第十二章全等三角形

本/章/整/體/說/課

〈教學目標

1.理解和掌握全等三角形的概念，明確對應邊、對應角、對應頂點等相關

概念.

2.掌握兩個三角形全等，對應邊相等、對應角相等的性質.

3.探索并掌握兩個三角形全等的條件，并能根據“SSS”“SAS”“ASA”

“AAS”“HL”判定兩個三角形全等.

4.能夠畫已知角的平分線并掌握角平分線的性質定理和判定定理.

過程與方法

1.通過觀察、試驗、歸納、類比、推理獲得數學猜想，體驗數學活動充滿

著探索性和創造性，感受證明的必要性、證明過程的嚴謹性以及結論的確定

性.

2.在教學中，注重所學內容與現實生活的聯系；注重學生經歷觀察、操作、

推理、想象等探索過程.

［度?勺/介/直■'

1.讓學生通過動手操作，感受知識的形成過程，樹立認真學習的態度，激發

學生的學習熱情.

2.利用小組合作的學習方法，讓學生多進行交流，多種感官參與教學，使學

生主動探索、發現規律、歸納概括、形成能力，養成學數學、爰數學的情感.

'J教材分析

中學階段重點研究的兩個平面圖形間的關系是全等和相似，本章將以三

角形為例研究全等.全等三角形研究的問題和研究方法將為后面學習相似提

供思路，而且全等是一種特殊的相似，全等三角形的內容是學生學習相似三角

形的重要基礎.本章還將借助全等三角形進一步培養學生的推理論證能力，主

要包括用分析法分析條件與結論的關系，用綜合法書寫證明格式，以及掌握證

明幾何命題的一般過程.由于利用全等三角形可以證明線段、角等基本幾何元

素相等，所以本章的內容也是學習等腰三角形、四邊形、圓等內容的基礎.

本章分為三節，主要介紹了全等三角形的概念、性質、判定方法，以及如

何利用三角形全等進行證明.

第12.1節首先介紹了現實世界中的全等現象，然后從“重合”的角度引

入了全等形的概念，在此基礎上給出了全等三角形的概念，接著由全等三角形

的概念導出了全等三角形的性質.

第12.2節由圖形的性質與判定在命題陳述上的互逆關系出發，引出判定

兩個三角形全等的方法.

第12.3節首先由平分角的儀器的工作原理引出了作一個角的平分線的

尺規作圖，然后探究并證明了角的平分線的性質，同時總結了證明一個幾何命

題的一般步驟，最后給出了角的平分線的性質定理的逆定理.

本章將重點研究三角形全等的判定方法，并在其中滲透了研究幾何圖形

的基本方法.本章既有直接利用三角形全等的判定方法證明兩個三角形全等

的問題，又有通過證明兩個三角形全等推出線段相等或角相等的問題，在問題

的設計中還融入了平行線的性質與判定、三角形中邊和角的等量關系、折紙

情境等內容，推理論證的難度比《三角形》一章增大了.

教學重難點

【重點】

1.全等三角形的性質及各種判定三角形全等的方法.

2.角平分線的性質及判定.

3.證明的基本過程.

【難點】

1.根據不同條件合理選用三角形全等的判定方法，特別是對“SSA”不能

判定三角形全等的認識.

2.角平分線的性質和判定的正確運用.

3.用綜合法證明的格式.

教學建議

1.用研究幾何圖形的基本思想和方法貫穿本章的教學.

學生在前面的幾何學習中研究了相交線與平行線、三角形等幾何圖形，

對于研究幾何圖形的基本問題、思路和方法形成了一定的認識，本章在教學中

要充分利用學生已有的研究幾何圖形的思想方法，用幾何思想貫穿全章的教

學.

2.讓學生充分經歷探究過程.

本章在編排判定三角形全等的內容時構建了一個完整的探究活動，包括

探究的目標、探究的思路和分階段的探究活動.教學中可以讓學生充分經歷這

個探究過程，在明確探究目標、形成探究思路的前提下，按計劃逐步探索兩個

三角形全等的條件.本章在編排中將畫圖與探究三角形全等的條件結合起來，

既有用尺規畫一個三角形與已知三角形全等，又有用技術手段根據已知數據

畫三角形.教學中要充分利用探索畫圖方法的過程對形成結論的價值，讓學生

自主探索畫圖的步驟、創設多種畫法、解釋作圖依據等，在活動中發現結論.

3.重視對學生推理論證能力的培養.

本章是初中階段培養邏輯推理能力的重要章節，主要包括證明兩個三角

形全等，通過證明三角形全等，進而證得兩條線段或兩個角相等.教學中要在學

生已有推理論證經驗的基礎上，利用三角形全等的證明，進一步培養學生推理

論證的能力.按照整套教科書對推理能力培養的循序漸進的目標，本章的教

學重點是引導學生分析條件與結論的關系，書寫嚴謹的證明格式，從具體問題

的證明中總結出證明的一般步驟.

課時劃分

12.1全等三角形1課時

12.2三角形全等的判定4課時

12.3角的平分線的性質1課時

單元復習1課時

課/時/教/學/詳/案

12.1全等三角形

整體設計

教學目標

1.掌握好全等形及全等三角形的定義.

2.理解對應頂點、對應邊、對應角的含義.

3.掌握全等三角形的性質.

1.教學時結合實際圖片或學生自己動手制作的圖片，使學生更加容易接

受本節的知識，也能從中體會到數學的樂趣及數學與生活實際的聯系.

2.通過對一個圖形的平移、翻折、旋轉等動態變換，使學生的思維更具動

態，形成空間觀念，對以后的圖形觀察與總結具有更好的指引作用.

1.在全等形的引入中，通過一些實際生活的圖片，讓學生感受到數學來源

于生活實際，又反作用于生活實際.

2.在學習中，同學之間以及小組之間相互研討，可促進學生的團隊意識，以

及認識合作的價值.

I教學重難點

【重點】掌握好全等三角形的定義及利用全等三角形的性質解決問題.

【難點】全等三角形性質的應用.

,教學準備

【教師準備】全等的三角形紙板.

【學生準備】剪刀、三角形紙板.

II教學過程

-______________

導入一：

（老師手拿兩個全等的三角形紙板，可先分開操作，然后把兩個三角形進

行重合操作，目的是讓學生看出這兩個三角形是能夠完全重合在一起的）

【師】同學們，你能發現這兩個三角形有什么關系嗎？

【生】這兩個三角形是完全重合的.

［師］這就是我們今天要學習的全等形中的一種，全等三角形.

（同時教師手寫板書）

［設計意圖］本節的內容，對于學生來說還是比較容易接受的，所以此設

計比較簡捷，單刀直入，可以節省時間，直入主題.

導入二：

【師】同學們，這節課我們先做個游戲，把你們準備好的剪刀與三角形

紙板拿出來，先取一張紙，將準備好的三角形紙板按在紙上，畫下圖形，照圖形

裁下來，觀察一下，有什么特點?同桌之間互相配合完成，再一起討論得到的三

角形與原三角形之間的關系.

［設計意圖］同桌之間通過互相幫助，動手探索，既能增強他們的合作意

識、團隊精神，又能在動手操作中感受到數學的樂趣，增強對全等三角形的認

知與理解.

導入三：

（老師拿出一塊硬紙板）同學們請看，每組的兩個圖形有什么特點?它們的

形狀、大小一樣嗎?它們能互相重合嗎？

I

［設計意圖］這兩個問題和實際生活的聯系比較密切，引起了學生認知

的需要，激發了學生的求知欲，使之在思維情境中進入最佳的學習狀態.這就為

學生認識和探索全等三角形的性質做了鋪墊.

2新知構建

一、全等三角形的相關概念

［過渡語］剛才同學們都看到了，兩個三角形可以在形狀、大小方面完全

相同，放在一起能夠完全重合，在實際生活中，你還能舉出類似的例子嗎？

1.全等形的概念

思路一

【師生活動一】多找一些學生舉例子.（此過程中，有些學生舉的例子是

不正確的，如有的學生可能會說“雙胞胎”，可先讓學生說說此例子是否正確，

讓學生們一起討論，然后老師給出正確的指引及錯誤的原因，對學生的不同回

答，只要合理，就給予認可）

［設計意圖］幫助學生準確地理解定義，以及感受數學知識的嚴謹性.

【師生活動二】

⑴上面同學們舉的這些例子，有什么共同的特征？

⑵有人用“全等形”一詞描述上面的圖形，你認為這個詞是什么含義？

同學們暢所欲言，最后老師給出全等形及全等三角形的定義，為了加深理

解，可通過列舉反例強調定義的條件.

全等形的定義：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.

全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

思路二

【學生活動一】把一塊三角形樣板按在紙板上，畫下圖形，照圖形裁下

來.

【問題思考】裁下來的紙板和樣板的形狀、大小完全一樣嗎?把樣板

和裁得的紙板放在一起能夠完全重合嗎?用同一張底片沖洗出來的兩張照片

上的圖形，放在一起也能夠完全重合嗎？

【學生回答后總結】能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.

［設計意圖］從學生熟悉的圖形和例子引出全等形的概念，可以排除學

生對幾何的畏懼心理，增強他們的自信心，在教學過程中要強調“重合”的重

要性，使全等形的概念的引入顯得更加自然.

【學生活動二】觀察黑板上的兩個三角形ADEF和△ABC.

【思考】如果把ADEF放到aABC上，兩個三角形可以重合嗎?可以重

合的三角形稱為什么？

【生答】全等三角形.

［設計意圖］通過這個活動及時鞏固全等形的概念，同時也為后面的內

容做鋪墊，起承上啟下的作用.

拓展延伸］兩個三角形全等指的是兩個三角形的形狀和大小完全相同,

和位置無關.

2.全等三角形的相關定義

國渡語］實際生活中，全等形是非常多的，在初中階段，我們重點研究全

等三角形，你能構造一對全等三角形嗎?你是如何構造的呢?看下面的例子.

【師生活動一】老師演示以下三種情況：

⑴將ZkABC沿直線BC平移得到△DEF;

⑵將ZkABC沿BC翻折180°得到△DBC;

⑶將△ABC繞點A旋轉180°得到aAED

【議一議】各圖中的兩個三角形全等嗎?

它們能完全重合，我們就說它們是全等三角形，其中能重合的頂點叫做對

應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角.如上圖中的甲，AABC與4

DEF全等，我們就記作△ABC=aDEF,符號””讀作“全等于“，當兩個三角形

全等時，我們就用它來表示.其中點A與點D,點B與點E,點C與點F是對應

頂點；AB與DE,BC與EF,AC與DF是對應邊；NA和ND,NB和NE,NC和NF是

對應角.

同學們，能不能對上述的圖乙，圖丙，分別說出它們的記法、讀法，以及其中

的對應頂點、對應邊、對應角.

當學生回答兩個三角形全等的書寫時，教師注意強調書寫時對應頂點字

母寫在對應的位置上.

【師生活動二】

【師】由上述的演示可以看出，f圖形經過平移、翻折、曲專后，位

置變化了，但形狀、大小都沒有改變，所以平移、翻折、旋轉前后的圖形全等，

這也是我們通過運動的方法尋求全等的一種策略.

在上述三種變換中，怎么能快速地找到對應頂點、對應邊、對應角呢?請

同學們討論.

［設計意圖］學生進彳亍討論，各抒己見，此過程中學生說的不一定對，在互

相的討論、交流中，學生慢慢地糾正自己的錯誤，接受別人的好的方法，這樣能

更加深入地了解與掌握找全等三角形的對應點、對應邊、對應角的方法.

【師最后總結】在全等三角形中，找出對應角和對應邊，關鍵是先找出

對應頂點，然后按對應頂點的字母順序記兩個三角形全等，再按順序寫出對應

邊和對應角.全等三角形的面積一定相等，但是面積相等的兩個三角形不一定

是全等三角形.

［知識拓展］找對應元素的常用方法有兩種：

（一）從運動角度看

1.翻轉法：找到中心線，沿中心線翻折后能相互重合，從而發現對應元素

2.旋轉法：三角形繞某一點旋轉一定角度后能與另一三角形重合，從而發

現對應元素.

3.平移法：沿某一方向平移使兩三角形重合來找對應元素.

（二）根據元素位置來推理

1.全等三角形對應角所對的邊是對應邊；兩個對應角所夾的邊是對應邊.

2.全等三角形對應邊所對的角是對應角；兩條對應邊所夾的角是對應角.

3.公共邊一定是對應邊，公共角一定是對應角，對頂角一定是對應角.

4.全等三角形中一對最短的邊（或最小的角）是對應邊（或對應角）.

二、全等三角形的性質

［過渡語］我們現在已經知道了什么是全等三角形，并且能找到兩個全

等三角形的對應頂點、對應角、對應邊，那么這些對應邊與對應角又有什么關

系呢?同學們拿出我們剛才自己制作的兩個全等三角形，動手比較，看能得出

什么結論？

學生們紛紛發言，在此過程中，老師引導學生從全等三角形可以完全重合

出發找等量關系，得到全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等；全等三角

形的對應角相等.

［知識拓展］（1）全等三角形的對應邊上的高、中線以及對應角的平分線

相等；⑵全等三角形的周長相等，面積相等；⑶平移、翻折、旋專前后的圖形全

三、例題講解

等三角形的性質，這樣我們就可以根據圖形找到全等三角形的對應邊、對應角

例1如圖所示，△OCAeZ\OBD,C和B,A和D是對應頂點.

(1)40CAeZ\0BD說明這兩個三角形可以重合，那么通過怎樣的變換可

以使這兩個三角形重合？

(2)說出這兩個三角形中相等的邊和角.

解：⑴★等aOCA翻折可以使△OCA與AOBD重合.

(2)ZC=ZB,ZA=ZD,ZAOC=ZDOB;AC=DB,OA=OD,OC=OB.

例2如圖所示，已知△ABfeAACQ/ADE:/AED,/B=/C指出其他的

(解析)對應邊和對應角只能從兩個三角形中找，所以需將AABE和4

ACD從復雜的圖形中分離出來.根據元素位置來找，有相等元素，它們就是對

應元素，再依據已知的對應元素找出其余的對應元素.

解：對應角為NBAE和NCAD.

對應邊為AB與AC,AE與AD,BE與CD.

3課堂小結

1.能夠完全重合的圖形叫做全等形.能夠完全重合的三角形叫做全等三

角形.重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角.

全等三角形的對應邊相等，對應角相等.

2.找全等三角形對應元素的方法，注意挖掘圖形中隱含的條件，如公共元

素、對頂角等.

3.在運用全等三角形的定義和性質時應注意規范書寫格式.

4檢測反饋

1.如圖所示，AABC=Z\DEF則此圖中相等的線段有（）

AD

iiECE

A.1對B.2對

C.3對D.4對

解析：因為△ABC=ZSDEF所以AB=DE,AC=DF,BC=EF,因為BC=EF,即

BE+EC=CF+EC,所以BE=CF,即有4對相等的線段.故選D.

2.如圖所示，△ACB^ACB,NACB=30o,NACB'=110。,則NACA的度數

是（）B，

A.20°B,30°

C.35°D.40°

解析：:△ACBAA,CB,AZACB=ZA'CB'.\ZACB-ZA'CB=ZA'CB'-Z

ACB,即zACA=ZBCB,VZA*CB=30°,ZACB=110°,AZ

ACA'=1(110o-30o)=40°.i!i^D

3.如圖所示，找出由七巧板拼成的圖案中的全等三角形.

解：三角形1和三角形2,三角形6和三角形7.

4.如圖所示，已知△ABC=^ADE試找出對應邊、對應角.

解析：方法1：可以發現NA是公共角，在兩個三角形中NA的對邊分別是

BC和DE,所以BC和DE是一組對應邊.而AB與AE顯然不重合，所以AB與

AD是一組對應邊，剩下的AC與AE自然是一組對應邊了.再根據對應邊所對

的角是對應角可得NB與ND是對應角，NACB與NAED是對應角.所以對應邊

為AB與AD,AC與AE,BC與DE.對應角為NA與NA,NB與ND,NACB與NAED.

方法2:沿A與BC和DE的交點O的連線將4ABC翻折180。后，它正好和^

ADE重合，這時就可以找到對應邊為AB與AD,AC與AE,BC與DE.對應角為

ZA與ZA,ZB^ZD,ZACB^ZAED.

解：對應邊為AB與AD,AC與AE,BC與DE.對應角為NA與NA/B與Z

D/ACB與NAED.

5板書設計

12.1全等三角形

一、全等三角形的相關概念

二、全等三角形的性質

例1

例2

布?作業

一、教材作業

【必做題】

教材第32頁練習第1,2題.

【選做題】

教材第33頁習題12.1第3,4,5題.

二、課后作業

【基礎鞏固】

1.下列各組圖形中是全等圖形的是（）

A.□□B./,

c-△△0。Q

2,下列各組圖形中，是全等形的是（）

A.對應鈍角相等的兩個等腰三角形

B.兩個含60°角的直角三角形

C.邊長為3和5的兩個等腰三角形

D.腰對應相等的兩個直角三角形

3.如圖所示，AABCABAD,*A和點B,點C和點D是對應頂點，如果AB=6

cm,BD=5cm,AD=4cm,那么AC的長是

A.6cmB.5cm

C.4cmD.無法確定

4.如圖所示，Rt^ABCeRDDEF,則ND的度數為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

【能力提升】

5.如圖所示，四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,ZXABCABAD求證:

（）

B

(1)0A=0B;

(2)Z0CD=Z0DC

6.如圖所示，△ABCeMECB和E是對應頂點NB=30°,NACB=85。,求△AEC

各內角的度數.(

【拓展探究】

7.如圖所示，已知△ABD4ACE且點E在BD上，CE交AB于點F,若N

CAB=20°求NDEF的度數

【答案與解析】

1.B解析：根據全等圖形的定義可得.)

2.D

3.B(解析：:AABC=ABAD^A與點B,點C與點D是對應頂點AC=BD,又

VBD=5cm(E^n)/.AC=5cm.故選B.)

4A解析：RtAABCeRtADEF.,.ND=/A???在RtAABC中，NA+NB=90P，且N

B=60°.\ZA=30°.\ND=30°.故選A.)

5;近月：(1),/ZkABC=ABAD.\ZCAB=ZDBA.*.O/U)B.(2)VAABC=A

BAD.*.AC=BD,又OA=OB.??AC-OA=BD-OBBPOC=ODZOCD=Z

ODC.

6解：???△ABCeAAEC，NACfeNACB,NEAC=NBACNE=NB,又NB=3(r,N

ACB=85°.\ZE=30o,ZACE=85o.\ZEAC=65°.

7.解析：根據全等三角形的性質求出NC=NB,再根據三角形內角和定理和對頂

角相等求出NBEF=NCAB=20°,代入NDEF=180°-/BEF即可求出NDEF解：

△ABD=AACE.\ZC=ZB,VZBFE=ZCFAZCAF=180°-ZC-ZCFAZ

BEF=180°-ZB-ZBFEZCAB=20°AZBEF=ZCAB=20o/.ZDEF=1800-Z

BEF=180°-20°=160°.

3教學反思

成功之處

本節內容與圖形是緊密相連的，圖形也是學生非常喜歡的，所以本節課的

引入，重點以圖形為主，既讓學生感受到學數學的樂趣，又引發了學生學習本節

課的信心，并且對學生更加熱愛生活、找到數學與生活實際的聯系起到了非常

重要的作用.本節課的另外一個特點是圖形的平移、翻折與旋轉，要求學生具

有空間想象能力，這既是數學的美，也是一些學生感到吃力的地方，為了突破難

點，在教學設計上，引入了幾何畫板，進彳詞態演示，讓學生能在非常生動、精彩

的課件中找到自信，另外，也為他們日后的學習起到了重要的鋪墊作用.

i不足之處

本節課中，全等形、全等三角形的定義都是比較

淺顯的，學生們非常容易接受，本節的難點是全等三角形的書寫及找出對

應邊、對應角，在突破難點上，講解沒有達到非常生動.讓學生在非常歡樂的氣

氛中達到難點突破是我們的教學目標.

再教設計

為了能突破難點，在設計上可先讓學生拿著自己制作好的兩個全等三角

形進行平移,翻折與旋轉，觀察前后的變化，同時寫出每次變換后的對應邊、

對應角，可同桌之間互相考察，也可一名學生指派另一名學生答題，然后老U幣再

用幾何畫板進行動態演示，把實際操作逐步變為頭腦中的印象，最后達到不用

任何輔助手段就能在頭腦中達到上述目的.

口教材習題解答

練習(教材第32頁)

1.解：圖⑵中，AB和DB,BC和BC,AC和DC是對應邊；NA和ND,NABC和N

DBCNACB和NDCB是對應角.圖⑶中，AB和AD,BC和DE,AC和AE是對應

邊；NBAC和NDAENB和ND,NC和NE是對應角.

2解：相等的邊：AC=DBQA=OD,OC=OB;相等的角：ZA=ZD,ZC=ZB,Z

AOC=ZDOB.

習題12.1(教材第33頁)

1.解：AC和CA是對應邊；NB和ND,NBAC和NDCANBCA和NDAC是對應角.

2.解：其他對應邊：AN和AM,BN和CM,其他對應角：NANB和NAMGNBAN

和NCAM.

3.解：.「三角形內角和為180。1.a所對的角為180°-60°-54°=66°,又：兩個三

角形全等??.N1=66°.

4.解：⑴其他對應邊：EF和NM,FG和MH,EG和NH;其他對應角：NE和NN,N

FGE和NMHN.(2)因為△EFGeZ\NMH,所以NM=EF=2.1

cm,EG=NH=3.3cm,所以HG=EG-EH=3.3-1.1=2.2(cm),所以線段NM的

長度是2.1cm,線段HG的長度是2.2cm.

5.解：NACD和NBCE相等因為△ABOADEC,所以NACB=NDCE.又因為N

ACB=/ACE+NBCENDCE=NACD+NACE所以NACD=NBCE.

6.解：⑴對應邊：AE和ADAC和AB,EC和DB對應角：NA和NA,NAEC和N

ADB,/ACE和ZABD/2)因為△AEC4ADB所以NACE=/ABD.又因為N

1二4所以/ACE+/2=/ABD*1抑4CB="BC所以/ABC=?x(1心

NA)=65。,所以N仁NABC-NABD=650-39°=26°.

備課資源

經典例題

91如圖所示，△EFG=4NHM,在△EFG中，FG是最長的邊，在△NHM

中，MI是最長的邊，NF和NNM是對應角，且EFN4cm,FH=1.9

(1)寫出對應相等白她及對應相等的角;

⑵求線段GN及線段HG的長度.

(解析)(1)由于△EFG=Z\NHM,根據兩個三角形的最長邊是對應邊可

知FG與對應相等，又NF和NNHM是對應角，所以NFGE禾口NFW對應

相等，剩下的一對角N麗NN也就對應相等了；進而根據對應頂點的關系可得

到EF與HN對應相等，EG與MN對應相等；⑵由HM=3.5cm可得它的對

應邊FG=3.5cm,根據FH=1.9cm可求得HG=FG?FH=1.6cm;又由EF=2.4

cm可得它的對應邊HN的長也是2.4cm,則GN=2.4?1.6=0.8(cm).

解：⑴對應相等的邊有：FG=MH,EF=HN,EG=NM;對應相等的角有：NF=

ZNHMZE=ZN,ZEGF=ZM.

⑵根據全等三角形的性質，得HN=EF=2.4

cm,HG=FG-FH=HM-FH=3.5-1.9=1.6(cm),GN=HN-HG=2.4-1.6=0.8(c

m).

例2如圖所示，A,D,E三點在同一直線上，E.ABAD=AACE,

⑴試說明BD=DE+CE;

(2)△ABD滿足什么條件時，BDIICE?

〔解析〕⑴要說明BD=DE+CE,由于△BADLACE所以BD和AE相

等，因此我們只需說明AE=DEVE即可，又AE=AD+DE,所以本題只需說明

AI>CE即可，而這對線段恰好是全等三角形的對應邊.(2)要使BDTICE,則必

須有NBDE=NE,根據全等三角形的對應角相等可知NADB=NE,所以需要條

件NADB=900.

解:(1):ABAD=AACE:BD=AE,AD=CEVAE=AD+DEABD=DE+CE.

⑵當4ABD滿足NADB=90。時，BDIICE.

〔解題策略〕證明形如"BD=DE+CE”的問題有兩種思路：思路一是

將BD拆成兩段，證明這兩段分別等于DE和CE;思路二是找一條等于DE+CE

的線段，然后證明該線段等于BD.

12.2三角形全等的判定

I教學目標

1.熟練掌握“邊邊邊”定理、“邊角邊”定理、“角邊角”定理、“角

角邊”定理、“斜邊直角邊”定理.

2.會用這些判定方法判定兩個三角形全等.

過程與方法

1.讓學生通過分類討論和作圖的方法探索三角形全等的判定定理，并讓

學生用運動變換的方法證實.

2.在探索全等三角形的判定方法的過程中，滲透分類討論的思想.

3.培養學生觀察、概括、歸納的能力.

感態度與價值現

1.讓學生體驗分類的思想，培養學生的合作精神.

2.培養學生學習數學的興趣，體會研究問題的思想和方法.

教學重難點

【重點】全等三角形的判定方法.

【難點】能用全等三角形的判定方法判定兩個三角形全等.

警，課時

旦整體設計

教學目標

1.掌握“邊邊邊”定理的內容.

2.能初步應用“邊邊邊”定理判定兩個三角形全等.

3.會作一個角等于已知角.

讓學生探索三角形全等的條件，體驗用操作、歸納得出數學結論的過程.

通過探究三角形全等的條件的活動，培養學生

合作交流的意識和大膽猜想、樂于探索的良好品質，以及發現問題的能

教學重難點

【重點】“邊邊邊”定理.

【難點】探索三角形全等的條件.

4教學準備

【教師準備】多媒體課件.

【學生準備】復習全等三角形的性質，準備直尺和圓規.

教學過程

新課導入__________________

導入一：

【提出問題】

⑴全等三角形相等，相等.

(2)已知△AOC=ZSBOD,則ZA=ZB,ZC=,AC=

=0B,=0D.

［設計意圖］通過復習讓學生進一步掌握全等三角形的性質，為下一步

學習全等三角形的判定打下基礎.

導入二：

通過前面的學習我們知道，如果兩個三角形具備三條邊和三個角分別對

應相等，那么這兩個三角形一定全等.但是要想畫一個三角形與已知的三角形

全等一定需要六個條件嗎?條件能否盡可能地少呢?一個條件行嗎?兩個條件

呢？

新知構建________________________

［過渡語］我們掌握了全等三角形的性質，那么怎樣判定三角形全等呢？

一、探究三角形全等的條件

【學生活動一】⑴只給一個條件(一條邊或一個角)畫三角形時，畫出的

三角形一定全等嗎？

(2)如果給出兩個條件呢?給出兩個條件畫三角形時，有幾種可能的情況，

每種情況下作出的三角形一定全等嗎？

學生討論有幾種可能的情況，然后按照下面條件畫一畫：

①三角形一個內角是30°,一條邊是3cm;

②三角形兩個內角分別是30°和50°;

③三角形的兩條邊分別是4cm和6cm.

學生分組討論、畫圖、探索、歸納，最后以組為單位出示結果.

【結果展ZF】

(1)只給定一條邊時.

只給定一個角時.

⑵給出的兩個條件可能是：Ti-內角、兩內角、兩邊

可以發現按這些條件畫出的三角形都不能保證一定全等.

【議一議】如果給出三個條件畫三角形時，你能說出有幾種情況嗎?（H

條邊，兩條邊t角，個角，三個角）在剛才的探索a程中，我們已經發

現已知三內角不能保證兩個三角形全等.下面我們就來逐一探索其余的三種

情況.（這節課只討論第一種情況）

【學生活動二】拼一拼.

用你們準備的4cm,5cm,7cm長的三根細木棒拼一個三角形，與其他同

學拼成的三角形比較，它們一定全等嗎?你又發現了什么？

以小組為單位，把拼好的三角形畫在紙上并剪下來，再把剪下的三角形重

疊在一起，發現都能夠重合，這說明這些三角形都是全等的.

二、探究運用“SSS”判定兩個三角形全等

思路一

［過渡語］我們也可以換一種方法，先在一張紙上任意畫一個三角形，然

后在旁邊再畫一個三角形，使得三邊對應相等，我們看畫出的這兩個三角形全

等嗎？

【出示問題】先任意畫一個△ABC,再畫一個△A'B'C;使得

AB=AB,BC=BC,AC=AC,把畫出的△ABC剪下來，放在aABC上，看它們

能完全重合嗎？（即全等嗎?）

【學生活動】拿出直尺和圓規，按上面的要求作圖并驗證.

畫法：⑴畫B'C'=BC;

⑵分別以點BQ為圓心，線段AB,AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點A;

（3）連接A'B;A'C',

【教師活動】巡視、指導、引入課題，這個作圖的結果反映了什么規律？

【學生活動】在思考、實踐的基礎上，歸納出判定三角形全等的方法.

【教師板演】三邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”

或“SSS”）.

［設計意圖］通過學生畫圖、觀察、比較、思考等活動，一步一步地探索

出結論，感悟基本事實的正確性，在概括基本事實的過程中，引導學生透過現象

看本質，鍛煉學生用數學語言概括結論的能力，同時也增加了學生的數學體驗，

讓他們充分感受到成功的喜悅.

思路二

(1)用一根長13cm的細鐵絲，折成一個邊長分別是3cm,4cm,6cm

的三角形.把你做的三角形和其他同學做的三角形進行比較，它們能重合嗎？

狷示：能重合)

⑵用同一根細鐵絲，余下1cm,用其余部分折成一個邊長分別是3cm,4

cm,5cm的三角形，再和其他同學做的三角形進行比較，它們能重合嗎？

相示：能重合)

(3)先任意畫出一個△ABC,再畫一個aA'B'C;使

AB=AB,BC=BC,C7V=CA.把畫好的△ABC剪下，放到AABC上，它們全等

嗎？

畫一個△ABC使AB，=AB,A'C=AC,BC=BC的畫法

①畫線段B'C'=BC;

②分別以BQ為圓心，線段AB,AC為半徑畫弧，兩弧交于點A;

③連接AB;AC.

【歸納總結定理】如果兩個三角形的三邊對應相等，那么這兩個三角形

全等.

文字

三邊

對應

相等

的兩AC=A'C\

個三那么△

角形ABC=A

全等A'B'C'

［過渡語］學習了三角形全等的判定方法，我們就可以利用它解決

一些生活中的實際問題.

1（教材例1）在如圖所示的三角形鋼架中，AB=AC,AD是連接點A與

.4

XTX

BC中點D的支架求證△ABDZiACD.B"（

（解析）要證△AB2Z\ACD,只需說明這兩個三角形的三條邊對應相

等.

證明：?「D是BC的中點，

BD=CD.

在4ABD和4ACD中,=,

=9

AAABD^AACD（SSS）.

注意：題目中的隱含條件是AD是公共邊.

［方法技巧］證明三角形全等的書寫格式可分為三部分：第一部分是全

等條件的證明；第二部分是羅列兩個三角形全等的條件；第三部分是下三角形

全等的結論.這里要求注明判定方法.

三、作一個角等于已知角

例2如圖所示，已知：NAOB,求作：NAOB'使NAQB'=NAOB.

作法：如圖所示，⑴作就戔OA；

⑵以。為圓心，以任意長為半徑畫弧，交0A于點C,交0B于點D;

⑶以。'為圓心，以0C的長為半徑畫弧，交OA，于點C;

⑷以點C為圓心，以CD的長為半徑畫弧，交前弧于點D：

⑸過"作射線0舊，則NAOE就是所求作的角.

作圖后學生討論：作一個角等于已知角的依據是什么？

［設計意圖］讓學生運用“SSS”定理進行尺規作圖，同時體會作圖的合

理性，增強作圖技能

「課堂小結

如果兩個三角形的三邊對應相等，那么這兩個三角形全等，稱為“邊邊邊”

定理，利用兩三角形全等可進行一些相關計算和證明.

?檢測反饋

1.如圖所示，在AABC中，AB=ACBE=CE,則由“SSS”可以判定（）

A.AABD=AACD

B.ABDE=ACDE

C.AABE=AACE

D.以上都不對

解析：AE為公共邊，AB=AC,BE=CE,則AABE二△ACE(SSS).故選C.

2.如圖所示，點B,C,D,E在一條直線上，且BC=DE,AC=FD,AE=FB,則

BD=,AACE=，理由是.

解析：:BC=BD+CD,DE=EC+CD,BC=DEBD=EC.又

VAC=FD,AE=FBAAACE=AFDB(SSS).

答案：ECAFDBSSS

3.如圖所示，點B,E,C,F在一條直線上，AB=DE,BE=CF,請添力口一個條

件:，使△ABOaDEF(SSS).

解析：添力口AC=DFVBE=CF.\BC=EF.^EAABC和Z\DEF中，=

???△ABCeZ^DEF(SSS).故填AC=DF.

4.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD求證NB=ND.

B

解析：連接AC,由于AB=AD,CB=CD,AC=AC,利用“SSS”可證得△ABC

解：如圖所示，連接AC,在△ABC和△ADC中，?AABCeA

ADC(SSS).*.ZB=ZD.

5板一設計

第1課時

一、探究三角形全等的條件

二、探究運用“SSS”判定兩個三角形全等

例1

三、作一個角等于已知角

4布置作業

一、教材作業

【必做題】

教材第37頁練習第1,2題.

【選做題】

教材第43頁習題12.2第1題.

二、課后作業

【基礎鞏固】

1.如圖所示，已知點A,D,B,F在一條直線上，AC二EF,AD二FB,要使△ABC=4FDE

還需添加一個條件，這個條件可以是.（只需填一個即

2.如圖所示，AC=DB,AB=DC,可以直接由“SSS”判定全等的三角形

7E_______

3.如圖所示，已知AD=CB,若利用“SSS”來判定aABC/XCDA則添加直接條

1〃

ZV

件是_________---------------戈?

4.如圖所示，已知AB=DC,AD=BC求證NA=NC.B

5.如圖所示，PA=PB,PC是aPAB的中線，ZA=55°,求NB的度數.

P

A

H

解：???PC是AB邊上的中線,

AAC=（中線的定義）.

9.

K________中，=:

=i

V（）,

?：/4=印（）.

???NA=55。（已知），

AZB=________

求證NA=NB.

7.如圖所示，在aABC和4EFD中，AB=EF,AC=ED,點B,D,C,F在一條直線上.

⑴請你添加一個條件，由“SSS”可判定△ABCMEFD;

⑵在⑴的基礎上，求證ABIIEF.

【拓展探究】

8.如圖⑴所示，AB=CD,AD=BC,0為AC中點，過。點的直線分別與AD,BC

相交于點M,N,那么N1與/2有什么關系?請說明理由.若過0點的直線旋轉

至圖⑵，圖⑶的情況，其余條件不變，那么圖⑴中的N1與N2的關系還成立嗎?

請說明理由.

【答案與解析】

1EC=DE(解析：由AD=FB可得AB=DF,又,.,AC=EF,BC=DE.??Z\ABC=a

FDE(SSS).答案不唯一.)

2.4ABD和aDCAAABCffiADCB(解析：可以直接由“SSS”判定全等的三

角形是Z\ABD和△DCA4ABC和aDCB.在Z\ABD和Z\DCA中,

△ABD=Z\DCA(SSS).在△ABC和4DCB中，：?

DCB(SSS).)

3.AB=CD(解析：要利用“SSS”判定兩三角形全等，現有ADCB,ACXA,則

再添加AB=CD即滿足條件.故填AB=CD.)

4.證明：連接BD,在和中,ADACDBSS9Z

A=ZC.

5.BCAACP和ABCPAACPABCPSSS全等三角形的對應角相等

55°

6.解析：根據中點定義可得AC二BC,然后利用“SSS”證明4ACD和4BCE全

等，再根據全等三角形對應角相等證明即可證明：是AB的中點.?.AOBC.

-9

在4ACD和4BCE中,=,

???△ACD=ABCE(SSS).\ZA=ZB.

7.⑴解：當FOBD時，AABC=Z\EFK觸：-F&=BDAFC+CD=BD+CD,即

DF=BC.在Z\ABC和Z\EFD中,=:

(=aABcafFPSS(信不一)

⑵月：由⑴矢QAABC二△EFDJNB=NF,JABHEF.

-

8.解：N1與N2相等.理由如下：在△ADC和△詢中，.?=1

CBA(SSS)/.ZDAC=ZBCA.,.DAIIBCAN1=N2.圖形(2)(3)中同理可證得△

ADCeZ\CBA貝I]NDAC=ZBCAADABC.\Z1=Z2.

教學反思

成功之處

教學中教師引導學生觀察、操作貫穿教學的始終，讓學生感受“邊邊邊”

定理的得出過程，并通過學生的自主交流，讓學生總結出“如果兩個三角形的

三邊對應相等，那么這兩個三角形全等”這一判定方法.通過畫一畫、動一動、

剪一剪等方法，極大地調動了學生的好奇心和積極性，有利于學生對知識的掌

握.

,不足?處

1.沒能更大限度地給學生創造展示自己的空間，學生的思想的閃光點沒

有得到充分體現.

2.對例題的講解沒有完全放手讓學生自己去解決和操作.

4再教設計

在課堂教學設計中，盡量為學生提供“做中學”的條件，不放過任何一個

發展學生智力的契機，讓學生在“做”的過程中，借助已有的知識和方法主動

探索新知識，擴大認知結構、發展能力、完善人格，從而使課堂教學真正落實

到學生的發展上.教學細節需進一步改進，教學時應多關注學生.

教材習題解答

練習(教材第37頁)

1.證明：因為C是AB的中點所以ACXB.在△ACD和中，，｛=:所

IUAACD>ACBE(SSS).

=

2解：在△瞰和△0€中，=(公共邊)，所以△OMCZ\ONC(SSS),

所以/MOC=NNOC即射線0C是NAOB的平分線.

備課資源

i經典例題

如圖所示，已知AGBD相交于點0,且AB二DC,AC二BD,能得到N

（解析）要得到NA=ND,可證明它們所在的三角形全等，但缺少條件,

所以不能直接得至IJ,而AB=DC,AC=BD,若連接BC,則可證得△ABC=4DCB

問題得解.

解；NA=/D理由如下：如圖所示，連接BC,在AABC和△DCB

中,,='

.,.△ABCeADCB(SSS),

???NA=/D（全等三角形的對應角相等）.

例2如圖所示，已知AB=DC,AC=BD求證NABO=NDCO.

（解析）BC是aABC和4DCB的公共邊，直接利用“SSS”證全等.

-9

證明：在AABC與4DCB中,=,

=f

???AABCeADCB(SSS),/.ZABC=ZDCB,

ZACB=ZDBG.\ZABO=ZDCO.

第課時

整體設計

教學目標

1.掌握“邊角邊”定理的內容.

2.能初步應用“邊角邊”判定兩個三角形全等.

於麗雨

讓學生探索三角形全等的條件，體驗操作、歸納得出數學結論的過程.

通過探究三角形全等的條件的活動，培養學生觀察分析圖形的能力及運

算能力，培養學生樂于探索的良好品質，以及發現問題的能力.

教學重難點

【重點】“邊角邊”定理的理解和應用.

【難點】指導學生分析問題，尋找判定三角形全等的條件.

教學準備

【教師準備】多媒體課件，直尺、圓規和剪刀.

【學生準備】直尺、圓規和剪刀.

教學過程

新課導入____________________

導入一：

【提出問題】

(1)怎樣的兩個三角形是全等三角形?全等三角形的性質是什么?三角形

全等的判定方法“SSS”的內容是什么？

⑵如果兩個三角形有兩條邊和一個角分別對應相等，那么這兩個三角形

一定全等嗎?此時應該有兩種情況,一種是角夾在兩條邊的中間，形成兩邊一

夾角，角不夾在兩邊的中間，形成兩邊ft角，如圖所示

邊一角一邊邊一邊一角

［設計意圖］復舊導新，激發學生的學習興趣，為下面學習做好鋪墊，讓學

生感知“兩邊一角”的兩種情況，建立分類討論的思想.

導入二：

如圖所示，在湖泊的岸邊有A,B兩點，難以直接量出A,B兩點間的距離.你

窗

能設計一種量出A,B兩點之間距離的方案嗎?說明你的設計理由.y

［設計意圖］這樣設計既交代了本節課要研究和學習的主要問題，將數

學問題與實際生活相結合，又能較好地激發學生求知與探索的欲望.同時讓學

生知道數學知識無處不在，應用數學無時不有.符合“數學教學應從生活經驗

出發”的新課程標準要求.

導入三:

某同學不小心把一塊三角形形狀的玻璃打碎成兩塊（如圖所示），現要到

玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃.如果只準帶一塊碎片，那么應該帶哪一塊去?

能試著說明理由嗎?

利用今天要學的“邊角邊”知識可知帶黑色的那塊.因為它完整地保留了

兩邊及其夾角，一個三角形兩條邊的長度和夾角的大小確定了，這個三角形的

形狀、大小就確定下來了.

［設計意圖］通過現實生活中的實際問題，讓學生感受數學知識在生活

中的應用，從而產生探索知識的欲望，增強學生學習數學的興趣，樹立愛數學、

學數學的良好情感.

2新知構建

［過渡語］（導入一）剛才通過討論我們知道兩邊一角有兩種情況，首先我

們先研究其中的兩邊一夾角.

一、“邊角邊”定理的探究

思路一

1.先任意畫一個△ABC,再畫一個AA'B'C"使A'B'=AB,A'C，=AC,NA'二N

A.（即兩邊和它們的夾角相等）

點撥：要畫三角形，首先要確定三角形的三個頂點.

解：如圖所示，⑴畫NDAE=NA;

（2）在射線A'D上截取A'B'=AB,在射線A'E上截取A'C'=AC;

（3）連接B'C.

肯定學生中好的畫法，并讓學生與教材中的畫法進行比較，確定正確的畫

法.

GS一步學習三角形的畫法，從實踐中體會兩個三角形全等的條件）

2引導學生剪下三角形，看是不是與原三角形全等.

【得出結論】兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等簡寫成

“邊角邊”或“SAS”.也就是說，三角形的兩條邊的長度和它們的夾角的大

小確定了，這個三角形的形狀、大小就確定了.用符號語言表示為：

在△ABC與MBC中，jz=z

.,.△ABCAAB'C（SAS）.

［易錯提示］“SAS”中的必須是兩個“S”所夾的角.

3.問題：如果把“兩邊及其夾角分別相等'改為“兩邊及其鄰角分別相等“，

即“兩邊及其中一邊的對角相等“，那么這兩個三角形還全等嗎？

根據學生的討論，教師應該及時點撥，必要時可以畫反例圖形.

通過反例說明“已知兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等”

不一定成立.

（讓學生了解推翻一個結論可以通過舉反例說明）

思路二

1.引導學生畫一個三角形，使它的兩條邊分別是1.5cm,2.5cm,并且使

長為1.5cm的這條邊所對的角是30°.

（小組交流后比較畫出的圖形是否全等，小組內選代表發言）

如圖所示，把T一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出AABC,固定住

長木棍，轉動短木棍，得到aABD這個試驗說明了什么？

教師讓學生觀察運動過程，并加以分析.指出：兩個三角形的兩條邊和其中

一條邊的對角相等時，這兩個三角形不一定全等.

2.畫一個aABC使AB=3cm,BC=4cm,NB=60。.比較小組內成員所畫

的三角形是否全等.

（讓學生動手操作，提高學生的動手能力和小組合作學習的能力，從而使

學生發現“邊角邊”定理）

［提出問題】通過剛才的操作，你能得出什么結論？

學生交流后得出基本事實，即“如果兩個三角形的兩邊和它們的夾角分別

相等，那么這兩個三角形全等”.簡記為“邊角邊”或“SAS”.

二、例題講解

［過渡語］根據