PAGE1-第4課時相像三角形的性質素養訓練1．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線，且AD∶A′D′＝5∶3，下面給出四個結論：①△ABC的周長與△A′B′C′的周長的比為5∶3；②△ABC與△A′B′C′的對應高之比為5∶3；③△ABC與△A′B′C′的對應中線長之比為5∶3；④BC∶B′C′＝5∶3.其中正確的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】D【解析】由相像三角形的性質知，四個結論均正確，故選D．2．兩個相像三角形對應邊上的中線之比為3∶4，周長之和是35，那么這兩個三角形的周長分別是()A．13和22B．14和21C．15和20D．16和19【答案】C【解析】由相像三角形周長之比、中線之比均等于相像比可得周長之比為eq\f(l1,l2)＝eq\f(3,4).又l1＋l2＝35，解得l1＝15，l2＝20.故選C．3．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中點，過P點的直線交AB邊于點Q.若以A，P，Q為頂點的三角形和以A，B，C為頂點的三角形相像，則AQ的長為()A．3 B．3或eq\f(4,3)C．3或eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)【答案】B【解析】△ABC∽△AQP時，eq\f(AQ,AB)＝eq\f(AP,AC)，AQ＝eq\f(AP·AB,AC)＝eq\f(2×6,4)＝3.△ABC∽△APQ時，eq\f(AQ,AC)＝eq\f(AP,AB)，AQ＝eq\f(AP·AC,AB)＝eq\f(2×4,6)＝eq\f(4,3).故選B．4．如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，且分別交AB，AC于點D，E，若S△ADE＝S梯形BCED，那么AD∶DB＝________.【答案】1∶(eq\r(2)－1)【解析】在△ABC中，因為DE∥BC，所以△ADE∽△ABC．所以eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,AB)))2.又因為S△ADE＝S梯形BCED，所以S△ABC＝2S△ADE.所以eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,AB)))2?eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,\r(2))?AB＝eq\r(2)AD．所以eq\f(AD,DB)＝eq\f(AD,AB－AD)＝eq\f(AD,\r(2)AD－AD)＝eq\f(1,\r(2)－1)，即AD∶DB＝1∶(eq\r(2)－1)．5．(2015年九江期末)如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD是∠CAB的平分線，tanB＝eq\f(1,2)，則CD∶DB＝________.【答案】1∶2【解析】延長BA到E，使AE＝AC，連接CE，則∠E＝∠ECA＝45°.∵∠CAD＝∠BAD＝45°，∴∠E＝∠BAD＝45°.∴CE∥AD．∴CD∶BD＝AE∶AB．∵AC＝AE，∴CD∶BD＝AC∶AB．∵AC∶AB＝tanB＝eq\f(1,2)，∴CD∶DB＝1∶2.6．如圖所示，在△ABC中，DE⊥AC，BC⊥AC，AE＝BC＝4，DE＝3，則S△ABC＝________.【答案】eq\f(32,3)【解析】∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC．∴△ADE∽△ABC．∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).又AE＝BC＝4，DE＝3，∴eq\f(4,AC)＝eq\f(3,4)?AC＝eq\f(16,3).∴S△ABC＝eq\f(1,2)×BC×AC＝eq\f(1,2)×4×eq\f(16,3)＝eq\f(32,3).7．如圖所示，已知D，E，F是△ABC三邊的中點，設△DEF的面積為1，△ABC的周長為9.試求：(1)△DEF的周長；(2)△ABC的面積．【解析】(1)因為D，E，F是△ABC三邊的中點，所以EF∥BC且EF＝eq\f(1,2)BC．同理DE＝eq\f(1,2)AC，DF＝eq\f(1,2)AB，所以△DFE∽△ABC，且eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2).由相像三角形周長的比等于相像比，得eq\f(l△DEF,l△ABC)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2)，又l△ABC＝9，所以l△DEF＝eq\f(9,2).(2)由相像三角形面積的比等于相像比的平方，得eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(EF,BC)))2＝eq\f(1,4)，又S△DEF＝1，所以S△ABC＝4.8．如圖所示，點D，E，F，G，H，Ι是△ABC三邊的三等分點，△ABC的周長是l，面積是S，求六邊形DEFGHI的周長和面積．【解析】易得DE綊eq\f(1,3)BC，HI綊eq\f(1,3)AC，GF綊eq\f(1,3)AB．又DI＝eq\f(1,3)AB，HG＝eq\f(1,3)BC，EF＝eq\f(1,3)AC，則所求周長為eq\f(2,3)(AB＋AC＋BC)＝eq\f(2,3)l.由△ADE∽△ABC，AD＝eq\f(1,3)AB，可得S△ADE＝eq\f(1,9)S△ABC．同理可得，S△BHI＝S△CFG＝eq\f(1,9)S△ABC．所以所求面積為S－3×eq\f(1,9)S＝eq\f(2,3)S.實力提升9．如圖所示，正方形DEFM內接于△ABC，若S△ADE＝1，S正方形DEFM＝4，求S△ABC．【解析】因為正方形DEFM的面積S正方形DEFM＝4，所以DE＝DM＝2.過A點作AQ⊥BC于Q點，交DE于P點，如圖所示．因為S△ADE＝eq\f(1,2)×DE×AP＝1，所以AP＝1.所以AQ＝AP＋PQ＝1＋2＝3.又因為DEFM為正