與y=(p(x)交點的橫坐標(biāo)

C.y=x與x軸的交點的橫坐標(biāo)D.y=(p(x)與x軸交點的橫坐標(biāo)

36.用二分法求方程f(x)=O在區(qū)間［a,b］內(nèi)的根x“，已知誤差限￡,確定二分的次數(shù)n是

使()

A.b—a<gB.|f(x)|<eC.|x*—x?|<ED.|x*—x?|<b—a

37.牛頓切線法求解方程f(x)=O的近似根，若初始值x。滿足(),則解的迭代數(shù)列一

定收斂.

A./(/)/〃(/)<0B./(xo)/7xo)>O

C./(%)尸(/)40D.f(xo)f\xo)>O

38.改進(jìn)歐拉法的平均形式的公式是()

%=”+"(乙，九)

yP=yk+好(z+i，%)

'<九="+/礦(/，%)B.”=以+/(z+i，%)

1、i、

%+1=](z匕,+K)加.(z“+九)

%=%+妙(z，九)%=”+〃/■(4,%)

c(4+”%)D

」K=%+/礦--=yk+hf(xk+l,yp)

h.、

%+1=5(%+K)

yk+\=/(%+K)

r/(x,y)

39.求解初值問題y,=”歐拉法的局部截斷誤差是()

、>(工0)=%

A.0(1?)B.O(h3)C.O(h')D.0(h5)

4占-2X2=1

40.用雅可比迭代法解線性方程組J+x2-x3=0,構(gòu)造迭代公式，則雅可比矩陣Bo

X］+2X2-x3=1

=()

-0.250.500.500.25

A.0-11-110

112121

0.250100.5o-

C.-110-101

「1-20_120

41.在區(qū)間ab］上作函數(shù)y=f(x)的分段線性插值，設(shè)分點a=xo〈xiV…<X5=b,那

么分段線性插值基函數(shù)lo(x)=()

X-X]

Xo<X<Xj

A.勺一再B.飛一再

0%!<X<x50xx<x<x5

0XQ<X<X]X-X

QxW勺

C.<D.0

Xj<X<x。一再

[0

Xj<x<x5

42.當(dāng)n=3時的科茨系數(shù)是(瑞)，C巴印,Cf))=()

(22221f21121

G，§，§，耳8'8,Z)

33P‘1124、

G，8>8'8?

J'8'8>1)

43.求方程f(x)=O在［0,1］內(nèi)的近似根，用二分法計算到x,0=0.445達(dá)到精度要求.那么所

取誤差限￡是()

A.0.05B.0.005C.0.0005D.0.00005

44.以下矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的為().

2-1005210

-12-101-410

A.B.

0-12-2141

00-12_0012_

「-52-1O'-421r

142-11410

C.D.

21412-1-4i

00121315

45.能用迭代法求方程近似根的是().

sinx+cosx6sinx+cosx

A.-----------------=x(0,1)B.---------------x(0,1)

46

C.4-2x=x(l,2)D.x=e"2(3,4)

46.將積分求積［0,0.5］四等分，有科茨求積公式，它的科茨系數(shù)為

「（4）_7?（4）32

°-90，C|

90

(?0.5

那么用科茨求積公式計算定積分工/(X)dx中的系數(shù)A2=(

）.

321612

A.B.cD.—

9090490

47.梯形求積公式￡/(x)dx?+/(0)］具有(

)次的代數(shù)精度.

A.0B.lC.2D.3

48.求積公式之4"(々)，若(),則稱該公式具有m次代數(shù)精度.

"*=0

A.對于m次多項式該公式精確成立，m+1次多項式不成立

B.對于大于m次多項式該公式精確成立，m次多項式不成立

C.對于小于m次多項式該公式精確成立，大于m次多項式不成立

D.對于不超過m次多項式該公式精確成立，有m+1次多項式不成立

49.等距二點求導(dǎo)公式P(xi)=()

A/(否)7(%)R/($)-/(%)

A.------------------------------------D.------------------------------------

x}-x0x0-X1

50.滿足f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0及二階導(dǎo)數(shù)條件的三次樣條函數(shù)$&)為()

113262s

—JT---x+xXG[0,1]

1515

A.<

-331622714

15151515

1132621sii

——x----x+x+lXG[0,1]

1515

B.

-3162714

--X3+X2----Xd---XG[1,21

15151515

[113112

—x---xXG[0,1]

1515

C.

-331622714

115151515

H226

——x----xXG[0,11

1515

D.

-336122714

15151515

51.過（x0,y。），（x-yj兩點的線性插值基函數(shù)函（x。）J（xi）滿足（）

A.Io（Xo）=1,11（Xo）=1B.lo（xi）-O,li（xi）=0

C.Io（Xo）=1,li（Xi）=1D.Io（xo）—0,li（Xi）=0

52.已知n+1個互異節(jié)點(x°,y。)，(x?y,).-.(x.,y”)和過這些點的拉格朗日插值基函數(shù)

L(x)(k=0,1,2,???,n),且(o(x)=(x-xo)(x—Xi)—(x—xn).則f(x°,Xi,…，x?)=()

A.B.

k=0%=0l'k(Xk)

c.D.

胡。(々)公①(4)

53.過(0,1),(2,4),(3,1)點的分段線性插值函數(shù)P(x)=()

3.3

—x+10<x<2—x+10<x<2

A.12B.〈2

-3x+102cx<3-3X2+102<X<3

3.3

—x—10<x<2-x+10<x<2

c.hD.《2

-3x+102<x<3—x+42<x<3

54.以下命題正確的是().

A.過n+1個互異節(jié)點的牛頓插值多項式最高次基的系數(shù)為￡&。》「“》")(此項不為0

時)

B.過節(jié)點(xo,yo),(xi,yi),???,(x?,yn)(n>3),則均差f區(qū),xo,xjwf(x“x0,X3)

C.過n+1個互異節(jié)點的拉格朗日插值多項式一定是n次多項式

D.三次樣條函數(shù)S(x)在每個子區(qū)間上是不超過3次的多項式

X]+彳2+匕=4

'x2~X3=2

55.方程組〔一2x2+2》3=6一定()。

A.有無窮多解B.有惟一解C,只有零解D.無解

二、填空題

1.數(shù)值分析是研究的一門學(xué)科。

2.在近似計算時，應(yīng)該注意的是除了要避免兩個相近的數(shù)相減外，還要避

免、和。

3.設(shè)表示第i點殘差，曲線擬合一般采取下面三種準(zhǔn)則，

即、、

和O

4.四階的Newton-Cotes公式是。

5.求解線性方程組的Gazs方法有、和o

6.對于給定的n+1個插值節(jié)點%,司，…,x,,,/(x)的埃爾米特插值多項式的次數(shù)為一

_______次。

rb

7.在復(fù)化梯形求積中，￡f(x)dx-Tn?。

8.用二分法求解方程根，其收斂階P=；而〃法的收斂階P=。

9.求解線性方程組的追趕法公式是勾=,其中心=,

Vk=------------

10.對于任意的初始向量Xo，Gazs-Seide/迭代過程收斂的充要條件是。

II.數(shù)值分析這門學(xué)科具有四特點，即,,

和.

12.誤差產(chǎn)生的來源主要是、、、。

13.為了避免計算時有效數(shù)字的丟失，如在求式子y=&萬-?的值，應(yīng)將其變換

成進(jìn)行計算。

14.插值公式是。

15.所謂現(xiàn)象就是指當(dāng)___________________________________________o

16.sinl有2位有效數(shù)字的近似值0.84的相對誤差限是.

17.設(shè)矩陣A是對稱正定矩陣，則用迭代法解線性方程組AX=b,

其迭代解數(shù)列一定收斂.

18.已知f(l)=l,f(2)=3,那么y=f(x)以x=l,2為節(jié)點的拉格朗日線性插值多項式為

19.用二次多項式*(%)=〃0，其中ao,ai,a2是待定參數(shù)，擬合點

(xi,yt),(X2,y2),...,(xn,yn).那么參數(shù)ao,ai,a2是使誤差平方和

________________________________取最小值的解.

20.設(shè)求積公式,若對的多項式積分公式

精確成立，而至少有一個m+1次多項式不成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度

-2

21.已知x*】=xi±0.5義10一＞x*2=x2±0.5X10,那么近似值x”X2之差的誤差限是_

22.用列主元消去法解線性方程組AX=b時，在第k—1步消元時，在增廣矩陣的第k

列取主元成f,使得,『)|=.

23.已知函數(shù)1(0.4)=0.411,f(0.5)=0.578,f(0.6)=0.697,用此函數(shù)表作牛頓插值

多項式，那么插值多項式/的系數(shù)是.

24.牛頓一科茨求積公式中的科茨系數(shù)C?(A=O,1,…滿足的兩條性質(zhì)是

25.用牛頓法求方程f(x)=0在［a,b］內(nèi)的根，已知P(x)在［a,b］內(nèi)不為0,(x)在［a,b］

內(nèi)不變號，那么選擇初始值X。滿足,則它的迭代解數(shù)列一定收斂到方程

f(x)=0的根.

26.用高斯列主元消去法解線性方程組

%++2X2+x3=0

<2x］+2無2+3X3=3

—X］-3x2=2

作第1次消元后的第2,3個方程分別為。

X］++2%—2%3=1

27.用高斯一賽德爾迭代法解線性方程組?玉+9+七=3的迭代格式中=

2xl+2X2+x3=5

______________(k=0,1,2,…)

147

28.已知n=3時,科茨系數(shù)C?)=_L,C；3)==。；3)=三，那么cf)=

29.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù),若滿足,則方程f(x)=0在區(qū)間［a,b］一定

有實根。

30.設(shè)某數(shù)x*,它的保留三位有效數(shù)字的近似值的絕對誤差是o

31.設(shè)某數(shù)X,,它的精確到10一"的近似值應(yīng)取小數(shù)點后位。

32.將下列各數(shù)舍入成三位有效數(shù)字，并確定近似值的絕對誤差和相對誤差。

(1)2,1514(2)-392.85(3)0,003922

(1)；；

(2);；

(3);；

33.已知各近似值的相對誤差，試確定其絕對誤差：

(1)13267e,=0.1%(2)0.896er=10%

(1)；(2);

34.已知各近似值及其絕對誤差，試確定各數(shù)的有效位數(shù)。

(1)0.3941e=0.25X10-2(2)293.481e=0.1(3)0.00381e=0.1X10

(1)；(2);(3);

35.用高斯順序消去法解線性方程組，消元能進(jìn)行到底的充分必要條件是

36.已知函數(shù)y=f(x),過點⑵5),(5,9),那么f(x)的線性插值多項式的基函數(shù)

為。

37.過6個插值節(jié)點的拉格朗日插值多項式的基函數(shù)"(x)=。

38.求數(shù)據(jù)擬合的直線方程y=ao+a,x的系數(shù)a。,a,是使最小。

39.過這三個點(0,1),(1,2),(2,3)的拉格朗日插值多項式

40.設(shè)y=f(x),只要x0,xi,xz是互不相同的3個值，那么滿足P(x。=yk(k=0,1,2)的f(x)

的插值多項式P(x)是(就唯一性回答問題)

41.牛頓一科茨求積公式與高斯型求積公式的關(guān)鍵不同點是.

42.用三點高斯一一勒讓德求積公式計算積分是有代數(shù)精度的

43.牛頓切線法是用曲線f(x)上的與x軸的交點的橫坐標(biāo)逐步逼近f(x)=0

的解；而弦截法是用曲線f(x)上的與x軸的交點的橫坐標(biāo)逐步逼近f(x)=0

的解.

44.設(shè)方程f(x)=x—4+2*=0,在區(qū)間［1,2］上滿足,所以f(x)=0在區(qū)間

［1,2］內(nèi)有根.建立迭代公式x=4-2*=<p(x),因為,此迭代公式發(fā)散.

45.設(shè)函數(shù)f(x)區(qū)間［a,b］內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)f(b)<0,當(dāng)時，則

用弦截法產(chǎn)生的解數(shù)列收斂到方程f(x)=0的根.

46.改進(jìn)歐拉預(yù)報一校正公式是

預(yù)報值九+i="+_______

校正值％=%+g［］

47.設(shè)四階龍格一庫塔法公式為

h、

加=y+7(7勺+2K2+2K3+。)

kO

其中Ki=f(xk,Yk);K2=f(xn+［h,yk+—hKi)；K3=f(xk+-h,yn+—HK2)；Ki=f(xk+h,yk+h?)

2222

y，=1-y

取步長h=0.3,用四階龍格一庫塔法求解初值問題3)的計算公式

是.

2

48.取步長h=0.1,用歐拉法求解初值問題丫%)的計算公式是

J⑴=1

49.近似值x=9000.00的相對誤差限是。

X1+2X2+x3=0

50.用列主元消去法解線性方程組(2勺+2叼+34=3,作第1次消元后的第3個方

一再—3%2=2

程為?

51.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，若滿足，則方程f(x)=0在區(qū)

間［0,1］一定有實根。

52.解常微分方程初值問題的三階龍格一庫塔法的局部截斷誤差是。

53.解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法具有收斂

54.迭代過程x卬=60)(k=l,2,…)收斂的充要條件是|“(切

55.已知數(shù)e=2.718281828.取近似值x=2.7182,那麼x具有的有效數(shù)字是

56.通過四個互異節(jié)點的插值多項式p(x),只要滿足,則p(x)是不超過二

次的多項式

57.對于n+1個節(jié)點的插值求積公式至少具有次

代數(shù)精度.

58.插值型求積公式/」(x)dx濟(jì)寧4/(耿)的求積系數(shù)之和

aE3A-0

-210'

59.A=12a，為使A可分解為A=LLT，其中L為對角線元素為正的下三角形，

0a2

a的取值范圍__________

60.若幺=；；則矩陣A的譜半徑p(A)=

61.解常微分方程初值問題y=/(x,^),7Uo)=^o的梯形格式

A+I=y?,八)+/且+1/+1)］是-----------階方法

62.設(shè)x*=2.3149541…，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值*=.

63.設(shè)一階差商.(々M2)=1熾2)一y.1)=lzl=_3,

叼一了］2-1

…）二竺詈母=1

則二階差商,（弱，叼，*3）=一

64.數(shù)值微分中，已知等距節(jié)點的函數(shù)值（%，為）（々，乃）（々仍）

則由三點的求導(dǎo)公式，有了‘（為）=—

65.求方程/-X-1.25=0的近似根，用迭代公式x=Jx+1.25,取初始值

的=1,

那么再=一

/y=/u.7）

66.解初始值問題Iy（x°）=為近似解的梯形公式是必^"——

rin

A=

67.\~5V,則A的譜半徑Q(A)=,A的cond(A)i=

68.設(shè)/（x）=3x*+5,x*=物上=0,1,2,…，則,區(qū),4+1，%2]=

和/[xn>xn+l>xn+2'^n+sl—

69.若線性代數(shù)方程組AX=b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-

塞德爾迭代都

70.解常微分方程初值問題的歐拉（Euler）方法的局部截斷誤差為—

"10a

A=01?

71.設(shè)[aa1」，當(dāng)ae時，必有分解式A=UJ,其中L為下三角

陣，當(dāng)其對角線元素LiiQnlN，3）足條件時，這種分解是唯一的。

三、名詞解釋

1.LagAzmge的〃次插值基函數(shù)

2.數(shù)值微分的改進(jìn)尤拉(Euler)法

3.局部截斷誤差

4.迭代函數(shù)

5.處矩陣分解

6.有效數(shù)字

7.代數(shù)精度

8.向量范數(shù)

9.嚴(yán)格對角占優(yōu)

10.正規(guī)方程

四、證明題

1.證明以Gauss點為零點的〃次多項式火燈與一切次數(shù)W〃—1的多項式正交。

2.證明&的相對誤差約等于x的相對誤差的%。

3.證明數(shù)值積分的梯形公式的余項為=一'/小)(》—。門看€(。，份

4.已知函數(shù)表

X012345

f(x)-7-452665128

求證由此構(gòu)造的牛頓插值多項式的最高次幕的系數(shù)為1.

5.證明解線性方程組AX=b的雅可比迭代收斂，其中

-410

A=121

011

6.設(shè)工0，工］,工2,…，無〃是"1個互異的插值節(jié)點，4(x)(&=0,12是拉格朗日插值

基函數(shù)，證明：￡/式幻三1

攵=0

7.證明方程1—x—sinx=0在區(qū)間［0,1］內(nèi)有一個根，使用二分法求誤差不超過0.5義

IO-的根要迭代多少次？

8.對初值問題y'+y=0,y(0)=l,證明用梯形公式求得的近似解為

(2-hV

并證明當(dāng)步長h->0時，y?-?e-x

9.設(shè)方程f（x）=O在區(qū)間［0,1］上有唯一實根，如果用二分法求該方程的近似根，要

求絕對誤差限為0.001,證明至少要二分9次。

10.證明定積分近似計算的拋物線公式

2b-aa+

工/（x）dx-亨/3）+4/（^）+

具有三次代數(shù)精度

11.設(shè)/（x）=*-a）2

（1）寫出解/（x）=0的Newton迭代格式

（2）證明此迭代格式是線性收斂的

12.設(shè)R=I-CA,如果因＜1，證明：

（1）A、C都是非奇異的矩陣

⑵因）/-M|網(wǎng)

MT由

Xj+2X2-2X3=1

13.證明＜x1+x2+x3=3的線性方程組，雅可比迭代法收斂，而高斯一賽德爾迭代

2X［+2々+x3=5

法發(fā)散。

14.設(shè)/。（無）=。一~）（“―/”“（”一招）是以節(jié)點X。,x「..,x“為插值點的拉格朗日

（X。一天）。0一￡）...（與一居）

插值基函數(shù)，試證明

%入0+。-/）（九-為）++（兀/）（4一/”（工一龍,1）

4（%）=1+

入0一項（彳0一花）（無0—82）（X。一玉）（x0-彳2）…（X。一工,）

五、計算題

1.用Afewr。〃法求解方程

x3-x2-%-1=0的正根

2.設(shè)

210

A=-123，試計算M3W，同2

0-21

3.設(shè)x>O,x的相對誤差為b,求Inx的誤差。

4.求滿足下面條件的插值多項式及余項

Xi23

y2412

y'3

5.計算下面求積公式的代數(shù)精度

[f?|[2/(i)-/(I)+2/(1)]

并用它計算定積分工/公

6.應(yīng)用Mwto〃迭代法解方程，試導(dǎo)出求立方根后的迭代公式，并討論其收斂性。

12

7.設(shè)4=在范數(shù)|囿,|同的意義下，分別計算Co〃d(A)。

8.用消元法作出下列矩陣的LR分解和ZJDU分解(L為主對角線元素全為1的下三

角陣，U為主對角線元素全為1的上三角陣，。為對角陣)。

'2-1-f

A=120

103

9.用列主元消去法解線性方程組

12x,-3X2+3X3=15

*—18%1+3巧一￡—15

Xj+x2+x3=6

計算過程保留4位小數(shù).

10.取m=4,即n=8,用復(fù)化拋物線求積公式計算積分

fl.2,

ln(l+x~)dx

Jo

計算過程保留4位小數(shù).

11.用牛頓法解方程x-ex=0在x=0.5附近的近似根.要求上山-x,|<0.001.計算過程

保留5位小數(shù).

12.取h=0.1,用改進(jìn)歐拉法預(yù)報一校正公式求初值問題

y'=]+x+y2

y(0)=i

在x=0.1,0.2處的近似值.計算過程保留3位小數(shù).

13.已知一組試驗數(shù)據(jù)

22.53455.5

44.5688.59

試用直線擬合這組數(shù)據(jù).(計算過程保留3位小數(shù))

1