第三章函數第14講二次函數的應用考點精講+專訓11大題型探究01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求二次函數的實際應用-圖形面積問題二次函數的實際應用-利潤最值問題二次函數的實際應用-其他問題★★★★通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義；能解決相應的實際問題.【考情分析】二次函數的實際應用多以解答題形式出現，難度中等，考查類型包括銷售問題，拱橋、投籃等拋物線型問題.一般需要根據題目條件列出二次函數關系式，再利用其性質確定最大利潤/最大面積等.★★02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究二次函數在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論．2設找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當的未知數；3例用二次函數表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數模型，寫出二次函數的解析式；審題，仔細審題，理清題意；1審依據已知條件，借助二次函數的解析式、圖像和性質等求解實際問題；4解檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論5檢1.用二次函數解決實際問題的一般步驟【注意】03考點突破·考法探究2.利用二次函數解決實際問題的常見類型常見的問題求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等1.正確地建立模型2.選擇合理的位置建立平面直角坐標系第一步：用待定系數法求出函數表達式第二步：利用函數性質解決問題.解決問題關鍵解決問題思路04題型精研·考向洞悉最大利潤問題題型01方案選擇問題題型02行程問題題型03拱橋問題題型04隧道通車問題題型05噴水問題題型06投球問題題型07利用圖像構建函數模型解決問題題型08圖形最大面積問題題型09圖形問題題型10圖形運動問題題型11題型精研·考向洞悉?題型01最大利潤問題方法技巧利潤問題主要涉及兩個等量關系:利潤=售價-進價，總利潤=單件商品的利潤x銷售量，利用二次函數解決利潤最值的方法：在解答此類問題時，應建立二次函數模型，轉化為函數的最值問題，然后列出相應的函數解析式，從而解決問題.題型精研·考向洞悉?題型01最大利潤問題【例1】（2024·貴州·中考真題）某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經市場調查發現：銷售單價不低于進價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數關系，下表是y與x的幾組對應值．銷售單價x/元…1214161820…銷售量y/盒…5652484440…(1)求y與x的函數表達式；(2)糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為m元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值．方法指導解題的關鍵：?（1）利用待定系數法求解即可；?（2）設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤×銷售量求出w關于x的函數表達式，?（3）設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤×銷售量-m×銷售量求出w關于x的函數表達式題型精研·考向洞悉?題型01最大利潤問題【例1】（2024·貴州·中考真題）某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經市場調查發現：銷售單價不低于進價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數關系，下表是y與x的幾組對應值．銷售單價x/元…1214161820…銷售量y/盒…5652484440…(1)求y與x的函數表達式；方法指導解題的關鍵：?（1）利用待定系數法求解即可；?（2）設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤×銷售量求出w關于x的函數表達式，?（3）設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤×銷售量-m×銷售量求出w關于x的函數表達式

題型精研·考向洞悉?題型01最大利潤問題【例1】（2024·貴州·中考真題）某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經市場調查發現：銷售單價不低于進價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數關系，下表是y與x的幾組對應值．方法指導解題的關鍵：?（1）利用待定系數法求解即可；?（2）設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤×銷售量求出w關于x的函數表達式，?（3）設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤×銷售量-m×銷售量求出w關于x的函數表達式銷售單價x/元…1214161820…銷售量y/盒…5652484440…(2)糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？

題型精研·考向洞悉?題型01最大利潤問題【例1】（2024·貴州·中考真題）某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經市場調查發現：銷售單價不低于進價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數關系，下表是y與x的幾組對應值．方法指導解題的關鍵：?（1）利用待定系數法求解即可；?（2）設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤×銷售量求出w關于x的函數表達式，?（3）設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤×銷售量-m×銷售量求出w關于x的函數表達式(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為m元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值．

題型精研·考向洞悉?題型01最大利潤問題【例2】（2024·山東煙臺·中考真題）每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”，康寧公司新研發了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售，根據市場調查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元，設每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．(1)求y與x的函數關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？(2)全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？方法指導解題的關鍵：?二次函數的實際應用，正確的列出函數關系式?（1）根據總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數關系式?（2）令y=12160，得到關于x的一元二次方程題型精研·考向洞悉?題型01最大利潤問題【例2】（2024·山東煙臺·中考真題）每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”，康寧公司新研發了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售，根據市場調查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元，設每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．(1)求y與x的函數關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？方法指導解題的關鍵：?二次函數的實際應用，正確的列出函數關系式?（1）根據總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數關系式?（2）令y=12160，得到關于x的一元二次方程

題型精研·考向洞悉?題型01最大利潤問題【例2】（2024·山東煙臺·中考真題）每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”，康寧公司新研發了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售，根據市場調查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元，設每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．(2)全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？方法指導解題的關鍵：?二次函數的實際應用，正確的列出函數關系式?（1）根據總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數關系式?（2）令y=12160，得到關于x的一元二次方程

答：這天售出了64輛輪椅．題型精研·考向洞悉?題型01最大利潤問題

題型精研·考向洞悉?題型01最大利潤問題2.（2023·遼寧營口·中考真題）某大型超市購進一款熱銷的消毒洗衣液，由于原材料價格上漲，今年每瓶洗衣液的進價比去年每瓶洗衣液的進價上漲4元，今年用1440元購進這款洗衣液的數量與去年用1200元購進這款洗衣液的數量相同．當每瓶洗衣液的現售價為36元時，每周可賣出600瓶，為了能薄利多銷．該超市決定降價銷售，經市場調查發現，這種洗衣液的售價每降價1元，每周的銷量可增加100瓶，規定這種消毒洗衣液每瓶的售價不低于進價．(1)求今年這款消毒洗衣液每瓶進價是多少元；(2)當這款消毒洗衣液每瓶的售價定為多少元時，這款洗衣液每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

題型精研·考向洞悉?題型01最大利潤問題2.（2023·遼寧營口·中考真題）某大型超市購進一款熱銷的消毒洗衣液，由于原材料價格上漲，今年每瓶洗衣液的進價比去年每瓶洗衣液的進價上漲4元，今年用1440元購進這款洗衣液的數量與去年用1200元購進這款洗衣液的數量相同．當每瓶洗衣液的現售價為36元時，每周可賣出600瓶，為了能薄利多銷．該超市決定降價銷售，經市場調查發現，這種洗衣液的售價每降價1元，每周的銷量可增加100瓶，規定這種消毒洗衣液每瓶的售價不低于進價．(1)求今年這款消毒洗衣液每瓶進價是多少元；(2)當這款消毒洗衣液每瓶的售價定為多少元時，這款洗衣液每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

每瓶進價是24元

題型精研·考向洞悉?題型02方案選擇問題【例1】（（2024·江蘇鹽城·中考真題）請根據以下素材，完成探究任務．制定加工方案生產背景背景1◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風”“雅”“正”三種樣式．◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件．◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數和“風”服裝相等.背景2每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為：①“風”服裝：24元/件；②“正”服裝：48元/件；③“雅”服裝：當每天加工10件時，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元．信息整理現安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，列表如下：服裝種類加工人數（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）風y224雅x1

正

148探究任務任務1探尋變量關系求x、y之間的數量關系．任務2建立數學模型設該工廠每天的總利潤為w元，求w關于x的函數表達式．任務3擬定加工方案制定使每天總利潤最大的加工方案．信息整理現安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，列表如下：服裝種類加工人數（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）風y224雅x1

正

148探究任務任務1探尋變量關系求x、y之間的數量關系．任務2建立數學模型設該工廠每天的總利潤為w元，求w關于x的函數表達式．任務3擬定加工方案制定使每天總利潤最大的加工方案．題型精研·考向洞悉?題型02方案選擇問題【例1】（（2024·江蘇鹽城·中考真題）請根據以下素材，完成探究任務．方法指導解題的關鍵：?次函數及二次函數的應用，理解題意，根據二次函數的性質求解?任務1利用“正”服裝總件數和“風”服裝相等，得出關系式?任務2根據題意得：“雅”服裝每天獲利為：x[100-2(x-10)]?任務3：根據任務2結果化為頂點式【例1】（（2024·江蘇鹽城·中考真題）請根據以下素材，完成探究任務．題型精研·考向洞悉?題型02方案選擇問題信息整理現安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，列表如下：服裝種類加工人數（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）風y224雅x1

正

148探究任務任務1探尋變量關系求x、y之間的數量關系．任務2建立數學模型設該工廠每天的總利潤為w元，求w關于x的函數表達式．任務3擬定加工方案制定使每天總利潤最大的加工方案．

任務1：等量關系：“正”服裝總件數和“風”服裝相等【例1】（（2024·江蘇鹽城·中考真題）請根據以下素材，完成探究任務．題型精研·考向洞悉?題型02方案選擇問題信息整理現安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，列表如下：服裝種類加工人數（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）風y224雅x1

正

148探究任務任務1探尋變量關系求x、y之間的數量關系．任務2建立數學模型設該工廠每天的總利潤為w元，求w關于x的函數表達式．任務3擬定加工方案制定使每天總利潤最大的加工方案．

任務2：“雅”服裝：當每天加工10件時，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元．

【例1】（（2024·江蘇鹽城·中考真題）請根據以下素材，完成探究任務．題型精研·考向洞悉?題型02方案選擇問題信息整理現安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，列表如下：服裝種類加工人數（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）風y224雅x1

正

148探究任務任務1探尋變量關系求x、y之間的數量關系．任務2建立數學模型設該工廠每天的總利潤為w元，求w關于x的函數表達式．任務3擬定加工方案制定使每天總利潤最大的加工方案．

任務3：

題型精研·考向洞悉?題型02方案選擇問題

（1）解：兩塊籬笆墻的長為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設CG為am，DG為(12-a)m，∴AD×DC-AE×AH=32即12×3-1×（12-a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．∵21-3x≤12∴x≥3

題型精研·考向洞悉?題型02方案選擇問題2.（2024·湖北宜昌·模擬預測）某商場計劃用5400元購買一批商品，若將進價降低10%，則可以多購買該商品30件．市場調查反映：售價為每件25元時，每天可賣出250件．如果調整價格，一件商品每漲價1元，每天要少賣出10件．(1)求該商品原來的進價；(2)在進價沒有改變的條件下，若每天所得的銷售利潤為2000元，且銷售量盡可能大時，該商品的售價是多少元/件？(3)在進價沒有改變的條件下，商場的營銷部在調控價格方面，提出了A，B兩種營銷方案．方案A：每件商品漲價不超過5元；方案B：每件商品的利潤至少為16元．請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由．

題型精研·考向洞悉?題型02方案選擇問題2.（2024·湖北宜昌·模擬預測）某商場計劃用5400元購買一批商品，若將進價降低10%，則可以多購買該商品30件．市場調查反映：售價為每件25元時，每天可賣出250件．如果調整價格，一件商品每漲價1元，每天要少賣出10件．(3)在進價沒有改變的條件下，商場的營銷部在調控價格方面，提出了A，B兩種營銷方案．方案A：每件商品漲價不超過5元；方案B：每件商品的利潤至少為16元．請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由．

原來的進價為20元

解題的關鍵：?掌握二次函數的應用，一次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征?利用待定系數法，根據條件準確得到表達式題型精研·考向洞悉?題型03行程問題

(3)沖刺階段，加速期龍舟用時1s將速度從5m/s提高到5.25m/s，之后保持勻速劃行至終點.求該龍舟隊完成訓練所需時間（精確到0.01s）．方法指導題型精研·考向洞悉?題型03行程問題

題型精研·考向洞悉?題型03行程問題

題型精研·考向洞悉?題型03行程問題

(3)沖刺階段，加速期龍舟用時1s將速度從5m/s提高到5.25m/s，之后保持勻速劃行至終點.求該龍舟隊完成訓練所需時間（精確到0.01s）．

題型精研·考向洞悉?題型03行程問題

題型精研·考向洞悉?題型03行程問題

題型精研·考向洞悉?題型03行程問題

題型精研·考向洞悉?題型04拱橋問題方法技巧利用二次函數解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：（1）建立適當的平面直角坐標系，一般選擇拋物線形建筑物的底(頂)部所在的水平線為x軸，對稱軸為y軸，或直接選取最高(低)點為坐標原點建立直角坐標系來解決問題，（2）根據題意找出已知點的坐標，并求出拋物線解析式，最后根據圖像信息解決實際問題.題型精研·考向洞悉?題型04拱橋問題

方法指導題型精研·考向洞悉?題型04拱橋問題

題型精研·考向洞悉?題型04拱橋問題

題型精研·考向洞悉?題型04拱橋問題

題型精研·考向洞悉?題型04拱橋問題

水位

題型精研·考向洞悉?題型04拱橋問題

題型精研·考向洞悉?題型05隧道通車問題

解題的關鍵：?（1）根據題意得頂點D(6,8)，B(0,2)進而待定系數法求解析式?（2）根據平移的性質可得所求區域為邊長為矩形的面積方法指導題型精研·考向洞悉?題型05隧道通車問題

(6,8)(0,2)

題型精研·考向洞悉?題型05隧道通車問題

2

題型精研·考向洞悉?題型05隧道通車問題

(1)求出這條拋物線的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；題型精研·考向洞悉?題型05隧道通車問題

(1)求出這條拋物線的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)隧道下的公路是單向雙車道，車輛并行時，安全平行間距為2米，該雙車道能否同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛？請通過計算說明；

題型精研·考向洞悉?題型05隧道通車問題

題型精研·考向洞悉?題型05隧道通車問題

題型精研·考向洞悉?題型05隧道通車問題2.（2023·廣東深圳·模擬預測）按要求解答(1)某市計劃修建一條隧道，已知隧道全長2400米，一工程隊在修了1400米后，加快了工作進度，每天比原計劃多修5米，結果提前10天完成，求原計劃每天修多長？

①此拋物線的函數表達式為________．（函數表達式用一般式表示）

題型精研·考向洞悉?題型05隧道通車問題

②按規定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高________米．

題型精研·考向洞悉?題型06噴水問題

解題的關鍵：?拋物線的實際應用．熟練掌握用待定系數法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質方法指導題型精研·考向洞悉?題型06噴水問題

解：如圖，建立平面直角坐標系

題型精研·考向洞悉?題型06噴水問題

(1)求拋物線的表達式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．

題型精研·考向洞悉?題型06噴水問題

題型精研·考向洞悉?題型06噴水問題

題型精研·考向洞悉?題型07投球問題

方法指導解題的關鍵：?掌握二次函數的應用，利用數形結合與方程思想（1）利用待定系數法求解?（2）配成頂點式，利用二次函數的性質?（3）過點A、B分別作x軸的垂線，證明△OBD∽△OAE，利用相似三角形的性質

題型精研·考向洞悉?題型07投球問題

方法指導解題的關鍵：?掌握二次函數的應用，利用數形結合與方程思想（1）利用待定系數法求解?（2）配成頂點式，利用二次函數的性質?（3）過點A、B分別作x軸的垂線，證明△OBD∽△OAE，利用相似三角形的性質

題型精研·考向洞悉?題型07投球問題

方法指導解題的關鍵：?掌握二次函數的應用，利用數形結合與方程思想（1）利用待定系數法求解?（2）配成頂點式，利用二次函數的性質?（3）過點A、B分別作x軸的垂線，證明△OBD∽△OAE，利用相似三角形的性質

（3）解：過點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別是點E、D，

ED

答：這棵樹的高為2．題型精研·考向洞悉?題型07投球問題

題型精研·考向洞悉?題型07投球問題

x012m4567…y068n…

題型精研·考向洞悉?題型07投球問題

x012m4567…y068n…

36②聯立得：

題型精研·考向洞悉?題型07投球問題

x012m4567…y068n…

8題型精研·考向洞悉?題型08利用圖像構建函數模型解決問題【例1】（2024·湖北宜昌·二模）一架飛機在跑道起點處著陸后滑行的相關數據如下表：012346057545148

解題的關鍵：?待定系數法確定函數解析式，求函數值、求自變量值?理解函數與方程的聯系方法指導【例1】（2024·湖北宜昌·二模）一架飛機在跑道起點處著陸后滑行的相關數據如下表：012346057545148題型精研·考向洞悉?題型08利用圖像構建函數模型解決問題

(1)直接寫出y關于t的函數解析式和自變量的取值范圍；(2)求飛機滑行的最遠距離；

【例1】（2024·湖北宜昌·二模）一架飛機在跑道起點處著陸后滑行的相關數據如下表：012346057545148題型精研·考向洞悉?題型08利用圖像構建函數模型解決問題

【例1】（2024·湖北宜昌·二模）一架飛機在跑道起點處著陸后滑行的相關數據如下表：012346057545148題型精研·考向洞悉?題型08利用圖像構建函數模型解決問題

題型精研·考向洞悉?題型08利用圖像構建函數模型解決問題

題型精研·考向洞悉?題型08利用圖像構建函數模型解決問題

49230題型精研·考向洞悉?題型08利用圖像構建函數模型解決問題

題型精研·考向洞悉?題型09圖形最大面積問題求最大面積類問題可以利用二次函數的圖像和性質進行解答,也就是把圖形面積的最值問題轉化為二次函數的最值問題，依據圖形的面積公式列出函數解析式.利用二次函數解決面積最值的方法方法技巧在求解幾何圖形的最大面積時,應注意自變量的取值范圍,一定要注意題目中隱含的每一個幾何量的取值范圍,一般有以下幾種情況:邊長,周長,面積大于0,三角形中任意兩邊之和大于第三邊.【注意】題型精研·考向洞悉?題型09圖形最大面積問題

方法指導解題的關鍵：?矩形的性質，二次函數的實際應用，計算x的取值范圍（1）根據2x+y=80，求出y與x的函數解析式?（2）先求出x的取值范圍，再將S=750代入函數?（3）將S與x的函數配成頂點式題型精研·考向洞悉?題型09圖形最大面積問題

(1)直接寫出y與x，S與x之間的函數解析式(不要求寫x的取值范圍)；方法指導解題的關鍵：?矩形的性質，二次函數的實際應用，計算x的取值范圍（1）根據2x+y=80，求出y與x的函數解析式?（2）先求出x的取值范圍，再將S=750代入函數?（3）將S與x的函數配成頂點式

題型精研·考向洞悉?題型09圖形最大面積問題

方法指導解題的關鍵：?矩形的性質，二次函數的實際應用，計算x的取值范圍（1）根據2x+y=80，求出y與x的函數解析式?（2）先求出x的取值范圍，再將S=750代入函數?（3）將S與x的函數配成頂點式

題型精研·考向洞悉?題型09圖形最大面積問題

(3)當x的值是多少時，矩形實驗田的面積S最大？最大面積是多少？方法指導解題的關鍵：?矩形的性質，二次函數的實際應用，計算x的取值范圍（1）根據2x+y=80，求出y與x的函數解析式?（2）先求出x的取值范圍，再將S=750代入函數?（3）將S與x的函數配成頂點式

題