專題4-1三角函數概念與誘導公式近5年考情考題示例考點分析考點要求2023年甲卷，第14題,5分三角函數概念與誘導公式考點分析：掌握正弦、余弦、正切等基本定義，理解其在單位圓上的幾何意義。誘導公式是重點，需熟練記憶并應用，解決復雜角度的三角函數值問題。（1）三角函數基本概念（2）任意角的三角函數（3）同角三角函數的基本關系（4）誘導公式2022年浙江卷第13題,5分2021年甲卷第8題,5分模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）【題型1】等分角的象限問題 2【題型2】三角函數的定義 4【題型3】對sinα，cosα，tanα的知一求二問題 6【題型4】弦切互化求值 8【題型5】sinα±cosα與sinαcosα的關系 10【題型6】利用誘導公式把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數 12【題型7】誘導求值與變形（給值求值問題） 14【題型8】扇形弧長與面積的計算 16【題型9】割圓術 20【題型10】象限與三角函數正負的辨析 23模塊二模塊二核心題型·舉一反三【題型1】等分角的象限問題如何確定角終邊所在象限法1分類討論法：利用已知條件寫出的范圍（用表示），由此確定的范圍，在對進行分類討論，從而確定所在象限。法2幾何法：先把各象限分為等份，再從軸的正方向的上方起，逆時針依次將各區域標上一、二、三、四……則原來是第幾象限的角，標號為幾的區域即角終邊所在的區域。（多選）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪個象限的角（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】ACD【解析】是第三象限的角，則，，所以，；當，，在第一象限；當，，在第三象限；當，，在第四象限；所以可以是第一、第三、或第四象限角．故選：ACD已知是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．C． D．是第三或第四象限角【答案】C【解析】∵是第二象限角，∴，，即，，∴是第一象限或第三象限角，故A錯誤；由是第一象限或第三象限角，或，故B錯誤；∵是第二象限角，∴，，∴，，∴是第三象限，第四象限角或終邊在軸非正半軸，，故C正確，D錯誤.故選：C．【鞏固練習1】（多選）如果是第四象限角，那么可能是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】BD【解析】由已知得，，所以，，當為偶數時，在第四象限，當為奇數時，在第二象限，即在第二或第四象限．故選：BD．【鞏固練習2】已知，，則的終邊在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】D【解析】因為，，所以為第二象限角，即，所以，則的終邊所在象限為所在象限，即的終邊在第一、二、四象限.【鞏固練習3】（2024·高三·湖北黃岡·期中）若角滿足＝(k∈Z)，則的終邊一定在()A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x軸非正半軸上D．第一象限或第二象限或y軸非正半軸上【答案】D【解析】當時，，終邊位于第一象限當時，，終邊位于第二象限當時，，終邊位于軸的非正半軸上當時，，終邊位于第一象限綜上可知，則的終邊一定在第一象限或第二象限或軸的非正半軸上【題型2】三角函數的定義一、任意角的三角函數（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．（2）推廣：三角函數坐標法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設點到原點的距離為，則，，二、三角函數的定義中常見的三種題型及解決辦法1、已知角的終邊上一點的坐標，求角的三角函數值方法：先求出點到原點的距離，再利用三角函數的定義求解。2、已知角的一個三角函數值和終邊上一點的橫坐標或縱坐標，求與角有關的三角函數值方法：先求出點到原點的距離（帶參數），根據已知三角函數值及三角函數的定義建立方程，求出未知數，從而求解問題。3、已知角的終邊所在的直線方程（），求角的三角函數值方法：先設出終邊上一點，求出點到原點的距離，再利用三角函數的定義求解，注意的符號，對進行討論。若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的三角函數值【注意】不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況已知為角α終邊上一點，則=．【答案】/0.2【解析】為角α終邊上一點，，則，，.（2024·山東青島·一模）已知角終邊上有一點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為即，所以，所以【鞏固練習1】（2024·江西·二模）已知角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據題意，由三角函數的定義得. 【鞏固練習2】如果角的終邊在直線上，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為角的終邊在直線上，所以.所以.故選：B.【鞏固練習3】在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，且，則的值可以是（）A．B．1C．0D．2【答案】BC【解析】由題設，故，整理得，所以或.故選：BC【鞏固練習4】已知角的終邊經過點，則的值不可能是（

）A． B．0 C． D．【答案】D【解析】由定義，，當，合題意；當，化簡得，由于橫坐標，角的終邊在一、四象限，所以．【題型3】對sinα，cosα，tanα的知一求二問題1、知弦求弦：利用誘導公式及平方關系sin2α＋cos2α＝1求解2、知弦求切：常通過平方關系，與對稱式sinα±cosα，sinα·cosα建立聯系，注意tanα＝eq\f(sinα,cosα)的靈活應用3、知切求弦：先利用商數關系得出sinα＝tanα·cosα或cosα＝eq\f(sinα,tanα)，然后利用平方關系求解若sinα＝－，則tanα＝.【答案】或【解析】因為sinα＝－<0，所以α為第三象限角或第四象限角，當α為第三象限角時，cosα＝－＝－，因此tanα＝＝.當α為第四象限角時，cosα＝＝，因此tanα＝＝－.故答案為：或－已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，則，結合，解得，則【鞏固練習1】已知，，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵且，∴，故選：B.【鞏固練習2】若，,則.【答案】【解析】因為，則，，又因為，則，且，解得或（舍去）,所以.【鞏固練習3】（2023年全國甲卷真題）設甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】當時，例如但，即推不出；當時，，即能推出.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.【題型4】弦切互化求值1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結構形式，統一為“切”的表達式，進行求值．常見的結構有：（1）sinα，cosα的二次齊次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的問題常采用“切”代換法求解；（2）sinα，cosα的齊次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))的問題常采用分式的基本性質進行變形．2、切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的切化成弦．一般單獨出現正切的時候，采用此技巧．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，即，即，顯然，所以，則，又，所以，所以.若，則.【答案】【解析】由已知，故答案為：.已知角θ的大小如圖所示，則＝（）

A． B． C． D．4【答案】C【分析】根據三角函數的定義可得進而又和差角公式得，又二倍角和齊次式即可求解.【詳解】由圖可知所以，則【鞏固練習1】已知，則.【答案】【解析】因為，所以.【鞏固練習2】已知，則．【答案】【解析】,故答案為：.【鞏固練習3】已知，則的值是．【答案】5【解析】因為，所以【題型5】sinα±cosα與sinαcosα的關系對于，，這三個式子，知一可求二：（多選題）已知，，則下列選項中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】由，得，所以，故選項A正確；因為，，所以，，又因為，所以，故選項B正確；因為，故選項C錯誤；由，，所以，故選項D錯誤已知為第三象限角，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，兩邊平方得，即，又因為為第三象限角，且，所以，，所以，所以，則．故．故選：D．【鞏固練習1】已知，A為第四象限角，則等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】可得，..又

A為第四象限角，又所以，.所以.答案：C.【鞏固練習2】（多選題）已知，，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對于選項A，由兩邊平方得：，故得，即A項正確；對于選項B，由，可得：故，由可得：，故B項錯誤；對于選項C，，故C項錯誤；對于選項D，由可解得：故得：.故D項正確.【題型6】利用誘導公式把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數一、誘導公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數名不變，符號看象限函數名改變，符號看象限二、把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數的步驟eq\x(\a\al(任意負角,的三角函,數))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導公式)),\s\do8(三或一))eq\x(\a\al(任意正角,的三角函,數))eq\x(\a\al(0～2π的,角的三角,函數))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導公式二)),\s\do8(或四或五))eq\x(\a\al(銳角三,角函數))也就是：“負化正，大化小，化到銳角就好了”．點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】.同理，，所以點P位于第一象限．故選：A．【鞏固練習1】已知為第三象限角，=.【答案】【解析】,故答案為：.【鞏固練習2】已知，且，則＝.【答案】【解析】∵，.又，，，，原式.故答案為：.【鞏固練習3】已知角的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，且．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1），，，，則．（2）原式．【題型7】誘導求值與變形（給值求值問題）（1）誘導公式用于角的變換，凡遇到與整數倍角的和差問題可用誘導公式，用誘導公式可以把任意角的三角函數化成銳角三角函數．（2）通過等誘導變形把所給三角函數化成所需三角函數．（3）等可利用誘導公式把的三角函數化已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以.已知，則。【答案】【解析】【鞏固練習1】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得【鞏固練習2】若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以.【鞏固練習3】已知，則=。【答案】【解析】由題意，所以，所以．【題型8】扇形弧長與面積的計算一、扇形弧長與面積的基本公式已知扇形的半徑為R，圓心角為弧長公式：面積公式：二、應用弧度制解決問題的方法（1）利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．（2）求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題．（3）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．（2024·四川南充·三模）如圖，圓O內接一個圓心角為60°的扇形，在圓O內任取一點，該點落在扇形內的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據圓的半徑與扇形半徑的關系及扇形的面積公式，由幾何概型求解即可.【詳解】設圓的半徑為，過作于點，如圖，則扇形的半徑,所以扇形的面積，圓的面積，由幾何概型可得：.（2024·遼寧撫順·三模）已知圓錐的底面圓的半徑為1，其側面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的母線長為（

）A． B．3 C． D．4【答案】D【分析】設母線長為，根據題意得到，即可求解．【詳解】設母線長為，由題意，可得，解得，即圓錐的母線長為．建于明朝的杜氏雕花樓被譽為“松江最美的一座樓”，該建筑內有很多精美的磚雕，磚雕是我國古建筑雕刻中很重要的一種藝術形式，傳統磚墻精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖是一扇環形磚雕，可視為扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，則此扇環形磚雕的面積為．

【答案】【解析】設圓心角為，則，所以，解得，所以，所以此扇環形磚雕的面積為.若扇形的周長為18，則扇形面積取得最大值時，扇形圓心角的弧度數是.【答案】2【解析】設扇形的半徑為，弧長為，則，即，所以扇形面積，所以當時，取得最大值為，此時，所以圓心角為（弧度）.【鞏固練習1】已知扇形的周長為，則當扇形的圓心角扇形面積最大．【答案】【解析】設扇形的半徑為，弧長為，由題意，，扇形的面積為，所以當時，扇形面積取最大值，此時，所以扇形的圓心角時，扇形面積最大.【鞏固練習2】（2022年高考全國甲卷數學（理）真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.【鞏固練習3】下圖是第19屆杭州亞運會的會徽“潮涌”，可將其視為一扇環ABCD．已知，．且該扇環的面積為，若將該扇環作為側面圍成一圓臺，則該圓臺的體積為.【答案】【解析】如圖，設，，，由題意可知，，解得，，則，將該扇面作為側面圍成一圓臺，則圓臺上、下底面的半徑分別為1和2，所以其高為，故該圓臺的體積為.【題型9】割圓術割圓術其核心思想是通過不斷倍增圓內接正多邊形的邊數，使正多邊形的周長無限接近圓的周長，進而求得較為精確的圓周率。這一方法體現了極限思想，為中國古代數學發展做出了重要貢獻。具體操作為：從圓內接正六邊形開始，逐步分割成正十二邊形、正二十四邊形等，直至邊數無法再增，此時正多邊形的周長即接近圓周率與直徑的乘積。在3世紀中期，我國古代數學家劉徽在《九章算術注》中提出了割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術可以視為將一個圓內接正邊形等分成個等腰三角形（如圖所示），當越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積.運用割圓術的思想，可得到的近似值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在單位圓中作內接正三十六邊形，則每個等腰三角形的頂角為，底邊約為，由題意得我國古代魏晉時期數學家劉徽用“割圓術”計算圓周率，“割之彌細，所失彌少，割之，又割，以至于不可割，則與圓周合體無所失矣”.劉徽從圓內接正六邊形逐次分割，一直分割到圓內接正3072邊形，用正多邊形的面積逼近圓的面積.利用該方法，由圓內接正n邊形與圓內接正邊形分別計算出的圓周率的比值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于正n邊形，其圓心角為，面積為，對于正邊形，其圓心角為，面積為，由此可得，.【鞏固練習1】我國南朝的數學家祖沖之發展了劉徽的“割圓術”（即圓的內接正多邊形邊數不斷增加，它的周長越來越接近圓的周長），在公元5世紀又進一步求得圓周率的值在3.1415926和3.1415927之間，是第一個將圓周率的計算精確到小數點后7位的人，使中國對圓周率的計算在世界上領先一千多年．依據“割圓術”，由圓內接正六邊形算得的圓周率的近似值是（

）A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14【答案】B【分析】設半徑為的圓內接正邊形的周長為,圓的直徑為，則，然后即可解決問題.【詳解】由題意時，.【鞏固練習2】我國魏晉時期的數學家劉徽創造性的提出了“割圓術”，劉徽認為圓的內接正邊形隨著邊數的無限增大，圓的內