鄂南高中黃岡中學黃石二中荊州中學龍泉中學武漢二中孝感高中襄陽四中襄陽五中宜昌一中夷陵中學2025屆高三湖北省十一校第一次聯考數學試題(考試時間:120分鐘試卷滿分:150分)命題學校:黃岡中學命題教師:李鋼鋒蔡盛陳曉潔審題學校:荊州中學注意事項:1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合交集的知識求解即可.【詳解】則故選：C.2.若復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由復數的運算化簡即可；【詳解】由，則，即.故選：A.3.已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量為，則（）A B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】利用投影向量的定義可得，代入坐標計算可求得.【詳解】向量在方向上的投影向量為，所以，解得.故選：A.4.某工廠生產了500件產品，質檢人員測量其長度(單位:厘米)，將測量數據分成6組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果要讓90%的產品長度不超過厘米，根據直方圖估計，下列最接近的數是（）A.93.5 B.94.1C.94.7 D.95.5【答案】C【解析】【詳解】根據給定的頻率分布直方圖，結合第90百分位數求出.【解答】觀察頻率分布直方圖，得，則，，所以，與最接近的數為.故選：C5.下列選項中，與不相等的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據正余弦的二倍角公式，弦化切，正切的和角公式可判斷A；根據正切的誘導公式可判斷BC，根據正切的和角公式可判斷D.詳解】，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤.故選：D6.已知直三棱柱中，，，點到直線的距離為，則三棱柱的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據點到直線的距離可得三棱柱的高，確定外接球球心，結合勾股定理可得外接球半徑與外接球表面積.【詳解】過點作于點，連接，因為三棱柱為直三棱柱，平面，又平面，，，，平面，且，平面，平面，，易知，，，，，則，設外接圓圓心為，外接圓圓心為，則，即，且三棱柱外接球球心為中點，則外接球半徑，表面積為，故選：.7.蒙日是法國著名的數學家，他首先發現橢圓的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓的焦點在軸上，為橢圓上任意兩點，動點在直線上.若恒為銳角，根據蒙日圓的相關知識得橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據蒙日圓定義求得橢圓的蒙日圓方程，根據為銳角可知直線與蒙日圓相離，根據直線與圓位置關系可求得范圍，進而得到離心率的取值范圍.【詳解】橢圓的焦點在軸上，，直線，與橢圓都相切，，所圍成矩形的外接圓即為橢圓的蒙日圓，為橢圓上任意兩個動點，動點滿足為銳角，

點在圓外，又動點在直線上，直線與圓相離，，解得：，又，；橢圓離心率，，.故選：B.8.已知函數，的定義域為，是的導數，且，，若為偶函數，則（）A.80 B.75 C.70 D.65【答案】B【解析】【分析】根據偶函數的定義結合導數可得，結合題意可得，，進而可得，且，即可得結果.【詳解】因為為偶函數，則，求導可得，因為，，則，可得，且，則，可得，即，可得，可知8為的一個周期，且，對于，，令，可得，，可得，所以.故選：B.【點睛】方法點睛：函數的性質主要是函數的奇偶性、單調性和周期性以及函數圖象的對稱性，在解題中根據問題的條件通過變換函數的解析式或者已知的函數關系，推證函數的性質，根據函數的性質解決問題．二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，下列說法正確的是（）A.B.函數的圖象關于點中心對稱C.將的圖象向左平移個單位長度，可得到的圖象D.函數在區間上單調遞增【答案】AB【解析】【分析】根據正弦函數的周期即可判斷A；根據正弦函數的對稱性即可判斷B；根據左右平移的原則即可判斷C；根據正弦函數的單調性即可判斷D.【詳解】對于A，的周期，所以A正確；對于B，因為，所以函數的圖象關于點中心對稱，故B正確；對于C，將圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，故C錯誤；對于D中，因為，所以，所以在上不單調，故D錯誤.故選：AB.10.已知函數，定義域為，則下列結論正確的是（）A若且，則B.已知且，則“”是“”的充分條件C.方程有4個不同的實數解D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】利用導數可得的單調遞增區間為，利用可判斷A；計算得可判斷B；當時，，當時，進而可判斷C，，構造函數，求導可得結論判斷D.【詳解】由函數的定義域為，且，所以的單調遞增區間，對于A，令，得，所以A錯誤;對于B，由已知得，充分性得證，所以B正確;對于C，當時，，當時，，所以有兩個零點，且，所以方程與分別有兩個實數解，故方程有4個不同的實數解，故C正確;對于D中，由，即，令，可得，所以在為單調遞減函數，所以，即，因，可得，所以，得，所以，故D正確.故選：BCD.11.雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數學曲線領域占有至關重要的地位，同時也具有特殊的有價值的藝術美.雙紐線的圖形輪廓像“”，是許多藝術家設計作品的主要幾何元素.已知在平面直角坐標系中，，滿足的動點的軌跡為曲線.則下列結論正確的是（）A.曲線既是中心對稱又是軸對稱圖形B.曲線上滿足的點有2個C.D.曲線上存在四個不同的點，使曲線在該點處切線的斜率為0【答案】ACD【解析】【分析】由題意中等式結合兩點間距離公式表示出曲線方程可得A正確；由可得這樣的點只有1個，即為原點可得B錯誤；由曲線方程整理出可得C正確；由圖象觀察可得D正確；也可由導數的意義求出.【詳解】對于A，設點坐標為則曲線，故正確；對于，若，則，這樣的點只有1個，即為原點，故錯誤；對于C，由得，整理得，，所以，故C正確；對于D，從雙紐線的圖形上，可以觀察有四個點處切線的斜率為0，另外，由得，則，令或0，經計算曲線在原點處的切線方程為，故D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：本題C選項的關鍵是能利用曲線方程整理出兩點間公式，再求出范圍.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數列是等差數列，且其前項和為.若，則_____.【答案】1【解析】【分析】利用等差數列的下標性質與通項公式求解即可；【詳解】由得，，解得，即，解得，所以.故答案為：1.13.若直線為曲線的一條切線，則的最大值為__________.【答案】##【解析】【分析】設，切點為，再根據導數的幾何意義求出切線方程，再結合題意求出的關系，再構造新的函數，利用導數求出最大值即可.【詳解】設，則，設切點為，則，則切線方程為，整理可得，所以，解得，所以，所以，設，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，取得最大值，所以的最大值為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：設出切點，根據直線為曲線的一條切線，求出的關系，是解決本題的關鍵.14.克羅狄·托勒密是希臘數學家，他博學多才，既是天文學權威，也是地理學大師，托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內接四邊形的對角線與邊長的內在聯系，該定理的內容為:圓的內接四邊形中，兩條對角線長的乘積等于兩組對邊長的乘積之和.已知四邊形是圓的內接四邊形，且，若，則（1）圓的半徑是______________，（2）四邊形面積的取值范圍是_________.【答案】①.2②.【解析】【分析】根據題意可得，利用正弦定理可得，即可得，即可得外接圓半徑；分析可知，，取臨界狀態，分析可知點A在劣弧或上，且與的夾角，進而可求面積.【詳解】由托勒密定理，得．因為，所以．設圓的半徑為，由正弦定理，得．又，所以．因為，所以，因為，所以，所以，所以，則，故．因為，可知點到直線的距離，可知直線為以為圓心，半徑為1的圓的切線，在中，可知，結合圓的性質可知點在優弧上，取，則；取，則；取，則；取，則；可知點A在劣弧或上，且與的夾角，所以四邊形面積.故答案為：2；.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，為中點，點在棱上，且，.（1）當時，求證：平面；（2）當時，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據已知條件建立空間直角坐坐標系，利用向量證明線面垂直即可；（2）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】取的中點，連接，因為三棱柱為直棱柱，且為正三角形，以、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系，根據已知條件得、、、、，當時，，則，所以，，，所以，，所以，，又，、平面，所以平面.【小問2詳解】易知，則，當時，點，，，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，故當時，求直線與平面所成角的正弦值為.16.已知雙曲線：（，）的左頂點為，右焦點為，動點在雙曲線上，當時，.（1）求的離心率；（2）已知，，兩點在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限.若，求的面積.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）根據條件求出時的坐標，根據，列出關于的齊次等式，即可求離心率；（2）先求出雙曲線方程與漸近線方程，通過找出坐標之間關系，用坐標表示的坐標，代入雙曲線方程得到，再用表示出的面積，整體代入即可.【小問1詳解】設，將代入雙曲線方程得，此時，所以，即，，則，所以（負值舍去），故的離心率為2.【小問2詳解】因為，由（1）知，雙曲線方程為：，漸近線方程為，設，則，所以，又在雙曲線上，所以，整理得：，由漸近線方程為得，所以的面積為.17.2023年6月7日，21世紀汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍色外觀棕色內飾128米色內飾23（1）若小明從這些模型中隨機拿一個模型，記事件為小明取到紅色外觀的模型，事件為小明取到棕色內飾的模型，求和，并判斷事件和事件是否獨立；（2）該公司舉行了一個抽獎活動，規定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，給出以下假設：假設1：拿到的兩個模型會出現三種結果，即外觀和內飾均為同色、外觀和內飾都異色、以及僅外觀或僅內飾同色；假設2：按結果的可能性大小，概率越小獎項越高；假設3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；請你分析獎項對應的結果，設為獎金額，寫出的分布列并求出的數學期望．【答案】（1），，事件和事件不獨立．（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據古典概型概率公式和事件的獨立性定義即可得出.

（2）分別求出三種結果對應的概率，比較大小，確定對應的概率，求出分布列，利用期望公式進行計算即可.【小問1詳解】若紅色外觀的模型，則分棕色內飾個，米色內飾個，則對應的概率，若小明取到棕色內飾，分紅色外觀個，藍色外觀個，則對應的概率．取到紅色外觀的模型同時是棕色內飾的有個，即，則，，，即事件和事件不獨立．【小問2詳解】由題意知，，，則外觀和內飾均為同色的概率，外觀和內飾都異色的概率，僅外觀或僅內飾同色的概率，，，，，則的分布列為：150300600則（元）．18.已知函數.（1）當時，判斷函數的單調性；（2）對任意的時，恒成立，求實數的取值范圍；（3）記，若，且，求證：.（參考公式：）【答案】（1）在上為增函數（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）對求導，得到，構造函數，再利用導數與函數單調性間的關系，求得，即可求解；（2）構造函數，對求導，得到，利用導數與函數的單調性間的關系，可得，再分和兩種情況討論，即可求解；（3）根據條件得到，令，得到，再利用，可得，即可求解.【小問1詳解】當時，，則，令，則，令，得到，當時，，即在區間上單調遞減，當時，，即在區間上單調遞增，所以，則，所以在上單調遞增.【小問2詳解】因為，所以，設，則，令，則，所以在區間上單調遞增，即在區間為增函數，故，當時，，此時在區間單調遞增，故，符合題意；當時，，且在為增函數，故存在滿足，則在遞減，所以當時，，不符合題意，綜上所述，實數的取值范圍為.【小問3詳解】，由，得，所以，兩邊同除以，得，所以，令，得，得，因為，所以，因為，又，易知，所以，又，所以，故，得.【點睛】方法點睛：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：①通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；②利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題；③根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．19.已知數列的前n項和為