第十六章二次根式

16.1二次根式

第1課時二次根式的概念

一、新課導入

1.導入課題

同學們，你能寫出下列問題的結果嗎？（1）面積為5的正方形的邊長是多少？（2）面積為S的正方形的邊長是多少？（3）

圓柱的體積為V,高為5,則它的底面半徑r是多少？（學生回答結果，老師在黑板上寫出）的這些結果有什么共同特點呢？

2.學習目標

（1）掌握二次根式的基本特征.

（2）理解二次根式有意義的條件.

3.學習重、難點

重點：準確判斷一個式子是不是二次根式.

難點：求被開方數中所含的字母的取值范圍的依據.

二、分層學習

第一層次學習

1.自學指導

（1）自學內容：教材P2例1上面的部分.

（2）自學時間：3分鐘.

（3）自學方法：完成思考中的問題，從形式和被開方數分別滿足的條件兩個方面理解二次根式的意義.

（4）自學參考提綱：

有一底層

①教材思考中三個問題的答案依次為一

②上述四個式子有什么共同特征呢？

共同特征：它們表示一些正數的算術平方根.

③什么樣的式子叫做二次根式？

形如石320）的式子叫做二次根式.

④想一想：如果則&是否是二次根式？

不是

2.自學：學生可結合自學指導進行自學.

3.助學

(1)師助生：

①明了學情：了解學生是否掌握上述問題結果的式子的特點.

②差異指導：引導學生從“形式”和“被開方數取值”兩個方面進行分析.

(2)生助生：學生相互研討疑難之處..

4.強化

(1)下列各式中，哪些是二次根式？哪些天是？為什么？

V3，，J-5，J.2+1.

答案：1是二次根式;返，Q不是二次根式，毒因為不是開平方，q的被開方數為負數.

<2)解答教材P3第1題.

令長方形的長、寬分別為3xcm,2xcm,則3x?2x=18,得x?=3,x=^/3,3x=3-s/3,2x=2,?長方形的長、

寬分別為3>/3cm和2>/3cm.

(3)形如后320)的式子叫做二次根式，稱為二次根號.注意：被開方數

第二層次學習

1.自學指導

(1)自學內容：教材P2例1及后面的思考部分.

(2)自學時間：3分鐘.

(3)自學方法；完成自學參考提綱.

(4)自學參考提綱：

①確定式子/二爹中字母x的取值范圍的依據是什么？解題步驟是什么？

答案：依據是二次根式的概念，x22.

②a取何值時，下列各二次根式有意義？

Ja-l；J24+3；4^~a；j5-a.

3

答案：---;aWO;aW5.

2

③若GT+J匚￡有意義，則a的值為J,

2.自學：學生可參考自學參考提綱進行自學.

3.助學

（1）師助生：

①明了學情：明了學生對例題不等式的得出的理由是否清楚.

②差異指導：指導學生分析使/與/在實數范圍內有意義的條件

（2）生助生：同桌之間相互研討.

4.強化

（1）確定二次根式中被開方數所含字母的取值范圍的一般步驟是：

①根據石中的條件列不等式；②解不等式；③確定字母的取值范圍.

（2）歸納總結本節所學知識點和數學思想方法.

三、評價

1.學生的自我評價（圍繞三維目標）：學生代表交流自己的學習收獲和困惑.

2.教師對學生的評價：

（1）表現性評價：對學生在學習中的態度、方法和收獲進行點評.

（2）紙筆評價：課堂評價檢測.

3.教師的自我評價（教學反思）.

本課時開始時創設情境，給出實例，使學生獨立思考并作答，并適當提出疑問，引出這節課的內容，充分發掘

了學生的主體性.二次根式是本書學習的第一個知識點，也是本章的第一個知識點，為之后學習二次根式的加減乘除、

勾股定理等知識打下基礎.教學時，不僅強化了學生獨立思考、探究的能力，還提高了學生的合作交流能力.

?----------評價作業------------->

（時間：12分鐘滿分：100分）

一、基礎鞏固（60分）

1.（10分）已知一個正方形的面枳是3,那么它的邊長是_6_.

2.（10分）使Jx+3有意義的x的取值范圍是一x2-3.

3.（10分）下列各式中一定是二次根式的是（B）

A.Jx+1B.J（x+1）~C.J/—]D.J-

4.(10分)二次根式J)中，字母。的取值范圍是(D)

A.a<0B.aWOC.aNOD.a>0

5.(20分)當。是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？

⑴Ja+2；(2)j3-a；(3)7^;(4)，2a-l.

解：(1)。2-2;(2)。^3;(3)。為任意實數；(4)。2一.

2

二、綜合運用(20分)

6.當x是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？

⑴Jf+i；(2)7(X-D2；(3)./-^—;(4)-^.

Vx-2x-\

解：⑴x為任意實數；(2)x為任意實數；(3)xv2;(4)xe-l且x#L

三、拓展延伸(共20分)

7.求使之」在實數范圍內有意義的x的取值范圍.

解：由題意得上'T20，，］WXV2.

2-x>0,

16.1二次根式

第2課時二次根式的性質

一、新課導入

1.導入課題

我們知道二次根式折中那么二次根式還有哪些性質呢？今天我們學習“二次根式的性質”(板書課題).

2.學習目標

(1)知道J320(a20),會用非負數的性質解題.

(2)會用公式卜石進行計算.

(3)知道形如J戶的化簡方法及結果.

3.學習重、難點

重點：后20(〃20),(3，=心20).

難點：運用公式(JZ)=。(。20)和行二四)。)進行計算化簡.

二、分層學習

第一層次學習

1.自學指導

(1)自學內容：探究：布320)及J3(a20)中。的值的特點.

(2)自學時間：5分鐘.

(3)自學方法：圍繞探究提綱進行演算歸納.

(4)探究提綱：

①當。＞0時，后是什么數？當。=0時，是什么數？當有意義時，。是什么數？

②從①中我們可以探究得出：當。20時，&是一非負數，即-20.

③從(°20)所表示的數值特點，你知道還有哪些式子的值具有這種特性？

④已知(不一I1+Jy+1=0,求x,y的值.(x=l,y=-l)

2.自學：學生參照探究提綱進行自學.

3.助學

(1)師助生:

①明了學情：了解學生在探究中存在的認識偏差和困惑.

②差異指導：引導學生分析而表示的數值特點，歸納已學過的非負數及其和為0時所滿足的條件.

(2)生助生：學生相互交流、幫助.

4.強化

(1)當時，4a^0,即的值為非負數.

(2)回顧所學過的三類非負數：①一個數的偶次鼎；②一個數的絕對值；③后(〃20).

(3)非負數的性質：若石+/+憶|=0,則x=y=z=0.

(4)練習：已知卜+1|+Jx+y=0,求x,y的值.

答案：x=-l,y=l.

第二層次學習

1.自學指導

(1)自學內容：探究卜51320)的結果.

(2)自學時間：8分鐘.

(3)自學方法：通過回顧算術平方根的意義，歸納(后F(a20)的結果.

(4)探究提綱：

①,??3的算術平方根是J5,???/f=3.

②?.?|的算術平方根是g,.??[/!)=|.

③???非負數a的算術平方根是小二(-0)=。.

④???(")2=a2b2.(3&)~=(3)4x(&)?=18.

⑤計算：

(療)2；(3封；(-后)2;(-y)2.

答案：3；18；25；一.

2

⑥由①一⑤的探討，歸納得出：一般地，（&，=a（心0）.

2.自學：學生可結合探究提綱進行自學.

3.助學

（1）師助生：

①明了學情：關注學生對（后）2320）的值的理解.

②差異指導：指導學生應用（折，320）的結果進行計算.

（2）生助生：相互交流幫助，矯正錯誤，歸納正確結論.

4.強化

（1）強調（JZ1:及其應用.

（2）強調公式（川^=//和M二卓在二次根式計算中的運用.

（3）展示本節所學知識點和數學思想方法.

第三層次學習

1.自學指導

（1）自學內容：探究：當時，等于什么？若。的值無限定，而又等于什么？

（2）自學時間：5分鐘.

（3）自學方法：結合探究提綱動手嘗試值3-0）和的化簡，結果有何不同？

（4）探究提綱：

①J?=V4=2；?=?^=；；Vo.62=J0.36=0.6；由此可以看出：當a20時，\[a^=a。

從中我們可以提煉出一個公式是—應工，其中a的取值范圍是

②J（-3）2==3:J—-1—.由此可以看出：當av0時'

③選二。一定成立嗎？為什么？

不一定成立,當aVO時,aa

④說出下列各式的值：

J。.3、;J(；-，(--)2;，10”?

答案：0.3;-兀；4-

710

⑤如果。是任意有理數，那么如何化簡呢？試相互交流自己的化簡結果.

2.自學：學生可結合探究提綱進行自學.

3.助學

(1)師助生：

①明了學情：了解學生是否理解的實際意義及/與。表示的數的不同.

②差異指導：指導學生從。的取值范圍看的結果有何不同.

(2)生助生：相互交流幫助，矯正錯誤，歸納正確的結論.

4強化

a(a>O)

ta(aNO),

(1)總結公式a(aNO)和5/?"=lal=,0(a=0),或%/^'=IaI=

—a(a<0).

—a(a<0).

(2)當a20時，

第四層次學習

1.自學指導

(1)自學內容：教材P,關于代數式的那段文字.

(2)自學時間：2分鐘.

(3)自學方法：閱讀課文，理解字、詞、句表達的意義.

(4)自學參考提綱：

①基本運算是指哪些運算?

②與是分式嗎？是代數式嗎？

③用代數式表示面積為S且兩條鄰邊的比為2:3的長方形的長和寬.

④已知半徑為r的圓的面積是半徑為2cm和3cm的兩個圓的面積和，求r的值.

2.自學：學生可結合自學參考提綱進行自學.

3.助學

（1）師助生：

①明了學情:了解學生是否理解代數式的意義.

②差異指導：引導學生在實例中用含字母的式子表示數.

（2）生助生：學生相互交流、研討.

4.強化

（1）組織學生交流參考提綱中的問題.

（2）強調代數式的定義.

（3）展示本節所學知識點和數學思想方法.

三、評價

1.學生的自我評價（圍繞三維目標）:小組學生代表交流自己的學習心得和體會.

2.教師對學生的評價：

（1）表現性評價：點評學生的學習態度、方法、成果及存在的不足.

（2）紙筆評價；課堂評價檢測.

3.教師的自我評價（教學反思）.

先復習了上一課時學習的內容，從而進一步探究所學的知識，自然地引出了這節課所要學習的內容，然后學生

通過觀察分析、自主探究學習、交流合作并歸納總結的過程，使所學的知識更加深刻透徹，并能準確地學以致用。

在教學中，給予適當的引導，對疑惑之處給予一定的解答。老師在教學過程中，應處于指導的位置，才能使學生在

在自主探究中掌握知識.

<------------評價作業------------>

（時間：12分鐘滿分：100分）

一、基礎鞏固（60分）

1.（10分〕（一0）=3

=；，后=_5y二」

I」7A

2.（10分）已知J"3+Jb+2=0,則ba=-8.

3.（10分汜知|a|+o=0,則yj（a-[y=\-a.

4.（10分）化簡：7（^2-2/=_2-V2_,J（x+2y=|x+2|.

5.（10分）下列等式錯誤的是（C）

A.（->/a）2=a（a^0）B.=a.則（后尸二a

C.若\/7"=-a,貝l]a<0D.若，i*=-a/）,則abWO

6.（1。分）計算：（i）/+/y（后一百y

（2）5/x2-2X+1+M-6x+爐（1<x<3）

解：⑴/+⑸的—⑸（2）JX，-2x+1+J9-6x+f

[⑻-網2

二J（XT）2+J（x_3y

=1=x-l+3-x

=2

二、綜合應用（20分）

7.（10分）a、b、c為三角形的三邊長，化簡：《｛a+b-cf+|Z>-a-c|.

解：由三角形兩邊之和大于第三邊得：a+b-c>0,a+c-b>0.

41+b-c）~+,-a-c|

=a+b-c+（a+c）-b

8.（10分）化簡—4%+4+（J3-2x）+3x.

3

解：由3-2x20,得xW-.

2

Jx~-4X+4+\>J3—2,xy+3x

—（x—2）~+（j3-2x，+3x

=2-x+3-2x+3x

=5

三、拓展延伸(20分)

9.(10分)在實數范圍內分解因式：X4-1.

解：J4-4=(X2-2)(x2+2)=(x-)(x+^)(x2+2).

10.(10分)已知J而是整數，求正整數n的最小值.

解：是整數，，24n是完全平方數，又???24n=22><6n,???正整數n的最小值為6.

16.2二次根式的乘除

第1課時二次根式的乘法

一、新課導入

1.導入課題

一個長方形的長和寬分別是行和20,求這個長方形的面積.你列出的算式是什么？這個算式應怎樣計算呢？

2.學習目標

(1)能歸納二次根式的乘法法則yfa-y/b=yfab(a20,b20),理解法則ab=a?b與a?b=ab(a20,b20)的關系

及運用.

(2)會運用公式病和癡二J1a(a20,b20)進行二次根式的乘法運算和化簡.

3.學習重、難點

重點：&?無=(a)0,b20)的運用.

難點：熟練運用法則進行化簡和計算.

二、分層學習

第一層次學習

1.自學指導

(1)自學內容：探究二次根式的乘法法則.(二次根式的乘法怎么運算？)

(2)自學時間：5分鐘.

(3)自學方法：通過從特殊到一般歸納出運算法則，注意法則成立的條件.

(4)探究提綱：

①計算下列各式，比較計算結果：

74x79=2X3=6：\/4x9=&4x9)=6；

②從①中你發現了什么規律？請用一個等式表示這個規律.

\[a*x[b=\[ab(a>0,b>0).

③用文字表示二次根式的乘法法則是：二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.

④計算：

V2xVs；V(k5x>/32；V288

答案：4；百；4；2.

2.自學：學生結合探究提綱進行自學.

3.助學

(1)師助生：

①明了學情：了解學生能否通過計算發現探究提綱中第①題中的規律.

②差異指導：引導學生理解a?b與ab表達的意義.

(2)生助生：同桌之間相互研討，交流學習成果，幫助解決疑難問題.

4.強化：

強調二次根式的乘法法則公式及公式的使用條件.

第二層次學習

1.自學指導

(1)自學內容：教材P6例1后面到P7練習前面的部分.

(2)自學時間：6分鐘.

(3)自學方法：理解公式右?、歷=>/不(a?0,b>0)逆向變形依據，注意運算時的算理及應滿足的條件.

(4)自學參考提綱：

①公式癡二6?后是用來進行什么樣的式子的運算？

②使用公式而=JZ?新化簡二次根式的一般步驟是什么？

③說說算式帆&?〃新的計算方法是什么？

④進行二次根式的乘法時，所得結果應該怎樣？

⑤按課本例題的格式化簡或計算下列各題：

749x121；V225；歷；V16fl/>2c3：-3島2岳.

答案：77;15;277；4兒瘋；-30石.

⑥計算：一;711x6百

解：IMJC=6x>/6x5/2x\/3x>/6=365/6.

2.自學：學生可參考自學參考提綱進行自學.

3.助學

(1)師助生：

①明了學情：了解學生是否能根據算式特點合理利用法則及逆用法則.

②差異指導：引導學生結合算式選用公式.

(2)生助生：學生之間相互交流幫助.

4.強化

(1)合理運用G?折=疝(。20/20)和而=五孤(。20,820)進行計算或化簡.

(2)把兩個二次根式的乘法推廣到多個二次根式的乘法：五?〃?五20,/F>0,C>0),反之亦成立.

三、評價

L學生的自我評價(圍繞三維目標)：小組代表介紹自己小組的學習表現及收獲和困惑.

2.教師對學生的評價：

(1)表現性評價：對學生在課堂上學習態度、方法、成果及不足進行點評.

(2)紙筆評價：課堂評價檢測.

3.教師的自我評價(教學反思).

通過創設情境，給出實例，列出本課時所要學習的內容.通過分層次學習，由特殊例子到一般法則的歸納，發掘了學

生學習的自主性，作為學習的主導者，主動去觀察、分析、歸納與總結得到更深刻、透徹的知識，并且從中體會成功.

?-----------評價作業------------>

(時間：12分鐘滿分：100分)

一、基礎鞏固(70分)

1.(10分)化簡A=百=36，同理可得病=77菊=各回.

2.(10分)計算VIIx%=4日

3.(10分)若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為Acm和cm,那么此直角三角形的面積是丈竺廠.

4.(10分)下列各等式成立的是(D)

A.46x25=86B.55x4。=2()5

C.4店x37BD.55x42=2()后

5.(10分)下列各式正確的是(D)

A.J2579-=5X9=45

B.7(-9)X(-4)=7^9X口

C.由2+24?=7+24=31

D.V202-122=7(20+12)(20-12)=>j32xS=\6

6.(20分)化簡或計算：

(1)衣x廊；(2)<x(-45')3

解：(1)\l24x\/27=73x8x-x9=3X'回=1-處

(2)6x(-4J)=-57Tx用5=-39

(3)阿x癡x775；(4)-2麗。三￡

解：(3)718x3x陽=x#x5x^5xl'=：3x2x5x.期=：加闞：

"I府?"仔=一,口^=擇機

二、綜合運用(15分)

7.如果J(x+l)(2—x)=jm歷二I成立,那么x應滿足什么條件？

解：由題意得-1遍了

(2-x^O,

三、拓展延伸(15分)

8.如圖，從一個大正方形中截去面積為15cm2和24cm2的小正方形，求留下部分的面積.

解：留下部分面積：（@T+J區「-24-15=24T12廁415-24-陶

=12而（Cl]]2）.

16.2二次根式的乘除

第2課時二次根式的除法

一、新課導入

1.導入課題

設長方形的面積為S,相鄰兩邊長分別為a,b,如果S=Jii,b=Ji,那么怎樣求a呢？你能列出算式嗎?

2.學習目標

（1）能歸納除法法則公式J=$（a20,b>0）,知道A=*（a2°，b>°）與有=J"（a20，b>0）的意義.

（2）會運用公式ab=ab（a20,b>0>「ab=ab（a20,b>0）進行二次根式的除法運算和化簡.

3.學習重、難點

重點:專

—(a20,b>0)和(a20,b>0)的運用.

難點：熟練運用法則進行化簡和計算.

二、分層學習

第一層次學習

1.自學指導

(1)自學內容：探究：二次根式除法的運算法則.

(2)自學時間：5分鐘.

(3)自學方法：由具體運算歸納一般的運算法則，注意法則中的條件.

(4)探究提綱：

①計算下列各式，并比較它們的結果:

②從①中你發現了什么規律？請用一個等式表示這個規律.

③用文字表示二次根式的除法法則是：二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變.

④計算：

答案：3；28；y；2k/L

2.自學：學生參照探究提綱進行自學.

3.助學

(1)師助生：

①明了學情：了解學生是否能從具體運算中歸納出一般規律.

②差異指導：引導從具體算式到一般形式；將除式寫成分式；強調除數不為0.

(2)生助生：相互交流幫助，矯正錯誤，展示成果.

4.強化：

強調二次根式的除法法則表達式及成立的條件.

■Mi第二層次學習

1.自學指導

<1)自學內容：教材P8例4后面到P9例6的部分.

(2)自學時間：5分鐘.

自學方法：注意堵

(3)1(a^0,b>0)逆向變形外，還有沒有其余方法？參看例6解法2.

(4)自學參考提綱:

①逆用法則|=得化簡二次根式的一般步驟是什么？

②說說算式機人弗的計算方法是什么？

③進行二次根式的除法運算時，所得結果應該怎樣？

④按課本例題的樣子化簡下列各式：

2.自學：學生可參考自學參考提綱進行自學.

3.助學

(1)師助生：

①明了學情：了解學生是否看懂例題的每步計算過程及依據，特別是教材P9例6的解法2.

②差異指導：引導思考：炳x(百)是有理數，而X(而)是有理數等.

(2)生助生：學生交流研討疑難之處.

4.強化

(1)強調兩種化簡的方法和步驟.

(2)回顧本節所學知識點和數學思想方法.

第三層次學習

1.自學指導

(1)自學內容：教材P9例6后面到例7上面的部分內容.

(2)自學時間：3分鐘.

(3)自學方法：認真閱讀課文中最簡二次根式給定的兩個條件，弄懂所給文字表達的具體含義.

(4)自學參考提綱：

①什么樣的二次根式是最簡二次根式?

②如果被開方數是一個多項式，該怎么判斷其是否含有開得盡方的因數或因式？

③二次根式的運算的結果必須達到的兩點要求是：（1）被開方數中不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或

因式.

④下列二次根式是否是最簡二次根式？為什么？

71.8；\/1（）1；+（1I）2；\/（i2+1）2.

答案：7F8,\/［產，//一2,"+疝2不是最簡二次根式,必萬是最簡二次根式.

⑤化簡下列二次根式，并用最簡二次根式的特點驗證化簡是否徹底.

西俗附唇.

答案.42?2K.苑.3"

2.自學：學生可參考自學參考提綱進行自學.

3.助學

（1）師助生：

①明了學情?：了解學生是否掌握最簡二次根式滿足的條件，能否說明條件包含的具體內容.

②差異指導：a.被開方數是小數的算不算，含分母的算不算.b.如何查找被開方數中有無開得盡方的因數或因式.

（2）生助生：相互交流，幫助矯正錯誤，展示學習成果.

4.強化

（1）強調檢驗二次根式是最簡二次根式的兩條標準.

（2）二次根式化簡思路及方法.

第四層次學習

1.自學指導

（1）自學內容：教材P9例7后面到P10練習上面的部分.

（2）自學時間：5分鐘.

（3）自學方法：體會列式、化簡的過程，類比有理數的乘除混合運算順序來考慮二次根式的乘除混合運算順序.

（4）自學參考提綱：

①化簡的結果是正.

m\ama

a廿ac,...?7be

②化簡一的結果m是-nr.

ab\b\

③計算：-4而逐）+（2舊+《）.答案:孚.

2.自學：學生可參考自學參考提綱進行自學.

3.助學

（1）師助生：

①明了學情：了解學生自學中存在的疑點問題.

②差異指導：對個別學生在運算步驟不清和法則運用不當的地方進行引導.

（2）生助生：相互交流，幫助矯正錯誤.

4.強化：

（1）總結自學參考提綱第①題的化簡方法.

（2）總結自學參考提綱第②題的化簡方法.

（3）總結自學參考提綱第③題的運算技巧.

（4）回顧本節所學知識點和數學思想方法.

三、評價

1.學生的自我評價（圍繞三維目標）：小組代表介紹自己的學習方法、收獲和困惑.

2.教師對學生的評價：

（1）表現性評價：對學生在課堂學習中的態度、方法、成果和不足進行進行點評.

（2）紙筆評價：課堂評價檢測.

3.教師的自我評價（教學反思）.

創設情境，不僅達到了復習之前所學二次根式的乘法法則的效果，還導入本課時所要學習的內容，通過類比學習的

方法，使學生更容易學習二次根式的除法運算.由特殊到一般，循序漸進，讓學生經歷觀察、思考、討論、分析、歸納總

結的過程，從而更加深刻學習，最后運用乘法檢驗，到達知識上下的連接，形成知識網絡.

評價作業------------）

（時間：12分鐘滿分：100分）

一、基礎鞏固（60分）

1.（10分）如果等式成立，那么（B）

A.x20B.x>3C.x/3D.x23

2.（10分）下列各式中，是最簡二次根式的是（C）

A.V18B.\]a2bC.\la2+b?Dvl

3.（I。分）計算：（咤;⑵言⑶

解:⑴\=邛；（2）4二孝;⑶序[;Jy-y=2;（4）歷x同+后=727x50-6

2_Q.

=15;（5）6X0X3）=X/6T6=1.

4.（10分）若Mw+〃和5的是同類最簡二次根式，則mn=6.

5.（10分汜知方程VIr=V24,則x=2y/2.

6.（10分）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=2JJ,S△ABC=3Jii,求AB的長.

解:＜板=；mC=，2AXB（：=3底,二BC=3S在曲中，由勾股定

理得:AB=7.4C2+li（：2="2國2+（35。二瓦

二、綜合運用（20分）

7.閱讀理解與運用.

（1）當x20,y20時，x-j=（Vxj-（4）=（4+6）（占一5/7），同理可得：x-2y/xy+y=-y[y^2.

4a-b+4。+4\[ab+b

（2）a,b均為非負數，且aWb,化簡

2\[a-\[b2\/a+4b

副4〃一b4〃+49+b

牛：2值-丁2」

二（2萬+加）（2萬一寸）?（2服+防產

2「-JI）2R+兩

=27+7+2Ja+Jh

=4&"+2]b.

三、拓展延伸（20分）

1111A_

8.計算—+—~~-+----+—+—=----—?"+]t

\、0+i3+22+5、/iT+向

(1I11、，L、

ft?：——+——-+--+???+————.yrr+i

\J+i3+巨2+87iT+師J

2一1^8-^^2-8..河一師

=-------------------------+------------------------------+---------------------------+…H-------------------------------------------

L(^+i)x(^-i)(A+0x(A—m(2+8)X(2-B)(ViT+阿)X("-師川

二(叵一1+回一回+2-A+…+V1T-河)?(yrr+i)

=(x/iT-i)?(ViT+i)

=n-i

=io.

16.3二次根式的加減

第1課時二次根式的加減法

一、新課導入

1.導入課題

大家非常熟悉8+18等于多少，那么我+M是多少呢？怎么計算呢？今天我們一起來學習二次根式的加法.

2.學習目標

（1）知道怎樣的二次根式能進行合并.

（2）知道進行二次根式的加減法運算的步騾和方法.

3.學習重、難點

重點：會進行二次根式的加減法運算.

難點：二次根式的加減法運算步驟.

二、分層學習

第一層次學習

1.自學指導

（1）自學內容：教材P12的內容.

（2）自學時間：6分鐘.

（3）自學方法：體會列式、化簡的過程，聯想多項式相加時，合并同類項的方法來類比課文中二次根式的合并方法.

(4)自學參考提綱：

①下面每組中的二次根式能否合并？為什么？

2也與3向后與述V5與

答案：能；能；不能.理由：前兩個式子為同類二次根式，最后一個不是，不能合并.

②合并二次根式的要點是什么？

③二次根式的加減運算的一般步驟是什么？

④下列計算是否正確？為什么？

回-3=口+獷=^+9";3。-拒=2。;2回+30=55.

答案：x；x；j；x.理由：第1、2、4個式子不是同類二次根式，不能合并.第3個式子為同類二次根式，可以合并.

2.自學：學生可參考自學參考提綱進行自學.

3.助學

(1)師助生：

①明了學情：了解學生是否掌握怎樣的二次根式能夠合并，合并的方法是什么.

②差異指導：對是不是被開方數不同就不能合并，合并前應做什么等問題進行指導.

(2)生助生：學生相互研討疑難之處.

4.強化

(1)歸納合并二次根式的方法和要點.

(2)總結二次根式的加減運算的一般步驟.

第二層次學習

1.自學指導

(1)自學內容：教材Pi3例1和例2.

(2)自學時間：5分鐘.

(3)自學方法：先獨立運用剛才總結的二次根式加減法法則計算，然后對照課本步驟驗證方法是否正確.

(4)自學參考提綱：

①計算機6+〃正-%,并說明其中的道理.

②二次根式的加減馬整式的加減有哪些類似之處？

③例題中(1)、(2)先做了什么？然后做什么？

④計算：

27一6斤；48+（廊一歷）；西’一畫+5;《國#一R后一周，

答案：一4冊;10A/2-35/33X/5；36+立；

4

2.自學：學生可結合自學參考提綱進行自學.

3.助學

（1）師助生：

①明了學情：了解學生是否熟悉了例題介紹的計算步驟及方法，存在哪些疑點.

②差異指導：不是最簡二次根式的先化簡；化簡后找被開方數相同的二次根式.

（2）生助生：相互交流，幫助矯正錯誤.

4.強化

（1）強化自學提綱中該重點強化的內容.

（2）點學生板演自學參考提綱第④題，并點評.

（3）回顧本節所學知識點和數學思想方法.

三、評價

1.學生的自我評價（圍繞三維目標）：小組代表介紹小組成員怎樣學習，有哪些收獲和不足.

2.教師對學生的評價：

（1）表現性評價：點評學生的學習態度、方法、成果及存在的問題.

（2）紙筆評價：課堂評價檢測.

3.教師的自我評價（教學反思）.

本課時通過創設情境，給出實例.由學生主動參與，經過思考、討論、分析的過程，老師加以啟發和引導，讓學生明

白二次根式的加減的實質是合并同類二次根式；師生共同總結出二次根式加減法運算的步驟：（1）化成最簡二次根式；

（2）找出被開方數相同的二次根式；（3）合并被開方數相同的二次根式，可簡化為：化簡一判斷一合并.

<-----------評價作業------------>

i時間：12分鐘滿分：100分）

一、基礎鞏固（70分）

1.（10分）二次根式：①“I；②JF；③④厲中，能與石合并的二次根式是（C）

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.（10分）下列計算正確的是（C）

A.2+3=5IL2+厘=2?

C.屋及二舊氏亨二E

3.（10分）若最簡二次根式2J2x+1與-1能進行合并，則x=2.

4.（40分）計算：

⑴21屈-1匹（2）（南+阿）一（四一V125）;

（3』泛十國—:（2_歷）；（4）</2+3n\^7.

解：（1）28+5718^-\132=4Jl+J2-x4叵二￡?叵;

（2）（J45+炳-（區-x/ny）=35+32-22+55=85+。；

（3）4（5+國--^-（J2-'5T）=冬+g-~^_g+_^_x3耳二口一孚；

L4ZZ4444

（4）a2x/S<7+3〃Sol=2f/2?\fif7+3〃?5〃\fla=17〃2

二、綜合運用（15分）

5.化簡：｛--I——?

Va

解：pr=_@占二蕾.^^二0

《學-a

三、拓展延伸（15分）

6.已知:〃+。=-4,而=3,求的值

解：?.?〃+/--4,“二3.「.〃<（）/,<。,.?.凈舟——）」電一旌*￡二'&

16.3二次根式的加減

第2課時二次根式的混合運算

一、新課導入

1.導入課題

整式四則運算的運算法則大家比較熟悉，那么二次根式的四則運算乂該怎樣進行呢？今天我們來學習二次根式的四

則混合運算.

2.學習目標

熟練應用二次根式的加減乘除法運算法則及乘法公式進行二次根式的混合運算.

3.學習重、難點

重點：類比整式混合運算進行二次根式的混合運算.

難點：混合運算的順序、運算律及乘法公式的靈活運用.

二、分層學習

1.自學指導

（1）自學內容：教材Pi4例3.

（2）自學時間:8分鐘.

（3）自學方法：類比多項式乘以（除以）單項式的法則學習例3.

（4）自學參考提綱：

①（a+b）c=.

②（a+5）+c=a+c+5+c.

③運用①、②中的結論體會教材P14例3中兩道題的算理.

④例3中第（2）題也運用了分配律嗎？為什么？

⑤計算：

。（5+6）；（聞■十聞'）+猊

答案：6+Vio；4+2叵

2.自學：學生可參考自學參考提綱進行自學.

3.助學

（1）師助生：

①明了學情：了解學生是否領會例3中的算理，存在的疑點在哪里.

②差異指導：指導整式運算方法；例3第⑵題可寫成（a+b）?c的形式.

<2）生助生：同桌之間相互研討，幫助解決疑難之處.

4.強化：乘法分配律：機（。+〃）=相。+，沛在二次根式運算中同樣適用.

1.自學指導

(1)自學內容：教材P14例4.

(2)自學時間：5分鐘.

(3)自學方法：類比多項式乘以多項式的運算法則和乘法公式學習例4.

<4)自學參考提綱：

①(a+b](m+n)=am+an+bm+bn.

②(a+b'(a-b)=a2-b2.

③(a+b；2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.

④結合①②③說明例4中兩題的算理.

⑤(26+3^/I)2=(2石『+2x(2G)x卜^/I)+(3^/i)2=30+12后.

⑥計算：

(5+3)(5+2)；(后+2)(后一團；(4+獷”咯一切;《林十歷“冊一廚；《再獷(2扇一為z,

答案：上面6個小題答案依次為11+5石，4,9,Q—瓦7+4百，22-440.

2.自學：學生可參考自學參考提綱進行自學.

3.助學

(1)師助生：

①明了學情：了解學生對教材例4中(1)、(2)計算的理由是否弄清楚.

②差異指導：指導學生按多項式乘法法則和乘法公式來體會例題中的計算依據.

(2)生助生：同桌之間相互研討.

4.強化

(1)整式的運算法則和乘法公式適用于二次根式的運算.

(2)回顧本節所學知識點、數學思想方法及運算技巧.

三、評價

1.學生的自我評價(圍繞三維目標)：小組代表交流學習方法、收獲及存在的疑惑.

2.教師對學生的評價：

(1)表現性評價：點評學生的學習態度、方法、成果及存在的不足.

(2)紙筆評價：課堂評價檢測.

3.教師的自我評價(教學反思).

本課時的教學內容為二次根式的混合運算，教學過程中要將整式運算的知識遷移過來.強調有理數的運算定律、多項

式乘法法則及乘法公式在二次根式的計算中仍然適用.同時也要注意二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣:

先乘方、再乘除、最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）.培養學生利用概念、法則進行計算和化簡的嚴謹

態度和科學精神.

評價作業

［時間：12分鐘滿分：100分）

一、基礎鞏固（50分）

1.（I。分）計算：（712+5行）x5

解：（g+5R）X8=23+5x2&X8=6+10后

2.（1（）分）計算：5+3-RX2口

解：衣.口一行x28=2叵-62二-42

3.（10分）計算：（35+5國2

解：（35+55）2=（35）?+2X35X5技+（5^）2=120+30715

4.（1（）分）計算：（25）（2+8）

解：（23-5）（2+回）=26+2X3-5x2-5x回=26+6-710-癰

5.（1（）分）計算：（6+2）（6-⑶

解：（6+叵）（6-0=（后）2-（2）2=4

二、綜合運用（20分）

6.計算：（3-40）2015（3+師產

解：（3-710）2015（3+710）20,5

=［（3-40）（3+阿）］劉,

=（9-1O）2015

=-1

三、拓展延伸（30分）

7.計算：（用簡便方法）

療.再

（1）（、5+A-回）c-{5-5+E,“（-）府■+科B+質+國*用一區

解：0+屋卬-（斤區卬解：阿+家一+靖義

S+"-5

=25x(23-25=-------